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15秋高职高数期末考试试卷B
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中山大学毕业补考，第二学期高数四，有同学有往年考题或模拟题吗？
有的发给我，感激不尽！我没有分，实在不好意思，有其他问题可以问我，我最大的问题是数学太烂了……帮不帮得上都先谢谢大家啦，老师不给模拟题，心里没底……
我有更好的答案
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05-06(2)高等数学试题(B)解答
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高数b(1)模拟试卷(共四套、附有答案)
中 央 广 播 大 学1 试卷代号：座位号中央广播电视大学学年度第学期期末考试高等数学（B） （1）试题 A 卷 年 月题号一二三四五总分分数一、名词解释（每题 4 分，共 20 分） 1．导函数 答：导函数――设对于区间 ?a, b ? 中的每一点 x ，函数 y ? f (x) 都有导数，则对应于区间?a, b ? 中的每一点 x 就有一个导数值，这样由导数值构成的函数叫做函数 f (x) 的导函数，记作 f ' ( x ), y ' , 2．高阶导数 答：高阶导数――一般地， f (x) 的 (n ? 1) 阶导数的导数称为 f (x) 的 n 阶导数，并规定二 阶以及二阶以上的导数统称为高阶导数。 3．函数的线性化 答：函数的线性化――通常将 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ' ( x0 )(x ? x0 ) 称为函数 y ? f (x) 的线性 化。 4．驻点 答：驻点――使 f ' ( x) 等于零的点称为函数 f (x) 的驻点。 5．邻域 答：邻域――设 a 和 ? 是两个实数，且 ? ? 0 ，满足不等式 x ? a ? ? 的实数 x 的全体称为 点 a 的 ? 邻域。 二、填空题（每空格 2 分，共 30 分）2dy 。 dx 1．在数学中必须考虑的运算有两类： （正运算）与(逆运算)。 2．微分学研究的是函数的（局部性态） ，无论是微商概念。还是微分概念，都是(逐点给出) 给出的。数学家研究函数的局部性质，其目的在于(从局部性质去研究函数的整体性质)。 3．积分学包含（定积分）和（不定积分）两大部分，不定积分的目的是提供（计算方法） 。 4．对应于加法运算的逆运算是（减法运算） ，对应于乘法运算的逆运算是（除法运算） ，对 应于正整数乘方运算的逆运算是（开方运算） ，对应于微分运算的逆运算是（积分运算） ， 5． y ?1 2x2的微分为（ dy ? ? x ?3dx ） 。6．极限 lim ?1 ?? x ???1? 。 ? 的值为（ e ?1 ） x?x7．函数 f ( x) ? loga x 的二阶导数为（ y ' ' ? ?loga e x2） 。三、判断题（在每题的括号内填上是或否，每题 3 分，共 9 分） 1． 函数的对称性表现在函数的奇偶性和函数的周期性上。 2． 函数在某点 a 有定义， 则该函数在点 a 连续。 3． 导数是一种特殊极限， 因而它不遵循极限运算的法则。 四、计算题（每题 5 分，共 25 分） 1．求 y ? ex3（ A ） （ B ） （ B ）的二阶导数。解： y ' ? 3 x e2 x33 3y ' ? 9 x 4 e x ? 6 xe x2．求极限 lim ? x ? x ?1 解： lim x ? limx ?1? ?sin(x ? 1) ? x ?1 ? ?sin(x ? 1) x ?1 x ? 1? 1?1=2 3．计算?2 x5x 2 ? 1dx3 1 解：原式= 2?25x 2 ? 1d ( x 2 ? 1)3 1 = x2 ?1 2 6??5 2=8 6 ? 4．求函数 y ? sin1 3 2x 的周期。 2解：因为 sin x 的周期为 2n? ? x ? (2n ? 2)? 所以， y ? sinx 的周期可以这样得出，即 22n? ? x ? (2n ? 2)?n? ? y ? sinx ? (n ? 1)? 2x x 的周期为 n? ? ? (n ? 1)? 。 2 25．设函数 y ? 9 ? x 2 (?3 ? x ? 3) 的平均值1 解：根据平均值定义 f ( x) ? b?a3__? f ( x)dx ，我们得出a 2b_1 y? 6?3? (9 ? x)dx?1 1 (9 x ? x 3 ) 6 3 ?33?6五、应用题（每题 8 分，共 16 分） 1．在某一段时间内，如 1998 年至 2003 年，某种食品的价格始终是 1.00 元/kg，写出这个食 品价格与时间的函数关系。 若学校购买这种食品的预算为 500 元， 问能买多少公斤？假如从 2004 年起，这种食品的价格上调的 50%，问用原来的预算还能买多少公斤？ 解：设 x 为时间自变量，取值范围为 1998 ? x ? 2003 ， y 为该食品的价格。4 根据题意，该食品与时间的函数可以写成 y ? f (x) ? 1.00 元/kg，即在这个时期内该 食品的价格是一个常数。 又根据题意，当购买该食品的预算为 500 元，能买 500 公斤。 从 2004 年起，这种食品的价格上调的 50%，即价格上涨为 y ? f (x) ? 1.50 元/kg，x ? 2004 。用同样的预算，则能购买该食品 333.33 公斤 2．试分析函数 y ? x 2 在其定义域内的性质，即它的定义域、单调区间、图像性质。 解： y ? x 2 的定义域为一切实数， x ? R 。 当 x ? 0 时，函数为单调下降； 当 x ? 0 时，函数为单调上升。 函数图像为对称于直角坐标系 y 轴的抛物线。试卷代号： 中央广播电视大学 学年度第 学期期末考试座位号高等数学（B） （1）试题 B 卷 年 月题号一二三四五总分分数一、名词解释（每题 4 分，共 20 分） 1．定积分 设函数 f (x) 在区间 ?a, b? 上连续， 用分点 a ? x0 ? x1 ? ? ? xn ?1 ? xn ? b 把区间 ?a, b? 分 为 n 个小区间 ?xi , xi ?1 ? ，其长度为 ?xi ? xi ?1 ? xi ， i ? 0,1,2,?, n ? 1 。在每个小区间?xi , xi ?1 ?上任取一点 ?i ： xi ? ?i ? xi ?1 ，并作函数值 f (?i ) 与小区间长度 ?xi 的乘积5 f (?i ) ?xi ，求出它们的部分和 S n ?? f (?i )?xi 。记 ? ? 0?max?1??xi ?。当 ? ? 0 时， i?ni ?1n ?1若部分和 S n 有极限 S ，并且 S 与区间 ?a, b? 的分法无关，与中间值 ?i 的取法无关，则称此 极限值 S 为 f (x) 在 ?a, b? 上的定积分，记作 lim ? ?0 2．极值 数列极值( ? ? N )定义――设有数列 xn 和常数 A ， 如果对于任意给定的正数 ? ? 0 ， 总存在 自然数 N ，使得当 n ? N 时，不等式 xn ? A ? ? 恒成立，则称常数 A 是数列 xn 的极限， 记为n ? ??? f (? i )?xi ? ? f ( x)dx 。i ?1 an ?1blim xn ? A3．变量 变量――在观察各种现象或过程中经常遇到一些量是变化的， 可以取不同的数值， 那么这些 量就称为变量。 4．绝对值 数轴上的点 a 到原点的距离为数 a 的绝对值，记作 a 。 5．幂函数 函数 y ? x a （ a 为实数）称为幂函数。 二、填空题（每空格 2 分，共 30 分）1．公元 3 世纪中国数学家（刘徽）的割圆术，就用园内接正多边形周长去逼近（圆周长） 这一极限思想来近似地计算（圆周率 ? ）的。 2．定积分是对（连续变化过程总效果）的度量，求（曲边形区域的面积）是定积分概念的 最直接的起源。 3．函数表达了（因变量）与（自变量）之间的一种对应规则。 4 ． 绝 对 值 的 性 质 有 （ a ? 0 ） （ ab ? a ? b ） （ 、 、 （ a ? b ? a ? b ）（ a ? b ? a ? b ） 、 。6a a ? ） （ ? a ?a? a ） 、 、 b b 5． 函数 f ( x) ?1 x 2 ? 3x ? 2 的定义域为 x ? 2 或 x ? 1 ） 它的一阶导数为 （ ， （ ( 2 x ? 3) ） 。 2三、判断题（在每题的括号内填上是或否，每题 3 分，共 9 分） 1． 有理数不属于实数范畴内。 （ B ）2． 导数概念与导函数概念是不同的。（ A ）3． 运用定积分计算不规则图形的面积不是很精确的。（ B）四、计算题（每题 5 分，共 25 分） 1．求 y ?4 3x 的二阶导数。13 ? 解： y ' ? x 4 4 3 ? y' ' ? ? x 4 162．求由曲线 y ? 2 ? x 2 与直线 y ? ? x 所围成的面积 解：曲线 y ? 2 ? x 2 与直线 y ? ? x 交点为（-1，1）（2，-2） 、 ， 于是所求面积为5?1? ?2 ? x22? x dx?1 3 1 2? ? = ? 2x ? x ? x ? 3 2 ? ?1 ?=4 3．计算 解：21 2? ?tan x ? x?dx原式= (sin x ? x)dx cos x d (cos x) ? xdx =? cos x???7 = ? ln cos x ?1 2 x ?C 2（其中 x ? ?2n? , (2n ? 1)? ???2? ?）? ? 4．求 y ? x 2 sin x 当 x ? , dx ? 时的微分。4 360解： dy ? (2 x sin x ? x 2 cos x)dx 当x ??4, dx ??360时，dy ? (2 x sin x ? x 2 cos x)dx x ? ?4 dx ? ? 360? 2 ?2 2 ? ?( ? ? ? )? 2 2 16 2 360=?2 21440??3 2115205．设函数 f ( x) ? e x ? x 3 ? cos x ，求其原函数。 解 ： 设x函数为F (x)，则有F ( x) ?? ?e? x 3 ? cos x dx?1 ? ? ? ?e x ? x4 ? s i n ? ? C x 4 ? ?五、应用题（每题 8 分，共 16 分） 1．已知等腰三角形的周长是 2l ，问它的腰多长时其面积为最大？ 解：设等腰三角形的腰长为 x ，则其面积 S (x) 为S ( x) ? (l ? x) x 2 ? (l ? x) 2? (l ? x) 2lx ? l 2对其求导得1 2l S ' ( x) ? ? 2lx ? x 2 ? (l ? x) 2 2lx ? x 2化简得8 S ' ( x) ?2l 2 ? 3lx 2lx ? x 2令其为零，得 x ? 所以，当 x ?2l 32l 3 2 时，其面积最大， S ? l 3 92．利用导数定义计算 y ? x 的导数。 解：根据导数定义有f ( x ? ?x) ? f ( x ) ?y ? lim ?x ?x ? 0 ?x ?x ? 0 lim现在有 y ? f ( x) ? x ，则y ' ? f ' ( x) ? lim?y x ? ?x ? x ? lim ?x ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ? lim ?x ?x ? 0 ?x?1试卷代号： 中央广播电视大学 学年度第座位号 学期期末考试高等数学（B） （1）试题 C 卷 年 月题号一二三四五总分分数一、名词解释（每题 4 分，共 20 分） 1．指数函数9 函数 y ? a x （ a ? 0, a ? 1 ）称为指数函数。 2．定积分中值定理 设 函 数 f (x) 在 闭 区 间 [ a, b ] 上 连 续 ， 则 在 [ a, b ] 上 至 少 存 在 一 点 ? ， 使 得b? f ( x)dx ? f (? )(b ? a) 。a3．原函数 如果函数 f (x) 与 F (x) 定义在同一区间 a, b ） 并且处处都有 F ' ( x) ? f ( x) ， （ ， 则称 F (x) 是f (x) 的一个原函数。4．开区间 设有 a, b 两个实数，且 a ? b ，满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的全体称为开区间。 5．数轴 规定原点、正方向和长度单位的直线称为数轴。 二、判断题（在每题的括号内填上是或否，每题 3 分，共 9 分） 1． 若函数 f (x) 在区间 ?a, b ? 有定义且严格单调， f (x) 在 ?a, b ? 上存在反函数。 （ 则 2．若函数 f (x) 在点 a 可导，则它在点 a 连续。 3．任何函数都存在反函数。 三、填空题（每题 2 分，共 30 分） 1．定积分是对(连续变化过程的总效果)的度量，求(曲边形区域的面积)是定积分概念的最直 接的起源。 A ）（ B ） （ B ）2．积分学的基本问题是(非均匀变化量的求积问题)它的数学模型是(? f ( x)dx )，它的物理ab模型是(求变速运动的路程)，它的几何原型是(曲边梯形的面积)。 3．极限概念描述的是(变量在某一变化过程中的)的终极状态。 4．微分学的特点有两个：(局部性)和(动态性)。 5．导数是逐点定义的，它研究的是函数在(某一点)的局部性质。 6．函数的三种表示方法：(解析法)、(图形法)、(表格法)。10 7．求函数 y ? sin x 在 ?0,2? ? 内的单调下降区间：(?2?x?3? )。 28．定积分?3 3 t dt 的值为( 20 )。 1四、计算题（每题 5 分，共 25 分） 1．解不等式 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 。 解：化简得 ?x ? 1??x ? 2? ? 0??x ? 2? ? 0 ??x ? 2? ? 0 或? ? ??x ? 1? ? 0 ??x ? 1? ? 0解得 x ? 2 或 x ? 1 2．判断函数的奇偶性： y ? x 3 ? sin x 。 解：根据奇函数定义，有y ? f ( x) ? x 3 ? sin x y ? f (? x) ? ? x 3 ? sin x即 f ( x ) ? ? f ( ? x) 3．求函数 y ? x 2 ? 6 x ? 5 的单调区间。 解： 由于曲线为开口朝上的抛物线， 所以该曲线表示的函数有极小值， 其顶点可以这样求出： 对 y ? x 2 ? 6 x ? 5 求导， y ' ? 2 x ? 6 ，并令其为零得 x ? 3 ，即曲线的顶点坐标为 ?3,?4? 得由此可得当 x ? 3 时曲线单调下降 当 x ? 3 时曲线单调上升。 4．求曲线 y ? x 2 , y ? 7, x ? 0 围成区域绕 y 轴的旋转体体积。解： V ?? ?ydy07??2y27 0?49 ? 211 5．求函数 y ? 解：函数 y ?x 反函数，并指出反函数的定义域。 x?22y x 的反函数为 x ? x?2 1? y其定义域为 y ? 1 的实数集。 五、应用题（每题 8 分，共 16 分） 1．设圆的半径为 r ，面积为 A ，试求（1）面积 A 关于半径 r 的函数； （2）求半径 r 关于面 积 A 的函数。 解（1）面积 A 关于半径 r 的函数为 A ? ?r 2 （2）半径 r 关于面积 A 的函数为 r ?A?2．一物体作直线运动，已知阻力的大小与物体运动的速度成正比，但方向相反。当物体以 1 米/秒的速度运动时，阻力为 0.002N，试建立阻力 f 与速度 v 之间的函数关系。 解：根据题意，设阻力 f 的大小与物体运动的速度 v 成正比，但方向相反，即f ? ?v若令正比系数为 k ，则有f ? ?kv确定系数值。根据已知条件， 0.002 N ? ?k ? 1 米/秒， k ? ?0.002 N /米/秒 所以f ? ?0.002v12 试卷代号： 中央广播电视大学 学年度第座位号 学期期末考试高等数学（B） （1）试题 D 卷 年 月题号一二三四五总分分数一、名词解释（每题 4 分，共 20 分） 1．奇函数 设 函 数 y ? f (x) 在 关 于 原 点 对 称 的 集 合 D 上 有 定 义 ， 如 果 对 任 意 的 x ? D ， 恒 有f (? x) ? ? f ( x) ，则称函数 y ? f (x) 为奇函数。2．反函数 设 y ? f (x) 是 x 的函数，其值域为 G ，如果对于 G 中的每一个 y 值，都有一个确定的且满 足 y ? f (x) 的 x 值与它对应， 则得到一个定义在 G 上的以 y 为自变量，x 为因变量新函数， 称它为 y ? f (x) 的反函数，记为 x ? f ?1 ( y) 。 3．定积分中值定理几何意义 以区间 ?a, b? 为底边，以曲线 y ? f (x) 为曲边的曲边梯形，它的面积等于与曲边梯形同底而 高为 f (? ) 的一个矩形的面积。 4．微积分基本定理 如果 y ? f (x) 是连续函数，并且 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，即 f (x) = F ' ( x) ，那么b? f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 成立。a5．复合函数的一阶微分形式的不变性 对于复合函数 y ? f (u), u ? ? ( x) ，若 u ? ? (x) 在点 x 可微， y ? f (u ) 在点 u 可微，则复13 合 函 数 y ? f [? ( x)] 在 点x 可 微 ， 且 dy ? f ' (u)du ， 其 中 du ? ? ' ( x)dx 。 我 们 将dy ? f ' (u)du 称为一阶微分形式的不变性二、填空题（每空格 2 分，共 30 分） 1．微分有双重意义，一是表示(一个微小的量)，一是表示(一种与求导数密切相关的运算)。 2．函数概念最早是由(莱布尼兹)引进的，有了函数概念，人们就可以从(数量上)上确切地描 述运动。 3．单调增加函数的图像特点是(沿 x 轴正向逐渐上升的)。 4．公元 3 世纪中国数学家(刘徽)的割圆术，就用园内接正多边形周长去逼近(圆周长)这一极 限思想来近似地计算(圆周率 ? )的。 5．去心邻域是指(满足不等式的实数 x 的全体)的全体，用数轴表示即为( x ? a ? ? 且x ? a )。6．无穷大的记号( ? )。2 7．函数 y ? 1 ? x 的定义域为( ? 1 ? x ? 1 )。8．定积分?02(t 2 ? t ? 4)dt 的值为( 82 )。 3x 2 的值为( 1 )。 9．极限 lim 4 x?0 sin 2 x10．函数 f ( x) ? ln( ? x 2 ) 的一阶导数为( 12x 1? x2)。三、判断题（在每题的括号内填上是或否，每题 3 分，共 9 分） 1． 若数列 ?an ?单调增加， 则数列 ?an ?存在极限。 （ B ）2．函数 f (x) 在区间有定义，则它在 ?a, b ? 上的极大值必大于它在该区间上的极小值 （B ）3． 反函数的图像对称于直角坐标系的 y 轴。14（ B） 四、计算题（每题 5 分，共 25 分） 1．求 y ? ( x 2 ? e x ) 的二阶导数。 解： y ' ? 2 x ? e xy' ' ? 2 ? e x2．求函数 y ? 解： y ?x 2 ? 1 的反函数。x2 ?1y2 ? x2 ?1 x2 ? y2 ?1x ? ? y2 ?1y ? ? x2 ?1?3．计算( x ?1)? 2x?0 (sin x ? e)dx?1 ? 2x ? ? 解：原式= ? ? cos x ? e ? 2 ? ?0=21 1 ? 2? ? e 2 24．求曲线 y ? x 2 , y ? 2, x ? 0 围成区域绕 y 轴的旋转体体积。解： V ?? ?ydy02??2y22 0? 2?5．利用导数定义求函数 f ( x) ? x 2 的导数。 解：根据导数定义有f ( x ? ?x) ? f ( x ) ?y ? lim ?x ?x ? 0 ?x ?x ? 0 lim现在有 y ? f ( x) ? x 2 ，则15 ?y ( x ? ?x) 2 ? x 2 y' ? f ' ( x) ? lim ? lim ?x ?x ? 0 ?x ?x ?0 ? lim? 2x五、应用题（每题 8 分，共 16 分） 1．某物体作垂直上抛运动，它的位置与时间的关系为 y ? 5t 2 ? 10t ? 27 ，试求2 x?x ? ??x ?2 ?x ?x ?0L ? lim解：将 y ? 5t 2 ? 10t ? 27 代入y (2 ? ?t ) ? y (2) ?t ?t ? 0L ? limy (2 ? ?t ) ? y (2) ?t ?t ? 0? lim[5(2 ? ?t ) 2 ? 10(2 ? ?t ) ? 27 ? 5 ? 2 2 ? 10 ? 2 ? 27 ?t ?t ?0? lim? 3030?t ? 5??t ?2 ?t ?t ? 02．某工厂生产一种玩具的成本为 10 元，若以 x 元价格出售，每天可以卖掉 50 ? x 只，该 厂应如何定价才能获得最大利润？ 解：设利润 y 与价格 x 的函数关系为 y ? ?x ? 10??50 ? x ? ，化简得y ? ? x 2 ? 60x ? 500对 y 求导得 y' ? ?2 x ? 60 令其为零，得 x ? 30 所以，当 x ? 30 时，利润最大。16
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