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数学教学案例
&&数学教学点滴。
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研究性学习是当前基础教育研究的热点问题之一，《全日制普通高级中学课程计划(试验修订稿)》（以下简称计划）中规定研究性学习与社会实践、社区服务、劳动技术教育共同构成“综合实践活动”,并作为高中段的必修课程，&#年秋季学期起实施。
对研究性学习有一种普遍的说法，即称其概念尚未形成一致看法，从学术概念角度讲，研究性学习按其不同起源进行学术争鸣是有益的，这会导致对研究性学习科学全面的认识；从学校课程角度讲，就必须按“计划”的要求，“指南”的规定，来设计、组织、实施、评价研究性学习，避免课程实践的随意性，只有如此才会收获预期的成效。
&课程观下的“研究性学习”是在学校教育系统中，以课题和项目为载体，在教师指导下促使学生的个人见解的形成，培养其探索能力、控制能力和协作能力的学习活动过程，它作为一个独具特色的课程领域，已成为我国基础教育课程体系的有机构成，这被公认为我国当前课程改革的一大亮点；而作为一种学习方式，研究性学习应是渗透于学生的所有学科、所有活动之中的。
&在此，需明确的一是在教育心理学中接受性学习与研究性学习不是互为相反的概念范畴，前者对应发现性学习，后者以课程形态论是一个学习活动过程，以学习方式论兼有接受性学习和发现性学习两种形态，是运用概念和规则解决问题的学习，循着“目标、研究对象、研究方案、实施过程、成果评价”的路线进行学习，并在此过程中不断调整学习策略和手段，而获得成功的过程。二是研究性学习需要有一定的知识做基础，某种理论做指导，克服知识、方法和能力上的遇到的困难，来获取学生自己的结论，其中正确的结果能加深对科学本质的理解，出色的方法能丰富学习者的阅历。三是在学校教育系统中学科课程与研究性学习有如下（表1）的区别和联系。
总而言之，所谓研究性学习是学生在教师指导下，从自然、社会和生活中选择和确定专题进行研究，并在研究过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动(见普通高中“研究性学习”实施指南（试行）)。它是为全面实施素质教育，培养学生创新精神和实践能力，转变学生的学习方式和教师的教学方式，而采取的课程改革行动。研究性学习的价值在于“保持独立的持续探究的兴趣、丰富学习的体验、养成合作与共享的个性品质、增进独立思考的能力、建立合理的知识结构、养成尊重事实的科学态度”。
研究性学习相对于传统的学习模式来说，是全新的。它使学生重新认识了学习和自我，极大地释放了学生探究现实世界的主观积极性，极大地发挥了学生的巨大潜力，为学生的个性发展、独立思考与自由创造提供了巨大的空间。同时，教师不在是绝对的权威，由知识的传授者转向学生研究性学习活动的组织者、指导者和参与者，这必将导致教育观念和教学方式发生根本性的转变。学校评价学生不再只凭借学科成绩，评价的重点将由关注知识记忆转向重过程、重参与、重创新、重激励，真正实现了教育面向每一个学生的未来发展。
&研究性学习&课程是与学科课程不同的课程形态，其根本特性是整体性、实践性、开放性、生成性、自主性。
&研究性学习&课程具有整体性。世界具有整体性，世界的不同构成----个人、社会、自
然是彼此交融的有机整体。文化作为世界的一部分也具有整体性，文化的不同构成----科学、艺术、道德也是彼此交融的。人的个性具有整体性，个性发展并非不是不同学科知识&杂烩&的结果，而是通过对知识的综合运用而不断探究世界与自我的结果。&研究性学习&课程主题的选择范围应包括学生本人、社会生活和自然世界。对任何主题的探究都必须体现个人、社会、自然的内在整合，体现科学、艺术、道德的内在整合。&研究性学习&课程必须立足于人个性的整体性，立足于每一个学生的健全发展。
&研究性学习&课程具有实践性。&研究性学习&课程以学生的现实生活和社会实践为基础挖掘课程资源，而非在学科知识的逻辑结构中构建课程。&研究性学习&课程以活动为主要开展形式，强调学生的亲身经历，要求学生积极参与到各项活动中去，在&做&、&考察&、&实验&、&探究&、&体验&、&创作&等一系列的活动中发现和解决问题，体验和感受生活，发展实践能力和创新能力。
&研究性学习&课程具有开放性。&研究性学习&课程面向每一个学生的个性发展，尊重每一个学生发展的特殊需要，其课程目标具有开放性。&研究性学习&课程面向学生的整个生活世界，它随着学生生活的变化而变化，其课程内容具有开放性。&研究性学习&课程关注学生在活动过程中所产生的丰富多彩的学习体验和个性化的创造性表现，其评价标准具有多元性，因而其活动过程与结果均具有开放性。
&研究性学习&课程具有生成性。这是由&研究性学习&课程的过程取向所决定的。&研究性学习&课程注重活动前的精心设计，更注重发挥教育机智，捕捉活动展开过程中所产生的&生成性目标&、&生成性主题&的价值。每一个班级、每一所学校都有对&研究性学习&课程的整体规划，每一个活动开始之前都有对活动的周密设计，这是&研究性学习&课程所具有的计划性的一面。但是，&研究性学习&课程的本质特性却是生成性，这意味着每一个活动都是一个有机整体，而非根据预定目标的机械装配过程。随着活动的不断展开，新的目标不断生成，新的主题不断生成，学生在这个过程中兴趣盎然，认识和体验不断加深，创造性的火花不断迸发，这是&研究性学习&课程生成性的集中表现。对&研究性学习&课程的整体规划和周密设计不是限制其生成性，而是为了使其生成性特征发挥得更具有方向感、更富有成效。
&研究性学习&课程具有自主性。&研究性学习&课程是以学生的直接经验或体验为基础而开发和实施的。它是以学生的直接经验为基础而对学科知识的综合运用，是对学科的逻辑体系的超越。在&研究性学习&课程的开发和实施过程中，鼓励学生的自主选择和主动探究，将学生的需要、动机和兴趣置于核心地位，为其个性充分发展创造空间。学生自己选择学习的目标、内容，方式及指导教师，自己决定活动结果呈现的形式。教师的指导作用体现在帮助学生完善其自主选择意识和能力方面，而不是代替学生选择。
研究性学习观，是基于人类对学习活动的不断认识，逐步形成的一种现代学习观。从本世纪中叶开始，在学习心理学领域，行为观逐渐被认知观取代，许多学习心理学家对传统学习理论进行了反思和批判，其中认知学习理论和人本主义学习理论从科学主义和人文主义的角度，奠定了研究性学习理论的基础。
研究性学习观在吸取不同学习理论的基础上不断的发展完善，逐渐形成了自身的理论框架，基于科学性、主体性、探索性、创新性的基本特点，可以对研究性学习理论作如下简要的描述：
(1)研究性学习观是建立在现代学习理论基础上的科学学习观。研究性学习过程是积极的有意义学习过程。
(2)从学生生理心理特点来看，学生有探究和创造的潜能，研究性学习本身可激发学生学习的兴趣和动机以及求知欲。
(3)由于研究性学习过程依赖于学生主体的信息加工，因而研究性学习重视运用科学的认知方式和策略，尊重学生学习的认知规律。
(4)研究性学习是积极主动的知觉过程，因而研究性学习关注知识表征，认知结构的发展及问题解决。
(5)研究性学习不仅在于获得问题解决的结果，更注重学习过程的创造性与及主体性，注重人格培养，并以此作为研究性学习的主要目的。
学习心理学家在提出研究性学习理论的同时，也探索了研究性学习的操作模式，这些模式从不同的角度出发，反映了研究性学习的思想，具有代表性的操作模式主要有以下几种：
接受学习和发现学习相结合的模式
布鲁纳于;发表了《发现的行为》一文，并在以后的著作里进一步发展发现学习模式。这种学习模式现已形成了一种发现式教学方法群，并不断发展，不断包容新的方法。如体验学习教学法，积极学习教学法，内容不完全教学法，个案研究法，紧急情况研究法，智力激励法，主题法等等。这些教学方法均主张学生在教学过程中进行探究，不仅重视学生心智技能获得发展，而且也促使学生创造力的发展。
奥苏贝尔用有意义学习的观点巧妙地综合了学习过程中的发现与接受。他认为，学习模式中既包括发现模式，也包括接受模式，但即使在接受模式中，学生需要将教师组织设计和系统呈现的定论性科学知识内化到主体的认知结构之中，是一个积极探索转化和研究过程。发现学习和接受学习相结合的学习模式，实际上与研究性学习观是相一致的。
研究性学习的建构主义模式
建构主义是由皮亚杰（Piaget）的结构的观点发展而来。皮亚杰认为，认知结构可用图式（Scheme）来表示，图式具有整体性，同时图式也可以发展，人在与环境相互作用过程中，通过同化和顺应来实现与环境的平衡，导致个人内部图式的变化。这里同化和顺应的过程，实际上就是建构（Construction）的过程，建构的观点提出，使结构主义发展成建构主义，这样，在建构主义学习模式下，学习被视为了一个动态过程，学习过程是通过学习与外部环境相互作用，实现同化和顺应，来逐步建构有关外部世界知识的内部图式，从而使自身的认知结构得以转换和　　发展。其中同化实现了认知结构的量的补充，是把环境因素纳入的认知结构；顺应则是认知结构质的变化，是对认知结构的调整以利于接受新的环境信息。在建构过程中，新的认知冲突出现后，同化和顺应实现对认知冲突的解决，实现新的平衡，从而促进了认知的发展。
研究性学习的建构主义学习模式，重心在于通过研究性学习，使学生自主地建构和完整自己的认知结构。这种学习模式把研究性学习分为三个阶段，即冲突阶段、建构阶段和应用阶段。在冲突阶段，教师要积极地创设问题情景，引发学生的认知冲突，学生则积极地搜索旧有的认知结构，为认知结构的转换奠定基础；在建构阶段，由于冲突引发学生的研究和探索的心态，学生对冲突中出现的新问题进行研究和分析、推理，借助有效的学习和思维策略解决冲突，实现冲突过程的同化和顺应，在顺应过程，学生特别需要借助归纳，分析，对比等思维来建构新的认知结构；应用阶段里学生通过变式的练习，巩固和完善新的认知结构，顺利实现迁移。研究性学习的建构主义学习模式，重视学生在知识内化过程中探索研究的作用，重视教学过程中有关问题情景的创设，重视知识结构的更新，因而在学科教学中得到了广泛的应用。
研究性学习的问题解决模式
研究性学习的问题解决模式建立在认知心理学理论的基础上。认知心理学的理论强调学习过程是一个主动地接受信息和创造性的思维过程。强调学生知识表征的方式的重要性，一种良好的认知结构比获得零散知识更重要。这些思想影响着研究性学习问题解决模式的构建。问题解决模式认为研究性学习即是对学习问题的解决过程，学生是主动的信息加工者，问题解决是对问题空间的搜索（Simon&#）。因此，研究性学习过程有这样三个基本特征：(1)目的指向性。学生学习是有目的的过程，最终要达到某个终结状态：(2)认知操作。学生的学习依赖于一定的学习与思维策略，并依此来进行一系列的认知操作；(3)操作序列。学习活动包括一系列的心理过程和系列。
研究性学习的问题解决模式把学习过程分为这样三个阶段：(1)问题表征阶段，学生对需要解决的问题进行表征和理解，这种表征依赖于学生已有的知识，知识表征能力的差异，最终导致认知结构的差异，优秀学生和差生对课题理解的差异主要就是由他们认知结构的差异引起；(2)策略选择阶段，在明确问题的各个方面以后，人们需要提出各种可以用于问题解决的策略并进行假设检验，最后在教师指导和自己的探索下，形成自己解决问题的理念和策略；(3)反思结果阶段，这一过程包括两层意思，一是对整个思维过程进行检查，检验策略是否合理，答案是否正确，二是评估问题的解决过程中值得吸收的经验，并对认知结构进行必要的调整。
研究性学习的问题解决模式，实际上把学习过程与科学研究过程相比较，认为学习方法与科学研究方法具有相似之处，采用问题解决模式培养学生，容易使学生掌握科学的思维和研究方法，为学生适应信息时代的社会变化打下良好的基础，因而近年来这一学习模式备受关注。
研究性学习的创造性模式
近年来，如何培养学生的创造力成为各国教育工作者共同关心的问题，个性教育与创造力培养在学校教育中开始占有重要地位。同时，对创造力理论的研究也突破了吉尔福特（Guilford）的创造力结构理论的限制，提出了创造力是各种因素共同作用的观点，如斯腾伯格（Sternberg）提出了创造力投资理论，把创造力看成是六种因素共同作用的结果，这些因素包括智力、知识、思维风格、人格、动机、环境。很大程度上拓宽了人们对创造教育的认识，对创造教育的发展产生了积极的影响。
研究性学习的创造性模式，强调了学生在研究性学习中的这样一些过程。(1)问题情景的探索过程。学生在学习情景中积极尝试，并培育探索精神和人格、自信、不怕失败；(2)智力与思维方式的弘扬过程。由于个体之间存在智力与思维方式差异，每一个学生在研究性学习过程中应依据自身的特长运用和驾驭自身的智力和思维方式，解决学习问题；(3)元认知监控过程。学生在研究性学习过程中可通过对自身认知活动的认识和调节，从而运用有效的认知策略，以创造性思维来解决学习问题。
创造性学习模式已被广泛的应用于数学、自然、音乐等学科教学中，这种学习模式不仅有利于发掘学生的学习潜能，而且有利于学生的人格发展，有利于贯彻研究性学习观，因而是一种具有生命力的学习模式。
综上所述，通过对不同研究性学习模式的分析和透视，我们认为研究性学习不仅被应用于问题解决过程，也被应用于知识的表征过程，因而，研究性学习观贯穿于学生的整个学习过程之中。在知识的表征过程，学生通过研究性学习发展丰富的知识和良好的知识结构，这些良好的知识和知识结构可以帮助他们在问题解决过程中，顺利地通过探索问题的结点，全面地认识问题的起始状态和目的状态；在问题解决过程，研究性学习完成指向目的状态的认知操作，获得对问题的解决，在最高层面上，创造性的解决问题并使知识结构、智慧技能水平和人格获得全面的发展。因而我们倾向于将研究性学习看成是广义的问题解决过程，这个过程包括三个层次的学习过程：(1)问题解决的知识表征过程；(2)问题解决的认知过程；(3)创造性解决问题过程。
虽然研究性学习模式在形式上具有各自的特色，但从心理结构来分析，均应包括以上所论及的心理结构，研究性学习模式的丰富性，正好说明研究性学习模式具有灵活性，针对不同的学习特点，可选取灵活的模式，以获得学习的最佳效果(本节选自研究性学习网同名文章,作者：易凌峰)。
数学学科而言研究性学习主要是指对某些数学问题的深入探讨，或者以数学思维方式对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究，充分体现学生的自主活动和合作活动。由于研究性学习与通常的学科课程的学习有着显著的差异，它不再是由专家预先规划设置的特定知识体系的载体，而是一个师生共同探索新知识的发展过程。这对高中数学教师来说，是一个崭新的课题，为了圆满完成教学任务，必须制定具体的数学研究性学习目标，基于各个年级具体情况，按年级划分为三个阶段，各个阶段的目标为：
高一年级：初步掌握研究性学习方法，着重培养学生科学的问题意识，增强学生的综合、整体认识能力，以人文精神与科学态度，从社会生活的现实与未来中发现问题、提出问题，抓住问题的本质，判断问题的价值。
高二年级：学会运用研究性学习方法，着重培养学生收集、分析、综合信息。并具有初步设计研究解决问题的方案（包括实验设计方案），构建知识模型以研究、解决问题的能力。
高三年级：学会选择，综合发展。着重培养学生的思辨与批判反思能力，为学生在研究问题思维模式上的创新意识打下一定的基础，为部分学生研究的发展方面奠定初步的基础。
由于学生个人兴趣、经验与自我发展需求的差异，学生研究性学习目标要考虑到不同类型、不同层次学生的不同发展，要具有一定的开放性与弹性。
上海市第六十中学
我校是上海市第二期课程教材改革研究基地，从;9月开始了研究型课程的探索，我们充分利用因特网开放性、交互性的特征，在校园网上建立了“研究型课程学习支持网”（以下简称学习支持网），为学校开展研究型课程提供了一个切实可行的操作平台。我校自行设计的“学习支持网”由以下九个栏目组成：
“研究方向”：是由学校教师和学生提供的课题研究方向；
“课程概述”：是对研究方向的大致介绍；
“学习资源”：是有关这些研究方向的教师和学生提供的参考书目和相关网址；
“网上交流”：通过网上即时聊天、电子公告板架起师生之间的沟通桥梁，可以查阅其他同学的作业并提出自己的见解；
“课程管理”：学生自己申报和管理自己的研究课题，教师和学生申报和管理自己的研究方向；
“提交作业”：学生通过网络上交作业，并与其他同学共享成果；
“成果评价”：教师和学生成为评价活动的主角；
“网上练习”：学生可以自我测试一下自己的有关知识水平；
“在线帮助”：指导学生了解研究型课程的基本理论和一般方法。
通过“学习支持网”中这些栏目的相互作用，使研究型课程的开展得到落实。
“学习支持网”与研究型课程的结合，充分体现了研究型课程学习的开放性、问题性、过程性、实践性、合作性原则，学生能够完成收集资料、交流讨论、确定课题＼实施研究、成果评价等研究型课程学习的基本过程，学生的学习方式发生了转变。
1．物学生选择研究方向提供了平台。
“学习支持网”使我们向学生提供开放的课题研究方向成为可能。我们采取两种途径向学生提供课题研究方向。第一种途径是，学校直接提供一些课题研究方向；第二种途径是，学生完全根据自己的生活、学习、工作经历以及对社会和大自然的观察，发现问题，从而自己确定研究方向。在“学习支持网”中，教师和学生都可以通过“课程管
理”栏目，将研究方向的名称、综述、参考资料和相关网址上传到支持网中供其他同学在开展研究性学习、确定研究课题时参考。
2．为学生在研究性学习中有效地开展信息交流提供了平台。
“学习支持网”为教师与教师、教师与学生、学生与学生的交流讨论提供了一个完善的场所，使得参与信息交流的人员更加广泛，参与交流更加方便，信息反馈更加及时。“学习支持网”上的“网上交流”，可以进行类似聊天的实时讨论交流，更可以在“提问一回答”中运用BBS技术，按照课题研究方向进行分类交流讨论，学生可以将自己在确定研究课题过程中遇到的问题上传到BBS的相应栏目下请求帮助，学生也可以对其他同学的问题进行解答，该研究方向的指导教师则可以通过BBS对有兴趣从事该研究方向课题研究的学生进行及时的指导，其他教师可以对这些同学进行帮助，并且教师之间也可以通过BBS开展有关学术方面的探讨。经过一段时间的交流讨论后，指导教师可以将与自己指导的研究方向有关的讨论内容整理以后，加入研究方向的“课程概述”中；也可以把与学生和其他教师交流过程中得到的参考书目和相关网址，加入研究方向的“学习资源”中。
通过“学习支持网”，较好地解决了教师与教师、教师与学生、学生与学生之间在开展研究性课题过程中的交流障碍，有利于学生充分地了解课题研究方向的有关知识，从而为他们最终自主地发现问题、提出研究课题打好扎实的基础。
3．有利于研究资料的收集和交换。
研究型课程的学习需要大量的研究资料，教师把自己课题的研究方向概述、参考书目以及相关因特网址等相关资料放入“学习支持网”中。学生在选择自己感兴趣的课题研究方向后，可以通过“课题概述”阅读这些研究方向的“综述”，大致了解研究方向的基本情况，然后通过“学习资源”由校园网访问研究方向提供的与研究方向相关的因特网址，从中收集有关的资料，同时在学校图书馆和阅览室中查阅有关的参考书目。为了帮助学生能够尽快地找到有关的参考书目，“学习支持网”提供了本校图书馆的书目查询功能，并且设置了国家图书馆、上海图书馆和地区图书馆的链接，学生可以在这些大型图书馆的网站中进行书目和全文查询。同时，为了帮助学生尽可能多地查找到相关的网上资源，“学习支持网”还提供了一些具备全文检索功能的搜索引擎的链接。
通过“学习支持网”，教师和学生还可以随时补充新的研究资料。教师将找到的可能对学生开展课题研究有用的资料上传到“学习支持网”上，供学生参考；学生也可以将自己搜集到的文字资料或相关的网址以及心得体会等信息在“学习支持网”的“提问一回答”BBS中发布，也可以上传到有关研究方向的“学习资源”库中供其他同学共享参考。
4．有利于学生进行互动式的课题研究。
研究型课程学习需要互动式的学习方式。学生自主地确定研究课题，并且通过交流，共享其他同学的研究课题，逐步完善自己的研究课题。
学生通过“学习支持网”的“课题管理”栏目，随时将自己初定的研究课题按“不同的&#