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概率论第一章 基本概念
第一章 基本概念绪言 §1.1 随机试验（ Random experiment）§1.2 随机事件（ Random Events ） §1.3 事件的概率（ Probability ）小结 课程要求 习题选讲 本章测验上页广 东 工 业 大 学下页返回第一章 基本概念本章主要讲述随机试验，样本空 间，随机事件，事件间的关系与运算， 频率，概率的统计定义，概率的性质， 古典概型。广 东 工 业 大 学上页下页返回绪 言在我们所生活的世界上，充满了不确定性： 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂 的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流 星坠落，到大自然的千变万化……，我们无时无刻不面临着 不确定性和随机性.从亚里士多德（公元前三八四年）时代开始，哲学家们 就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为 破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西. 但那时没 有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性.上页广 东 工 业 大 学下页返回将不定性数量化，是直到17、18世纪初叶才开始的。随 着科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机 会游戏(扔硬币,掷骰子,玩扑克等)相似，从而由机会游戏起源 的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本 身的发展。早期的概率问题下赌注问题17世纪，法国的一赌徒Chevalies Demere在赌博中感觉 到，如果上抛一对骰子25次，则把赌注押到“ 至少出现一 次双六”比把赌注押到“完全不出现双六”更有利，但他本 人找不出原因，后来请当时著名的数学家pascal解决了这一 问题,从此，奠定了概率研究的开始。上页广 东 工 业 大 学下页返回17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡、P.de费马及荷兰数 学家C.惠更斯基于排列组合的方法研究了一些较复杂的赌博 问题，他们解决了“合理分配赌注问题”,“输光问题”等等。 其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值， 从而导致了现今称之为数学期望的概念。 使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人则是瑞士数 学家雅各布第一?伯努利，他建立了概率论中第一个极限定 理，即伯努利大数定律，拉普拉斯等在系统总结前人工作的 基础上，写出了《概率的分析理论》(1812年出版)，在这 一著作中，他首次明确规定了概率的古典定义(通常称为古 典概率)，并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分 方程、母函数等，将概率论推向一个新的发展阶段。到20世 纪30年代，有关独立随机变量序列的极限理论日臻完备，使 概率研究有了严格的数学理论基础。上页广 东 工 业 大 学下页返回概率论在各个学科中有广泛的应用概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律. 它有自己独特的概念和方法，并且与其他数学分支又有紧 密的联系。它是现代数学的重要组成部分. 其应用几乎遍 及所有的科学技术领域,包括社会科学：社会学，管理学，经济学，军事学等等 自然科学：包括物理学，化学，生物学，医学等等 例如: 经济学中投资的风险分析、股价波动的随机性分析， 经济的稳定增长等问题;上页广 东 工 业 大 学下页返回服务系统中如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊， 红绿灯交换，存货控制等等; 生物学中研究群体的增长、群体间竞争的生态问题等等； 再如我们熟悉的天气预报, 地震预报, 产品的抽样调查; 系统的可靠性都涉及概率问题． 概率probability一词在日常生活中也已经广泛应用 如产品合格率，犯罪率，出生率，离婚率，命中率， 成功率，患病率，有效率，痊愈率，及格率等等。广 东 工 业 大 学上页下页返回具 体 例 子１、进货问题 某商店某种商品销售的产品数量是不定的，该店需要在 月初进货，货多了有积压损失，货少了又有缺货损失，那么 每月进多少货合适？ ２、服务台设Z问题一个随机服务系统，每天到来的顾客及服务时间是不确 定的，那么需要设Z多少服务台的规模才能使顾客等候不太 久？服务台的工作人员有合适的忙闲程度？ ３、保险问题保险公司要为社会上一定阶层的人设计一定保额的投保 方案，要求每位参加保险的人交纳一定的保金，保金交少了 会保险公司会亏损，交多了没人投保同样会亏损，那么投保 人多少保金才能使保险公司公司赢利最大？上页广 东 工 业 大 学下页返回何为随机现象？人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类： 1、确定性的现象（必然现象）necessity, inevitability。 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象. 例如： ? 在标准大气压下，水加热到100°C必沸腾； ? 同性电荷必然互斥； ? 函数在间断点处不存在导数。 确定性现象的特征： 条件完全决定结果。上页广 东 工 业 大 学下页返回何为随机现象？人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类： 1、确定性的现象（必然现象）necessity, inevitability。 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.2、非确性的现象（偶然现象） randomly, chance。在一定条件下可能出现也可能不出现的现象。 ? 上抛一枚硬币，出现正面向上； ? 某商店某天某商品的销售量为50件； ? 测试某厂某元件的寿命为1000小时（或尺寸大小）。非确定性现象的特征： 条件不能完全决定结果。上页广 东 工 业 大 学下页返回不确定性现象都没有规律可循吗？有部分非确定性现象在大量重复试验时，统计结果呈现 现出一定的规律性。例如: ?上抛一硬币10000次， 出现正面向上的次数 总是5000次左右。 在一定条件下，进行大量 观测会发现某种规律性。上页广 东 工 业 大 学下页返回不确定性现象都没有规律可循吗？有部分非确定性现象在大量重复试验时，统计结果呈现 现出一定的规律性。例如: ?一门火炮在一定条件下进行射 击，个别炮弹的弹着点可能偏离 目标而有随机性的误差，但大量 炮弹的弹着点则表现出一定的规 律性，如一定的命中率，一定的 分布规律等等。上页广 东 工 业 大 学下页返回不确定性现象都没有规律可循吗？有部分非确定性现象在大量重复试验时，统计结果呈现 现出一定的规律性。例如: ?在一个容器内有许多气体分子，每 个气体分子的运动存在着不定性，无 法预言它在指定时刻的动量和方向. 但大量分子的平均活动却呈现出某种 稳定性，如在一定的温度下，气体对 器壁的压力是稳定的，呈现“无序中 的规律”.上页广 东 工 业 大 学下页返回随机现象在相同条件下可以重复操作出现，并有一定的规律性的 非确定性现象称为随机现象。随机事件的发生具有偶然性, 机遇性，在一次试验中， 可能发生，也可能不发生。但在大量重复试验中，随机现象 常常表现出这样或那样的统计规律，称为随机现象的统计规 律性。 概率论与数理统计的研究的对象：随机现象的统计规律性广 东 工 业 大 学上页下页返回§1.1 随机试验( Random experiment)鉴于我们要研究的对象和任务（即随机现象的统计规律 性），必需对研究对象进行试验或观察。 例：? ? ???E1 . E2 . E3 . E4 .抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。 某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车 电话的次数。 E5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。上页广 东 工 业 大 学下页返回这些试验都具有以下的特点： ⑴ 可以在相同的条件下重复地进行； ⑵ 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验 的所有可能结果； ⑶ 进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。 随机试验 在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机 试验(Random experiment)。简称试验，用E表示。上页广 东 工 业 大 学下页返回§1.2 随机事件( Random Events )1.2.1 样本空间 (Sampling space)１、样本空间： 把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为随机试验 E的样本空间，记为?。 ２、样本点 (Sampling point): 样本空间的元素，即E的每个可能的结果称为样本点。 常用 ?, e表示。 ３、有限样本空间： 样本点个数有限无限样本空间： 样本点个数无限上页广 东 工 业 大 学下页返回例 请写出下面试验的样本空间:? ? ? ?E1 . E2 . E3 . E4 .?抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。 某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车 电话的次数。 E5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。解: E1:“出现正面” (“H”)?1 ? { H , T }“出现反面” (“T”) 有限样本空间上页广 东 工 业 大 学返回下页例 请写出下面试验的样本空间:? ? ? ?E1 . E2 . E3 . E4 .?抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。 某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车 电话的次数。 E5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。解: E2:“出现0次”,“出现1次”,“出现2次”,“出现3次”或“0”,“1”,“2”,“3”广 东 工 业 大 学上页? 2 ? {0,1,2,3}有限样本空间下页返回例 请写出下面试验的样本空间:? ? ? ?E1 . E2 . E3 . E4 .?抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。 某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车 电话的次数。 E5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。? 3 ? {胜， 负， 平}解: E3: E4: E5:有限样本空间?4 ? {0,1,2,3,?}? 5 ? { t | 0 ? t ? ??}无限样本空间无限样本空间上页广 东 工 业 大 学下页返回更多例子: E6 ：上抛一枚硬币三次，观察正反面出现的情况。H ? 6 ? {（ （H H H），（T H H），（H T H），（T T H） } H T），（T H T），（H T T），（T T T）E7：对目标进行射击，记录着弹点的位Z。?7 ? {( x, y) | x, y ? D}E8：掷两次骰子作为一次试验,观察两次试验结果。第一次有6个可能的结果 第二次也有6个可能的结果将两次试验结果排序, 则共有36种可能的结果:? 8 ? {( x , y ) | x , y ? 1,2,3,4,5,6}上页广 东 工 业 大 学下页返回1.2.2 随机事件（Random event） 在实际问题中，面对一个随机试验，我们一般关心的是 某些特定的事件是否发生。 如： （１）出租车公司可能关心的是： “电话订车中心一天中接到订车电话数不超过１００” （２）灯泡采购员可能关心的是：“灯泡的寿命大于１０００小时”（３）在掷骰子中，赌徒关心的是掷两题骰子：“出现的点数和大于５”上页广 东 工 业 大 学下页返回１、随机事件（Random event） ： 在随机试验中,可能发生也可能不发生的事情称为随机事件。 （样本空间的子集称为随机事件，简称为事件。）２、随机事件的表示： 常用大写字母 A,B,C,…表示 3、事件发生 当一次试验结果出现在这个集合时，即当一次试验结果 ? ? A 时，就称这次试验中事件Ａ发生。否则称Ａ未发生。 即一次试验的结果为 ? 时? ? A ? 事件Ａ发生? ? A ? 事件Ａ未发生上页广 东 工 业 大 学下页返回例1 掷一颗骰子，观察出现的点数。 其样本空间 ? ? {1,2,3,4,5,6}事件Ａ表示出现的是偶数点，即 A ? {2,4,6} 事件Ｂ表示出现的是奇数点，即 B ? {1,3,5} 若掷骰子一次，出现点数３，则 由 3 ? B， 故在这一次试验中，事件Ｂ发生了； 由 3 ? A， 故在这一次试验中，事件Ａ没有发生。 若再掷骰子一次，出现点数６，则在这一次试验中事件Ａ发生了，而事件Ｂ未发生。? ? A ? 事件Ａ发生? ? A ? 事件Ａ未发生上页广 东 工 业 大 学下页返回4、必然事件 ? 每一次试验中必然会发生的事件。 ５、不可能事件 每一次试验中必然不会发生的事件。 ６、基本事件试验的每一个可能结果都称为基本事件。 即只含有单个样本点的集合。 Ω 样本空间ω必然事件由基本事件 构成的事件 A复合事件广 东 工 业 大 学返回基本事件上页下页例：掷一颗骰子，观察出现的点数。 其样本空间 ? ? {1,2,3,4,5,6} 事件Ａ表示出现的是偶数点，即 A ? {2,4,6} 复合事件 事件Ｂ表示出现的是奇数点，即 B ? {1,3,5} 复合事件 事件Ｃ表示出现点数６，即 C ? {6} 基本事件 事件D表示出现点数小于10， 事件F表示出现点数大于10， 必然事件 不可能事件广 东 工 业 大 学上页下页返回例2 一个袋中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从中任取出 一球，试写出样本空间、并用样本空间的子集表示下列事件： “摸出的是白球” “摸出的是白球或黑球” “摸出的是红球” “摸出的是黑球” 1 2 3 4 5 “摸出的是3号球” 解：设1、2、3号球是白球，4、5号球是黑球?i ? {取到第i号球} i ? 1,2,3,4,5样本空间 ? ? {?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 , ? 5 } “摸出的是白球” ? {?1 , ? 2 , ? 3 } ＝ A “摸出的是白球或黑球”? {?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 , ? 5 } ? ? “摸出的是红球” ? “摸出的是黑球”? {? 4 , ? 5 } ＝ B “摸出的是3号球”? {? 3 } ＝ C广 东 工 业 大 学上页下页返回小结1 随机现象的特征: 不确定性和统计规律性. 2. 随机现象是通过随机试验来研究的.随 机 试 验? (1) 可以在相同的条件下重复地进行; ? ? ? (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的所有 ? ? ? 可能结果;(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.3. 随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间,随机事件是样 本空间的子集. 子集 随机试验 样本空间 随机事件 必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件 广 东 基本事件(样本点) 单点集 统称 工 复合事件 部份样本点的集 样本空间子集 业 随机 大 必然事件 全空间Ω 事件 学 上页 返回 下页 不可能事件 空集ф1.2.3 事件间的关系与运算（Relation and operation of events） 有时候我们感兴趣的是一个较为复杂的事件，而直接 研某些复杂事件，有时候比较复杂。此时，我们可以利用 复杂事件与简单事件之间的联系，把较为复杂的事件分解 为一些较简单的事件来研究。为此，我们先定义事件间的 一些关系与运算。１、事件的包含 (Inclusion relation)如果事件A发生时，事件B一定发生。 （即若 ? ? A, 则 ? ? B 。） 则称事件B包含事件A,记作B ? A 或 A ? B.即Ａ为Ｂ 的子集。 Ω广 东 工 业 大 学返回B A上页下页例１掷一颗骰子，观察出现的点数。 其样本空间 ? ? {1,2,3,4,5,6}事件Ａ表示出现的是偶数点，即 A ? {2,4,6} 事件Ｂ表示出现的是奇数点，即 B ? {1,3,5} 事件Ｃ表示出现点数６，即 C ? {6} 显然事件Ｃ发生，则事件Ａ一定发生， 即 C ? A.２、事件的相等 (equivalent relation) 若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事件 A与事件B相等,记作 A=B.广 东 工 业 大 学上页下页返回例２ 假如一个圆形零件合格定义为直径和高度都合格 A＝“直径合格”， Ｂ＝“高度合格”, C＝“直径及高度合格”， D＝“产品合格”。因“直径不合格”必然导致“产品不合格” 所以“产品合格” 包含“直径合格”. 即有 D ? A同理有 D ? BC?D广 东 工 业 大 学上页下页返回３、事件的积(Product of events)“二事件Ａ，Ｂ同时发生”也是一个事件，称为事件Ａ A ? B. 与事件Ｂ的积事件（交事件）。记为A ? B ?｛Ａ发生且Ｂ发生｝? {? | ? ? A, 且? ? B}A? BA B简记为AB例２ 假如一个圆形零件合格定义为直径和高度都合格 A＝“直径合格”， Ｂ＝“高度合格”, C＝“直径及高度合格”， D＝“产品合格”。显然有 A ? B ? D上页广 东 工 业 大 学下页返回４、互不相容（互斥）事件(Incompatible events)如果 A 、 B 不能在同一次试验同时发生，则称 A 、 B 为 互不相容事件(或称A、B互斥）。 若事件Ａ与Ｂ互斥， 则AB为不可能事件，即AB ? ?.A与B互斥 ? AB ? ?互不相容事 件的关系广 东 工 业 大 学AB两两互斥：若一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是 两两互斥的。上页下页返回５、事件的并（和）(Union of events) “二事件Ａ，Ｂ至少发生一个”也是一个事件，称为 A ? B. 事件Ａ与事件Ｂ的并事件（和事件）。记为 A ? B ?｛Ａ发生或Ｂ发生｝? {? | ? ? A, 或? ? B } A BA? B若Ａ与Ｂ互斥，常将 A ? B 简记为 A ? B .例２ 假如一个圆形零件合格定义为直径和高度都合格 A＝“直径不合格”， Ｂ＝“高度不合格”, C＝“直径及高度合格”， D＝“产品不合格”。显然有 A ? B ? D上页广 东 工 业 大 学下页返回事件的交与并的推广A1 A2 ? An ? ? Ai ? ? Ai ? { A1 , A2 ,?, An同时发生}i ?1i ?1 ?nnA1 A2 A3 ? ? ? Ai ? ? Ai ? { A1 , A2 , A3 ,?同时发生}i ?1i ?1?A1 ? A2 ? ? ? An ? ? Ai ? { A1 , A2 ,?, An至少有一个发生 }i ?1 ?nA1 ? A2 ? A3 ? ? ? ? Ai ? { A1 , A2 , A3 ,?至少有一个发生 }i ?1广 东 工 业 大 学上页下页返回６、事件的差(Difference of events) “事件A发生，但事件B不发生”为一事件，称为A与B的差， 记为A ? B. A ? B ? { A发生且B不发生 } ? {? | ? ? A且? ? B}A? BAB?例 从装有编号为1到10的球的袋中任取一球。记 A＝“取到球的编号为偶数”＝“2，4，6，8，10”， 广 东 B＝“取到的编号小于8”＝“1，2，3，4，5，6，7”， 工 业 则 Ａ－Ｂ= “取到球的编号为偶数但不小于8” 大 ={8、10}上页学下页返回７、 对立事件(Opposite events) “事件Ａ不发生”是一个事件，称为Ａ的对立事件（或 逆事件）， 记为A. A ? { A不发生 } ? {? | ? ? ?且? ? A} ? ? ? AAAＢ为Ａ的对立事件，当且仅当(1) AB ? ? ( 2) A ? B ? ?上页广 东 工 业 大 学下页返回对立事件与互斥事件的区别 A、B 互斥 A、B 对立AB?AB? A?广 东 工 业 大 学AB ? ?,互 斥A ? B ? ? 且 AB ? ? .对立上页下页返回例4设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C 表示出来.(1) (2) (3) (4) (5) (6) 事件“A B 都发生, 但 C 不发生”; 事件“A，B，C都发生”; 事件“A, B，C中恰有两个发生”; 事件“A, B，C中至少有两个发生; 事件“A, B, C中有不多于一个事件发生” 事件“C发生，但A, B均不发生”解(1) ABC or AB ? C (2) ABC ; (3) ABC ? ABC ? ABC 广 (4) AB BC AC; or ABC ? ABC ? ABC＋ABC 东 工 ; (5) AB BC AC; or A B C＋A B C＋ A B C ＋A B C业 大 学 (6) ABC;上页下页返回例5 某人向指定目标射击三枪，Ai 表示“第i枪击中目标” 试用A i 表示下列事件 1. B＝“只击中第一枪” B ? A1 A2 A3 2. C＝“三枪至少有两枪击中目标” 3. D＝“至少有一枪击中目标” C ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3法一 A1 ? A2 ? A3法二 A1 A2 A3A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 法三法三分为互不 相容的七部分 事件的和 A1 A3 A1 A3上页A2法四 A1 ? A2 A1 ? A3 A1 A2A2法四分为如 图三部分互 不相容事件 的和广 东 工 业 大 学下页返回事件间的运算规律由于事件的运算对应其样本点集合的运算，因而事件有 与集合相同的运算规律设 A, B, C 为事件, 则有 (1) 交换律 A B ? B A, AB ? BA. (2) 结合律 ( A B) C ? A ( B C),(3) 分配律 ( AB)C ? A( BC ).　　 　A ( B C ) ? ( A B) ( A C ) ? AB 　A ( B ? C ) ? AB ? ACAC ,( A B) C ? ( A C ) ( B C ) ? ( A C )( B C ).　　(4)对偶律 : A B ? A B, A B ? A B.i ?1? Ai ? ? Ai ,i ?1nni ?1? Ai ? ? Aii ?1 上页下页返回nn广 东 工 业 大 学例： 运用事件运算关系证明等式　 AB ( A ? B) A??证明 由于A ? B ? AB, 则　AB ? ( A ? B) ? A ? AB ? ( AB ) ? A? A( B ? B ) ? A ? A? ? A ? ?分配律广 东 工 业 大 学上页下页返回小结记号概率论与集合论之间的对应关系概率论 集合论 空间(全集) 空集 元素 子集 A的补集 A是B的子集 A集合与B集合相等 A集合与B集合的并集广 东 工 A与B两集合的差集 业 A、B 两集合没有相同元素 大 学上页样本空间,必然事件 不可能事件 基本事件 A，B 随机事件 A A的对立事件 A ? B A出现必然导致 ? B出现 A＝B 事件A与事件B相等 A B 事件A与事件B的和???AB事件A与B的积事件A集合与B集合的交集A ? B 事件A与事件B的差AB ? ? 事件A与B互不相容下页返回P24 习题11, 3广 东 工 业 大 学上页下页返回§1.3事件的概率 (Probability）随机事件在一次试验中有可能发生也可能不发生，但多 次重复时，会发现有的事件发生多些，有的少些，这数量上 的区别反映了随机事件的内在的一种规律。 一、 频率的定义(Frequency) １、定义 设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条 件下，把E独立的重复做n次，v A 表示事件A在这n次试验 中出现的次数(称为频数)。比值v A / n称为事件A在这n次 试验中出现的频率(Frequency). 记为vA f n ( A) ? n上页广 东 工 业 大 学下页返回２、频率的性质（１）（２） （３）非负性：f n ( A) ? 0规范性：f n (? ) ? 1 有限可加性:若事件A和B互不相容，则有f n ( A ? B ) ? f n ( A) ? f n ( B )３、频率的稳定性 实践证明： 当试验次数n增大时,随机事件的频率 f n ( A) 逐渐趋向稳定。 广vA f n ( A) ? n上页东 工 业 大 学下页返回实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观 察正面出现的次数及频率.试验 序号 1 2 3 4 5n?5vAn ? 50f0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8vAf0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.36 0.54n ? 500 vA f251 249 256 24723 1 5 1 2 422 2521 25 24 18 270.502 0.4980.512 0.494 0.502 0.524 0.516广 东 工 业 大 学67251 262 258数据波动较大f5(A) 0.5 f50(A) 波动最小 f500(A) 表明：随着n的增加，事件的频率将呈现出稳定性 0.5 上页 ,稳定于 返回 下页n=5 n=50 n=500历史上的掷硬币试验试验者德.摩尔根 蒲丰 抛掷次数 n 正面出现次数 正面出现频率 m m/n.518 0.5069皮尔逊皮尔逊 维尼1200060190.50160.8f n ( A)n的增大稳定于1 . 2广 东 工 业 大 学上页下页返回新生儿性别统计表出生年份新生儿 总数n 新生儿分类数男孩数m1 女孩数m2频率(%) 男孩 女孩 51.31 48.69 51.22 48.7881 19826年总计44 71 73 52.73 50.56 51.56 51.47 51.4847.27 49.44 48.44 48.53 48.52可以看到生男孩的频率是稳定的, 约为0.515上页广 东 工 业 大 学返回下页二、 概率的统计定义１、定义 设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件A发生 的频率稳定在某数p附近摆动，则称数p为事件A发生的概率 (Probability) ，记为： P( A) ? p ２、几点说明 (1) 频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是说概率决 定于经验. 一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结 构, 指试验条件, 是先于试验而客观存在的. (2) 概率的统计定义只是描述性的。 (3) 通常只能在充分大时，事件出现的频率才作为事件概率 的近似值。上页广 东 工 业 大 学下页返回3、概率的性质(概率统计定义的性质) 性质1 性质2 非负性：对任一事件A ,有 P ( A) ? 0 规范性：对必然事件Ω ,有 P (?) ? 1性质3 有限可加性: 若事件A和B互不相容，则有P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B )若A1 , A2 ,?, An两两不相容 , 则有P ( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? ? ? P ( An )特别地，若 A1 , A2 ,?, Ak ,?两两不相容 , 则有P ( A1 ? A2 ? ? ? Ak ? ?) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? ? ? P ( Ak ) ? ?即P ( ? Ak ) ? ? P ( Ak )k ?1 k ?1??和的概率等 于概率的和上页广 东 工 业 大 学完全可加性下页返回4、概率性质的一些推论 （1） P (?) ? 0（2） 若A ? B, 则有P ( B ? A) ? P ( B ) ? P ( A) 且有 P ( B ) ? P ( A)（3）对任意事件A，有 0 ? P( A) ? 1 （4）对任意事件A和B，有P ( B ? A) ? P ( B ? BA) ? P ( B ) ? P ( BA)广 东 工 业 大 学上页下页返回注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式， 作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上， 我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义:5、概率的公理化定义:设随机试验的样本空间为 ? ,若对每一事件A ,有且只有 一个实数 P( A) 写之对应,满足如下公理:公理1(非负性) 公理2(规范性)0 ? P( A) ? 1 P (? ) ? 1?公理3(完全可加性) 对任意一列两两互斥事件 A1 , A2 ,? ,有P ( ? An ) ?n?1n ?1? P ( An )上页?则称 P( A)为事件 A 的概率.下页返回广 东 工 业 大 学这里我们先简要复习计算古典概率所用到的1. 加法原理 设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法, …； 第m 种方式有nm种方法,基本计数原理n1 n2: : :nm则完成这件事总共有 无论通过哪种方法都可以完成这件事， n1+n2+…+nm 种方法 . 例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车,也可以乘轮船. 乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法? 甲地 火车有两班 3 + 2 种方法 轮船有三班 乙地广 东 工 业 大 学上页下页返回基本计数原理2. 乘法原理 设完成一件事有m个步骤， 第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, …；n1种　n2种　　 　nm种则完成这件事共有第m个步骤有nm种方法, 必须通过每一步骤,才算完成这件事，n1 ? n2 ? ? ? nm种不同的方法 .例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他 可以有多少种打扮？广 东 工 业 大 学可以有3×2 种打扮上页下页返回加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但 可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .广 东 工 业 大 学上页下页返回三、排列、组合的几个简单公式排列和组合的区别：顺序不同是 不同的排列3把不同的钥匙的排列6种 而组合不管顺序,只要包含的元素一样就是同一种组合从3个元素取出2个 的排列总数有6种A ?62 3从3个元素取出2个 2 C ? 组合总数有上页 3种 下页 3 返回3广 东 工 业 大 学排列、组合的几个简单公式1、排列:(1 ? k ? n)1 2从n个不同元素取 k个的不同排列总数为：n (n-1) (n-2) 3 … (n-k+1) …. kn! A ? n( n ? 1)( n ? 2) ( n ? k ? 1) ? ( n ? k )!k nk=n时称全排列n npn ? A ?? n(n ? 1)(n ? 2)2 ?1 ? n !广 东 工 业 大 学返回上页下页2.重复排列：从n个不同元素有放回地取 k个（允许重复）的不同排列总数为： n n n 1 2 3 n k….n?nk n?n （种）例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张 第1张 1 2 3 4 第2张 1 2 3 4 第3张 1 2 3 4 1 2 3 4广 东 工 业 大 学n=4,k =3共有4.4.4=43种可能取法上页下页返回3、组合: 总数为：从n个不同元素取 k个（1≤ k≤ n)的不同组合k A n! k n Cn ? ? k ! ( n ? k )! k !C? n? k ? ? ? ，称为组合系数。 n 常记作 ? k ? ?n又常称为二项式系数，因为它是二项式展开公式中的系数：? n ? k n? k ( a ? b) ? ? ? ?k? ?a b k ?0 ? ?n组合和排列的关系A ? C ?k!k n k n上页广 东 工 业 大 学下页返回4. m个不可辨元素与n的不可辨元素排成一列 共有不同排列数Cnn+m 或Cmn+m 两类元素的排列问题例2个篮球和3个红球的不同排列1 2 3 4 5 5个球中取到1，4号的组合 （1，3） 1 2 1 2 1 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 （2，4） （1，5）广 东 工 业 大 学下页返回共有C52 种不同组合上页证明：现设有r个白球（不可辩），n-r 个黄球（不可辩） 排成一列， 计算其不同排列总数. 先将r个白球编号，分别为1,2，…,r号n-r个黄球编号，分别为r＋1 ,r+2，…,n号 这n个不同球的排列共有（全排列数）n!种 下面用另一方法构成上面的排列，先进行两类球的排列 （即认为白球、黄球不可辩），设共有不同的排列数为x, 然后对白球进行排列，共有r！方式 ， 对黄球进行排列共有（n-r）!种方式， 由乘法原理，共有不同的排列数 x × r! ×(n-r)! 两种方法 的排列种 数相同 n! = x × r! ×(n-r)!? n? n! x? ?? ? r !( n ? r )! ? r ?上页广 东 工 业 大 学下页返回5、n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,…,rk的 分法总数为:C 　r1 nCr2 n ? r1　…C 　rk rkr1 个 元素r2 个 元素rk 个 元素C ?Cr1 nr2 n? r1n! ?C ? r1! r2!? rk !rk rkn个元素r1 ? r2 ? ＋rk ? n---多项式（x1+x2+…+xk)n的系数广 东 工 业 大 学上页下页返回二项式系数的有关性质1. 由公式直接得到n? n? ? n ? ?r ? ? ?n?r ? ? ? ? ?n? n ? n?r 2.由展开式 (1 ? x ) ? ? ? ?x 可得到许多有用的组合公式： k ?0 ? r ?以 x=1代入? n? ? n? ? n? ? n? n ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?0? ?1? ? 2? ? n? ? ? ? ? ? ? ? ?令 x=-1得? n? ? n? ? n? n ? n? ? ?0? ??? ?1? ??? ? 2? ? ? ? ? ( ?1) ? ? n? ??0 ? ? ? ? ? ? ? ?上页广 东 工 业 大 学下页返回3.由(1 ? x )a ?b ? (1 ? x )a (1 ? x )ba ?a ? b? n ?a ? i b ?b? j x ? ? ? ?x ? ? ?x 有 ?? ? n ? n?0 ? i ?0 ? i ? j ?0 ? j ? a ?b运用二项式展开比较两边 xn 次幂的系数，可得? a ? b ? ? a ?? b ? ? a ?? b ? ? a ?? b ? ? n ? ? ? 0 ?? n ? ? ? 1 ?? n ? 1? ? ... ? ? n ?? 0 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?特别地，有? n ?? n ? ? n ?? n ? ? n ?? n ? ? 2n ? ? 0 ?? n ? ? ? 1 ?? n ? 1? ? ... ? ? n ?? 0 ? ? ? n ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?上页广 东 工 业 大 学下页返回1.3.2概率的直接计算古典概型(Classical Probability) 在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为 基本事件是等可能的，并在此基础上事件的概率可以直 接算出.如果一个随机试验E具有以下特征 1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点，? ? {?1 , ? 2 ,? , ? n },2、每个样本点出现的可能性相同 P ( ?1 ) ? P ( ? 2 ) ? ? ? P ( ? n ) 则称具有上述特性的概型为古典概型。 讨论相应的概率问题称为古典概型问题上页广 东 工 业 大 学下页返回古典概型中事件概率的计算：设? ? {?1 , ? 2 ,? , ? n }, P ( ?1 ) ? P ( ? 2 ) ? ? ? P ( ? n )于是1 ? P ( ? ) ? P ( ?1 ? ? 2 ? ? ? ? n ) ? P ( ?1 ) ? P ( ? 2 ) ? ? ? P ( ? n ) ? nP ( ? i )1 从而对于每一个基本事件，有 P (? i ) ? n 设事件A包含有k个基本事件：A ? {?i1 , ?i2 ,?, ?ik }有P ( A) ? P (?i1 ? ?i2 ? ? ? ?ik ) ? P (?i1 ) ? P (?i2 ) ? ? ? P (?ik )? k nA中所含的样本点数 ? ?中的样本点数上页广 东 工 业 大 学下页返回古典概型中事件概率的计算：P ( A) ?k A中所含的样本点数 ? n ?中的样本点数几点说明：1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.2、“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们 需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或 样本点是等可能的.广 东 工 业 大 学返回上页下页例 将一枚硬币上抛三次，设事件A =“恰有一次出现正面”， B=“至少有一次出现正面”， 求A，B的概率。解： 样本空间为? ? {(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)}3 于是 P ( A) ? 　 87 P ( B) ? 　 8注：上例中，将一枚硬币上抛三次，观察正面向上的次数， Ω3 ＝{ 0, 1, 2 , 3} , 记Ai＝“正面出现 i 次” 则P(A0)＝1/8 ，P(A1)＝3/8 ，P(A2)＝3/8， P(A3)＝1/8 所以以Ai作为基本事件，则非等可能概型。上页广 东 工 业 大 学下页返回例1 一部四卷文集，按任意次序排列在一级书架上，问各 册自右至左或自左至右恰成1,2，3,4顺序的概率是多少？ 解：样本点为四卷书书号的任一可能的排列， 总数 n=4×3×2×1A的有利场合数（A包含的样本点数）为21 2 3 4 ， 4 3 2 1广 东 工 业 大 学上页2 1 P ( A) ? ? 4! 12下页返回例2 有10个外观相同的电阻，其电阻分别是1欧、2欧、…10 欧.现从中任意取出3个，希望一个电阻值小于5欧，一个等于5 欧,一个大于5欧，问一次抽取就能达到要求的概率. 事件A 解：样本点为从10个不同电阻中任取三个的组合 ? 10 ? 样本空间总数为 n = ? ? ?3? 计算有利场合数：?4 ? 有 ? ? 种取法; 构成一个有利场合可分三个步骤： ?1 ? 第一步，从小于5欧的电阻值中任取出一个， 有1种取法;第二步，从等于5欧的电阻值中任取出一个; 第三步，从大于5欧的电阻值中任取出一个; 有 ? ? 种取法; ?1 ? ? 4 ?? 1 ?? 5 ?? 1 ?? 1 ?? 1 ? 1 P ( A) ? ? ?? ?? ? ? 6 ? 10 ? ?3 ? 上页 ? ??5 ?广 东 工 业 大 学4 ?? 1 ?? 5 ? 有利场合数为 ? ? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? ?? ?? ?下页返回例3 将r个球Z于n个箱中（每个球以1/n的概率被Z入某一 特定箱中）,若n≥r,试求任一箱内的球数均不超过1的概率。解：先计算样本空间总数 （同时定义样本点） 1 1 1 1 1 1 1 1 第一个球Z于一箱中， 1 2 3 … 共有n种放法; n-1 n 相继将每一个球Z于一箱中都有n种放法； 2 这样放完r个球构成一个可能的结果（样本点）， 1 r 3 6 4 由乘法原理，r个球的不同的放法有 5 r 再计算有利场合数： n×n×n× … ×n= n 第一个球Z于一箱中，共有n种放法; 第二个球由于不能放到第一个球所在箱，所以只有n-1种放法 …第r个球不能放到前r-1个球所在箱，所以只有n-r+1种放法广 东 n! 工 ? 有利场合数 n(n ? 1)...(n ? r ? 1) ? ? n ?r 业 ( n ? r )! 大P ( A) ? ( n)r n! ? nr nr ( n ? r )!学上页下页返回P ( A) ?( n)r n! ? nr nr ( n ? r )!许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型： 有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365. 求这n (n ≤365)个人没有两个人的生日相同（n人生日互 不相同）的概率.(365)n 365! 根据上公式得　P ? ? n 365 365n (365 ? n)!可计算当n=40时，P＝0.109人 任一天我敢打睹，我 们班至少有两 人生日在同一 天！上页广 东 工 业 大 学返回下页许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车 的概率为1/ N(N ≥ n) ，求指定的n个站各有一人下车的概率.( N )n N! P ( A) ? ? n n N N ( N ? n)!旅客 车站某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率.( 7 )7 7 ! P ( A) ? 7 ? 7 7 7上页车祸 广 天下页返回东 工 业 大 学例4 袋中有大小相同的 a 个黄球，b 个白球．现将球从袋中 一一随机摸出来，试求第 k 次摸出的球是黄球的概率．事件A解法一: 认为球是不相同的（可辩的）， 黄球编号为1~ a,白球编号为1~ b 设样本点为：依次取出的a+b个球的排列24 1 4 2 2 1 3 … … 1 k 3 3 ...1 33 4 2a b2 1a b b a3 32 2a+b 样本空间总数为 (a+b)!第k个位Z构成A的有利场合分两步： 有利场合数为 a(a+b-1)! 从a个黄球中任取出一个放到第k个位Z， 有a种方式广 东 工 其余a＋b-1个位Z是(a+b-1)个球的任意排列， 有(a+b-1)!种方式 业 大 学a (a ? b ? 1)! a P? ? (a ? b )! a?b上页下页返回例4 袋中有大小相同的 a 个黄球，b 个白球．现将球从袋中 一一随机摸出来，试求第 k 次摸出的球是黄球的概率．事件A解法二： 认为黄球及白球分别是没有区别的（不可辩的） 把依次取出的a+b个球成一列 a4 1 2 2 1 3 … … 1 1 k 3 ...b a323 4 2a+b3b21第k个位Z 样本点为：两类元素(a 个黄球和b 个白球) 的排列 ? a ? b ? 1? ?a ? b? ? a ?1 ? 总数： ? ? ?? a ? P ? ? a ? a ? b广 ?a ? b? ? a ? 构成A的有利场合分两步： 东 ? ? 工 从a个黄球中任取出一个放到第k个位Z，有1种方式 业 其余a＋b-1个位Z是（a-1）个黄球和b个白球的两类排列， 大 学 有? a ? b ? 1? ? a ? 1 ?种方式 ? ?上页下页返回例5 设100件产品中有5件次品,现从中任意抽出3件，求 恰有2件是次品被抽出的概率. A 解法一：设样本点为从100件产品抽出3件的组合 次品 M 件 5件 ? 100 ? 总数： ? ? ? 3 ? 正品N-M 95 正品 构成A的有利场合分两步：?从5件次品中抽出2件， ?从95件正品中抽出3件? 5 ?? 95 ? ? 2 ?? 1 ? ? P ( A) ? ? ?? ? ? 100 ? ? 3 ? ? ??5? ? 2 ? 种方式 ? ? ? 95 ? ? 1 ? 种方式 ? ?100 件产品 N件产品? M ?? N ? M ?广 ? k ?? n ? k ?东 工 ? ?? ? P ( A) ? 业 ?N? 大 ?n? 学 ? ?上页下页返回例5 设100件产品中有5件次品,现从中任意抽出3件，求 恰有2件是次品被抽出的概率. A 解法二：设样本点为从100件产品抽出3件的排列 次品 5件1 2 3构成A的有利场合分两步： ?先确定正品次品的位Z(即两类元素(一个正 品和两个次品)的排列问题)， ? 3 ? ?正品从95件中取出一件有 第一件次品从5件中取出一件 5种方式 第二件次品从4件中取出一件 4种方式? 3? ? 2 ? ? 95 ? 5 ? 4 ? P ( A) ? ? ? 100 ? 99 ? 98? 2 ? 种方式 ? ? 95种方式100! 总数： ?100 ?3 = = 100 ? 99 ? 98 97!正品 95件100件产品广 东 工 业 大 学能用组合 作为样本 点吗？ 这是一种无放回抽样情形， 上页 返回 下页 有放回抽样时P(A)=？例6 从５从不同的鞋子中任取４只，求这４只鞋子中至少有 两只鞋子配成一双的概率．广 东 工 业 大 学上页下页返回更多的例子例7 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样 的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张 一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，求排 列结果恰好拼成一个英文单词的概率：S C I E N C E解：七个字母的排列总数为7！ 拼成英文单词SCIENCE 的情况数(有利场合数）为 故该结果出现的概率为：2? 2 ? 4广 东 工 业 大 学4 1 p? ? =0.00079 7 ! 1260这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义： 如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260 上页 返回 下页 次试验中大约出现1次 .这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们 有比较大的把握怀疑这是魔术. 具体地说，可以99.921%的把握怀疑这是魔术.（错误 的概率是0.00079） 实际推断原理：小概率事件在一 次试验不会出现，从而可将A看成 一（实际上）不可能事件。 一次试验排列结果恰好 拼成一个英文单词，我 认为这是魔术！小概率事件通常可以构成一个假设检验的依据，通 常假定某“假设H”为真，在该前提下建立一小概率事 件，如果在一次试验中该小概率事件发生，则判断该 “假设H”不真。这是概率统计中假设检验的基本原理。 上推断过程是： 假设H：设取到每 一张牌的可能性相 等 小概率事件发生S C I E N C E广 东 工 假设H不真，即认 业 为抽到每一张牌的 大 学可能性不相等 上页 返回 下页几何概型(Geometric probability)把古典概型推广到无限个样本点又具有“等可能”场合, 人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法―― 几何方法.如果一个试验具有以下两个特点： 1、样本空间Ω是一个大小可以计量的几何区域（如线段、 平面、立体）； 2、向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是“等可 能的”。 那么，事件A的概率由下式计算：A的 测度 P ( A) ? ?的测度研究相应的概率问题为几何概型问题上页广 东 工 业 大 学下页返回几点说明1、向区域Ω上随机投掷一点，这里“任意投掷一点”的含义 是指该点落入Ω内任何部分区域内的可能性只与这部分区域 的面积成比例，而与这部分区域的位Z和形状无关.2、假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，并 且向Ω上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用 公式确定，只不过把事件的测度理解为长度或体积即可.广 东 工 业 大 学上页下页返回例8 会面问题甲、乙两船 将在同一天的0点到24点之间随机地到达码 头，设该码头只有一个泊位.若甲先到，需停靠6小时后 才离开码头，若乙先到，则要停靠8小时后才离开码头。问这两 船中有船需等候泊位空出的概率？ 解: 设甲船、乙船到达码头的时间分别是x 和 y. 0 ? x ? 24, 0 ? y ? 24. 那么 两船到码头时刻，相当于向方形区域内投点 当两船相会时所求的事件发生 即乙比甲晚到6小时 或甲比乙晚到8小时0 ? y ? x &6， 0 ? x ? y &8，6 0上页y24广 东 工 业 大 x 学即A发生( x , y ) ? {0 ? y ? x &6 0 ? x ? y &8}1 24 ? (182 ? 162 ) 2 P ( A) ? ? 0.28下页24返回例9 在长为l 的线段AD中任取两点B，C，将AD分成三折线， 试求此三折线能构成三角形的概率？ 解：设线段被分成的三段长分别为x , y 和 l C x - y , 则样本空间 1 为由 x ? 0, y ? 0 及 x ? y ? l 所构成的图形，其面积 S ?AOB ? l 2 2 y x , y 和 l C x - y 可以构成三角形，由两 A 边之和大于第三边，即有 l l l l E C ( 0 , ) 0? x? , 0? y? , 0?l? x? y? 2 2 2 2 l 即 0? x? , 0? y? l , l ? x? y?l o l B x D ( ,0 ) 2 2 2 2 1 l 2 S ? ( ) , 于是，由几何概型 构成三角形DCE， 其面积为 ?DCE 2 21 l 1 2 1 的概率计算公式有 P ( A) ? ( ) 2 l ? 2 2 2 4上页广 东 工 业 大 学下页返回蒲丰问题例10 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验 问题.平面上画有等距离为a(&0)的一些平行直线,现向此 平面任意投掷一根长为l(l &a )的针,试求针与任一平行直 线相交的概率P.解： x表示针投到平面上时, 针的中点M到最近的一条平行 　　以直线的距离,?表示针与该平行直线的夹角.a那么针落在平面上的位置可由( x ,? )完全确定 .? ? ( x ,? )M ? xx广 东 工 业 大 ?学a/2 投针试验的样本空间 a ? ? {( x ,? ) | 0 ? x ? ,0 ? ? ? ? } 2 0 由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题 . 上页 下页?返回则A发生的充分必要条件是al 0 ? x ? sin ? , 0 ? ? ? π 2g的面积 P ( A) ? G的面积xl 2M ? x??π0l sin ? d? l 2l 2 ? ? . a a? a ? π ?π 2 2l x ? sin ? 2OGg? ?广 东 工 业 大 学上页下页返回　　根据频率的稳定性,当投针试验次数N 很大时 , n 算出针与平行直线相交的次数n,则频率值 即可 N 作为P ( A)的近似值代入上式 , 那么蒲丰投针试验的应用及意义 2l P ( A) ? a?n 2l ? , ? π ? 2lN . N aπ an利用上式可计算圆周率 π 的近似值 .广 东 工 业 大 学上页下页返回历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)试验者 Wolf Smith 时间
针长 0.8 0.6 投掷次数
相交次数 π的近似值3.4De MorganFox Lazzerini Reina1860251.00.75 0.83 0.541960020382489 3.1373.5广 东 工 业 大 学返回上页下页例11 随机地向半圆 0 ? y ? 2ax ? x 2（a为正常数）内掷一点， 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和 该点的连线与x轴的夹角小于? 4 的概率？广 东 工 业 大 学上页下页返回P24 习题110,11,13， 19广 东 工 业 大 学上页下页返回广 东 工 业 大 学上页下页返回
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