大一微积分期末考试题题目

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-04-12 10:54 标签： 大一高数微积分题目
微积分第一题
数学教学研究由邵勇本人独创。每周推送两到三篇内容上有分量的数学文章，但在行文上力争做到深入浅出。几分钟便可读完，轻松学数学。
标题说“微积分第一题”，其实这不是指这个题是微积分里最重要的首屈一指的题目，而是指我的公众号里第一次明确推送微积分的题目。这也是前天一位朋友在留言里建议的。我只能说尽力而为了，因为高等数学强调的更是方法，趣味性不强。但也不尽然。我尽力挖掘，并尽力创造一些趣味。本公众号中微积分的内容只能是偶尔为之。微积分也是数学中的一个分支，我的公众号内容涉及的是数学，只要内容好，有趣味，不管是数学的什么分支，只要对您有所启发和帮助，我都会推送。
本期的题目是这样的：
如下图所示，蓝色图形和红色图形分别是两种正棱柱形瓶装饮料的横截面，可以认为横截面的轮廓线为饮料瓶的切口，蓝色或红色就是两种不同饮料的颜色。这两种饮料瓶的高度是一样的。在下图中所示的水平方向和竖直方向上，两者的尺度也是一样的。所以，把两种饮料瓶混装到一个箱子中是一点儿都没有问题的（水平和竖直码放）。那么，如果两种饮料的价格一样，你会选择哪一种呢？
说明：蓝色图形所示截面是关于x轴和y轴都对称的图形，图形的宽度为2，高度也为2。上边界是函数y=1/(1+x^2)的图像位于-1到1之间的一段。而红色图形是半径为1的圆（当然把圆心放到原点最好，但为了看着方便我们就把圆放到了蓝色截面的右边并列在一起）。
若要我来选择买哪一种，我要先计算一下哪个饮料瓶的横截面面积较大。在高度一样的情况下，横截面面积较大者自然容积就大一些。于是，本问题就转化为比较蓝色图形的面积和红色图形的面积的大小问题。那么两都孰大孰小，还是一样大？
答案是两个图形的面积相等，都等于π。是不觉得很神奇，有些不可思异？为什么呢？下面我们来证明。
蓝色图形不同于我们常见的图形，不能用初等方法求面积，必须运用微积分的知识。用到的简单微积分知识有：
（1）微积分基本定理，也叫牛顿-莱布尼茨公式（其中f ( x ) 在 [ a，b ] 上连续，F ( x ) 为 f ( x ) 的一个原函数）：
（2）任何一本微积分或高等数学书上都可以找到的下面这个求导分式：
所以，由（1）和（2），得到
上式正是上图中蓝色区域的面积的四分之一，即蓝色区域位于第一象限的那部分的面积。我单独又把这个四分之一区域画出来，如下图所示。它是由曲线、x=0、x=1和y=0所围成区域的面积。
而半径为1的圆的面积的四分之一也为π/4。所以，开始时那个图中蓝色横截面的面积与红色横截面的面积是相等的。题目问你会选择哪种瓶装饮料，那么，单从饮料的容量来说，因为都一样，所以选哪一种都行。但从形状来看，非圆形截面的那个饮料瓶更有趣一些。并且可能口味不同，我也会有所偏好。
我们把两个横截面图形摞起来，让中心重合于原点，可以大致看出，面积真的是差不多的（如下图所示），而微积分证明了两者确实是精确相等的，这就是微积分的力量。注意，下图中深蓝色图形可不是六边形，虽然在红色圆的衬托下很像。还有，从商家角度考虑，正棱柱高度相同时，若横截面面积相同，则圆形截面周长最小，也就是说，圆形截面的饮料瓶使用材料最省（这个不是今天讨论的主题）。
最后，给出π的一个交错级数表示法，它叫做莱布尼茨公式，是17世纪最精彩的发现之一。人类历史上对π的研究和计算真是费尽了心思。但成果也是丰硕的。
这个公式把无理数π用无穷多的有理数的和来逼近。可以证明，当项数趋于无穷时，这个级数收敛于π/4。但这个级数收敛得很慢，前628项之和再乘以4，是3.，这时3.14才不会因为波动而消失。之后收敛的速度还在减慢。但在17世纪那个时代，能有这样的发现已是很伟大的了。后来人们又发现了有很多级数可以表示π，有些级数收敛得就比较快。
中国数学家在π的研究方面曾经做出过伟大贡献，领先世界。南朝的祖冲之（公元429—500年）只用一个简单的分数355/113来近似π，精确度却非常高。355/113 ≈ 3.，而π ≈ 3.，两者相差大约只有0.000002。这个分数355/113叫做密率。
另外，用级数逼近的方法虽然需要大量的计算，但今天的计算机速度如此之快，计算时间已不是问题，从而有了大数据的概念。人功智能的火热也说明计算机运算的速度之快完全可以超过人脑，并且比人脑更加严密，不会出错。
上面的莱布尼茨公式的得来不是很难，用到了等比数列前n项和公式，在等比数列前n顶和公式中用(－x^2)代替公差q，再运用上面的积分结果，就可以得出。
本篇内容还是有些长了。谢谢您的耐心阅读！
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微积分习题与解答
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