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二元函数全微分求积的一个简单方法
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考研数学《高等数学》二元函数全微分求积考试视频课程2016年
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考研数学《高等数学》二元函数全微分求积考试视频课程2016年">考研数学《高等数学》二元函数全微分求积考试视频课程2016年
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& &在当今科技飞速发展，特别是计算机科学及其应用日新月异的时代，数学科学已渗透到各个科技领域，学习任何一门科学都要用到许多数学知识，而其中最基本的则是微积分。高等数学微积分是非数学各专业的一门必修课，学习任何一门近代数学或工程技术都必须先学微积分。山东大学数学学院拥有一支敬业博学的师资队伍,&山东大学数学学科已经形成了自己的国际影响力，日，教育部学位与研究生教育发展中心公布全国第四轮学科评估结果，山东大学的数学学科与北京大学、复旦大学并列第一，获评A+。山东大学《高等数学-微积分》慕课是首批国家精品在线课程，本课程分为《高等数学微积分（1）》和《高等数学微积分（2）》共11章。& & 《高等数学微积分（1）》由6章构成，主要内容包括：绪论——微积分的产生及基本思想、函数、极限与连续、导数、中值定理与导数应用、一元函数积分学（不定积分、定积分、定积分应用）及常微分方程。& &《高等数学微积分（2）》由5章构成，主要内容包括：无穷级数、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分。& & 为更好地适应当前应用型创新人才培养的要求，在每一章的最后一讲均为解决本章内容的数学软件MATLAB演示 ，培养学生在实际问题中“用”数学的能力。& & 通过本课程的学习不但可以使学生了解微积分的起源、领会基本概念、基本思想和基本运算方法，更重要的是培养学生抽象思维、逻辑推理能力，尤其是用数学的意识和能力。通过本课程的学习也可以为后续课程打下坚实的基础。
第一周 &第6章 无穷级数（一)第一讲 常数项级数的概念第二讲 级数的基本性质第 三讲 正项级数审敛法Ⅰ第四讲 正项级数审敛法Ⅱ第五讲 交错级数和任意项级数审敛法第六讲 幂级数及其收敛域第七讲 幂级数收敛半径第二周 &第6章 无穷级数（二）第八讲 幂级数的运算第九讲 函数展开成幂级数Ⅰ第十讲 函数展开成幂级数Ⅱ第十一讲 反常积分审敛法第十二讲 函数展开成傅里叶级数第十三讲 正弦级数和余弦级数第十四 讲 习题课第十五讲 &用MATLAB求级数问题第6章 无穷级数单元测验第三周 第7章 &空间解析几何第一讲 向量及其运算第二讲 两向量的数量积及方向余弦第三讲 向量的向量积第四讲 空间的平面及其方程第五讲 空间的直线及其方程第六讲 空间曲面和曲线第七讲 习题课第八讲 用MATLAB绘制空间图形第7章空间解析几何单元测验第四周 第8章 &多元函数微分学（一）第一讲 多元函数的起源及概念第二讲 二元函数的极限和连续第三讲 偏导数第四讲 全微分第五讲 多元复合函数的微分法第五周 第8章 &多元函数微分学（二）第8章 多元函数微分学 单元测验第六讲 &隐函数微分法第七讲 微分在几何上的应用第八讲 多元函数的极值与最值第九讲 条件极值第十讲 习题课第十一讲 &MATLAB 求偏导数第六周 &第9章 &重积分（一）第一讲 重积分的起源、二重积分的概念第二讲 &直角坐标系下二重积分的计算第三讲 &极坐标系下二重积分的计算第七周 第9章 重积分（二）第四讲 三重积分第五讲 柱面坐标系下三重积分的计算第六讲 球面坐标系下三重积分的计算第八周 第9章 重积分（三）第七讲 & 重积分的一般变换第八讲 重积分的应用第九讲 习题课第十讲 用 MATLAB计算重积分第9章 重积分 单元测验第九周 第10章 曲线积分与曲面积分(一)第一讲 对弧长曲线积分的概念与性质第二讲 对弧长曲线积分的计算第三讲 对坐标曲线积分的概念与性质第十周 第10章 曲线积分与曲面积分（二）第四讲 对坐标的曲线积分的计算第五讲 格林公式第六讲 曲线积分与路径无关的条件第七讲 全微分求积第十一周 第10章 &曲线积分与曲面积分（三）第八讲 &对面积的曲面积分第九讲 对坐标曲面积分的定义与性质第十讲 对坐标曲面积分的计算第十二周 &曲线积分与曲面积分（四）第10章 曲线积分与曲面积分 单元测验第 十一讲 高斯公式第十二讲 斯托克斯公式第十三讲 &场论第十四讲 习题课第十五讲 用Matlab计算线面积分考试说明及单元测验详细答案考试说明及单元测验详细答案高等数学-微积分（2）释疑如何选择合适的判定法判定正向级数敛散性级数求和步骤及例题关于求直线方程的习题二元隐函数求极值的题目曲线积分与路径无关的题目
高等数学—微积分（1）
本课程的学习环节包含：观看讲课视频及其它课程资源、完成单元测验题、参加期末考试，课程学习成绩由两部分构成：（1）单元测验：在每一章学习结束后，将有一次单元测验，题型为选择题，所有单元测验分数占课程成绩的20%。（2）课程考试：课程结束后，学生可以参加课程的最后考试，成绩占80%。完成课程学习并考核合格(&=60分)的可获得合格证书，成绩优秀(&80分)的可获得优秀证书。
[1] 刘建亚，吴臻，蒋晓芸，张天德.大学数学教程-微积分（1）.2版.北京：高等教育出版社出版，2011.[2] 刘建亚，吴臻，张天德，蒋晓芸.大学数学教程-微积分（2）.2版.北京：高等教育出版社出版，2011.[3] 同济大学数学系.高等数学（上、下）.6版.北京：高等教育出版社，2007.上册下册[4] 蒋晓芸，张天德，崔玉泉.大学数学学习指南微积分.2版.济南：山东大学出版社，2011.[5] 刘建亚，吴臻，张天德，等.高等数学习题精选精解.济南：山东科技出版社，2013.
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(C) icourse163.org高数 二元函数的全微分求积_百度知道
高数 二元函数的全微分求积
高数 二元函数的全微分求积在证明两个偏导相等后，如何取积分的两个点，例如照片中的(1,0)点和(x,y)点
我有更好的答案
题目中有P和Q在右半平面内有一阶连续偏导数，0)这个点，所以，Pdx+Qdy在右半平面内是某个二元函数的全微分。那么，(x0，y0)必须在右半平面内取，所以，题中就选取了(1注意
(x，y)是积分曲线的终点，这是这类问题中不可改变的，能够选择的是(x0，y0)
x0,y0选取有什么条件吗？
题目中有暗示的，在题目允许的区域内任意选择即可。
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2008-1中 上海交大高数期中试卷分析与解答
2008 级高等数学第一学期中试卷分析 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 设函数 f ?x ? 和 g ? x ? 在 ?? ?,?? ? 上有定义，且 g ? f ? x ?? ? x ，则 （A） f ?x ? 存在反函数； （B） g ? x ? 存在反函数； （ ）（C） f ? x ? 和 g ? x ? 都存在反函数 （D） f ? x ? 和 g ? x ? 都不存在反函数. 【分析】 概念题型 非常规题型，涉及反函数的概念；较难. 关键一点是单值函 数在其值域有反函数，故必须看 f , g 是否单值 【解】 显然 f 必单值，若 x1 ? x2 ，而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? y ，那么 g ( y ) ? ? 而 g ( x) 不一定单值，只要考虑例子 f ( x) ? arctan x ，而 g ( x) ? tan x 注意 tan x 只有在限制定义域为 (?记为? ?, ) 才有反函数.选(A) 2 2（ （B） {xn } 为无穷小量； （D） {xn } 非无穷小量但有界.1 3 1 ? cos 的阶 n n1? 1 1? ? 2. 设数列 {xn } ? n 2 ? ? cos n ? cos n ? ，则 ? ?（A） {xn } 为无穷大量； （C） {xn } 非无穷大量但无界； 【分析】典型题型3）事实上为考察 x n 的极限，要分析 cos3 6 3【解】cos1 1 1 1 1 1 ? cos ? cos ( cos ? 1) ? cos ((1 ? cos ? 1) 6 ? 1) n n n n n n~1 1 1 1 1 (cos ? 1) ~ ? ? 2 故 x n ? ? 6 n 12 n 12选(D).3. 当 x ? 0? 时，与 x 等价的无穷小量是 （A）1 ? e x ； 【分析】基本题型 【解】 1 ? ex（）（B） ln1? x ； （C） 1 ? x ? 1 .； （D） 1 ? cos x . 1? x无穷小的分析；一般利用等价无穷小替换.~ ? x ； ln1 21? x 1? x? ln(1 ?x? x 1? x)~x (1 ? x ) 1? x~x1 ? x ? 1 ? (1 ? x ) ? 1 ~1 1 x ， 1 ? cos x ~ 故选（B）. 2 24. 设函数 f ( x) ? C (R) ，其导函数 f '( x) 的图形 如右图所示，则 f ( x) 在 R 上有 （ ）O（A） 两个极小值点，一个极大值点；xA(F)-1（B） 两个极小值点，两个极大值点； （C） 三个极小值点，一个极大值点； （D）一个极小值点，两个极大值点. 【分析】 此题型是从 f ' ( x) 图像来讨论 f ( x) ，不常见但较容易。关键是从 f ' ( x) 的符号变化讨论. 【解】 由图像知 f ? 在四个点的两侧不同，两个极大值点、两个极小值点.（B） 5. 设函数 y ? f ? x ? 在闭区间 ?a, b? 上有定义. 对于命题 （1） 若 y ? f ? x ? 在 ?a, b? 上无界，则 f ? x ? 在 ?a, b? 上必存在间断点； （2） 若 y ? f ? x ? 在 ?a, b? 上可导，则导函数 f ' ? x ? 在 ?a, b? 上必有界； 下列选项正确的是 （ ） （A）仅（1）正确； （B）仅（2）正确； （C）都正确； （D）都错误. 【分析】判断题、非常规题型 判断方法无一定程式，故有一定难度.【解】 （1）显然正确. 因为其逆否命题“ f ( x) 在 [a, b] 无间断点” ，即连续，那么f ( x) 必有界.（2）稍难. 若考虑一般初等函数，可能认为命题正确，所以反例应从非初 等函数考虑. 选（A）? 3 1 ? x 2 sin f ( x) ? ? x ? 0 ??3 1 1 1 1 2 ? x sin ? 3 cos x?0 x x 在 [?1,1] ，则 f ' ( x) ? ? 2 x2 ? x?0 0 ?x?0 x?0二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6. 设函数 y ? x ? 1 ? 【分析】基本题型x ?1 的定义域是 x?2.太容易.?x ? 1 ? 0 【解】 显然为 ? 且 x ? 1 . 故定义域： ? 1? ? ?2,?? ? ?x ? 2 ? 01 ?? 1? ? 1 ? ? 7. lim?1 ? 2 ??1 ? 2 ? ??1 ? 2 ? ? n ?? ? 2 ?? 3 ? ? n ?.【分析】常见题型 n 项乘积，当 n ? ? 时求极限，需要先求积再求极限. 【解】 (1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 )(1 ? 2 )...(1 ? 2 ) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? )(1 ? )...(1 ? )(1 ? ) 2 2 2 3 3 n n 2 3 n 1 1 1 ? (1 ? ) ? 2 n 2?? x ? a ?2 ? b, x ? 0 8. 若函数 y ? ? 在 x ? 0 可导，则 a ? x?0 ex , ?A(F)-2，b ?.【分析】典型题型 利用单侧左右连续和左右导数的关系确定 a 、 b .注意初等 函数定义包括闭端点时求单侧连续和导数的做法 【解】 lim? f ( x) ? a 2 ? b 而 lim f ( x) ? f (0) ? 1 ，故 a 2 ? b ? 1 , ?x ?0x ?0而 f ?' (0) ? lim ?x ?0( x ? a) 2 ? b ? 1 x 2 ? 2ax ? lim ? 2a , f ?' (0) ? 1 x ?0 ? x?0 x故a ?1 3 ，b ? . 2 4.? x ? et dy 9. 若 ? ，则 ? dx ? y ? csc t【分析】基本题型 【解】dy y t' ? dx xt'dy ? csc t cot t ? ? ? e ? t csc t cot t t dx e2 210.函数 y ? ? x ? 1? ? x ? 2 ? （ ? 3 ? x ? 4 ）的值域是 【分析】 由介值定理，这题实际上是求最大最小值！.【解】 f ' ( x) ? 2( x ? 1)( x ? 2) 2 ? 2( x ? 1) 2 ( x ? 2) ? 2( x ? 1)( x ? 2)(2 x ? 3) ,将驻点x ? 1,2,3 与端点 x ? ?3,4 值比较，知 min f ? 0 ， max f ? 400 ,值域 ?0,400? 2三、求极限（第 11、12 小题各 6 分，第 13 小题 8 分，共 20 分） 11.用极限定义证明： limx ?0x ?1 ? ?1 . x2 ?1【分析】常见题型 注意 |用定义验证极限，需要适当放大法.| x| ?1 | x 2 ? x | | x || x ? 1 | x ?1 1 | ?| x | (| x | ?1) ? 2 | x | ? ? ? 2 2 2 x ?1 x ?1 x ?1【解】 ?? ? 0 ，要证 |x ?1 ? (?1) |? ? . x2 ?1?|| x || x ? 1 | | x|?1 x ?1 ? ? ( ? 1 ) | ? ? 2 | x | , 故只要取 ? ? min(1, ) ， 2 2 2 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 ? (?1) |? ? ， 故 lim 2 ? ?1 . 2 x ?0 x ? 1 x ?1则当 0 ?| x |? ? 时，就有 | 12. limx ?0?x ? 1?e x ? 1x2 1? x2 0 型，一般用无穷小替换或洛比达法则。分母中 1 ? x 2 可 0A(F)-3【分析】典型题型.先求极限，用洛比达法则就比较方便了. 【解】 limx ?0( x ? 1)e x ? 1 x2 1 ? x2( x ? 1)e x ? 1 xe x 1 ? lim ? lim ? x ?0 x ?0 2 x x2 2113. lim ?1 ? sin x ? sin ? sin x ? ? x3 .x?0【分析】典型题型幂指函数 f ( x) g ( x ) 写成 e g ( x ) ln f ( x ) ，若此时 f ( x) ? 1 ，常用ln(1? sin x ?sin(sin x )) x3sin x ?sin(sin x ) x3ln f ( x) ? ln[1 ? f ( x) ? 1] ~ f ( x) ? 1 ，但此题还有一点技巧.【解】 原式 ? lim ex ?0?ex ?0lim? eu ?0 arcsinlimu ?sin u 3 u? e u ?0limu ?sin u u3?eu ?0lim1?cos u 3u 2?e1 6四、求导数（第 14、15 小题各 8 分，共 16 分） 14.设方程 y ? x ln x 2 ? y 2 确定了一个二阶可导的隐函数 y ? y ( x) ，且 y ?1? ? 0 ， 求d2y dx 2x ?1??. 隐函数求导. 由于求导数在一点 ( x ? 1) 的值，在求二阶导【分析】典型题型.数时往往可以把求导式子化简。 【解】 y ' ? ln( x 2 ? y 2 ) ?x(2 x ? 2 yy ' ) x2 ? y2? y ' (1) ? 2 。可以直接对 y ' 求导，也可以改写 ( x 2 ? y 2 ) y ' ? ( x 2 ? y 2 ) ln( x 2 ? y 2 ) ? 2 x( x ? yy ' ) 求导得( x 2 ? y 2 ) y&?(2 x ? 2 yy' ) y ' ? (2 x ? 2 yy ' ) ln( x 2 ? y 2 ) ? (2 x ? 2 yy ' ) ? 2(2 x ? yy '? xy ' 2 ? xyy& ) 将 x ? 1 代入得 y&| x ?1 ?4 ? 0 ? 2 ? 2 ? (2 ? 4 ? 0) ? y&| x ?1 ? 10 πx 2 15.设 f ( x) ? ( x ? 3x ? 2) cos ，求 f ( n ) (2) . 162 n【分析】 常见题型. 求函数 n 阶导数往往用 Leibniz 法则. 注意 f ( x) 含有( x ? 2) n 的因子，而恰好又求 f ( n ) (2) , 因此这题的解法就比较清楚了.【解】 f ( x) ? ( x ? 2) n ( x ? 1) n cosn?x 216,k f ( n ) ( x ) ? ? Cn (( x ? 2) n ) ( k ) [( x ? 1) n cos k ?0?x 216]( n? k ) ,从而 五、f ( n ) (2) ? n![( x ? 1) n cos?x 216] | x?2 ?2 n! 2A(F)-416.抛物线 y ? x 与 x 轴、直线 x ? t （ t ? 0 ）所围成的曲边三角形绕 x 轴旋转所 y 成旋转体的体积是 t 的函数，记作 V ?t ? （如图） （1） 证明：当 0 ? t1 ? t 2 时，?t1 ?t 2 ? t1 ? ? V ?t 2 ? ? V ?t1 ? ? ?t 2 ?t 2 ? t1 ? ；（2） 求 V ' ?t ? . 【分析】 应用题型 这是讨论函数变化率的一个应 用习题， 涉及几何体的体积计算， 较容易.xOt将 V (t 2 ) ? V (t1 ) 近似用圆柱体来计算。【解】 当 t 2 ? t1 时，V (t 2 ) ? V (t1 ) 是该旋转体被夹在两个平面（ t ? t1 和 t ? t 2 ）之 间的部分. 显然这部分体积介于两个圆柱体之间, 这两个圆柱体的高恰为t 2 ? t1 ，两半径分别为 t1 与 t 2 , 故? ( t1 ) 2 (t 2 ? t1 ) ? V (t 2 ) ? V (t1 ) ? ? ( t 2 ) 2 (t 2 ? t1 )即 ?t1 (t 2 ? t1 ) ? V (t 2 ) ? V (t1 ) ? ?t 2 (t 2 ? t1 ) 用这个不等式可知：当 ?t ? 0 时，?t?t ? V (t ? ?t ) ? V (t ) ? ? (t ? ?t )?t当 ?t ? 0 时， ? (t ? ?t )(? ?t ) ? V (t ) ? V (t ? ?t ) ? ?t (??t ) 无论何种情况V (t ? ?t ) ? V (t ) 总在 ?t 与 ? (t ? ?t ) 之间，因此 ?t ? 0 得到 ?t. V ' (t ) ? ?t .六、 17.分析函数 y ?x?3 x2 ?1的性态，并作 y ? f ( x) 的简图.( f ' ?x ? ?3x ? 1?x2?1?3， f ' ' ?x ? ?? 6 x 2 ? 3x ? 3?x2? 1?5)【分析】基本题型. 依赖常规步骤即可。注意该题经常出现的问题是讨论不全， 尤其是极值凹凸线与渐近线，务必一一考察 【解】 定义域是 ?? ?,?? ? ，无奇偶，无周期1 1 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? ， f ' ' ? x ? ? 0 ? x ? ?1 或 x ? 3 2无垂直渐近线；由 limx ? ?? x ? ??y ? 0 ，无斜渐近线； x ?? xlim y ? 1 ， lim y ? ?1 ，有水平渐近线 y ? 1 和 y ? ?1x?? ?,?1?-?11 (?1,? ) 3?1 31 1 (? , ) 3 21 21 ( ,??) 2y'y' '+A(F)-5+ ++ -y单减上凸拐点单减下凸极小单增下凸拐点单增上凸?1 ? ? 1? ymin ? y? ? ? ? ? 10 ，拐点： ? 1,?2 2 ， ? ,? 5 ? ?2 ? ? 3?图形为y??O x七、证明题 18.设函数 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导，且 f (a ) ? f (b) . 证明：存在 ? ? (a, b) 使得f &(? ) ?2008 f '(? ) . b ??【分析】常见题型. 很容易猜到该题是应用罗尔定理. 由于结论可改写为0?f & (? ) 2008 ? ? [ln f ' ( x) ? 2008 ln(b ? x)]'| x ?? ? ln[ f ' ( x)(b ? x) 2008 ]' | x ?? f ' (? ) b ? ?[ f ' ( x)(b ? x) 2008 ]' | x ?? ? 0 .因此可引进辅助函数而上式又意味着F ( x) ? f ' ( x)(b ? x) 2008 F 的连续性无问题，但应用罗尔定理需在区间的两端 F ( x) 的值相等. 因此不能取 a, b 两端. 能否找到两点，这两点 F ' ( x) 相等呢？稍加考虑下就可解决了. 【证】 设 F ( x) ? f ' ( x)(b ? x) 2008 .那么由 f 在 [a, b] 二阶可导，故 F ( x) 在 [a, b] 连续可导，且F (b) ? 0 ,因 f (a ) ? f (b) ，依罗尔定理， ?c ? (a, b) 使 f ' (c) ? 0 ,从而F (c ) ? 0 .于是可在 [c, b] 上应用罗尔定理，即 ?? ? (c, b) ? (a, b) ，使F ' (? ) ? 0 ，即 f & (? )(b ? ? ) 2008 ? 2008 f ' (? )(b ? ? ) 2007 ? 0 ? f & (? ) ? 2008 f ' (? ) 。 b ??π? ? 19.（1）证明：对任意正整数 n ，方程 tan x ? x 在 ? nπ, nπ ? ? 内存在唯一实根 ? n ； 2? ?（2）求极限 lim(? n ?1 ? ? n ) .n ??【分析】证明题型较难. 第（1）小题比较容易，显然需要用零点存在定理。A(F)-6利用 y ? tan x ? x 的导数，易知在 (n? , n? ? 可以肯定存在唯一一个零点 ? n .?2) ， y 由负值单调增加到 ? ? ，因此第（2）小题， n ? ? 时， ? n 与 ? n ?1 均 ? ? ,它们的差不易估计. 但由于 ? n ? tan ? n ，可以考虑用反函数表达，但是注意必须在 u ? (? 能由 v ? tan u ? u ? arctan v . 【证】 （1） 引进 f ( x) ? tan x ? x , f ( x) 在 [n? , n? ?? ?, ) 时，才 2 2?2) 连续，又f ' ( x) ? sec 2 x ? 1 ? tan 2 x ? 0 ，故 f ( x) 在 [n? , n? ??2) 由 ? n? 严格增加 ? ? ? ， 故 f ( x) 在该区间有唯一实根 ? n .（2）由 ? n ? (n? , n? ??) ，故 ? n ? n? ? (0, ) 2 2?因 ? n ? tan ? n ? tan(? n ? n? ) ? arctan ? n ? ? n ? n? 同理 arctan ? n ?1 ? ? n ?1 ? (n ? 1)? ，从而 ? n ?1 ? ? n ? ? ? arctan ? n ?1 ? arctan ? n 故lim(? n ?1 ? ? n ) ? ? ?n???2??2?? .A(F)-7
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