& 已知椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为1
本题难度：0.60&&题型：综合题
已知椭圆M：2a2+2b2=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为（x-c）2+y2=a2+c2（c为半焦距），直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别为A，B．（1）求椭圆方程和直线方程；（2）试在圆N上求一点P，使=2．
来源：2016o无锡一模 | 【考点】椭圆的简单性质．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“已知椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为（x-c）2+y2=a2+c2（c为半焦距），直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别为A，B．（1）求椭圆方程和直线方程；（2）试在圆N上求一点P，使PBPA=22．”的学库宝（http://www.xuekubao.com/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）先根据题意通过离心率和焦点到准线的距离联立方程求得a和c则b可得进而求得椭圆的方程．利用直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆M和圆N均只有一个公共点可得直线方程（2）由（1）可得A（-115）B（02）利用PBPA=22求出P的轨迹方程与圆N联立可得P的坐标．
【解答】解：（1）由题意有ca=12a2c-c=3解得a=2c=1从而b=3∴椭圆的标准方程为x24+y23=1圆N的方程为（x-1）2+y2=5圆心到直线的距离d=|k+m|k2+1=5①直线l：y=kx+m代入x24+y23=1整理可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0∴△=0可得m2=3+4k2②由①②k＞0可得m=2k=12∴直线方程为y=12x+2（2）由（1）可得A（-115）B（02）设P（xy）则x2+（y-2）2=8（x+1）2+8（y-15）2∴7x2+7y2+16x-20y+22=0与（x-1）2+y2=5联立可得x=-1y=1或x=-913y=1913∴P（-11）或（-913y=1913）．
【考点】椭圆的简单性质．
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知识点讲解
经过分析，习题“已知椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为1”主要考察你对
等考点的理解。
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椭圆的简单性质
椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2当焦点在X轴上时当焦点在Y轴上时1、范围：-a≤x≤a,
-b≤y≤b 知椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中椭圆的对称性2、对称性：从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。3、椭圆的顶点令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。　4、椭圆的离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：[2]离心率对椭圆形状的影响：0<e<11）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆
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（2014o福建模拟）在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（2，0），焦距为2．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过点C（-1，0）且交椭圆Γ于A，B两点，试探究椭圆Γ上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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（Ⅰ）由已知得a=2，，…（2分）因为a2=b2+c2，所以b2=a2-c2=1，…（3分）所以椭圆Γ的方程为&&24+y2＝1；…（4分）（Ⅱ）依题意得：直线y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），假设椭圆Γ上存在点P（x0，y0）使得四边形OAPB为平行四边形，则1+x2＝x0y1+y2＝y0．由24+y2＝1得（1+4k2）x2+8k2x+4（k2-1）=0，…（6分）所以1+x2＝-8k21+4k2，1+y2＝k(x1+x2+2)＝k(-8k21+4k2+2)＝2k1+4k2．…（8分）于是0＝-8k21+4k2y0＝2k1+4k2即点P的坐标为21+4k2，2k1+4k2)．&&&&…（10分）又点P在椭圆上，所以21+4k2)24+(2k1+4k2)2＝1，整理得4k2+1=0，此方程无解．…（11分）故椭圆Γ上不存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．&&…（12分）
为您推荐：
（Ⅰ）椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（2，0），焦距为23，求出a，c，可求b，即可求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）直线y=k（x+1）代入椭圆方程，利用韦达定理，结合椭圆Γ上存在点P（x0，y0）使得四边形OAPB为平行四边形，求出P的坐标，代入椭圆方程，即可得出结论．
本题考点：
直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评：
本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．
扫描下载二维码& 椭圆的简单性质知识点 & “已知椭圆C的方程为x2/a2+y2/b2...”习题详情
93位同学学习过此题，做题成功率70.9%
已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足∠F1MF2=60°，且S△F1MF2=4√33（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，2）分别作直线PA、PB交椭圆C于A、B两点，设PA、PB的斜率分别是k1，k2，且k1+k2=4，求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知椭圆C的方程为x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0），左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足∠F1MF2=60°，且S△F1MF2=4根号3/3（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（...”的分析与解答如下所示：
（1）设|MF1|=m，|MF2|=n，利用余弦定理，结合三角形的面积公式，可求a，结合c，可求b，即可求椭圆C的方程；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合k1+k2=4，可得m=k-2，即可证明直线AB过定点，利用△≥0，求出直线AB的斜率k的取值范围．
（1）解：设|MF1|=m，|MF2|=n，则∵∠F1MF2=60°，且S△F1MF2=4√33，∴16=m2+n2-mn，12mno√32=4√33，∴m+n=4√2，∴2a=4√2，∴a=2√2，∵c=2，∴b=√a2-c2=4，∴椭圆C的方程为x28+y24=1；（2）证明：设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则y=kx+m代入椭圆方程，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，∴x1+x2=-4km2k2+1，x1x2=2m2-82k2+1，∵k1+k2=4，∴kx1+m-2x1+kx2+m-2x2=4，∴m=k-2，∴直线AB的方程为y=kx+k-2，即y=k（x+1）-2，∴直线AB过定点（-1，-2）．∵△=（4km）2-4（2k2+1）（2m2-8）≥0，m=k-2，∴k（7k+4）≥0，∴k≥0或k≤-47．
本题考查椭圆的方程，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于难题．
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已知椭圆C的方程为x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0），左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足∠F1MF2=60°，且S△F1MF2=4根号3/3（1）求椭圆C的方程；（2...
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经过分析，习题“已知椭圆C的方程为x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0），左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足∠F1MF2=60°，且S△F1MF2=4根号3/3（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（...”主要考察你对“椭圆的简单性质”
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椭圆的简单性质
椭圆的简单性质已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是．
与“已知椭圆C的方程为x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0），左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足∠F1MF2=60°，且S△F1MF2=4根号3/3（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（...”相似的题目：
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，其中左焦点F（-2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=x+m与椭圆C交于两个不同的两点A，B，且线段的中点M总在圆x2+y2=1的内部，求实数m的取值范围．
椭圆的一个焦点将长轴分为3：2两段，则椭圆的离心率是&&&&．
设P，Q分别为圆x2+（y-6）2=2和椭圆x210+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）5√2√46+√27+√26√2
“已知椭圆C的方程为x2/a2+y2/b2...”的最新评论
该知识点好题
1（2011o重庆）如图，椭圆的中心为原点0，离心率e=√22，一条准线的方程是x=2√2（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：OP=OM+2ON，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为-12，问：是否存在定点F，使得|PF|与点P到直线l：x=2√10的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由．
2已知椭圆C：x2m2+y2=1 （常数m＞1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为（2，0）（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值；（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围．
3已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=45，则C的离心率e=&&&&．
该知识点易错题
1已知椭圆C：x2m2+y2=1 （常数m＞1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为（2，0）（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值；（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围．
2已知F1，F2为椭圆的焦点，点P为椭圆上任意一点，求证：过点P的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角．
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