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（本题12分）如图1，在等边△ABC中，点E从顶点A出发，沿AB的方向运动，同时，点D从顶点B出发，沿BC的方向运动，它们的速度相同，当点E到达点B时， D、E两点同时停止运动.（1）求证：CE＝AD；（2）连接AD、CE交于点M，则在D、E运动的过程中，∠CMD变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（3）如图2，若点D从顶点B出发后，沿BC相反的方向运动，其它条件不变. 求证：CE＝DE. 
（1）见解析；（2）∠CMD的大小不变；（3）见解析
试题分析：（1）根据等边三角形的性质得△CAE≌△ABD，从而的证；
（2）由（1）中全等的到结果
（3）作出平行线可以得到△AEF为等边三角形，由此得到△CFE≌△EBD，从而的证.
试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAE＝∠ABD＝60°，
又∵AC＝AB，AE＝BD，
考点分析：
考点1：三角形
（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．（4）三角形具有稳定性．
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题型：解答题
难度：中等
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满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N)
将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N)个全等的小正三角形(图乙，图丙分别给出了n＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，求f(3)和f(n)．
解析：当n＝3时，如题图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知a＋b＋c＝1，x1＋x2＝a＋b，y1＋y2＝b＋c，z1＋z2＝c＋a.x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2，2g＝x1＋y2＝x2＋z1＝y1＋z2.6g＝x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2.即g＝而f(3)＝a＋b＋c＋x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＋g＝1＋2＋＝.进一步可求得f(4)＝5.由上知f(1)中有三个数，f(2)中有6个数，f(3)中共有10个数相加，f(4)中有15个数相加…，若f(n－1)中有an－1(n＞1)个数相加，可得f(n)中有(an－1＋n＋1)个数相加，且由f(1)＝1＝，f(2)＝＝＝f(1)＋，f(3)＝＝f(2)＋，f(4)＝5＝f(3)＋，…可得f(n)＝f(n－1)＋，所以f(n)＝f(n－1)＋＝f(n－2)＋＋＝…＝＋＋＋＋f(1)＝＋＋＋＋＋＝(n＋1)(n＋2)．
试题：将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N)个全等的小正三角形(图乙，图丙分别给出了n＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，求f(3)和f(n)．
试题地址：http://tiku.xueersi.com/shiti/1274526
这道试题主要考察你对知识点""的考点理解，关于知识点解析请看
一个正方体，如果它的棱长缩小到原来的，那么它的体积缩小到原来的
下列各方程是二元一次方程的是（
A．8x+3y=y
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如图所示，正确描述水沸腾的是（　　）
中国读书人历来“耻于言商，耻于言利”，而清末“状元实业家”张謇却放弃仕途，投身于近代工商业。这里反映出的观念意识是
A．实业救国B．工商皆本C．重利轻义D．重商轻农
经过二十多年的改革开放，我国顺利实现了现代化建设的“三步走”战略目标的前两步目标，人民生活
A．基本上达到温饱水平
B．达到全面小康水平
C．达到基本现代化水平
D．总体上达到小康水平
做10个棱长8厘米的正方体铁框架，至少需多长的铁丝？列式：______．
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如图，在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？
（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：∠ CQE =60°；
（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确．
解：（1）CD与BE相等。
证明：由于两只蜗牛同时以相同的速度爬行，所以路程相同，即AD=CE。
∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，&A=&BCE；
在△ADC与CEB中
∴△ADC≌△CEB
∴CD=BE
由于t 为任意时刻，所以当t 为任意值时都有CD=BE，即CD和BE始终相等。
（2）证明：由于两只蜗牛以相同速度同时出发，所以路程相同，即AD=CE
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，∴AD-AB=CE-AC，即AE=BD
而由△ABC是等边三角形还可得
AB=CB，&CBD=&BAE=120&
在△EAB和△DBC中
∴△EAB≌△DBC（SAS）
∴&1=&4，而&2=&3
∴&1+&2=&3+&4
又&CQE=&1+&2，&5=&3+&4=60&
∴&CQE=&5=60&。
（3）正确。
证明：如图，过点D作DG∥BE交AC于点G。
由于△ABC为等边三角形，∴&A=&B=60&
∵DG∥BE∴&1=&2，&ADG=&B=60&，∴△ADG为等边三角形
∴AD=DG
由于蜗牛速度和出发时间相同，所以路程相等，即AD=CE
∴DG=CE
在△DGF和△ECF中
∴△DGF≌△ECF
∴DF=EF
而由于运动时间是任意的，故DF是中等于EF。
知识点：&&
当看到动点问题时，首先要分析动点的起点和终点。然后用路程=速度×时间来表示出线段的长度。而在运动过程中考虑线段的变化情况。寻找等量关系证明三角形全等。
将线段表示出来时有一定的难度。& 旋转的性质知识点 & “阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图...”习题详情
76位同学学习过此题，做题成功率80.2%
阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是6&．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是2√2+2√6（或不化简为√32+16√3）&．（结果可以不化简）
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：2012-延庆县二模
分析与解答
习题“阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的...”的分析与解答如下所示：
（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C即AP的长度；（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线段A'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．
解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2√3，∴CD=4+2√3．在Rt△A'DC中A'C=√A′D2+DC2=√22+(4+2√3)2=√32+16√3=2√2+2√6；∴AP+BP+CP的最小值是：2√2+2√6（或不化简为√32+16√3）．故答案是：2√2+2√6（或不化简为√32+16√3）．
本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．
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阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三...
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经过分析，习题“阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的...”主要考察你对“旋转的性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
旋转的性质
（1）旋转的性质：　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
与“阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的...”相似的题目：
[2014o长沙o中考]下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（　　）
[2013o广州o中考]如图，Rt△ABC的斜边AB=16，Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长度为&&&&．
[2012o温州o中考]分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是&&&&度．
“阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图...”的最新评论
该知识点好题
1如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC+∠ABC=180°，下列结论：①CD=CB；②AD+AB=2AE；③∠ACD=∠BCE；④AB-AD=2BE．其中正确的是（　　）
2如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、B、D三点共线．下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③HB平分∠AHD；④∠AHC=60°，⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD．其中正确的有（　　）
3（2011o扬州）如图，在Rt△ABC&中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（　　）
该知识点易错题
1如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、B、D三点共线．下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③HB平分∠AHD；④∠AHC=60°，⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD．其中正确的有（　　）
2图1、2是两个相似比为1：√2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4，①求证：DE=DF．②求证：AE2+BF2=EF2；（2）在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜和CD延长线分别与交于点，如图5，证明结论：AE2+BF2=EF2仍成立．
3已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=&&&&时，四边形BCDP是矩形；（2）将点B绕点E逆时针旋转．①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形；②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积．
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