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求两圆的外公切线方程及切点
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两圆的方程分别是\[\left(x-a_1\right){}^2+\left(y-b_1\right){}^2=r_1^2\] \[\left(x-a_2\right){}^2+\left(y-b_2\right){}^2=r_2^2\]
尽可能用含`a_1,b_1,r_1, a_2,b_2,r2`的式子表示
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1）已知两个圆心$O_1,O_2$的坐标，那么过这两个圆心的距离$r=\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2}$，以及直线的方程$C$可以得知。
2）已知两个圆心的半径，那么两个公切点的距离$d$可以求得 $d=\sqrt{r^2+(r_1-r_2)^2}$。
假设$r_1&r_2$,那么公切线的方程相当于 直线$C$绕$O_1$逆时针旋转$\arcsin(\frac{r_2-r_1}{r})$，再沿法向方向(外侧，内侧) 分别平移 $r_1$个单位即可
切点的坐标 同理，可通过旋转求得。
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在其中一个圆上选一个点为反演中心，反演之后一个圆变成了直线，另外一个圆还是圆，作直线和圆的公切圆，其方程也不难求得，然后再反演回来。
（这大概也是尺规作图的步骤吧，反演尺规作图可以实现）
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直接设公切线方程为：
\[y=kx-b\]
与第一个圆 \((x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r_1^2\)相切的条件为：
\[k^2r_1^2-k^2a_1^2+2bka_1+2ka_1b_1-b^2-2bb_1+r_1^2-b_1^2=0\]
与第二个圆 \((x-a_2)^2+(y-b_2)^2=r_2^2\)相切的条件为：
\[k^2r_2^2-k^2a_2^2+2bka_2+2ka_2b_2-b^2-2bb_2+r_2^2-b_2^2=0\]
将上面两个相切条件消元得到：
两圆的公内切线：
\[(b_2+r_1-b_1+r_2)(-b_2+r_1+b_1+r_2)+(2(b_1-b_2))(a_1-a_2)k+(a_2+r_1-a_1+r_2)(-a_2+r_1+a_1+r_2)k^2=0\]
\[r_1^2a_2^2+r_1^2b_2^2+2r_1r_2a_1a_2+2r_1r_2b_1b_2+r_2^2a_1^2+r_2^2b_1^2-a_1^2b_2^2+2a_1a_2b_1b_2-a_2^2b_1^2+(2r_1^2b_2+2r_1r_2b_1+2r_1r_2b_2+2r_2^2b_1-2a_1^2b_2+2a_1a_2b_1+2a_1a_2b_2-2a_2^2b_1)b+(a_2+r_1-a_1+r_2)(-a_2+r_1+a_1+r_2)b^2=0\]
两圆的公外切线：
\[(b_2+r_1-b_1-r_2)(-b_2+r_1+b_1-r_2)+(2(b_1-b_2))(a_1-a_2)k+(-a_2+a_1+r_1-r_2)(a_2-a_1+r_1-r_2)k^2=0\]
\[ r_1^2a_2^2+r_1^2b_2^2-2r_1r_2a_1a_2-2r_1r_2b_1b_2+r_2^2a_1^2+r_2^2b_1^2-a_1^2b_2^2+2a_1a_2b_1b_2-a_2^2b_1^2+(2r_1^2b_2-2r_1r_2b_1-2r_1r_2b_2+2r_2^2b_1-2a_1^2b_2+2a_1a_2b_1+2a_1a_2b_2-2a_2^2b_1)b+(-a_2+a_1+r_1-r_2)(a_2-a_1+r_1-r_2)b^2=0\]
注意：由于每个\(k\)和\(b\)均有两个根，分别取同大或者同小取得两组\(\{k,b\}\)即可。
至于切点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)，只需将每组\(\{k,b\}\)代入下式计算：
\[x_1=\frac{a_1+(b+b_1)k}{1+k^2},y_1=kx_1-b\]
\[x_2=\frac{a_2+(b+b_2)k}{1+k^2},y_2=kx_2-b\]
同样的方法，也可以求：两球的公切圆锥面&
我指的是切线斜率可能不存在&
不需要分类讨论，只需要b,k同取大根和同取小根即可，当然可以直接用求根公式表示出来。&
这种设法貌似要分类讨论&
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搜到一个不错的链接(不过文章中的公式某个符号好像写错了)，可以用Mathematica验证：
Manipulate[
Block[{deta, p1, p2, q, a1, b1, a2, b2, line1, line2},
&&{{a1, b1}, {a2, b2}} =
&&deta = (a1 - a2)^2 + (b1 - b2)^2 - (r1 - r2)^2;
&&p1 = r1 (a2^2 + b2^2 - a1 a2 - b1 b2);
&&p2 = r2 (a1^2 + b1^2 - a1 a2 - b1 b2);
&&q = a1 b2 - a2 b1;
&&line1 = ((a2 - a1) (r1 - r2)+(b1 - b2) Sqrt[deta]) x + ((b2 - b1) (r1 - r2) + (a2 - a1) Sqrt[deta]) y - p1 - p2 + q Sqrt[deta]==0;
&&line2 = ((a2 - a1) (r1 - r2)-(b1 - b2) Sqrt[deta]) x + ((b2 - b1) (r1 - r2) - (a2 - a1) Sqrt[deta]) y - p1 - p2 - q Sqrt[deta]==0;
&&Show[Graphics[{Circle[{a1, b1}, r1], Circle[{a2, b2}, r2]},
& & PlotRange -& 6, Frame -& 1],
& &ContourPlot[Evaluate@{line1, line2}, {x, -9, 9}, {y, -9, 9}]]
&&], {{p, {{-3, 1}, {3, 0}}}, Locator}, {{r1, 1}, 1, 3}, {{r2, 2}, 1,
&&3}]复制代码
已更新，内外公切线都有了
Manipulate[
Block[{deta1, deta2, p1, p2, q, a1, b1, a2, b2, outerLine1,
& &outerLine2, innerLine1, innerLine2},
&&{{a1, b1}, {a2, b2}} =
&&deta1 = (a1 - a2)^2 + (b1 - b2)^2 - (r1 + r2)^2;
&&deta2 = (a1 - a2)^2 + (b1 - b2)^2 - (r1 - r2)^2;
&&p1 = r1 (a2^2 + b2^2 - a1 a2 - b1 b2);
&&p2 = r2 (a1^2 + b1^2 - a1 a2 - b1 b2);
&&q = a1 b2 - a2 b1;
&&innerLine1 = ((a2 - a1) (r1 + r2) + (b1 - b2) Sqrt[
& && && &deta1]) x + ((b2 - b1) (r1 + r2) + (a2 - a1) Sqrt[deta1]) y -
& && &p1 + p2 + q Sqrt[deta1] == 0;
&&innerLine2 = ((a2 - a1) (r1 + r2) - (b1 - b2) Sqrt[
& && && &deta1]) x + ((b2 - b1) (r1 + r2) - (a2 - a1) Sqrt[deta1]) y -
& && &p1 + p2 - q Sqrt[deta1] == 0;
&&outerLine1 = ((a2 - a1) (r1 - r2) + (b1 - b2) Sqrt[
& && && &deta2]) x + ((b2 - b1) (r1 - r2) + (a2 - a1) Sqrt[deta2]) y -
& && &p1 - p2 + q Sqrt[deta2] == 0;
&&outerLine2 = ((a2 - a1) (r1 - r2) - (b1 - b2) Sqrt[
& && && &deta2]) x + ((b2 - b1) (r1 - r2) - (a2 - a1) Sqrt[deta2]) y -
& && &p1 - p2 - q Sqrt[deta2] == 0;
&&Show[Graphics[{Circle[{a1, b1}, r1], Circle[{a2, b2}, r2]},&&PlotRange -& 6, Frame -& 1],
& &ContourPlot[ Evaluate@{outerLine1, outerLine2, innerLine1, innerLine2}, {x, -5,5}, {y, -5, 5}]]
&&], {{p, {{-3, 1}, {3, 0}}}, Locator}, {{r1, 1}, 1, 3}, {{r2, 2}, 1,
&&3}]复制代码
_220233.png (17.1 KB, 下载次数: 31)
22:02 上传
你这里只求出了外切线方程，内切线方程好像要修改一下，并且切点坐标也没有给出哈。&
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楼主或许应该讲明白，到底是想要结果，还是想要方法。
还有一点，尽可能使列出的方程适合Mathematica、Maple等求解&
都想啊，有点贪心(^o^)，主要想找一个计算量不大、不用分类讨论的方法&
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设公切线与两圆的切点分别是：\((a_1+r_1\cos\theta, b_1+r_1\sin\theta)\)和\((a_2+r_2\cos\theta, b_2+r_2\sin\theta)\), 那么公切线的斜率就是\(-\cot\theta\), 公切线方程就是
\[(x-a_1)\cos\theta+(y-b_1)\sin\theta-r_1=0\]为了消去参数，与\[(a_2-a_1)\cos\theta+(b_2-b_1)\sin\theta+(r_2-r_1)=0\]联立消去 `\theta` 即可得到公切线方程。`r_1, r_2`可正可负，正负4种组合即得4条公切线方程。
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用Mathematica10试了一下楼上的方法,直接带三角函数消元不行，也许另有命令？我用X,Y 代替余弦和正弦，加了一个方程X^2+Y^2=1, 消元成功。
Manipulate[
Block[{a1, b1, a2, b2, CommonTangents}, {{a1, b1}, {a2, b2}} =
&&CommonTangents[r2_]:=Eliminate[{x X + y Y == a1 X + b1 Y + r1 == a2 X + b2 Y + r2, X^2 + Y^2 == 1}, {X, Y}];
&&Show[Graphics[{Circle[{a1, b1}, r1], Circle[{a2, b2}, r2]}, PlotRange -& 6, Frame -& 1],
&&ContourPlot[Evaluate@(CommonTangents/@{r2,-r2}), {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]]],
{{p, {{-3, 1}, {3, 0}}}, Locator}, {{r1, 1}, 1,3}, {{r2, 2}, 1, 3}]复制代码
楼上的用来消元的两个等式可以简写为一个连等式： \(x\cos\theta+y\sin\theta=a_1\cos\theta+b_1\sin\theta+r_1=a_2\cos\theta+b_2\sin\theta+r_2\)
从中消元得到的实际上是一条退化的二次曲线，包含两条公切线。 r1,r2同号时为两条外公切线，异号时为两条内公切线。
这个可以三角消元啊，不过Mathematica确实更擅长多项式消元&
要注意身体哈！&
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外公切线倾斜角=圆心连线倾斜角±反正切(半径差/圆心距离)
代入7#公式
内公切线倾斜角=圆心连线倾斜角±反正切(半径和/圆心距离)
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设切线方程为\(a x+b y+1=0\)，根据点到直线距离公式得
GroebnerBasis[{(a a1 + b b1 + 1)^2 ==&&r1^2 (a^2 + b^2), (a a2 + b b2 + 1)^2 == r2^2 (a^2 + b^2),&&a x + b y + 1 == 0},
{a, b}][[1]] // Factor // FullSimplify[#, ComplexityFunction -& LeafCount] &复制代码
结果\(\left(r_1^2 \left(\left(x-a_2\right){}^2+\left(y-b_2\right){}^2\right)-2 r_2 r_1 \left(\left(x-a_1\right) \left(x-a_2\right)+\left(y-b_1\right) \left(y-b_2\right)\right)+r_2^2 \left(\left(x-a_1\right){}^2+\left(y-b_1\right){}^2\right)-\left(a_1 y-a_1 b_2-a_2 y-x b_1+a_2 b_1+x b_2\right){}^2\right) \left(r_2^2 \left(\left(x-a_1\right){}^2+\left(y-b_1\right){}^2\right)+2 r_1 r_2 \left(\left(x-a_1\right) \left(x-a_2\right)+\left(y-b_1\right) \left(y-b_2\right)\right)+\text{r1}^2 \left(\left(x-a_2\right){}^2+\left(y-b_2\right){}^2\right)-\left(a_1 y-a_1 b_2-a_2 y-x b_1+a_2 b_1+x b_2\right){}^2\right)\)
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@quailty 不知道本吧谁尺规作图最厉害，就找你了！
比方说..作连心线上分比半径比的点,然作做切线..听不懂?看下边..作平行的半径O1A1和O2A2,且A1和A2在O1O2异侧.过A1A2和O1O2的交点作切线.ps."异侧"改成"同侧"的话,就成外公切线了..
我知道一种……下面分几楼发吧……首先这里是两个给定的圆【圆心很容易可以找到】
作一个与大圆同心，半径与小圆半径相等的圆，截取得到粗线段长【这是两圆半径的差】
以粗线段长为半径，作一个与大圆同心的圆
【糟了当作外公切线了，算了还是继续吧】以连心线为直径作圆【这只需要找出连心线的中点，而这是容易的】，与粗线小圆交于两点。
连接大圆圆心与之前得到的两个交点并延长，得到公切线与大圆的交点，再做平行于小圆圆心与之前得到的交点连线的直线即可。
【如果是内公切线，只需要更改一步】任取一圆，以圆上一点为圆心，作与另一圆半径相同的圆，作连心线，交于新作圆上一点，得到粗线段【事实上，粗线段长是两圆半径之和】
再作一个同心圆，下同作外公切线的步骤。
已知：内公切线交点在连心线上用比例计算出内公切线与连心线交点的位置比例，再用尺规作出那个交点~
设两圆分别为圆A、圆B。在圆B上任取一点C，过C作CE平行AB交圆A与D、E。直线AD和AE分别与直线BC交于F、G。做线段FG的垂直平分线与直线AB交于O，以O为圆心，OF为半径画圆交直线AB于两点，则这两点分别为两圆外公切线与内公切线的交点。
貌似可以用位似
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如何用直尺圆规做出两个大小不同的圆的公切线 谢谢啦 最好有图哦
画内公切线。1&任意画两圆，连接两圆中心。2&从大圆中心任意画直线，交大圆于一点，以这点为中心画一圆，半径为小圆半径。交该直线于点。3&连接交点与小圆圆心。并过直线与大圆交点，作连线的平行线，交两圆中心线于一点。4&分别以大圆和小圆圆心到中心线交点为半径作两圆，分别交两圆于两点。5&分别连接圆点四点成两直线，这两直线为两圆的公切线。图中兰线。
谢谢 外切呢
采纳率：27%
第四点，应该是分别以大圆和小圆圆心到中心线交点为直径（而不是半径）作两圆，分别交两圆于两点。这个方法很好用，希望大家都来学习
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