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行列式理论的应用
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3秒自动关闭窗口摘 要行列式是数学研究中一类重要的工具之一， 行列式最早出现在16世纪， 用于解决线性方程组的求解问题。现在，行列式经过几世纪的发展已经形 成了一整套完备的理论，并且在数学这门学科中占有很重要的位置。本论 文通过对行列式理论和行列式在线性方程组和中学数学中的应用展开研 究。首先论述了行列式的历史意义，其次展示了行列式在线性方程组中的 应用以及在中学数学中的应用 , 重点论述了行列式在中学代数领域以及中 学几何领域的应用。 论文以求解线性方程组和解中学几何与代数问题为例， 论述了行列式在实际中的应用。主要通过文献研究的方法对行列式的应用 进行研究，充分阐释了行列式在不同方面的应用。关键词：行列式，线性方程组，中学代数，中学几何The Application of The Determinant AbstractThe determinant is one of a kind of important tools in mathematical research, determinant first appeared in the 16th century, used to solve linear equations to solve the problem. now, the determinant after centuries of development has formed a set of complete theory, and the mathematics occupies very important position in the subject. This paper based on the theory and determinant determinant in the system of linear equations and the application of the middle school mathematics study. First discusses the historical significance of determinant, the second shows the determinant in the application of linear equations, and the middle school mathematics, the application of the determinant is emphasized in the field of high school algebra and applied in the field of high school geometry. Paper to solve the linear system of equations and middle school geometry and algebra problem as an example, this paper discusses the determinant in the actual application. Mainly through the literature research methods to study the application of the determinant, fully illustrates the application of determinant in different aspects.Key words: determinant, system of linear equations, algebraic secondary school, high school geometry目录一、引 言 .......................................................... 1 (一)研究背景与问题 .............................................. 1 （二)文献综述 ................................................... 1 （三)研究意义 ................................................... 2 （四)研究目标 ................................................... 2 二、行列式理论研究 ................................................. 2 （一）行列式理论发展史 .......................................... 3 （二）行列式的现代理论 .......................................... 4 1.行列式的一些基本性质....................................... 5 2.行列式的展开............................................... 6 三、行列式在线性方程组中的应用 ..................................... 7 四、行列式在中学几何领域的应用 ..................................... 9 （一）应用行列式解决空间几何问题 ................................ 9 （二）行列式在平面几何中的应用 ................................. 13 （三）行列式在解析几何中的应用 ................................. 15 五、行列式在中学代数领域中的应用 .................................. 18 （一）应用行列式分解因式 ....................................... 18 （二）应用行列式解决代数不等式问题 ............................. 19 （三）应用行列式求解方程 ....................................... 21 （四）应用行列式分母有理化 ..................................... 23 六、结束语 ........................................................ 24 致 谢 .......................................... 错误！未定义书签。参考文献 .......................................................... 24一、引 言(一)研究背景与问题行列式起源于解二、三元线性方程组，然而它的应用早已超过代数的 范围、成为研究数学领域各分支的基本工具。不管是在高等数学领域里的 高深理论,还是在现实生活中的实际性问题,都或多或少的与行列式有着直 者间接的联系。其中有些问题都依赖于行列式来解决。归根结底这些问题 的研究,也就是行列式在某些方面的研究。 行列式是高等数学领域中的一个 极其重要的组成部分 ,同时也使得行列式成为高等代数的一个重要的研究 对象。 高等数学应该重视学生数学思维能力的培养，重视数学思想和方法的 形成过程，让学生既学习数学知识又学习数学思想，学习用数学知识和思 想表达与解现实世界一般问题的方法和技能。 因此，关于数学思想展开的研究，尤其是行列式的重要思想在线性方 程组和中学数学中的应用进行的研究就显得更加重要。本文主要研究行列 式理论在线性方程组和中学数学代数领域及几何领域中的应用[1]。（二)文献综述行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的，十七世纪， 日本数学家关孝和德国数学家莱布尼茨几乎是同时提出的。 十八世纪开始， 行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论得到 了进一步发展和完善。行列式的主要应用就是解线性方程组。 19 世纪末，现代国际教育的奠基人菲利克斯·克莱因主张在现代数学 观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系。高等数学的方法，可以 和中学数学相通，也可以迁移到中学数学中。高等数学的思想、方法不仅 可以帮助我们从更高的层面上理解初等数学问题，确定解题思路，还能帮 助我们进一步探索初等问题的实质，寻求更简捷的解决问题的方法。 21 世纪以来，国内相继展开关于高等代数应用的研究，很多人相继撰 写了相关文章，通过例子说明了高等代数作为一种工具在线性方程组和解1析几何以及中学数学中的一些应用。行列式作为高等代数中的一个重要概 念，对线性方程组和解析几何以及中学数学领域中的很多问题的解决提供 了很好的解决方法，它将使学生从中学的解题思维定势中走出来，用一种 更广阔的眼光来看数学问题。本文将针对行列式在线性方程组和中学数学 中的应用而展开讨论。（三)研究意义不管是在高等数学领域里的高深理论 , 还是在现实生活中的实际性问 题,都或多或少的与行列式有着直接或者间接的联系。 甚至还有好多问题都 与行列式是紧密相关的。这一切表明行列式是高等数学领域中的一个极其 重要的组成部分。本文通过分析行列式的应用从而了解到无论是线性方程 组,还是在中学数学, 行列式作为最基本的数学工具之一 ,都有着非常重要 的应用。（四)研究目标通过对行列式的理论进行研究，进一步提出行列式作为一种工具来解 决线性方程组以及中学数学中的问题，并不是简单的一题多解，而是一种 知识的融会贯通和发展学生的发散、联想思维。行列式的应用让学生对高 等代数产生兴趣，更重要的是使学生认识到数学的每一个分支都是一种工 具，而且各分支之间是有联系的，体会知识的融会贯通，同时培养学生数 学知识的迁移能力。二、行列式理论研究行列式的概念是由莱布尼兹最早提出来的。日本著名的“算圣”关孝 和在 1683 年的著作《解伏题之法》中就提出了行列式的概念及算法。与莱 布尼茨从线性方程组的求解入手不同 ,关孝和从高次方程组消元入手对这 一概念进行阐述。行列式的发明应归功于莱布尼兹和关孝和两位数学家， 他们各自在不同的地域以不同的方式提出了这个概念。2（一）行列式理论发展史1683 年，日本数学家关孝和在《解伏题之法》中第一次提出了行列 式这个概念。该书中提出了 2? 2 , 3 ? 3 乃至 5 ? 5 的行列式，行列式被用来求 解高次方组。1693 年，德国数学家莱布尼茨从三元一次方程的系统中消去 两个未知量得到了一个行列式。这个行式不等于零，就意味着有一组解同 时满足三个方程。由于当时没有矩阵这个概念，莱布尼茨用数对来表示行 式中元素的位置：i j 代表第 i 行第 j 列。 1730 年，苏格兰数学家科林·麦克劳林在他的《论代数》中已经开始 阐述行列式的理论，其间记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程组 的解法，并给出了四元一次方程组一般解的正确形式[2]。 1750 年，瑞士的加布里尔·克莱姆首次在他的《代数曲线分析引论》 给出了 n 元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线 的系数，但并没有给出证明。 此后，行列式的相关研究逐渐增加。1764 年，法国的艾蒂安·裴蜀在 论文中提出的行列式的计算方法简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别 线性方程组的方法。法国人的亚历山德·西奥菲勒·范德蒙德在 1771 年 的论著中首次将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。此后， 数学家们开始对列式本身进行研究。 1772 年， 皮埃尔-西蒙· 拉普拉斯在论文 《对积分和世界体系的探讨》 中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方 法，提出了子式的定义。1773 年，约瑟夫·路易斯·拉格朗日了 3 ? 3 列 式与空间中体积之间的联系： 原点和空间中三个点所构成的四面体的体积， 是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。 行列式被称为“determinant”最早是由卡尔·弗里德里希·高斯在他 的《算术研究》中提出的。 “determinant”有“决定”意思，这是由于高 认为行列式能够决定二次曲线的性质。高斯还提出了一种通过系数之间加 减来求解多元一次方程组的方法，即现在的高斯消元法。 十九世纪，行列式理论得到进一步地发展并完善。此前，高斯只不过 将“determinant”这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中，然而奥 古斯丁·路易·柯西在 1812 年首次将“determinant”一词用来示行列式。 柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家。柯3西还证明了曾经在雅克菲利普·玛利·比内的书中出现过但没有证明的行 列式乘法定理。 十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将矩阵的概 念引入数学研究中。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的 同时也带来了许多关于行列式的新结果。（二）行列式的现代理论定义 1 由 1,2,3, ?,n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列。 定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前 面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数 就称为这个排列的逆序数。 例如 2431 中， 21， 43， 41， 31 是逆序， 2431 的逆 序数就是 4。 而 45321 的逆序数是 9。排列 j1, j2, j3,? j n 的逆序数记为 ? ( j1, j2, j3? jn ) 。 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列 ,逆序数为奇数的排列称为奇 排列。 例如,2431 是偶排列,45321 是奇排列,1 2 ?n 的逆序数是零,因而是偶排 列[3]。 定义 4 n 级行列式a11 a21 ? an1 a12 a22 ? an 2 ? a1n ? a2 n ? ? ? ann等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积a1j1 , a 2j2 ?a n jn???的代数和,这里 j1 j2 ? jn 是 1,2,,n 的一个排列,每一项(*)都按下列规则带 有符号 : 当 j1 j2 ? jn 是偶排列时 ,(*) 带正号 , 当 j1 j2 ? jn 是奇排列时 ,(*)带 负号。 这一定义可写成4a11 a21 ? an1a12? a1nj1 j2 ? jna22 ? a2 n ? ? ? ? an 2 ? ann? ?? 1?? ? j1 j2 ? jn ?a1 j1 ,a 2 j2 ? anjn这里j1 j2 ? jn?表示对所有 n 级排列求和。1.行列式的一些基本性质 (1)在行列式中，一行（列）元素全为 0，则此行列式的值为 0。0 a21 ?0 ?? ?0 ?0 a12 ? a1na22 ? a2 n=0 a22 ? a2 n ? ? ? ? 0 an 2 ? ann=0an1 an 2 ? ann(2)在行列式中，某一行（列）有公因子 k，则可以提出 k。a11 ? D= ka j1 ? an1 a12 ? a1n a11 a12 ? a1n? ? ? ? ka j 2 ? ka jn =k a j1 ? an 2 ? ? ? ann ? an1? ? ? a j 2 ? a jn = kD1 ? ? ? an 2 ? ann(3)在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分 为两个相加的行列式。a11 ? a j 1 ? b j1 ? an1 a12 ? a1na11 a12 ? a1n a11 a12 ? a1n? ? ? ? a j 2 ? b j 2 ? a jn ? b jn = a j1 ? ? ? ? an 2 ? annan1? ? ? ? a j 2 ? a jn + b j1 ? ? ? ? an1 an 2 ? ann? ? ? b j 2 ? b jn ? ? ? an 2 ? ann(4)行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号。? ai1 a j1 ? ? ? ?? ? ? ?ai 2 ? ain a j1 a j 2 ? a jn = a j 2 ? a jn ai1 ai 2 ? ain ? ? ? ? ? ? ?5(5)在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为 0。2 8 ? an1 2 8 ? 2 8 ? 2 8 ?=0an 2 ? ann(6)将一行（列）的 k 倍加进另一行（列）里，行列式的值不变。? ai1 a j1 ? ? ai 2 a j2 ?? ? ? ? ? ain ai1 ai 2 ? ain = ? a jn a j1 ? ka i1 a j 2 ? ka i 2 ? a jn ? ka in ? ? ? ? ? ?? ?注意：一行（列）的 k 倍加上另一行（列） ，行列式的值改变。? ai1 a j1 ? ? ? ?ai 2 ? ain ? a j 2 ? a jn ka j1 ? a i1 ? ? ? ?? ai1? ai 2? ?? ainka j 2 ? a i 2 ? ka jn ? a in ? ? ?(7)行列式的乘法定理：方块矩阵的乘积的行列式等于行列式的乘积。 (8)det( AB )= det(A)det(B)。特别的，若将矩阵中每一行每一列上的数 都乘以一个常数 r ，那么所得到的行列式不是原来的 r 倍，而是 r ?? 倍。 det( rA)=det(r I n .A)=det(r I n ).det(A) r ?? det(A)。 2.行列式的展开 （1）余因式： 又称“余子式” 、 “余因子” 。对一个 n 阶的行列式 M ，去掉 M 的第 i 行 第 j 列后形成的 n-1 阶的行列式叫做 M 关于元素m1,1的余因式。记作 M 11m1,1 ?M ij?m1, j ?1 ?m1, j ?1 ??m1,n ?=mi ?1,1 ? mi ?1, j ?1 mi ?1,1 ? mi ?1, j ?1 ? mn ,1 ? ? mn , j ?1mi ?1, j ?1 ? mi ?1,n mi ?1, j ?1 ? mi ?1,n ? mn , j ?1 ? ? mn ,n6（2）代数余子式 M 关于元素 mij 的代数余子式记作 cij ， cij = ??1? （3）行列式关于行和列的展开 一个 n 阶的行列式 M 可以写成一行（或一列）的元素与对应的代数余 子式的乘积之和，叫作行列式按一行（或一列）的展开。 detM= ? mi?, j ci , ji ?1 ni? j? mij 。detM ? ? mi?, j ci , jj ?1n三、行列式在线性方程组中的应用在线性代数教材中，行列式一般处在第一章，但是行列式的应用贯穿在 整个线性代数中，在线性代数的教学中处在非常重要的地位．下面介绍行 列式在线性方程组中的应用[4]。 例 1 求解线性方程组 AX = b，其中 A 为 n 阶方阵且可逆，? x1 ? ? b1 ? ? ? ? ? ? x2 ? ?b ? X= ? ? ，b= ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?x ? ?b ? ? n? ? n?因为 A 可逆，所以? B1 ? ? ? ? b1A11 ? b2 A21 ? ? ? b n A nn ? ? A ? ? ? ?B ? 1 ? b1A12 ? b2 A 22 ? ? ? bn A n 2 ? ? 2 ? A? ?1 b= ? X= A b = ? =? A ? ?? A A ? ? ? b A ? b A ?? ? b A ? ? ? ? n nn ? ? Bn ? ? 1 1n 2 2 n ?A? ? ?所以线性方程组的解为 xi ?Bi A, 其中 Bi ? b1 A1i ? b2A2i ??? bn Ani ，即 Bi 为7矩阵 A 中第 i 列被向量 b 代替后得到的矩阵． 这就是 Cramer 法则， 由 上面推导过程显然还可以得到这时线性方程组的解是唯一确定的。? a x ? b1 y ? c1 例 2 当方程组 ? 1 中 D ? 0 时,两个方程 a1 x ? b1 y ? c1 , a2 x ? b2 y ? c2 ?a2 x ? b2 y ? c2表示的两条直线 L1 和 L 2 相交,方程组有唯一解； 当 D ? 0 ，且 Dx , Dy 中至少有一个不等于零时,表示直线 L1 与 L 2 平行, 方程组无解； 当 D ? Dx ? Dy 时,表示直线 L1 与 L 2 重合,方程组有无数组解。? a1 x ? b1 y ? c1 z ? d1 ? 对于三元一次方程组 ?a2 x ? b2 y ? c2 z ? d 2 的求解,可以把它与三阶行列式对 ?a x ? b y ? c z ? d 2 2 3 ? 2应地联系起来。 当系数行列式 D ? 0 时,方程组有唯一解 x ?Dy Dx D ,y? ,z ? z ； D D D当 D ? 0 ,且 Dx, Dy , Dz 中至少有一个不等于零时,方程组无解； 当 D ? Dx ? Dy ? D ? 0 时,方程组有无数组解。??a ? 1?x ? 2 y ? z ? 0 ? 例 3 考 虑 方 程 组 ? ? x ? ay ? 2 ? 0 的 解 。 这 个 方 程 组 显 然 有 解 ? ?a ? 1? y ? z ? 0 ?x ? 0, y ? 0, z ? 0, 问 a 为何值时，方程组有非零解。解：考虑系数行列式 D ，若 D ? 0 则方程组有唯一零解。所以方程组 要有非零解必定有系数行列式 D ? 0a ?1 2 a a ?1 ?1 a ?1 a ?1 0而 D ? ?1 02 ? ?1 1 0a 2 ? ?a ? 1? ? 1 a 2 ? ?a ? 1??3 ? a ? a ?1 1 0 a ?1 1110从而 D ? 0 解仅为 a ? ?1 或 a ? 3 ;经过检验得 a ? ?1 或 a ? 3 时方8程组有非零解。 说明:事实上我们把常数项为零的线性方程叫做齐次线性方程组, 而齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 D ? 0 。四、行列式在中学几何领域的应用行列式是现行高中普通课程标准 （实验） 中新增加内容， 安排在选修 4 —2 中， 行列式作为高等代数的基础内容安排在中学数学课程中为高中学生 理解数学基本原理、思想、方法，培养学生数学知识的迁移能力，进一步 学习提供必要的数学准备。行列式作为一种重要的数学工具引进，从更高 的角度、更便捷地解决了中学数学中的问题。本文结合中学数学课程内容， 将从空间几何、平面几何、解析几何三个方面探究行列式在中学几何领域 中的应用[5]。（一）应用行列式解决空间几何问题中学数学必修 4 和选修 2-1 已经针对平面向量和空间向量有了较为深 刻的研究，新课标要求学生掌握空间向量的线性运算和数量积，在此基础 上我们引入空间向量的外积和混合积，探寻行列式的几何意义，以新的视 角去认识向量与空间几何的紧密关系，开辟新的解题思路和方法，为初等 数学和高等数学的衔接做好铺垫。 定义 1：两个向量 a 与 b 的外积 a ? b 仍是一个向量，它的长度规定为a ? b ? a b sin a, b , 它 的 方 向 规 定 为 ： a 与 b 均 垂 直 ， 并 且 使? ? ? ? ( a , b , a ? b )成右手系，即当右手四指从 a 弯向 b （转角小于 90 度 ）时，? ? 拇指的指向就是 a ? b 的方向，向量的外积亦称向量积。 ? ? ? ? ? ? 定义 2：设 a , b , c 是 3 个向量，称（ a ? b ） ? c 为这三个向量的混合 ? ? ? ? ? ? 积。 （ a ? b ） ? c 可记作( a , b , c )。? ? ? 在直角坐标计算向量的外积和混合积： 设[ o, i , j , k ]是一个右手直角标9? ? ? 架， a , b , c 在其中的坐标分别是( a1 , a2 , a3 )( b1 , b2 , b3 )( c1 , c2 , c3 ),则? a2 ? ? （ a ? b ）= ? ?b ? 2a3 a3 , b3 b3a1 a1 , b1 b1a2 b2? ? ? ?a1 b1 c1 ? ? ? ? ? ? a , b , c =（ a ? b ） ? c = a2 b2 c 2 a3 b3 c3例 1 已知正方体 ABCD- A?B?C ?D? 的棱长为 1， M 点是棱 AA? 的中点， 点 O 是对角线 BD? 的中点。 (1)求证：OM 为异面直线 AA? 和 BD? 的公垂线; (2)求二面角 M- BC? - B? 的大小; (3)求三棱锥 M-OBC 的体积。 解：以点 D 为坐标原点，建立如图所示的D’ B’ A’C’O DCAB空间直角坐标系 D-xyz 则 由已知 D( 0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A? (1,0,1), B? (1,1,1), D? (0,0,1),M(1,0, 2?1 ), O(2?1 ,2?1 ,2?1 ) ；(1)证明:?OM ? (2?1,?2?1,0), AA ? (0,0,1), BD ? (?1,?1,1).10?OM ? AA ? 0, OM ? BD ? ?2?1 ? 2?1 ? 0 ? 0,?OM ? AA?, OM ? BD?.又因为 OM 与异面直线 AA? 和 BD? 都相交,所以 OM 为异面直线 AA? 和 BD? 的公垂线。 (2)取平面 BB?C? 的一个法向量为 n1 = (0,1,0) , 设平面 MBC? 的法向量为n 2 ,因为 MB ? (0,1,?2?1 ), MC ? (?1,1,2?1 ) ,所以? 1 ? 2?1 ? 2?1 0 0 1 ? ? ? (1,2?1 ,1) n2 ? MB ? MC ? ? , ?1 , ? 1 ?1 2 ?1 ?1 1 ? 2 ? ? 1 n ?n 1 cos n1 , n2 ? 1 2 ? 2 ? , 由图分析可知 , 二面角 M ? BC ? 为锐角 , 故二面 3 3 n1 ? n2 2 1 角 M ? BC ? ? B? 的大小为 arccos , 3(3)因为 OM ? (2?1,?2?1,0),OC ? (?2?1,2?1,?2?1 ),OB ? (2?1,2?1,?2?1 ),1 1 1 1 ? 2 ?1 2 ?1 2 ?1 ? ? ? 6 6 4 24 0 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 ?1 ? 2 ?1 2 ?1所以 VM ?OBC ?例 2 如图所示，在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中，已知AB ? 4, AD ? 3, AA 1 ? 2, E, F 分别是线段 AB , BC 上的点，且 BE =BF=1 ，点 M , N 分别为线段 D1C1 , CC1 的中点。 (1)求证点 M , N,F,Z 共面； (2)求点 N 到直线 ME 的距离； (3)求异面直线 EC1 , FD1 的距离。D1 A1 D C A E B 11 M B1 C1 Nz D1 A1 D C A x E B y M B1 C1 N如图 6 解：如图 6 所示以 D 为坐标原点建立 空间坐标系 D-xyz，则 D (0,0,0)， C1 (0, 4, 2)D1 (0,0,2), E(3,3,0), F (2,4,0), M (0,2,2) ,N(0,4,1)；(1)ME ? (3,1,?2), MF ? (2,2,?2), MN ? (0,2,?1)这三个向量的混合积为3 2 0 1 2 2 ? ?6 ? 8 ? 2 ? 12 ? 0 ? 2 ? 2 ?1显然有这三个向量 ME, MF, MN 张成的平行六面体体积为 0， 故这三个 向量共面，所以四点 M , N,F,Z 共面。 (2)由向量外积定义知 MN ? ME ? MN ? ME sin MN ? ME ，设点 N 到MN ? ME ME直线 ME 的距离为 d ，所以 d ? MN ? sin MN ? ME ?,? 2 ?1 ?1 0 0 2 ? ? ? (?3,?3,?6) 又 MN ? ME ? ? , , ? 1 ?2 ?2 3 3 1 ? ? ?解得： d ?3 21 。 712(3) 设 异 面 直 线EC1 , FD1 的 距 离 为d1， 易 知EC1 ? (?3,1,2), FD1 ? (?2,?4,2), EF ? (?1,1,0), 所以异面直线 EC1 , FD1 的公垂? 1 2 2 ?3 ?3 1 ? ? ? (10,2,14), 异面直线 线的方向向量为 EC1 ? FD1 ? ? , , ? ?4 2 2 ?2 ?2 ?4 ? ? ?EC1 , FD1 的距离为直线 EC1 上任意一点和直线 FD1 上任意一点连线在公垂线的方向向量的投影， 即 d? ?EF ? ( EC1 ? FD1 ) EC1 ? FD1??8 10 ? 2 ? 142 2 2?4 3 15（二）行列式在平面几何中的应用一些平面几何问题，按照传统的中学数学解题方法，一般比较困难， 利用行列式的知识解题可以将复杂的理论问题转化为简单的计算问题[6]。 例 1 求证：三角形三条中线交于一点。 证明： （方法一：斜坐标法） AE F G D CB以 B 为原点，建立斜坐标如图所示，设点 B(0,0),C(2a,0),A(0,2b),由于 D,E,F 分别是 BC,AB,AC 边上的中点， 从而点 D 为(a,0),E(0,b),F(a,b), 直线 AD 的方程为 直线 CE 的方程为 (1)-(2)得：x y ? ?1 a 2b x y ? ?1 2a b (3)(1) (2)x y ? ?0 2a 2b即 BG 直线所在方程。又由于 F 点坐标为(a,b),显然 F 点坐标满足方程13(3)，即 F 点在直线 BG 上。故三角形三条中线交于一点。 证明： （方法二：统一法）A E F B B A F E CDCD在 ? ABC 中，连结 DE,AD,BE,由三角形中位线定理得? ?DOE 与 ?AOB 相似,? DO ? EO ? DE ? 1 ， AO BO AB 2DE 1 ? AB 2同理，连结 DF,CF,AD,得DO? FO? DF 1 ? ? ? ，从而点 O 与 O? 重合，根据 AO? CO? AC 2统一法得，三角形三条中线交于一点。 证明： （方法三：向量法）CF G A DEB令 AB ? a, AC ? b, 连结 CD,BF 交于点 G，? C , D, G 共线，AG ? ? AD ? (1 ? ? ) AC ? ? a ? (1 ? ? )b, 2(1)又? B ,G,F 共线,b ? AG ? ? AF ? (1 ? ? ) AB ? ? ? (1 ? ? )a. 2(2)14? ?? ?? ? ? 2 ? 1? ?, 由(1),(2)得, ? 从而 ? ? ? ? 1 ? ?. ?? ? ?2 ?2 3 . 有 AG ? 1 a ? 1 b. 2 3 3 3又? AE ?1 1 3 a ? b,? AE ? AG , 从而 A,G,E 三点共线，即三角形三条中线 2 2 2交于一点。 扩展：应用行列式还可以证明三角形三条高线交于一点，三条角平分线交 于一点。 例 2 求证：三角形三条高线交于一点。EC DAFB证：建立直角坐标系如图所示，设A(a,0), B(b,0), BC ? (?b, c), AC ? (?a, c)? 直 线 AD 法 向 量 为 (-b ,c) ， 且 过 点 A( a,0), ? 直 线 AD 为-bx+cy+ab=0。 同理，直线 BE 为-ax+cy+ab=0，直线 CF 为 x=0。 将三个直线方程看做是以 x,y,1 为未知数的齐次线性方程组， 其系数行列 式为c ab ? a c ab ? ? abc ? abc ? 0, c ab 1 0 0 ? b c ab故齐次线性方程组有唯一解，即三条直线交于 1 点。（三）行列式在解析几何中的应用利用齐次线性方程组有非零解的充要条件这一理论， 能给出中学解析 几何中直线方程、圆锥曲线方程等的行列式形式[7]。15例1? 4 2? ? 3 7? ? ? ? 求经过点 ?1, ? 3 ?和? ? 4 ? ,且焦点在 x 轴上的椭圆方程。 ? ? ? ?x2 y2 解:设椭圆方程为 2 ? 1 ? 1 ,若点 ?x1 , y1 ?和?x2 , y2 ? 在椭圆上,则 a b1 ? 2 1 2 ?x ? a 2 ? y ? b2 ?1 ? 0 ? ? 2 1 2 1 ? x1 ? 2 ? y1 ? ? 1 ? 0 a b ? 1 2 2 ? x ? ? y ? 1 ?1 ? 0 2 2 ? a2 b ?将其看成关于1 1 ， 和-1 的齐次线性方程组,因为它有非零解,所以椭圆 a 2 b2x2 y2 1 y2 1 32 1 ?0 y12 1 ? 0 ，代值 1 9 2 y2 1 63 9 1 16 4x2 方程可写成 x12 2 x232 32 1 1 1 1 9 ?0 即 9 x 2 ? 63 y 2 ? 1 63 9 9 1 16 16 4 4解得x2 y2 ? ?1 9 4例 2? 15 3 ? 求经过点 (9 , 4 2 )和 ? ? , ?, 且焦点在 x 轴上的双曲线方程。 ? 4 2?x2 y2 ? ? 1 ,若点 ?x1 , y1 ?和?x2 , y2 ? 在双曲线上,则 a 2 b1解:设双曲线方程为1 ? 2 1 2 ?x ? a 2 ? y ? b2 ?1 ? 0 ? ? 2 1 2 1 ? x1 ? 2 ? y1 ? ? 1 ? 0 a b ? 1 ? x2 ? ? y2 ? 1 ?1 ? 0 2 2 ? a2 b ?将其看成关于 和-1 的齐次线性方程组,因为它有非零解,所以椭圆1 1 ， ? a 2 b216x2 方程可写成 x12 2 x2x2 y2 1 y2 1 y12 1 ? 0 ，代值 81 32 1 ? 0 225 9 2 y2 1 1 16 481 32 32 1 1 1 即 9 x 2 ? 225 y 2 ? 225 9 ? 0 1 1 16 16 4 4x2 y2 ?1 解得 ? 9 4扩展：类比可以给出直线方程，圆的方程，一元二次函数等的行列式形式。 例 3 求椭圆x2 y2 ? ? 1 内接三角形 ABC 面积的最大值。 5 4解 ： 不 妨 设 三 角 形 ABC 的 坐 标 分 别 为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y2 ?, ?x3 , y3 ? ， 则 有? 5 yi ? ? xi2 yi2 5 yi ? ? ? 5, 点? xi , ? 为圆 x 2 ? y 2 ? 5 上 ? ? 1?i ? 1,2,3? ， 易知：xi2 ? ? ? ? ? 5 4 2 ? ? 2 ? ? ?2三点，不妨依次设为 A?，B?，C ? 。 因为 S ?ABC ? AB ? AC ?x2 ? x1 x3 ? x1 y2 ? y1 ， y3 ? y1S ?ABC ? AB ? AC ?x2 ? x1 x3 ? x15 ? y2 ? y1 ? 5 2 ? S ?ABC 2 5 ? y3 ? y1 ? 23 15 15 3 S ?ABC 所以 2 4又在圆里正三角形面积最大，故 S ?ABC ?x2 y2 3 15 ? 1 内接三角形 ABC 面积的最大值为 即椭圆 ? 。 2 5 417五、行列式在中学代数领域中的应用（一）应用行列式分解因式应用行列式进行分解因式重在构造，利用行列式的性质进行运算，以 使得可以提取公因式。3 2 例 1 分解因式 x ? x ? x ? 22 3 2 解： x ? x ? x ? 2 = x ?x ? 1? ? ?x ? 2?x2 = 1=x?2 （第一列乘以 1 加到第二列） x ?1 x2 ? x ? 2 x?2x2 1 x2 1=?x ? 2??x ?1? （提取公因式）x?2 x2 1=(x+2)?x ? 1?1=(x+2)( x 2 ? x ? 1 ) 例 2 分解因式 x 3 ? 4 x 2 ? x ? 6 解：原式= x 2 ? ?x ? 4? ? ?? 1?? ?x ? 6?x ?1 2 x2 x ? 6 x2 ?1 2x ? 2 = =(x-1) =(x-1)(x+2)(x+3) ?1 x ? 4 ?1 x ? 4 ?1 x?4=例 3 分解因式 x 2 ? xy ? 2 y 2 ? 2x ? 7 y ? 3解：原式=x ? 2 y 2 x ? 7 y ? 3 x ? 2 y ? 1 3x ? 6 y ? 3 1 3 =(x+2y-1) ? ?1 x ? y ?1 x? y ?1 x? y18=(x+2y-1)(x-y+3) 例 4 分解因式 5x 4 ? 24x3 ? 15x 2 ? 118x ? 24 解：原式= x 2 5x 2 ? 24x ?15 ? 2?59x ?12?5 x 2 ? 24x ? 15 59x ? 12 2 ? ?x ? 2? 2 2 x2 ? 5 x 2 ? 24x ? 15 ? 10x 2 ? 11x ? 18 2 ? ?x ? 2? x2 ? 4 5 x 2 ? 24x ? 15 5 x 2 ? 14x ? 24 2 x?4??5 x 2 ? 24x ? 15 ? 10x ? 9 x?2? ?x ? 2?? x ? 4?5 x 2 ? 24x ? 15 5 x ? 6 1? ?x ? 2?? x ? 4??5 x ? 1?? x ? 3?（二）应用行列式解决代数不等式问题a 3 ? b3 ? c3 ? ? abc ,其中 a , b, c ? R 3例 1 求证不等式证明：要证明a 3 ? b3 ? c3 ? abc ，只需证明 a 3 ? b3 ? c 3 ? 3abc ? 0 3a bca 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? c a b （将第二行和第三行分别加到第一行） b c a a?b?c a?b?c a?b?c=c ba cb a1 1 1 = ?a ? b ? c ? c a b b c a? ?a ? b ? c ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac 1 2 2 2 ? ?a ? b ? c ??a ? b ? ? ?a ? c ? ? ?b ? c ? 2????193 3 3 a 3 ? b3 ? c3 ? ? abc 得证。 因为 a , b, c ? R 所以 a ? b ? c ? 3abc ? 0 ,故 3例 2求证不等式 a2 ? b2 c2 ? d 2 ? ?ac ? bd?????2证明： a2 ? b2 c2 ? d 2 ? ?ac ? bd? =????2a 2 ? b 2 ac ? bd （根据行列式线性性质展开） ac ? bd c 2 ? d 2?a2ac2ac c?a2bd2ac d?b2ac2bd c?b2bdbd d 2? 0 ? a 2 d 2 ? abcd ? b 2c 2 ? abcd ? 0 ? ?ad ? bc? ? 02即证。 例 3 求证：当 x ? a ? b ? c 时，不等式?x ? a??x ? b??x ? c? ? ab?x ? c? ? bc?x ? a? ? 2abc恒成立。证明: ?x ? a ??x ? b??x ? c ? ? ab?x ? c ? ? bc?x ? a ? ? 2abcx?a= ab?c?a x= ax ?b c （第二行乘以 1 加到第一行） b x?c x 0x ?b c （第三行乘以 1 加到第二行） ?a b x?c x x 0= 0x x （分别从第一行和第二行提取公因式 x） ?a b x?c 1 1 0=x 021 1 ?a b x?c20= x 2 ?x ? a ? b ? c ? 所以当 x ? a ? b ? c 时， x 2 ?x ? a ? b ? c? ? 0 故不等式 ?x ? a ??x ? b??x ? c ? ? ab?x ? c ? ? bc?x ? a ? ? 2abc恒成立。? A ? ax ? bz ? cy ? 1 ? 例 4：已知 ? B ? ay ? cx ? cz ? 2 求: ?C ? az ? by ? cx ? 3 ??a2? b2 ? c 2 ? 3abc ? x3 ? y3 ? z 3 ? 3xyza b c x a y y x z z???y x z z? A B C ? y? ? C A B x? ? B C A解：c ba b?z c? a b c ?? x ? ?? y ? ? c a b ?? z ?? x ? ? b c a ?? y? A3 ? B 3 ? C 3 ? 3 ABC ? 18在上述的例子中所求证的不等式，分别是中学数学教材中介绍的三个 正数的算术-几何平均不等式、二维形式的柯西不等式，在此我们给出了它 们的行列式证明方法。此外，利用行列式恒等变形的性质也为解决不等式 问题提供了新的证明方法和思路 。[8]（三）应用行列式求解方程在中学数学中详细介绍了一元二次方程的解法，而学生要解决未知数 含根式或高次的方程就需要较强的解题技巧和思维能力，而采用行列式这 个有用的数学工具去解决这类问题就可以取得事半功倍的效果。3x ? 7 ? x ? 3 7x ? 9 ? x ? 3 ? 例 1 解方程: 3x ? 7 ? x ? 3 7x ? 9 ? x ? 3解：? 3x ? 7 ?x ? 3 ? 7x ? 9 ? x ? 3 ?????7 x ? 9 ? x ? 3 ? 3x ? 7 ? x ? 3 ? 0???213x ? 7 ? x ? 3 3x ? 7 ? x ? 3 ? ?2 3x ? 7 x ?37x ? 9 ? x ? 3 3x ? 7 ?2 7x ? 9 ? x ? 3 3x ? 7 ? x ? 3 7x ? 9 ?0 x ?3 7x ? 9 ?0 17x ? 9 7x ? 9 ? x ? 3即?2 x ?3? 2 x ? 3 3x ? 7 ? 7 x ? 9 ? 0 x ? 3 ? 0或 3x ? 7 ? 7 x ? 9 ? 0?3x ? 7 1?解得： x=3， x=4。 例 2 已知反比例函数 y ?6 和一元二次函数 y ? x 2 ? 4 x ? 1 ，求在实数域内 x它们的交点所构成的图形的面积。 解：由已知得6 ? x 2 ? 4 x ? 1 ，即 x 3 ? 4 x 2 ? x ? 6 ? 0 xx3 ? 4x 2 ? x ? 6 ? x 2 ?x ? 4? ? ??1??x ? 6?? x2 x ? 6 （第一列乘以 1 加到第二列） ?1 x ? 4x2 x2 ? x ? 6 = ?1 x?3 x2 = ?1?x ? 3??x ? 2? 提取公因式)x?3x2 ?1 x?2 1? ?x ? 3?? ?x ? 3??x ? 2??x ? 1?所以 x1 ? ?1, x2 ? ?2, x3 ? 1 在实数域内有三个交点且分别设为 A， B 和 C。 易知 A(-3,-2), B (-2,-3), C (1,6),即 AB=(1,-1), AC=(4,8)。所以这三个交点构成的三角形面积为:S?ABC ?1 1 1 ?4 AB ? AC ? ?6 2 2 ?1 822（四）应用行列式分母有理化将形如1 a0 ? a1 c ? a2 3 c 23的分式有理化 （其中 a0，a1，a2，c ? Q ） ， 显然直接采用中学数学现行的理论是不能解决这个问题的，我们不妨利用中学 数学中求等比数列前 N 项和的方法构建一个齐次线性方程组， 结合行列式 给出解决这类分式有理化的通法[9]。一般地，不妨设 S ? a0 ? a1 3 c ? a2 3 c21 即将 有理化，分别用 3 c和3 c 2 去乘 S，得到： ss ? a0 ? a1 3 c ? a2 3 c 23 3c s ? a2 c ? a0 3 c ? a1 3 c 2 c 2 s ? a1 ? a2 3 c ? a0 3 c 23 3?a0 ? s ? ? a1 3 c ? a2 3 c 2 ? 0 变形为：?a c ??a c ?12c s ? a0 3 c ? a1 3 c 2 ? 0 c 2 s ? a 2 c 3 c ? a0 3 c 2 ? 0??将其看成关于 1， 3 c , 3 c2 的齐次线性方程组，有非 0 解，故系数行列式 等于 0，即：a0 ? s a2 c ? c s3 3 2a1 a0 13 3a2a0 a1c a2 a1a1 a0a2 a1 ? s3 31 c c2a1 a0 a2a2 a1 ? 0 a0a1 ? a2 c a1 a0a1c ? c s a2 c a0 c2a 2 c a0c 1 所以： ? a0 s a2 c a1c? ? a0 a1 a2 ? a 2 c a0 ? ? 其中 a2 c a0 a1 ? Q ? a1 a2 ? ? a1c a2 c a0 ? ? a a0 1a 2 c a0例 1 将1 分母有理化。 1 ? 2 ? 23 432311 2 1 11 3 3 解：代值求得 1 ? 2 ? 2 4 =3 324 4 1 ? 3 ? 3 4 ? 73 2 ? 1 1 2 23 4 1 1 2 4 1六、结束语本论文研究了行列式在不同方面的应用，主要结论如下： (1)行列式在线性方程组中的应用。 (2)行列式在中学几何领域中的应用。 (3)行列式在中学代数领域中的应用。 由行列式在线性方程组中的应用可知，行列式的定义和线性方程组的 求解是分不开的。解线性方程组是行列式的一个主要的应用。在线性方程 组理论中，涉及到许多问题，行列式是能够起到关键的作用的，若能够熟 练有效的运用行列式，对于我们最终解决问题会有直接的帮助。 由行列式在中学数学中的应用可知， 随着新课程的开展,高等数学的思 想方法在高中数学中渗透越来越深。行列式作为高等代数中的一个重要理 论与重要工具,从更高的角度研究高中数学中的问题,将使学生从中学的解 题思维定势中解放出来,用更广阔的眼光看中学数学问题。 行列式在中学代 数与几何两个方面的应用,将高中数学知识融会贯通,同时发展学生发散思 维,培养学生知识的迁移能力。参考文献[1]阮国利.高等数学方法在中学数学中的应用研究[D]:［硕士学位论文］.内蒙古： 内蒙古师范大学，2008. [2]刘金山,吴明芬.线性代数解题方法.广州:华南理工大学出版社,2000(6). [3]许仲.线性代数典型题分析解集.西安:西北工业大学出版社,2000. [4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京:人民教育出版 社,2003. [5]朱荣坤.高等代数观点下的中学数学问题研究[J.集美大学学报,). 24[6]夏师.高等代数在中学数学的一些应用[J].广西右江民族师专学报,). [7]李云杰.“高观点”下的中学数学的实践与认识[D]:［硕士学位论文］.福建：福 建师范大学，2005. [9]Xu Junqin, Zhao Likuan.An Application of the Vandermonde Determinant[J]. Technology,International Journal of Mathematical Education in Science & v37 n2p229-231 Mar 2006. 3pp.[10]Berliner,AdamH.Determinants,permanents,and the enumeration of forest-partitions[J].Dissertation Abstracts International.2009.25