【求教】关于主观题部分
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金币1252 枚主题帖子UID289663
该用户从未签到金币1252 枚积分2995 点帖子
请问有经验的大神们，考专业课的时候需要把引用的哪条法律写得清清楚楚吗？比如“根据《合同法》第428条”~~~~需要这样吗？？？主观题的判分标准是什么啊。。。。
金币77 枚主题帖子UID295076
法硕少尉, 积分 226, 距离下一级还需 74 积分
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这个嘛，说实话我也不知道，不过我的感觉是说出根据什么法规定应该就可以了吧。。。
金币1252 枚主题帖子UID289663
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王豹 发表于
这个嘛，说实话我也不知道，不过我的感觉是说出根据什么法规定应该就可以了吧。。。
可是所有练习题上的标准答案都是很具体的法条啊。。。。
金币286 枚主题帖子UID123497
该用户从未签到金币286 枚积分559 点帖子
可能的话，尽量用分析上的原文
练习题的标准答案没什么意义，看真题的标准答案吧
失败者总能找出无数理由，但历史由胜利者书写
金币2538 枚主题帖子UID223353
法硕上将, 积分 6730, 距离下一级还需 1270 积分
该用户从未签到金币2538 枚积分6730 点帖子
不需要；。开玩笑。你可以听听介绍主观题解答的录音。
不需要详细列举那条发条的
想要放弃的时候，想想当初是因为什么才让自己坚持到现在。
金币267 枚主题帖子UID296482
法硕上尉, 积分 752, 距离下一级还需 48 积分
该用户从未签到金币267 枚积分752 点帖子
战友，这个问题我以前也想过！我知道你要问的是需不需要直接具体到：XXX条，其实是完全没有必要的！！！你只需写明刑法相关法条规定：然后写刑法内容就好了！
这样的话即使你的法条有部分字眼不对也不会影响得分~！
但是假如你写着：第28条规定，结果其实是29条，那你说阅卷老师要给你分呢，还是不给呢？在者一旦你写出了第几条，就要开始复述刑法条文了，这个就需只字不差了！这样的挑战实在太大了！！！！！
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史上最全！商用车悬架系统详细讲解
史上最全！商用车悬架系统详细讲解
悬架系统简介　　
　　汽车悬架是汽车中弹性连接车架与车轴的装置。它一般由弹性元件、导向机构、减震器等部件构成，主要任务是缓和由不平路面传给车架的冲击，以提高乘车的舒适性。
　　车辆用悬架根据连接的桥及位置不同，分为前悬架和后悬架。
& & & 前悬架
　　前悬架是同前桥连接的悬架。主要由钢板弹簧、减振器、横向稳定杆、缓冲块等零部件组成，又分为单前桥用前悬架和双前桥用前悬架两种。
　　1.单前桥用前悬架，多用于4×2、6×4车型。
　　2.双前桥用前悬架，应用于6×2、8×4、8×2等车型。
& & &后悬架
　　1.单后驱动桥用的后悬架：主要由钢板弹簧、减振器、横向稳定杆、缓冲块等部件组成。单后驱动桥用的后悬架，多用于4×2、8×2、6×2等车型。
　　2.双后驱动桥用悬架，由钢板弹簧、平衡轴总成、推力杆、缓冲块等组成。双后驱动桥用悬架，多应用于6×4、8×4等车型。
悬架系统种类
　　悬架按结构不同，分为钢板弹簧悬架、空气悬架、随动(浮动)桥用空气悬架、橡胶悬架以及油气悬架。
钢板弹簧悬架
　　钢板弹簧定义
　　钢板弹簧(Leaf Spring) 钢板弹簧是汽车悬架中应用最广泛的一种弹性元件，它是由若干片等宽但不等长(厚度可以相等，也可以不相等)的合金弹簧片组合而成的一根近似等强度的弹性梁。
　　当钢板弹簧安装在汽车悬架中，所承受的垂直载荷为正向时，各弹簧片都受力变形，有向上拱弯的趋势。这时，车桥和车架便相互靠近。当车桥与车架互相远离时，钢板弹簧所受的正向垂直载荷和变形便逐渐减小，有时甚至会反向。
　　主片卷耳受力严重，是薄弱处，为改善主片卷耳的受力情况，常将第二片末端也弯成卷耳，包在主片卷耳的外面，称为包耳。为了使得在弹性变形时各片有相对滑动的可能，在主片卷耳与第二片包耳之间留有较大的空隙。有些悬架中的钢板弹簧两端不做成卷耳，而采用其他的支撑连接方式，如橡胶支撑垫。
　　钢板弹簧结构原理详细讲解
　　扁平长方形的钢板呈弯曲形，以数片叠成的底盘用弹簧，一端以梢子安装在吊架上，另一端使用吊耳连接到大梁上，使弹簧能伸缩。目前适用于中大型的货卡车上。
　　优缺点
　　钢板弹簧的优点是结构简单，工作可靠，成本低廉，维修方便。它既是悬架的弹性元件，又是悬架的导向装置。它的一端与车架铰接，可以传递各种力和力矩，并决定车轮的跳动轨迹。同时，它本身也有一定的摩擦减震作用。一举三得，所以广泛用于非独立悬架上。
　　它的缺点是只能用于非独立悬架，重量较重，刚度大，舒适性差，纵向尺寸较长，不利于缩短汽车的前悬和后悬，与车架连接处的钢板弹簧销容易磨损等。
　　尽管缺点不少，但钢板弹簧至今仍在各种汽车上大量使用。为了改进钢板弹簧的性能，减轻重量，提高寿命，出现了变截面钢板弹簧、单片弹簧等。
　　钢板弹簧悬架具体可分为多片钢板弹簧、少片钢板弹簧悬架。
　　1.多片钢板弹簧悬架
　　(1)优点：结构简单，成本低，工作可靠。
　　(2)缺点：自重大，增大了整车的质量；平顺性，布置空间大。
　　(3)适用车型：重载车型。
　　2.少片钢板弹簧悬架为纵置少片钢板弹簧，双向筒式液压减振器；横向稳定杆；缓冲块等零部件构成，同多片钢板弹簧悬架的构成基本一样。
　　(1)优点：前悬架采用少片簧，少片簧具有等应力、片间摩擦小的特性，减轻了整车的质量，满足了车辆轻量化的趋势；提高了整车平顺性与驾驶员的舒适性；减轻噪声。
　　(2)缺点：加工变截面少片簧要求工业水平高。
　　(3)适用车型：轻载车型。
　　空气悬架从十九世纪中期诞生以来，经历了一个世纪的发展，经历了“气动弹簧-气囊复合式悬架→半主动空气悬架→中央充放气悬架（即ECAS电控空气悬架系统）”等多种变化型式。到二十世纪五十年代才被应用在载重车、大客车、小轿车及铁道汽车上。
　　瀚瑞森各类空气悬挂结构剖析
　　目前国外高级大客车几乎全部使用空气悬架,重型载货车使用空气悬架的比例已达80%以上，空气悬架在轻型汽车上的应用量也在迅速上升。部分轿车也逐渐安装使用空气悬架，在一些特种车辆（如对防震要求较高的仪表车、救护车、特种军用车及要求的集装箱运输车等）上，空气悬架的使用几乎为唯一选择。
　　而我国仍处于起步阶段，空气悬架系统只应用在一些豪华客车和少部分重型货车和挂车上。
　　空气悬架的结构
　　前、后悬架由空气气囊、高度阀、双向筒式液压减振器、横向稳定杆、缓冲块等部件构成。
　　1.优点：悬架采用了空气悬架系统，自重轻，提高了整车承载能力；提供卓越的平顺性、操纵稳定性，更有效地保护货物；横向稳定杆则保证里高稳定性和抗倾覆性；高强度、高质量的零部件延长了使用寿命，提高了整车的性能，减少了维修成本，减少了对路面的冲击力，延长了路面寿命。
　　2.缺点：成本高。
　　BPW挂车空气悬挂运动展示
& & & 随动(浮动)桥用空气悬架
　　随动(浮动)桥用空气悬架由承载气囊、提升气囊、转向阻尼器、推力杆、横拉杆等零部件构成。
　　1.优点：提升随动桥加大了整车的承载能力、可减少轮胎磨损和轮胎的阻力，结构紧凑，自重轻，适应计重收费的要求。重载时将桥放下，增加承载桥的数量；轻载时将桥提升，减少磨损和阻力。
　　2.缺点：成本增加。相比传统悬架，由于空气式可调悬架结构较为复杂，其出现故障的几率和频率也会高于螺旋弹簧悬架系统，而用空气作为调整底盘高度的动力来源，相关部件的密封性也是一个问题，另外，如果频繁地调整底盘高度，还有可能造成气泵系统局部过热，会大大缩短气泵的使用寿命。
　　3.适应车型：6×2、10×4等。
& & &&橡胶悬架
　　一种新兴的弹性元件组成的悬架系统——橡胶悬架开始被广泛关注起来。橡胶悬架，顾名思义，其弹性元件为橡胶，工作原理与发动机悬置相似，整个悬架具有强大的承载能力, 无噪声、免维护，运营成本更低。
　　不过由于橡胶悬架系统中的均衡梁、鞍座均为铸件，且结构复杂，尺寸较大，在汽车铸造件中较为罕见，工艺性不好，生产较为困难。
　　橡胶悬挂由鞍座支架总成、橡胶弹簧、辅助弹簧、均衡梁、减振器、 V形反作用杆等零部件构成。系统通过螺栓与车架连接，并通过均衡梁与中后桥相连，导向和传力作用的V形反作用杆将桥和车架的连接起来。
　　1.结构简单：
　　橡胶悬架结构简单，便于安装，减少装配时间，提高工作效率，从而降低了成本，增加了效益。
　　2.自重轻：
　　由于橡胶悬架自重轻，因此可以多承载更多的货物，提高了经济效益。
　　由于橡胶悬架自重轻，在空载下行驶，提高燃油经济性，降低了油耗，降低了用户的费用，提高了经济消息。
　　3.无需润滑：
　　橡胶悬架具有免维护，免润滑的特点（实际上几个拉臂还是要打润滑脂的），也为用户带来了更好的经济效益，为用户节省了费用，也节省了时间，增加了出车的时间，增加了经济效益。
　　4.具有良好的通过性：
　　橡胶悬架具有良好的通过性，可以有效的减少轮胎的磨损，提高了轮胎的使用寿命，降低了维修成本，节约了维修费用，从而为用户带来了良好的经济效益。
　　5.具有良好的舒适性：
　　橡胶悬架具有变刚度的特点，无论在车辆的空载状态，还是在满载状态，都能为车辆提供良好的舒适性，最大程度的减轻由不平路面引起的振动，减轻了驾驶员的疲劳，保护了车辆部件及货物的完整性，提高了车载部件的寿命。
　　6.弹性元件的损坏，不会影响整车的行使：
　　使用传统板簧结构时，一旦板簧损坏，整车则无法行驶，只能更换新的板簧。而装配橡胶悬架的车辆，如果车辆行驶过程中弹性元件损坏，不会影响整车的行驶，可以将货物送到目的地后，再实施更换，有效的避免了用户的直接或间接损失。
　　7.可大大降低轮胎的磨损：
　　车辆行驶过程中轮胎的跳动会引起轮胎的磨损，由于橡胶悬架大大改善了行驶的平顺性，可以大大减少轮胎的磨损。
　　油气悬架
　　油气悬架可能还有很多人没听说过，它是一种采用油气弹簧的悬架装置。我们的微信之前详细介绍过油气悬架的结构与原理，在这里就不再重复赘述，想要了解的读者可以点击此链接查阅：油气悬架还没有听说过？！快来补补课吧
　　其他悬架部件
　　改变振源干扰力或系统的传递特性，使振动减小的装置。
　　Oscillating damper减震器为加速车架与车身振动的衰减，以改善汽车的行驶平顺性(舒适性)，在大多数汽车的悬架系统内部装有减震器。
　　减振器类型
　　减震器从产生阻尼的材料这个角度划分主要有液压和充气两种，还有一种可变阻尼的减震器。
　　液压式减震器
　　汽车悬架系统中广泛采用液力减震器。其原理是，当车架与车桥做往复相对运动儿活塞在减震器的缸筒内往复移动时，减震器壳体内的油液便反复地从内腔通过一些窄小的孔隙流入另一内腔。此时，液体与内壁的摩擦及液体分子的内摩擦便形成对振动的阻尼力。
　　充气式减震器
　　充气式减震器是60年代以来发展起来的一种新型减震器。其结构特点是在缸筒的下部装有一个浮动活塞，在浮动活塞与缸筒一端形成的一个密闭气室种充有高压氮气。在浮动活塞上装有大断面的O型密封圈，它把油和气完全分开。工作活塞上装有随其运动速度大小而改变通道截面积的压缩阀和伸张阀。当车轮上下跳动时，减震器的工作活塞在油液种做往复运动，使工作活塞的上腔和下腔之间产生油压差，压力油便推开压缩阀和伸张阀而来回流动。由于阀对压力油产生较大的阻尼力，使振动衰减。
横向稳定杆
　　横向稳定杆(sway bar, anti-roll bar, stabilizer bar)，又称防倾杆，是汽车悬架中的一种辅助弹性元件。它的作用是防止车身在转弯时发生过大的横向侧倾。目的是防止汽车横向倾翻和改善平顺性。 横向稳定杆是用弹簧钢制成的扭杆弹簧，形状呈“U”形，横置在汽车的前端和后端。杆身的中部，用套筒与车架铰接，杆的两端分别固定在左右悬架上。当车身只作垂直运动时，两侧悬架变形相同，横向稳定杆不起作用。当车身侧倾时，两侧悬架跳动不一致，横向稳定杆发生扭转，杆身的弹力成为继续侧倾的阻力，起到横向稳定的作用。
　　工作原理
　　当车身只作垂直移动而两恻悬架变形相等时，横向稳定杆在套筒内自由转动，横向稳定杆不起作用。当两侧悬架变形不等而车身对于路面横向倾斜时，车架的一侧移近弹簧支座，稳定杆的该侧末端就相对于车架向上移，而车架的另一侧远离弹簧支座，相应的稳定杆的末端则相对于车架向下移，然而在车身和车架倾斜时，横向稳定杆的中部对于车架并无相对运动。这样在车身倾斜时，稳定杆两边的纵向部分向不同方向偏转，于是稳定杆便被扭转。弹性的稳定杆所产生的扭转的内力矩就妨碍了悬架弹簧的变形，因而减小了车身的横向倾斜和横向角振动。
　　影响因素
　　悬架的侧倾角度是影响汽车静态侧倾稳定性的主要因素之一，且直接影响到汽车操纵稳定性的其他一些性能指标，如不足转向度、中性转向点和侧向加速度等。为加大悬架的侧倾角刚度，现在汽车大多数装有横向稳定杆。
　　对于横向稳定杆，首先，与操作稳定性直接相关的设计指标是它在车轮处的等效侧倾角刚度，二部是其本身的侧倾角刚度；其次，稳定杆的设计必须满足强度要求；第三，应尽量减轻稳定杆的质量。
　　平衡轴作用
　　平衡轴可以使后桥、中后桥能够均匀承载，承载大，工作可靠。
　　我们可以把平衡轴看做一跷跷板。平衡轴支架上在大架子上，看做为跷跷板的支撑点。平衡轴壳通过轴承装平衡轴支架上，可绕平衡轴支架转动。钢板装在平衡轴壳上，通过骑马螺栓固定在壳上。
　　钢板可看做跷跷板的板。钢板的两端，通过橡胶支座（弹性连接）嫁在两个桥壳的一端。钢板和桥壳之间没有硬性的固定，可做微小的纵向滑动，加上橡胶支座的纵向变形。桥壳的一端就可看做可爱的小屁孩挂在橡胶支座下，一上一下。
　　平衡轴的作用就是能使轮胎轻松的翘起，有大幅度的动作，而不影响其他三边轮胎。归根结底，就是能使钢板两端的变形相互相应，从而更好的吸收震动。
　　平衡轴有断开式平衡轴，还有整体式的。整体式的是钢板座代替的橡胶支座，硬性接触。
　　钢板作用
　　1、上装的重量嫁接给桥壳（再到轮胎）
　　2、通过变形，吸收来自轮胎的震动。路况造成轮胎大幅度的震动，上下颠簸，通过钢板变形，把震动减弱，不至于全部上传到大架子。其实钢板承受的是扭矩，举例，如果把中桥一端的起，会变形向上、还有向内的力。轮胎继续抬，相应这端的钢板继续变形向上，另一端变形向下，平衡轴壳绕着支架转动。
　　反作用平衡杆也就是我们通常所说的推力杆，推力杆的作用是防止桥移位的，一般的直推力杆只能防止中后桥前后移位，而V型推力杆除了可以防止中后桥前后移位，还可以防止左右移位，因为在汽车转弯时，中后桥可能会产生左右移位的问题。推力杆连接车架与车桥，传递之间的纵向力。
记者：综合报道&责任编辑：张小采
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本帖最后由 magic_yuan 于
15:27 编辑
各位大神，
&&近来看了个墙体探测仪，可以探测出几十厘米以内墙体的木头，水管。
&&拆开电路一看，传感器部分就是几片铜片，内部电池供电。
&&好像原理是这样的：当探测仪（内部的铜片）靠近木头时感应电容加大，从而探测出来。而当置于空气中时感应电容没有发生明显变化。& &相当于就是浮空的电池系统中伸出一铜片，当空气介质时测试到一种现象，当为木头介质时又测试到另一种现象。
&&问题：电容一般都是有两极才构成电容，但这个仪器里电容只有一极了，因为电池供电，系统都是悬空的。不知道这是什么原理？
&&十分感谢！
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“传感器部分就是几片铜片”
“但这个仪器里电容只有一极了”
你这两句话互相矛盾。
楼主搜下原来做中波收音机调试天线用的“铜铁测试棒”看看。
“铜片”未必就是电容，建议查看相关产品的具体技术资料（譬如相关的技术指标），或许可以分析出点头绪。
不是，是用来调中波磁棒天线的，铁和铜一个加大天线感量，一个减小天线感量，你可以理解为改变了电感的铁芯。 ...
“传感器部分就是几片铜片”
“但这个仪器里电容只有一极了”
你这两句话互相矛盾。
楼主搜下原来做中波收音机调试天线用的“铜铁测试棒”看看。
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楼主搜下原来做中波收音机调试天线用的“铜铁测试棒”看看。
铜铁测试棒---用来接收无线信号的？
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“铜片”未必就是电容，建议查看相关产品的具体技术资料（譬如相关的技术指标），或许可以分析出点头绪。
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“铜片”未必就是电容，建议查看相关产品的具体技术资料（譬如相关的技术指标），或许可以分析出点头绪。
相当于就是浮空的电池系统中伸出一铜片，当空气介质时测试到一种现象，当为木头介质时又测试到另一种现象。
铜铁测试棒---用来接收无线信号的？
不是，是用来调中波磁棒天线的，铁和铜一个加大天线感量，一个减小天线感量，你可以理解为改变了电感的铁芯。
贴个图出来大家分析一下
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感觉LZ说的和现在手机的电容屏差不多。
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作 者：韩 昊
知 乎：Heinrich
微 博：@花生油工人
知乎专栏：与时间无关的故事
谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
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作 者：韩 昊知 乎：Heinrich微 博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事&谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。&转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。&——更新于，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————
我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是 2012 年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……
这篇文章的核心思想就是：
要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————
下面进入正题：
抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……
一、什么是频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
好的！下课，同学们再见。
是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。
将以上两图简化：
在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。
抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。
而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。
二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱
还是举个栗子并且有图有真相才好理解。
如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：
第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos（x）
第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)
第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加
第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加
随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？
（只要努力，弯的都能掰直！）
随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）
不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：
在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为 0 的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。
这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。
好了，关键的地方来了！！
如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。
对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。
（好吧，数学称法为——基。在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解释，后面还有正交基这样的词汇我会说吗?）
时域的基本单元就是“1 秒”，如果我们将一个角频率为的正弦波 cos（t）看作基础，那么频域的基本单元就是。
有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆
想看动图的同学请戳这里：
以及这里：
点出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 写的哪有这里的文章这么没节操是不是。
介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：
这是什么奇怪的东西？
这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——
再清楚一点：
可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。
动图请戳：
老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。
但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？
我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……
三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱
上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。
在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。
先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：
先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。
好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。
别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？
好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。
但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。
所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。
再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。
傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。
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下面我们继续说相位谱：
通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用7个波叠加的图。
鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。
这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。
在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话，可以告诉她：“对不起，我只是想看看你的相位谱。”
注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。
最后来一张大集合：
四、傅里叶变换（Fourier Tranformation）
相信通过前面三章，大家对频域以及傅里叶级数都有了一个全新的认识。但是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过，这个栗子是一个公式错误，但是概念典型的例子。所谓的公式错误在哪里呢？
傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾经在学数字信号处理的时候写过一首打油诗：
往昔连续非周期，
回忆周期不连续，
任你ZT、DFT，
还原不回去。
（请无视我渣一样的文学水平……）
在这个世界上，有的事情一期一会，永不再来，并且时间始终不曾停息地将那些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。但是这些事情往往又成为了我们格外宝贵的回忆，在我们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来一下，可惜这些回忆都是零散的片段，往往只有最幸福的回忆，而平淡的回忆则逐渐被我们忘却。因为，往昔是一个连续的非周期信号，而回忆是一个周期离散信号。
是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢？抱歉，真没有。
比如傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴，实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。
而在我们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。
算了，还是上一张图方便大家理解吧：
或者我们也可以换一个角度理解：傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。
所以说，钢琴谱其实并非一个连续的频谱，而是很多在时间上离散的频率，但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。
因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？
你见过大海么？
为了方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向看。
以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？
尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……
直到变得像波涛起伏的大海：
很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到，我没有选用正确的计算参数，而是选择了一些让图片更美观的参数，不然这图看起来就像屎一样了。
不过通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。
不过，这个故事还没有讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片，但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是——
五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式
虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意义是什么呢?
这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以 3 的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1 的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。
我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。
同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。
现在，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——
这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。
经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数 1 和0，虚数i还有圆周率 pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“
这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：
欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。
关于复数更深的理解，大家可以参考：
这里不需要讲的太复杂，足够让大家理解后面的内容就可以了。
六、指数形式的傅里叶变换
有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？
高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：
所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。
但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。
这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：
第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。
另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：
将以上两式相加再除2，得到：
这个式子可以怎么理解呢？
我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！
举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。
这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。
好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：
想象一下再往下翻：
是不是很漂亮？
你猜猜，这个图形在时域是什么样子？
哈哈，是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。
顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观看，我仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。
如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。
好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下：
好了，傅里叶的故事终于讲完了，下面来讲讲我的故事：
这篇文章第一次被卸下来的地方你们绝对猜不到在哪，是在一张高数考试的卷子上。当时为了刷分，我重修了高数（上），但是后来时间紧压根没复习，所以我就抱着裸考的心态去了考场。但是到了考场我突然意识到，无论如何我都不会比上次考的更好了，所以干脆写一些自己对于数学的想法吧。于是用了一个小时左右的时间在试卷上洋洋洒洒写了本文的第一草稿。
你们猜我的了多少分？
没错，就是这个数字。而这 6 分的成绩是因为最后我实在无聊，把选择题全部填上了C，应该是中了两道，得到了这宝贵的 6 分。说真的，我很希望那张卷子还在，但是应该不太可能了。
那么你们猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢？
没错，刚刚够参加补考的。但是我心一横没去考，决定重修。因为那个学期在忙其他事情，学习真的就抛在脑后了。但是我知道这是一门很重要的课，无论如何我要吃透它。说真的，信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础，尤其是通信专业。
在重修的过程中，我仔细分析了每一个公式，试图给这个公式以一个直观的理解。虽然我知道对于研究数学的人来说，这样的学习方法完全没有前途可言，因为随着概念愈加抽象，维度越来越高，这种图像或者模型理解法将完全丧失作用。但是对于一个工科生来说，足够了。
后来来了德国，这边学校要求我重修信号与系统时，我彻底无语了。但是没办法，德国人有时对中国人就是有种藐视，觉得你的教育不靠谱。所以没办法，再来一遍吧。
这次，我考了满分，而及格率只有一半。
老实说，数学工具对于工科生和对于理科生来说，意义是完全不同的。工科生只要理解了，会用，会查，就足够了。但是很多高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题，数学老师讲得天花乱坠，又是推理又是证明，但是学生心里就只有一句话：学这货到底干嘛用的？
缺少了目标的教育是彻底的失败。
在开始学习一门数学工具的时候，学生完全不知道这个工具的作用，现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂，定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了！
好在我很幸运，遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索，一条从上而下，一条从下而上。先将本门课程的意义，然后指出这门课程中会遇到哪样的问题，让学生知道自己学习的某种知识在现实中扮演的角色。然后再从基础讲起，梳理知识树，直到延伸到另一条线索中提出的问题，完美的衔接在一起！
这样的教学模式，我想才是大学里应该出现的。
最后，写给所有给我点赞并留言的同学。真的谢谢大家的支持，也很抱歉不能一一回复。因为知乎专栏的留言要逐次加载，为了看到最后一条要点很多次加载。当然我都坚持看完了，只是没办法一一回复。
本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法，对于求学，还是要踏踏实实弄清楚公式和概念，学习，真的没有捷径。但至少通过本文，我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。
最后，祝大家都能在学习中找到乐趣…
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写的确实不错，原作者真的是用心了。连画的图都是自己画的，有自己的独特分析。好！
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