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在高数解微分方程的时候,全微分方程的求解公式是怎么来的?感激不尽!
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您是不是指得这个公式：方程udx+vdy=0如果满足du/dy=dv/dx则为全微分方程（简便起见偏导我也用导数表示了）,其通解为∫udx+∫vdy=0.这个没什么好推导的,直接带进去就行了.对原方程两端同时乘以du/dy,注意到du/dy=dv/dx,原式可化为udv+vdu=0,注意到d(uv)=udv+vdu,所以原式可化为d(uv)=0,直接积分就可得uv=C为原方程的通解,其中C为待定常数,等价于∫udx+∫vdy=0.全微分方程之所以被叫做全微分方程,就是因为方程可以化为d(f(x,y))=0的形式,也就是说可以化为二元函数f(x,y)的全微分等于0的形式,方程通解就是f(x,y)=C.一般情况下解全微分方程没有用公式的,只要你把方程化为d(f(x,y))=0的形式,那么通解就是f(x,y)=C.
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微分方程的解的公式不只一个，你要找哪类方程的解的公式呢？
晕，是全微分方程，据我所知好像只有一种微分方程是全微分方程。。。。
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关于高数上微分方程的总结收藏
上学期期末发了一个总结贴，因为当时老师说把微分方程放在下学期学，所以就没有给大家总结微分方程，现在来总结一下微分方程，是按照同济大学数学系编制的教材来一节一节总结的，各个总结后面都带有例题，括号里带有答案。希望对大家有所帮助。
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1、明确什么是微分方程（y+y’＝2x是，而y＝2x就不是，y’=2x是，y’’+y’＝x也是）就是一定要存在导数 2、可分离变量的方程：如果一个方程可以分为p(y)dy=q(x)dx,则成为可分离变量方程解法：两端积分即可例题：求dy/dx=(e^x)y的通解（答案y=Ce^ex）
3、齐次方程：方程可化为dy/dx= ø (y/x)解法：(1)令y/x=u,则y=uxdy/dx=u’x+uu’x+u= ø (u)du/( ø (u)-u)=dx/x(2)若方程是dy/dx= ø (x/y)则令x/y=u,y=x/udy/dx=(u-xu’)/u^2=ø (u)积分、还原例题：解方程y^2+x^2 dy/dx=xy dy/dx (答案y/x=ln|y|+C)
4、一阶线性方程：未知函数及其导数均为一阶（y’+y=2x是一阶线性方程,y’’+y’=e^x是二阶线性方程）一般形式：y’+p(x)y=q(x),q(x)＝0时，为齐次方程（此齐次方程非彼齐次方程）解法：（1）齐次方程形式：y’+p(x)y=0dy/y=-p(x)dx,ln|y|＝-∫p(x)dx所以y=Ce^(∫-p(x)dx)（2）一般形式y’+p(x)y=q(x)（用常数变易法）y’=-p(x)y+q(x)猜想 y=C(x) e^(∫-p(x)dx)y’=-p(x)y+ C’(x) e^(∫-p(x)dx)so C’(x) e^(∫-p(x)dx)= q(x)so C(x)=∫q(x) e^(∫p(x)dx)+C代入一般形式中就可以得到通解：y= e^(∫-p(x)dx)[∫q(x) e^(∫p(x)dx)+C]通解公式：y= Ce^(∫-p(x)dx)+ e^(∫-p(x)dx) ∫q(x) e^(∫p(x)dx)，其中加号前是齐次方程的通解，加号后是特解例题：求y’-y/x-x^2=0的通解 (答案y=x^3/2+Cx)
5、可降阶的高阶方程（1）y’’=f(x)类：直接求即可例题：y^(3)=e^2x-cosx (答案y=e^2x/8+sinx+Cx^2/2+C1x+C2)（2）y’’=f(x,y’)类：降阶令y’=p,则y’’=p’方程变为p’=f(x,p)(利用可分离变量的方法求解p)解p，带入，再解y例题：(1+x^2)y’’=2xy’ (答案y=C1(x+x^3/3)+C2)（3）y’’=f(y,y’)类令y’=p,y’’=p’=dp/dx=(dp/dy)*(dy/dx)=(dp/dy)*p方程变为(dp/dy)*p=f(y,p)解之，带入，再解例题：a、yy’’-y’^2=0 (答案y=C1e^Cx)b、xyy’’+xy’^2-yy’=0 (答案y^2=Cx^2+C2)c、xy^(5)-y(4)=0 (答案y=C5x^5+C4x^3+C3x^2+C2x+C1)
6、高阶线性方程：以二阶线性方程为例y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)书上的三个定理需要注意一下根据前面提到的一阶线性方程通解公式，我们只要求特解、齐次方程的通解，然后相加，得到通解，例题：已知y1=3,y2=3+x^2,y3=3+x^2+e^x都是(x^2-2x)y’’-(x^2-2)y’+2(x-1)y=6(x-1)的解，求其通解 (答案y=C1x^2+C2e^x+3,其中3可以换成3+x^2,3+x^2+e^x)
7、常系数齐次线性方程:以二阶常系数齐次线性方程为例（y’’+py’+qy=0）对于y’+py=0的其中一个特解为y=e^(-px)猜想y’’+py’+qy=0也具有类似形式：y=e^rx将y代入得到特征方程：r^2+pr+q=0(1)
∆&0,通解为y=C1e^r1x+C2e^r2x(2)
∆=0,通解为y＝C1e^r1x+C2xe^r1x(3)
∆&0,通解为y＝e^œx(C1cos ß x+C2sin ß x)例题：a、y^(4)-2y’’’+5y’’=0 (答案y=C1+C2x+C3x^2+e^x[(C4+C5x)cos2x+(C6+C7x)sin2x])b、y=C1e^2x+C2e^(-3x),求微分方程 (答案y’’+y’+6y=0)
8、二阶常系数非齐次线性方程y’’+py’+qy=f(x)(1)
当f(x)=e^txPm(x)( Pm(x)是m次多项式)特解为：y=x^kQm(x)e^tx(k按t不是特征根、单特征根、二重根，分别取0、1、2，Qm(x)是m次完全多项式)例题：写出下面方程的特解形式：(a)
y’’-2y’-3y=3x+1(b)y’’-2y’-3y=xe^(-x) (这两道题我没有算出具体结果)(a)( 答案y=ax+b,代入原方程求出a，b即可) (b)( 答案y=e^(-x)(ax^2+bx)依然是代入原方程求a，b即可)(2)当f(x)=e^(tx)[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]时特解为：y=x^ke^(tx)[Rm^(1)(x)coswx+Rm^(2)(x)sinwx](Rm^(1)(x), Rm^(2)(x)都是m次完全多项式，m＝max｛l，m｝，k按t+_wi不是特征根、是特征根分别取0、1，无论自由项中只有正弦项还是只有余弦项，写特解时都要写出来)例题：写出下列方程的特解：(a)
y’’+4y’+4y=cos2x(b)y’’+4y=xsin2x(a)(答案y=acos2x+bsin2x, 代入原方程求出a，b即可)(b)(答案y=x[(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x] 代入原方程求出a,b,c,d即可)
到这里，高数上册的全部知识点我都总结完了
对于前面总结的知识点链接在这里
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就这些？！据说有本书叫《常微分方程》，好像很厉害的样子。不懂……
楼主棒棒哒！
14年的帖子以前我怎么就没看到呢
特解的形式怎么求
非要把特解算出来后 才能的出吗
下册从向量代数与空间解析几何到无穷级数的总结有吗，快考试了
感谢楼主[SMILING FACE WITH SMILING EYES]
谢谢楼主帮助我复习啦！
这么多种类型，看都看不下去怎么办
解常微分方程不难的，关键是解的存在定理和数值方法，值得研究
老师也是这学期上的第七章微分方程刚好来复习的时候看到
楼主好人！
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吐血总结：高数重要基础知识点（一阶微分方程求解）
12:07:59 来源：新东方在线
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　　高数重要基础知识点——一阶微分方程求解总结。18考生注意看，打好数学基础。高数作为最难，分值比例最大的一个科目必须要放在首位复习，知识点的掌握也要到位。吐血总结：高数重要基础知识点（一阶微分方程求解）
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考研公开课高等数学微分方程组解法举例_中华文本库
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第七章 *第十节 常系数线性微分方程组 解法举例解微分方程组消元 代入法 算子法高阶微分方程求解目录上页下页返回结束常系数线性微分方程组解法步骤:第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个函数的高阶方程 ;第二步 求出此高阶方程的未知函数 ;第三步 把求出的函数代入原方程组 , 一般通过求导 得其它未知函数 . 注意: 一阶线性方程组的通解中,任意常数的个数 = 未知函数个数 如果通过积分求其他未知函数 , 则需要讨论任意常数 的关系.目录 上页 下页 返回 结束dy ? 3y ? 2z ① dx 例1. 解微分方程组 dz ? 2y ? z ② dx 1 dz ③ y? ? ?z? 解: 由②得 2 dx d2 z dz ?2 ? z ?0 代入①, 化简得 2 dx dx 特征方程: r 2 ? 2r ? 1 ? 0 通解: z ? (C1 ? C2 x) e x 1 将④代入③, 得 y ? (2C1 ? C2 ? 2C2 x) e x 2目录 上页 下页④⑤返回 结束原方程通解: 注意:z ? (C1 ? C2 x) e x 1 y ? (2C1 ? C2 ? 2C2 x) e x 21) 不能由①式求 y, 因为那将引入新的任意常数,而它们与C1 ,C2 是不独立的 (它们受②式制约).2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系,因此 y 的表达式中 , 2C1 ? C2不能用另一任意常数Cy代替 , 系数 1 也不能去掉. d3 ? 3y ? 2z 2 ① dx 3) 若求方程组满足初始条件 y x ?0 ? y0 , z dz ? 2y ? z ② 的特解, 只需代入通解确定 C1 ,C2 即可. dx目录x ?0? z0上页下页返回结束d2 x d y ? ? x ? et dt2 dt 例2. 解微分方程组 d2 y d x ? ? y?0 2 dt dt d 解: 记 D ? , 则方程组可表为 dt 2 t ⑥ (D ? 1) x ? D y ? eD x ? (D 2 ? 1) y ? 0D ?1 D D D2 ? 12⑦根据解线性方程组的克莱姆法则, 有y?D 2 ? 1 et D 0目录 上页 下页 返回 结束(D ? D ? 1) y ? ?e 其特征方程: r 4 ? r 2 ? 1 ? 0 1? 5 特征根: r1, 2 ? ? 2 记 ??即4 2t⑧r3, 4 ? ? i记5 ?1 2?i ?⑨令 y ? ? A et , 代入⑧可得 A＝1, 故得⑧的通解:求 x : D× ⑦－⑥ 得x ? D3 y ? ? et⑩? x ? ?D y ?e3 2t t⑥ ⑨,⑩联立即为原方程的通解. ⑦ D x ? (D 2 ? 1) y ? 0目录 上页 下页 返回(D ? 1) x ? D y ? e结束作业P352 1 (3),(6); 2 (2), (4)目录上页下页返回结束
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