有限带宽信号采样和混叠的数学分析-测试测量-与非网
摘要：本文针对如何不失真地采样和重建信号提供了一种理论分析方法，同时介绍了信号混叠效应。以MAX19541模数转换器为例，对过采样和欠采样输入频率时的情况进行了比较。
&&&&&&& 现代应用中经常要求对模拟信号采样，将其转换为数字信号，然后对其进行计算处理，最后再重建为模拟信号。本文所探讨研究的主要问题是如何采样和重建模拟信号，同时又保持原始信号的全部信息。
有限带宽信号
&&&&&&& 首先从有限带宽信号开始讨论。这样做取决于数学和物理两个方面的因素，下文将进行阐述。如果某个信号在某个频点(截止频率)以外的频谱幅度均为零，那么这一信号称为有限带宽信号。图1中的g(f)即是这样的信号，大于频点a的频率频谱幅度为零。在这种情况下，a也是这个基带信号的带宽(BW)。(由于频率为负没有物理意义，因此基带信号的带宽仅被定义为正频率。)
图1. 信号g(f)的频谱
&&&&&&& 接下来对g(f)进行采样。我们可以利用数学形式表示该操作，即g(f)乘以一个时间间隔为T的冲激函数序列。通过将g(f)与冲激函数相乘，我们得到对应于冲激函数发生时刻的g(f)值，其它任何时间的乘积都为零。这类似于以fSAMPLING = 1/T的频率对g(f)采样。该操作可用公式1表示，采样后的新信号称为s(t)：
下一步是找出已采样信号s(t)的频谱。通过对公式1进行傅立叶变换可得到：
&&&&&&& 计算上面的积分比较复杂。为了简化计算，注意到s(t)是g(f)与冲激脉冲序列的乘积。同时我们还知道时域的乘法对应频域的卷积。(关于这一结论的证明可参考任何有关傅立叶变换的资料。) 因此，S(f)可以表示为：
&&&&&&& 注意公式3中的星号表示卷积，而不是相乘。我们已经知道原始信号的频谱g(f)，因此只需要算出冲激函数序列的傅立叶变换。我们知道冲激函数序列是一个周期函数，因而可以用傅立叶级数表示。如下式：
其中傅立叶系数为：
&&&&&&& 公式5中积分的上下限只指定为一个周期。当处理冲激函数时，这没有问题。然而，为了使上面的表达式具有更好的通用性，可以进行如下代换处理：用一个从负无穷到正无穷的傅立叶积分代替该积分，并用单个冲激函数―t周期信号的基本信号替代周期性的冲激函数序列。因而，公式5可以改写为：
这样一来冲激函数序列可采用以下易于进行傅立叶变换的简化表达式：
考虑到一个信号可以从其傅立叶变换积分得到，如下式：
最终表达式如下：
根据以上结果，再重新考虑已采样的基带信号。其傅立叶变换表达式如下：
两个信号A(f)和B(f)的卷积定义为：
则S(f)可表示为：
&&&&&&& 计算的结果为公式13，通常称为采样定理。它表明在时域里按周期T (秒)采样得到的信号会以1/T的频率重复原始信号的频谱，如图2所示。这一结果反过来可以清楚且直观地回答先前的问题：如何采样模拟信号才能够保持原始信号的全部信息？
图2. 采样信号s(t)的频谱&&
&&&&&&& 为保留原始基带信号的所有信息，必须确保每一个重复频谱&轮廓&之间不发生交叠。如果相互交叠(这种现象称为混叠)，就不可能再从采样信号中恢复出原始信号。这会使高频成分混叠到低频频段，如图3所示。
图3. 混叠对信号的影响
&&&&&&& 为了避免混叠，必须满足以下条件：1/T & 2，或1/T & 2BW。该结论也可用采样频率表示为：
&&&&&&& 因此，不会产生混叠的最小采样频率为2BW。这就是众所周知的奈奎斯特定律。
&&&&&&& 图3给出了产生混叠的采样信号。注意高频信号分量fH呈现为低频分量。您可以用一个低通滤波器来恢复原始频谱，并将其它频谱分量滤掉(衰减)。当使用截止频率为的低通滤波器恢复信号时，它无法将混叠的高频信号滤掉，从而造成有用信号的劣化。
&&&&&&& 考虑到混叠会恶化有用信号，再来考虑带通信号这类特定的有限带宽信号。带通信号的低频边界不是零。如图4所示，带通信号的信号能量分布在L与&U之间，其带宽定义为U - L。因此，带通信号和基带信号的主要区别在于它们的带宽定义：基带信号的带宽等于它的最高频率，而带通信号的带宽为最高频率和最低频率之差。
图4. 带通信号
&&&&&&& 从前面的讨论可知，采样信号以1/T的周期重复原始信号的频谱。因为这个频谱实际上包括从0Hz到原始带通信号低频截止频率之间的零幅值频带，所以实际的信号带宽要比U低。因此可以在频域内做一定的频率偏移，从而允许采样频率低于当信号频谱占据整个零至U范围时要求的采样频率。例如，假定信号带宽为U/2，采样频率取为U即可满足奈奎斯特定律，采样信号的频谱如图5所示。
图5. 带通采样信号的频谱
&&&&&&& 该采样过程没有产生混叠，因此如果有理想的带通滤波器，可完全从采样信号中恢复出原始信号。在本例中，注意到基带和带通信号的差别是非常重要的。对于基带信号，带宽和相应的采样频率只由最高频率决定。而带通信号的带宽通常都要比最高频率小。
&&&&&&& 以上特性决定了从采样信号中恢复原始信号的方法。对于最高频率相同的基带信号和带通信号，只要采用合适的带通滤波器来隔离原始信号频谱 (图5中的白色矩形部分)，带通信号就可以采用较低的采样频率。由于信号频谱中包括阴影部分，用于基带信号恢复的低通滤波器在这种情况下无法恢复出原始带通信号，如图5所示。所以如果要用低通滤波器恢复图5中的带通信号，采样频率必须在2U以上以避免混叠。
&&&&&&& 有限带宽信号必须在满足奈奎斯特定律的情况下才能被完全恢复。对于带通信号，只有用带通滤波器时奈奎斯特采样频率才可以避免混叠。否则就必须使用更高的采样频率。在实际应用中选择转换器采样频率时，这一点很重要。
&&&&&&& 还要注意的是对有限带宽信号的假设。从数学上分析，一个信号不可能是真正有限带宽的。傅立叶变换定律告诉我们，如果一个信号的持续时间是有限的，则它的频谱就会延展到无限频率范围，如果它的带宽是有限的，则它的持续时间是无限的。很显然，我们找不到一个持续无限时间的时域信号，所以也不可能有真正的有限带宽信号。不过绝大部分实际信号的频谱能量都集中在有限带宽内，因此前面的分析对这些信号仍然有效。&&
采样正弦信号
&&&&&&& 采样正弦信号可以非常简单和方便地展示发生混叠时高频成分呈现为低频成分这一固有现象。纯粹正弦信号的频谱仅包括相应频点上的尖峰信号 (冲激函数)，出现混叠时，尖峰会从一个频点移到另一个频点。
&&&&&&& 以下结果是用125Msps、12位ADC MAX19541测试得出的。图6所示为输入信号频率fIN = 11.5284MHz时变换器输出信号的频谱。数据显示主尖峰正好出现在该频点上。频谱中还有一些其它的尖峰，它们是由转换器的非线性引起的谐波，和本文的讨论主题无关。由于采样频率fSAMPLING = 125MHz，远大于奈奎斯特定律要求的两倍输入频率，所以不会出现混叠。
图6. MAX19541 ADC采样后的信号频谱。fSAMPLING = 125MHz, fIN = 11.5284MHz.
&&&&&&& 接下来考虑如果把输入频率提高到fIN = 183.4856MHz，主尖峰的位置会发生什么变化。该输入频率大于fSAMPLING/2，可以想象会有混叠出现。图7给出了得到的频谱，主尖峰落在58.48MHz频点，这就是混叠信号。换言之，在58.48MHz频点出现了一个原始信号中不包含的频率信号。注意图6和图7中都只给出了奈奎斯特频率以下的频谱，因为频谱是周期性的，图中的显示部分已经包含了所有必要信息。
图7. MAX19541 ADC采样后的信号频谱。fSAMPLING = 125MHz, fIN = 183.4856MHz.
&&&&&&& 本文章的类似版本刊登在2005年1月的《射频设计》杂志上。
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京ICP证:070212号
北京市公安局备案编号： 京ICP备：号王凯同学报名参加了网上配乐朗诵公益活动，需要自己录制上传一段数字声音。（1）为防止失真，王凯知道在设置采样频率时，必须保证采样频率是声音信号最高频率的______倍以上；（2）为此他查阅资料，得到全频带声音的频率范围是______；（3）于是王凯设置采样频率为 44.1kHz、量化位数为 16 位、声道数为 2，录制了 8 分钟，得到未经压缩的数字声音的数据量是______MB（保留 1 位小数）；（4）该数据量较大，王凯决定采用 MP3 编码方案对录制的声音进行压缩，将其压缩为原来的 1/10，压缩后的声音文件通过传输速率为 10Mb/s 的网络上传，需要的传输时间是_____秒（保留 1 位小数）。转换采样频率是不是越大越好？_百度知道
转换采样频率是不是越大越好？
我要转Wave格式的歌曲，（转换采样频率：默认是 44100 Hz），调高点音质是不是更好？越大越好吗？
我有更好的答案
转换采样频率的确是越高越好，不过现在主流的最佳音乐品质是CD格式就是44100Hz的，再高了人耳几乎听不出区别，且文件会变得很大。数码音频系统是通过将声波波形转换成一连串的二进制数据来再现原始声音的，实现这个步骤使用的设备是模/数转换器（A/D）它以每秒上万次的速率对声波进行采样，每一次采样都记录下了原始模拟声波在某一时刻的状态，称之为样本。 将一串的样本连接起来，就可以描述一段声波了，把每一秒钟所采样的数目称为采样频率或采率，单位为HZ（赫兹）。理论上采样频率越高所能描述的声波频率就越高。 对于每个采样系统均会分配一定存储位（bit数）来表达声波的声波振幅状态，称之为采样分辩率或采样精度，每增加一个bit，表达声波振幅的状态数就翻一翻，并且增加6db的动态范围态，即6db的动态范围，一个2bit的数码音频系统表达千种状态，即12db的动态范围，以此类推。如果继续增加bit数则采样精度就将以非常快的速度提高，可以计算出16bit能够表达65536种状态，对应，96db 而20bit可以表达1048576种状态，对应120db。24bit可以表达多达种状态。对应144db的动态范围，采样精度越高，声波的还原就越细腻。（注：动态范围是指声音从最弱到最强的变化范围）人耳的听觉范围通常是20HZ~20KHZ。
采纳率：63%
来自团队：
CD音质的采样频率就是44100 Hz，16位，双声道……所以你会看到这个数值设定，调高没什么意义，文件却变大了……
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不是的，超过了一定限度会造成无法播放
高点 别最大
依个人配件【p3.p4】而言。可以自己调试,
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关于STM32的ADC采样频率的疑问，求指点
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初级会员, 积分 102, 距离下一级还需 98 积分
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想用STM32采集音频信号，查得音频信号的频率为20~20000Hz，也就是说AD采样的频率至少大于40KHz，以前从没弄过AD，这几天看了一下stm32的手册关于AD的部分，也对照了一下原子的实验例程，对ADC还是不太了解。stm32的AD有那么多种模式把我弄晕了。
我现在的问题就是，我要设置采样频率为40K的话，是不是要用一个定时器每隔25μm中断一次来操作ADC的转换？如果是这样的话，是不是太麻烦？而且因为我的程序里还有其他中断程序，我也质疑stm32的工作速度是否跟得上，25μm的时间是很短的，是否能保证单片机能否在这么短的时间里执行一次中断程序我不确定。
有没有更好一点，能够实现AD固定采样频率连续不停的采样而我的程序只需要读取采样结果？
我看了一下手册，里面也提到了采样时间，但是好像和我理解的采样周期不是那么一回事，所以想征求一下大家的建议
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回复【4楼】shuilian007:
回复【楼主位】10086rainer:&---------------------------------&（1）我们的输入信号是50Hz&（周期为20ms），初步定为1周期200个采样点，（注：一周期最少采20个点，即采样率最少为1k）&，每2个&采样点间隔为&20ms&/200&=&100&us&ADC可编程的通道采样时间&我们选最小的&1.5&周期，则&ADC采样周期一周期大小为&100us&/1.5=66us&。&ADC&时钟频率为&1/66us&=15&KHz。&&&ADC可编程的通道采样时间&我们选71.5&周期，则&ADC采样周期一周期大小为&（100us&/71.5）&。&ADC&时钟频率为&7.15MHz。&&（2）接下来我们要确定系统时钟：我们&用的是&8M&Hz&的外部晶振做时钟源（HSE），估计得&经过&nbspLL倍频&nbspLL&倍频系数分别为2的整数倍，最大72&M
......
---------------------------------
看完之后有点明白了，但是我有个实际问题，我要用线阵CCD，有将近4000个像素左右，每个像素点至少得采一次，也就是在20ms内采完，还要用DMA存储，不知道STM32RBT6能不能做到，应该怎样设置采样时间？
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中级会员, 积分 423, 距离下一级还需 77 积分
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坐等高手。。。&&DMA&&？&换主控？&&或者超频？
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金钱124392
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ADC+DMA即可.
一直不停的采集,貌似没这个必要吧.
如果要的话,你要处理的过来,也可以.
ADC设置好转换时间和采样时间,使得每次转换时间都是1/40Khz秒,然后DMA到内存,根据你的需要设计DMA长度,比如256,512,1024等.这样一次就采样了这么多个数据,等DMA中断来了,你去处理这些数据即可.
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中级会员, 积分 400, 距离下一级还需 100 积分
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回复【楼主位】10086rainer:
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（1）我们的输入信号是50Hz&（周期为20ms），初步定为1周期200个采样点，（注：一周期最少采20个点，即采样率最少为1k）&，每2个&采样点间隔为&20ms&/200&=&100&us
ADC可编程的通道采样时间&我们选最小的&1.5&周期，则&ADC采样周期一周期大小为
100us&/1.5=66us&。&ADC&时钟频率为&1/66us&=15&KHz。
&&ADC可编程的通道采样时间&我们选71.5&周期，则&ADC采样周期一周期大小为
（100us&/71.5）&。&ADC&时钟频率为&7.15MHz。
&（2）接下来我们要确定系统时钟：我们&用的是&8M&Hz&的外部晶振做时钟源（HSE），估计得&经过&nbspLL倍频&nbspLL&倍频系数分别为2的整数倍，最大72&MHz。为了&提高数据&计算效率，我们把系统时钟定为72MHz，(PLL&9倍频)。则&nbspCLK2=72MHz,PCLK1=36MHz；
&
我们通过设置时钟配置寄存器(RCC_CFGR)&中&有&为ADC&时钟提供一个专用的可编程预分器，将PCLK2&8&分频后作为ADC&的时钟，则可知ADC&时钟频率为&9MHz
&&&&从手册可知：&ADC&转换时间：
STM32F103xx&增强型产品：ADC&时钟为56MHz&时为1μs(ADC&时钟为72MHz&为1.17μs)
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回复【3楼】正点原子:
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呵呵，多谢原子哥，你这么一说让我明白了不少
现在我还有两个疑问请原子解惑：
1.手册里面所谓“采样时间”我理解为单片机里AD转换器采样保持器给电容的充电时间，不知道这样理解对否？
2.如果第一条成立，由于stm32采样时间固定几个时钟周期，那么如果ADCCLK固定了的话，如果我要实现连续不断的采样，那采样频率不也就固定为几个离散值了吗？也即我的采样周期T固定为：采样时间（电容充电时间）+12.5个固定转换周期。这样的话岂不是对许多低频信号采样应用都会出现过采样？
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回复【4楼】shuilian007:
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三楼的兄弟谢谢你的回答，但是我真没有看得很懂呵呵
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金钱124392
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回复【5楼】10086rainer:
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1,是的.
2,你可以通过修改采样时间来修改采样频率.另外,你也可也可以通过ADC分频,来降低采样频率.这些都是可控的.
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回复【7楼】正点原子:
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懂了，非常感谢！
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回复【7楼】正点原子:
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原子哥，我觉得4楼楼主第二点说的是正确的。
采样时间来修改采样频率，采样时间就那几个。ADC分频,可以选择HSI&14M,也可以选择PCLK分频,但PCLK分频因子也就那几个。如果我的系统时钟定了，改变采样时间，ADC分频是可能组合出产生接近所要的采样频率，但不能保证恰好为所要的采样频率，总会存在误差
不知道我的理解对不对？？
所以我想要产生精确的所要采样频率，是不是用定时器去触发ADC采样，ADC再开启DMA传输使能，采样到一定数据量时，DMA全部传输到RAM。即一楼楼主的思想。
请问原子，我的思想对不？如果可以的话，我需要注意什么，望指点！！
你不努力，谁都会看不起你！
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金钱124392
在线时间1042 小时
改变采样率:
方式1:通过ADC设置.
1,设置ADC时钟.
2,设置采样时间.
方式2:通过定时器设置.这个采样最大不能超过ADC设置.
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金牌会员, 积分 1022, 距离下一级还需 1978 积分
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回复【11楼】正点原子:
---------------------------------
顺便问下，AD采集的时候，外部电路需要加什么电阻电容之类的吗？或者是用射极跟随器等东西？我在采集20k的信号，然后绘图到LCD上的时候出现个别点不稳定，应该不是信号源的问题吧。
9b15cb26dc0ac8c1afed4ec4_534.bmp (0 Bytes, 下载次数: 0)
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8be1d67cc06c_52.bmp (0 Bytes, 下载次数: 0)
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3446aaec185ebfeee2c74ec7d50489fb_128.bmp (0 Bytes, 下载次数: 0)
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金钱124392
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不加也没事吧...
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初级会员, 积分 82, 距离下一级还需 118 积分
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回复【12楼】miaoguoqiang:
---------------------------------
请问你是用什么方法让ADC的采样速率提高的？我测量30K的时候每个周期只有10多个点。这样来看adc的采样只有300kHz。怎么提高？
~0x3; &&&//close&nbspLL
RCC-&gtLLCFGR
RCC-&gtLLCFGR
RCC-&gtLLCFGR
~(0x1ff&&6);&& //N
RCC-&gtLLCFGR
&(336&&6);
RCC-&gtLLCFGR
~(3&&16);
// RCC
&//open&nbspLL&choose&nbspLL
~(0xf&&4);
&&//HSE
// RCC-&CFGR
&(0x9&&4);
~(0x3f&&10);
这个是我时钟配置。
还有一个问题，f407的用户手册上说APB1不能超过42MHz,APB2不能超过84MHz。如果超了会怎样？
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金牌会员, 积分 1022, 距离下一级还需 1978 积分
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回复【14楼】yzl:
---------------------------------
我用的定时器触发&&&经过DMA传输。
手册上说不能超过，那最好不要超过，超过了应该会不稳定。
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回复【7楼】正点原子:
---------------------------------
“STM32F103xx&增强型产品：ADC&时钟为56MHz&时为1μs(ADC&时钟为72MHz&为1.17μs)”转换时间是不是写反了？
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回复【11楼】正点原子:
---------------------------------
弄明白了，没反！56MHz可以正好分频为14MHz（最高），14个采用周期也就是1us,72MHz最高可分频为12MHz，14个采样中期也就是1.17us
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回复【15楼】miaoguoqiang:
---------------------------------
请问你一下，你每次都是使用定时器进行软件出发的吗？这样的话你DMA传输的个数是怎么确定的？也就是DMA中传输的数据量你试写多少的？
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回复【4楼】shuilian007:
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【6楼】正点原子:
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采样周期是完成一次ADC采样所用的时间吗？还是说相邻两次ADC采样的间隔回复？
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回复【12楼】miaoguoqiang:
---------------------------------
请问你这一个电压信号是多久采集一次的？
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mark&新手&也在看adc
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可以传一份代码给我吗？我最近也在做这个，谢谢& &
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