函数 数列综合题不等式综合题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-01-12 03:52 标签： 数列不等式
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数列不等式综合题
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3秒自动关闭窗口的前n项和为Tn 求证：错误！未找到引用源。． 解：（Ⅰ）错误！未找到引用源。∴错误！未找到引用源。 当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。是等比数列． ∴错误！未找到引用源。；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。为等比数列，
则有错误！未找到引用源。而错误！未找到引用源。 故错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。，
再将错误！未找到引用源。代入得错误！未找到引用源。成立，
所以错误！未找到引用源。．
（III）证明：由（Ⅱ）知错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。，
由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。 所以错误！未找到引用源。，
从而错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。． 即错误！未找到引用源。．
………………… 例32:设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有错误！未找到引用源。，记Sn为数列{an}的前n项和.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为非零常数，n∈N+），问是否存在整数错误！未找到引用源。，使得对任意 n∈N+，都有bn+1>bn. 解：（1）在已知式中，当n=1时，错误！未找到引用源。
当n≥2时，错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
①－②得，错误！未找到引用源。
∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=2Sn－an
∵a1=1适合上式
当n≥2时， 错误！未找到引用源。=2Sn－1－an－1
③－④得错误！未找到引用源。－错误！未找到引用源。=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+ an－1= an+ an－1
∵an+an－1>0
∴an－an－1=1 ∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n
（2）∵错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。 ∴错误！未找到引用源。 ⑤ 当n=2k－1，k=1，2，3，……时，⑤式即为错误！未找到引用源。
⑥ 依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ<1 当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为错误！未找到引用源。
⑦ 依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立，
31 ∴错误！未找到引用源。 ∴错误！未找到引用源。 ∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有bn+1>bn 例33:已知错误！未找到引用源。数列错误！未找到引用源。的前n项和为错误！未找到引用源。，点错误！未找到引用源。在曲线错误！未找到引用源。上错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。.
（1）求数列错误！未找到引用源。的通项公式；
（2）数列错误！未找到引用源。的前n项和为且错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，设定错误！未找到引用源。的值使得数列错误！未找到引用源。是等差数列；
（3）求证：错误！未找到引用源。. 解：(1)错误！未找到引用源。 ∴错误！未找到引用源。 ∴错误！未找到引用源。 ∴数列错误！未找到引用源。是等差数列，首项错误！未找到引用源。公差d=4 ∴错误！未找到引用源。
∴错误！未找到引用源。 ∵错误！未找到引用源。 ∴错误！未找到引用源。 (2)由错误！未找到引用源。 得错误！未找到引用源。 ∴错误！未找到引用源。 ∴错误！未找到引用源。 ∴错误！未找到引用源。 若错误！未找到引用源。为等差数列，则错误！未找到引用源。 ∴错误！未找到引用源。 (3)错误！未找到引用源。 ∴错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 ∴错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。
例34:已知数列错误！未找到引用源。为等差数列，错误！未找到引用源。，且其前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，又正项数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。 ⑴求数列错误！未找到引用源。的通项公式； ⑵比较错误！未找到引用源。的大小； ⑶求数列错误！未找到引用源。的最大项； ⑷令错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。是等比数列吗？说明理由。 解：⑴设错误！未找到引用源。的公差为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。 且错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。，从而错误！未找到引用源。 故错误！未找到引用源。
32 ⑵错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。
（6分） ⑶由（2）猜想错误！未找到引用源。递减，即猜想当错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。
（8分） 考察函数错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 故错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上是减函数，而错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。 所以错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。 于是猜想正确，因此，数列错误！未找到引用源。的最大项是错误！未找到引用源。
（10分） ⑷错误！未找到引用源。不是等比数列 由错误！未找到引用源。知 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 故错误！未找到引用源。不是等比数列.【典型题赏析(1)】函数、数列、不等式综合题.doc
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4 . 添减项放缩
设N n n ∈&, 1，求证)
例13 设数列}{n a 满足). , 2, 1(1, 211 =+
==+n a a a a n
对一切正整数n 成立；
利用单调性放缩:
例14 已知函数2
3) (x ax x f -
=的最大值不大于
1，又当]21, 41[
（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*
&N n a f a a n n ), (, 2
1011，证明. 1
例15 数列{}n x 由下列条件确定：01&=a x ，, 211???
+n n n x a x x N n ∈． （I ） 证明：对2≥n 总有a
；(II) 证明：对2≥n 总有
1+≥n n x x
6 . 换元放缩
求证). 2, (1
n N n n n n
例17 设1&a ，N n n ∈≥, 2，求证4
7 转化为加强命题放缩
例18 设10&&a ，定义a a a a a n
+=+1, 111，求证：对一切正整数n 有. 1&n a
例19 数列{}n x 满足. , 2
x x x x n n n +
例20 已知数列｛a n ｝满足：a 1＝
，且a n ＝
n 13na n 2n N 2a n 1
≥∈－－，）＋－
（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n 有a 1?a 2?,,,,a n &2?n ！
8. 分项讨论
例21 已知数列}{n a 的前
项和n S 满足. 1, ) 1(2≥-+=n a S n
（Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项3
21, , a a a ；
（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅲ）证明：对任意的整数4
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