关于有限元网格划分的五个误解
尽管现在FEA及CFD中出现了一些无网格软件，然而对于大多数CAE使用者来说，网格划分依旧是一个非常重要的任务。 怎么强调 生成高质量的网格的重要性都不过算过分。
然而“高质量的网格”或者说“足够好的网格”，该如何定义呢？仅仅依靠网格生成软件输出的网格质量报告来评价么？当然分析网格生成软件输出的网格质量报告是网格划分过程中必不可少的一部分，但是仅靠软件输出的这些关于网格质量的报告是不够的，使用者还应当结合自己的物理问题，才能对网格是否足够好作出准确判断。
很不幸，人们对于“好网格”存在误解。如今在工程专业课堂中已经很难找到网格划分方面的课程了，网格划分的数值算法在大多数的工程专业中也都变成选修课了。因此，新一代的CAE使用者对于“CAE系统中网格生成器是如何工作的”缺乏认识就不足为奇了。
好的网格必须完全符合CAD模型
如今，越来越多的CAE使用者是从设计师转岗或兼职而来，他们通常都接受了良好的CAD培训，更倾向于分析所有的几何细节。他们相信细节越多意味着更真实。
这种想法是错误的，在更多的情况下，好的网格应该是能更好的反映物理本质，而不是完全贴合CAD模型。
CAE仿真的目的是获取计算对象上的物理量分布，如应力、应变、位移、速度、压力等。CAD模型仅仅只是物理对象的简单近似，其中包含了大量与分析不相关的细节，这些细节对于计算分析准确性贡献很小，却会极大的增加计算开销。因此，了解系统中的物理模型至关重要，好网格应当基于物理模型并对CAD模型进行简化。
总结来说，就是：只有当对自己系统中的物理模型非常了解，才有可能生成好的网格。
好的网格总是好的
我们常常能看到很多CAE使用者为获得高质量网格，花费大量时间和精力在改变网格尺寸、分解几何及简化几何等方面，他们仔细地检查网格划分软件中关于网格质量的输出报告并对网格划分过程进行精细的控制。
这当然是很有必要的，但是过犹不及，因为好的网格并不一直都是好网格。网格好与坏取决于要模拟的物理问题。
例如，当你划分了一个非常好的网格，能够完美的捕捉翼型表面的流动，并且能准确的计算所有的力。但是如果当计算条件发生了改变，比如说流动攻角从0°变成了45°，之前好的网格还是好网格么？很有可能就不是了。
一个好的网格总是与具体的物理问题相关联。当计算条件发生改变（如改变边界条件或载荷条件，改变分析类型或流动模型）后，好的网格可能会变为不好的网格，虽然几何形状并没有发生任何改变。
六面体网格总是优于四面体网格
许多老的教科书会告诉你六面体（四边形）网格要比四面体（三角形）网格更好，并且会告诉你使用四面体或三角形网格会产生多么大的数值误差。特别是在15或20年前，这可能是事实。
历史上，人们更喜欢六面体网格，因为：
在当时只有结构网格可以用于大多数CFD求解器
减少网格数量，节省大量的内存和CPU时间
当时非结构网格求解器技术不成熟
随着求解器技术的发展，对于大多数问题，大多数商业FEA及CFD程序采用四面体网格也能得到六面体网格类似的计算结果。当然，四面体网格通常需要更多的计算资源，但是这也很容易地被在网格生成环节所节省的时间相抵消。对于大多数工程问题，六面体网格的精度优势实际上已经不再存在了。
对于一些特殊的应用，如风力透平，泵或飞机翼型，仍然优先使用六面体网格。原因在于：
被理解透彻的物理背景（大多数使用者都知道如何对齐网格）
对于此类几何，有特殊的工具为其生成六面体网格
然而对于大多数FEA及CFD使用者来说，如果几何表面稍微复杂，在六面体网格生成上花费时间是一种浪费。大多数情况下，计算结果并不会更好。而求解计算节省的时间甚至还不如网格生成花费的时间。
好网格不可能通过自动网格划分生成
软件供应商为了证明自己的网格划分软件很高端（通常价格也很高端），他们会告诉你他们的软件允许你进行各种手动控制。潜台词就是说只有手动控制才能生成更好的网格。
当然对于销售人员来说，好的网格需要手动控制。但是对于工程师来讲，你需要知道这是一种误导。好的网格划分软件应该能够智能的分析底层几何：计算曲率、找到沟槽、找到小的特征、找到硬的边特征、找到尖锐的夹角等。并能更具这些分析得到的数据采用更合适的网格划分参数。
这些都是自动网格划分应该做到的。对于大多数用户来说，软件可以收集更多的底层几何信息。因此，相对于大多数使用者来说，软件应该能够设置更优的参数以获取更高质量的网格。因为软件能够获取更多的信息。
当然对于每天使用网格划分软件，并且长时间处理类似的几何的高级用户来说，情况又有些不同。这些用户对于要求解问题的物理背景了解非常透彻，但是网格划分软件却做不到这一点。然而这样的高级用户数量是越来越少了。
通常对于网格质量，除非你使用的是非常糟糕的网格划分软件，否则自动网格划分能够比人做得更好。手动控制是为那些对问题背后的物理原理了解非常清楚的人准备的。
好网格数量都很多
现如今，HPC资源很容易获得，即便是一个学生也可能尝试利用万网格求解CFD问题。在大多数CAE使用者的眼中，网格数量多意味着高保真度。
但是这并不是真的，因为一些物理问题必须建立模型。例如在CFD中，如果要使用标准壁面函数，则粘性子层内的任何节点都会使得壁面函数失效，这不仅浪费计算资源，还有可能造成非物理解。即使使用LES，过度细密的网格也可能导致更大的误差以及非物理解。
细密的网格并不意味着就是好的网格。网格划分的目的是在离散的位置获得解，良好的网格应该服务于计算模型，只要计算结果符合物理事实且足够准确，网格就是好的网格。
另一个关于此误解的例子。大多数用户总数喜欢使用完整的3D模型，在他们眼中，全3D模型是最符合现实的。然而如果问题是对称的，使用部分几何会得到更好的计算结果，因为对称条件是强制执行的。如果问题是轴对称的，则2D结果可能比大多数3D结果更准确。然而，新一代的CAE使用者并没有充足的时间了解要模拟的系统背后的物理原理，他们很难对模型进行简化。因此，CAE规模不必要的越来越大也就不奇怪了。
目前，CAE依旧依赖于网格。好的网格应该：
能够求解要研究的物理问题
具有合理的质量，使求解器不会挂掉
基于物理原理进行几何简化
网格好与坏要看具体的问题而定
满足项目需求
优酷频道“ftc正青春”发布有各软件原创视频
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&p&关注这个问题很久了，贴个长文过来权作回应吧，如下：&/p&&p&扒一扒有限元的那些书&/p&&p&首先是本文的阅读指南，高能预警，温馨提示：笔者治学风工程，故尤善吹X，特喜装B于无形，如果阅读过程中有不适症状，请及时关闭文档。欢迎分享，欢迎合规转载，谢绝冒昧转载（这样做仅是为了显得逼格高一些）。&/p&&p&最近总有师妹问我关于数值模拟、有限元、软件等方面的事情（别问我为什么只有师妹，那不是重点！！），叫我帮着推荐一些相关的入门书单，今天借着酒兴一起说一下吧。&/p&&p&目前的数值计算方法主要包括：FEM（有限单元法）、DEM（离散元）、FVM（有限体积法）、X-FEM（扩展有限元）、FDM（有限差分法）、LBM（玻尔兹曼格子法）、SPH（光滑粒子流体动力学）等等，不一而足，各自有各自最适用的范围，他们好比少林七十二绝技，哪怕仅仅掌握好了一门也可以立足武林，不对，是立足工业界，掌握好了几门则可以威震江湖。&/p&&p&当然，鲁迅先生也曾说过“一部《红楼梦》，经学家看见《易》，道学家看见淫，才子看见缠绵，革命家看见排满，流言家看见宫闱秘事”（翻译成人话就是，仁者见仁，智者见智，这里这样说只是为了显逼格），不同的人对此问题肯定有不同的看法，以下仅为一家之言，无意冒犯，讨厌喷子，欢迎交流。&/p&&p&固体力学里面，用的最多的还是有限单元法，笔者就厚着脸皮来扒一扒看过了还有印象的有限元入门书。哦，有一点忘说了，如果读者想看下面的这些书，看之前，还是希望读者可以懂一点材料力学，了解一点弹性力学，复习一下线性代数，重温一下张量表示，下面我们开扒。&/p&&p&首先是朱伯芳老先生的《有限单元法原理与应用》，敲黑板！！！划重点！！重点在这里！这本书给了笔者很大的心灵启迪，此书成书于十年浩劫期间（至少贵党是这么称呼那段历史的），可参考的资料很少，很多东西都是从最基本道理，最原始的公式推出来的，故读起来深入浅出，回味无穷，将高深的道理阐述的生动细致、环环入扣，引领笔者初窥了有限元的门径。&/p&&p&如果你初次接触有限元，那么Logan大大的那本《A first course in finite element method》也是不二之选，浅显易懂，看起来很有成就感。注意，有一本名字很相似的书《A first course in finite elements》（黄色封皮），同Logan的书名仅一字之差，是Jacob Fish和Ted Belytschko写的，也是很好的入门教材。如果你要问我它为什么好，嘿嘿，你看看作者的名字啊—Jacob—，就是为了计算力学而生的好吧，如果你不知道Jacob矩阵，就当我啥也没说，但我也不会原谅你的浅薄的。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f35e2de737db69f7f55f9c_b.jpg& data-rawwidth=&791& data-rawheight=&312& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&791& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f35e2de737db69f7f55f9c_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&MIT大牛Bathe教授的传世之作《Finite Element Procedures》则是值得传颂的经典教材，辅以Bathe教授的公开课视频，再拿江小白泡点麦片，听着大牛吹着牛，看着教材学着知识，拿着白酒装着B，还能有比这更爽的事情吗？书中有很多的例题，读起来也不至于很枯燥。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-cbddb11e0968f0_b.jpg& data-rawwidth=&661& data-rawheight=&352& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&661& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-cbddb11e0968f0_r.jpg&&&/figure&&br&&p&如果一定要让我用一句话来形容一下Bathe教授的生平的话，我想那就是“生活要远比小说来的精彩”，在金矿和筑路队工作，在南非读书，到美国攻读博士，到MIT当教授，写了SAP软件，并将其开源（今天有个软件叫SAP2000吧，别问我为什么和Bathe写的软件名字那么像，这里面有一串指责抄袭与撕逼的罗生门故事，有机会再扒），创建了TADINAR&D公司，开发了ADINA软件，并以其变态的收敛性而闻名。笔者曾用Workbench平台做流固耦合，流体模型和固体模型间数据传输的那个效率啊，气得我吐出三升老血，因为Workbench平台在流、固模型的数据传输过程中，只支持单核。后我用了ADINA，才发现世间竟有此神器，助我降妖除魔。好了扯远了。。。。。。总之就是这个老头很牛B，很牛逼。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-fefcb23e798105ccb94ff9_b.jpg& data-rawwidth=&198& data-rawheight=&269& class=&content_image& width=&198&&&/figure&&br&&p&提到了有限元，Zienkiewicz教授的《The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics》是不得不说的，该书可以说是FEM中的圣经，原因有二，一是因为其作者在该领域的鼻祖地位（Zienkiewicz是有限单元法的三位创始人之一），二是因为其涵盖范围非常之广无所不包。但至于说到可读性嘛……我就甩个呵呵的表情吧，毕竟是圣经，原谅我只是个凡人。辛克维奇，这个名字听起来像苏联人，实际上他是波兰人，二战时德国攻陷的第一国家是哪里还记得吗，Zienkiewicz教授一家在二战开始的时候就辗转流落到了英国，后来也一直生活、工作在英国。值得一提的是，Zienkiewicz教授的关门弟子就是我济的地下系系主任黄茂松教授。Zienkiewicz教授曾获得过铁摩辛柯奖（学过材料力学的，没有不知道铁摩辛柯的吧？！），我济的庄晓莹教授则曾获得过Zienkiewicz奖，宣父犹能畏后生，不知他日是否会有以庄晓莹老师命名的奖项，又不知哪位后生有幸可以荣获殊荣。&/p&&p&在非线性有限元方面，笔者推崇的书有两本：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-391fea2e6dad5c5e7775_b.jpg& data-rawwidth=&563& data-rawheight=&353& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&563& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-391fea2e6dad5c5e7775_r.jpg&&&/figure&&br&&p&Simo和Hughes的&Computational Inelasticity&，经典的材料本构在本书中都有包含，如果想要编程实现其中一些的话，本书是不二之选，只要照着此书的步骤很容易实现。&/p&&p&Ted Belytschko 的《Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures》，此书封面就是一个非线性有限元中的经典问题（壳体碰撞后的大变形）。此书有中文译本，是清华的庄茁老师翻译的，首先承认一点，如果是我来翻译的话，那么一定翻译的没有庄老师的这版好，但是我也不想恭维他这版译本翻译的有多好。学好外语很重要，直接看原版（虽然贵了点）！！&/p&&p&贝公在非线性有限元，无网格法、扩展有限元等领域造诣颇深、著作等身，而且是第一个提出了“无网格法”这一名字的人（注意，只是最早命名了无网格法，而不是最早提出了无网格法，笔者有的时候还是很严肃的，哈哈！！）。 Belytschko有一位学生叫J.S. Chen，在当今计算力学界也是赫赫有名，J.S. Chen有位学生就是我济的任晓丹老师，而笔者我…………则去听过任老师的一堂课，所以各位看官也别指望我说的有多好，毕竟我连再传弟子都算不上，但我善于吹啊！&/p&&p&最后扒一扒王勖成老师的《有限单元法》吧，说实话，我一直搞不懂为什么很多高校推崇这本书，这本书除了厚度可以当枕头（看累了直接垫着睡）之外，我没觉得有甚出奇之处（无论是内容还是逻辑）。此书中的第一个公式（如果我没记错的话，当然我也不想去再按照学术写作的套路去仔细查询）TMD居然是一个热传导的公式，笔者当时还只是个不谙世事的小生，对于一个只接触过力学的人来说，这个公式给我带来了颠覆性的打击，深刻怀疑过自己的智商，真的看不懂啊！虽然后来发现这些公式在形式上其实是一样的，但此书也给我留下了莫大的心理阴影，后几经反复接触了一些TS的老师，对TS某些老师的印象总体来说就是太严（zhuang）谨（X）了，真心觉得还是我济来的实在。最可气的是，当年我还一口气买了两本此书，想着一本在办公室研读，一本在宿舍回味，现在想想真的想抽自己，不是心疼钱，主要是用它垫着睡觉容易落枕。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ad211b002d0ff8be80b6d5_b.jpg& data-rawwidth=&209& data-rawheight=&249& class=&content_image& width=&209&&&/figure&&br&&p&一口气写了这么多，都是固体力学的东西，还没来得及谈及我目前正在做的流体力学的东西，就要草草收场，改日再扒流体的那些事吧！至于改到那日，就再说吧，毕竟笔者很懒很懒。&/p&&p&最近我一直在思考一个问题：资本推手对实业的意义何在，是共赢般扶持企业成长抑或是吸血剥皮？AT&T上市后为迎合华尔街而垮了，顺丰没抵住资本市场的诱惑上市了，老干妈坚决不上市也不知还能坚持多久。但我敢肯定的是，坚定不移走实业兴国，技术为本这一路线的一定包含小同人工作室。&/p&&p&其实，小煤球儿我并不介意大家打赏的太多哈！！！&/p&&h2&&b&欢迎大家关注微信，小同人工作室&/b&&/h2&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//weixin.qq.com/r/1EQlPVzEKQFWrRhe9xHG& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&weixin.qq.com/r/1EQlPVz&/span&&span class=&invisible&&EKQFWrRhe9xHG&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& (二维码自动识别)&/p&
关注这个问题很久了，贴个长文过来权作回应吧，如下：扒一扒有限元的那些书首先是本文的阅读指南，高能预警，温馨提示：笔者治学风工程，故尤善吹X，特喜装B于无形，如果阅读过程中有不适症状，请及时关闭文档。欢迎分享，欢迎合规转载，谢绝冒昧转载（这样…
题外话：&p&本来理论力学只打算写成一篇的，结果拉格朗日力学写到结尾发现篇幅不对了，就只好拆成3篇了……话说为什么第一篇赞数奇高，守恒量反而没人关心，而且点赞者有不少三无人士……难道这种文章也有水军助阵？如果研究一下这种东西的传播，似乎也有点意思……&/p&&p&其实写到现在，基本已经是写给自己备用的了，所以专栏的描述我已经改掉了。我一直没有记笔记的习惯，但现在渐渐离物理越来越远；身在异乡，以前买的大量书籍也都不在手边，什么都不方便查阅；而且渐渐感到力不从心，很多内容还没好好消化就忘了，所以算是留个记录。其实，并没有什么新鲜的东西在这里，基本上都是非常基本、看书就可以找到的内容，只是偶尔会将与其他地方的联系串在一起，至少查阅起来方便一点……&/p&&p&=====================================================&/p&&p&如果不想看理论力学那么多细节，只想听听科普，那么只需要知道3件事情：&/p&&ol&&li&物理的理论可以完全看不到和现实的联系；&br&&/li&&li&不但解释可以不同，物理甚至可以存在多种公式化的方式，只要给出同样的结果；&br&&/li&&li&量子力学和经典力学其实有着很深的联系……&br&&/li&&/ol&&br&&p&=====================================================&/p&&h2&一、&/h2&&p&哈密顿力学是和拉格朗日力学等价的力学体系。然而，一般的书中介绍哈密顿力学时，总是讲它是如何从拉格朗日力学中“推导”过来的。但既然等价，这种推导应该是不必要的，应该有其他更基本的构建哈密顿力学的方式。这种方式大概涉及到相空间的几何性质，这我可能无法写得很清楚。&br&&/p&&p&经验中确定一个自由度为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&的系统的运动状态需要知道&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2N& alt=&2N& eeimg=&1&&个参数，其中&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&个取为广义坐标&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=q& alt=&q& eeimg=&1&&。那么另外&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&个是什么，拉格朗日力学中取为广义坐标对时间的导数——广义速度，而哈密顿力学则取为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&个我们也不知道是什么东西的参数，叫做广义动量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&。&/p&&p&回忆一下相空间的概念，相空间是系统所有运动状态的集合，那么对于自由度为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&的系统，相空间的维度是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2N& alt=&2N& eeimg=&1&&。既然我们选用广义坐标&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=q& alt=&q& eeimg=&1&&和广义动量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&作为系统状态的标记，不妨记&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%28q%2Cp%29%3D%28q_1%2Cq_2%2C%5Ccdots%2Cq_N%2Cp_1%2Cp_2%2C%5Ccdots%2Cp_N%29& alt=&x=(q,p)=(q_1,q_2,\cdots,q_N,p_1,p_2,\cdots,p_N)& eeimg=&1&&为相空间上的点。&/p&&p&我们假设相空间上的度规是这样的简单形式（参见Dubrovin《现代几何学》第一卷）：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=g%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D0_N+%26+I_N+%5C%5C-I_N+%26+0_N+%5Cend%7Bpmatrix%7D& alt=&g=\begin{pmatrix}0_N & I_N \\-I_N & 0_N \end{pmatrix}& eeimg=&1&&&br&&p&那么哈密顿力学相当于假设系统是一个梯度系统，其运动方程为微分方程：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cnabla+H%28q%2Cp%2Ct%29& alt=&\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\nabla H(q,p,t)& eeimg=&1&&&br&&p&方程中的“势场”&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H%28q%2Cp%2Ct%29& alt=&H(q,p,t)& eeimg=&1&&称为哈密顿量。而回忆梯度的定义：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cnabla+H%29_i%3D%5Csum_jg_%7Bij%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+H%7D%7B%5Cpartial+x_j%7D& alt=&(\nabla H)_i=\sum_jg_{ij}\frac{\partial H}{\partial x_j}& eeimg=&1&&&br&&p&这个方程给出的就是&b&正则方程&/b&（英文Canonical其实是正统的意思……物理学家在这种地方总能给人一种中二的感觉）：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dq_i%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+H%7D%7B%5Cpartial+p_i%7D& alt=&\frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_i}& eeimg=&1&&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dp_i%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial+H%7D%7B%5Cpartial+q_i%7D& alt=&\frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}& eeimg=&1&&&br&那么对于任何一个函数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28p%2Cq%2Ct%29& alt=&f(p,q,t)& eeimg=&1&&，它随时间的变化其实是：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Df%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+t%7D%2B%5Csum_i%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+q_i%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+q_i%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+t%7D%2B%5Csum_i%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+p_i%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+p_i%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+t%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+t%7D%2B%5Csum_i%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+q_i%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+H%7D%7B%5Cpartial+p_i%7D-%5Csum_i%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+p_i%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+H%7D%7B%5Cpartial+q_i%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+t%7D%2B%5Clangle%5Cnabla+F%2C%5Cnabla+H%5Crangle& alt=&\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_i\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\mathrm{d} q_i}{\mathrm{d} t}+\sum_i\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\mathrm{d} p_i}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_i\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\sum_i\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}=\frac{\partial f}{\partial t}+\langle\nabla F,\nabla H\rangle& eeimg=&1&&&br&最后一项的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clangle%5Ccdot%2C%5Ccdot%5Crangle& alt=&\langle\cdot,\cdot\rangle& eeimg=&1&&是内积符号，在给定度规下，内积写作：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clangle%5Cnabla+F%2C%5Cnabla+H%5Crangle%3D%5Csum_%7Bi%2Cj%7Dg_%7Bij%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%7D%7B%5Cpartial+x_i%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+H%7D%7B%5Cpartial+x_j%7D& alt=&\langle\nabla F,\nabla H\rangle=\sum_{i,j}g_{ij}\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\partial H}{\partial x_j}& eeimg=&1&&&br&&p&那么定义&b&泊松括号&/b&：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7BA%2CB%5C%7D%3D%5Clangle%5Cnabla+A%2C%5Cnabla+B%5Crangle& alt=&\{A,B\}=\langle\nabla A,\nabla B\rangle& eeimg=&1&&&br&&p&任何函数随时间的变化都可以写成：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Df%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+t%7D%2B%5C%7B+f%2CH%5C%7D& alt=&\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\{ f,H\}& eeimg=&1&&&br&&p&如果函数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&不显含时间，那么有：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Df%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3D%5C%7B+f%2CH%5C%7D& alt=&\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\{ f,H\}& eeimg=&1&&&br&&p&特别的，对于哈密顿量本身，直接计算容易验证&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7BH%2CH%5C%7D%3D0& alt=&\{H,H\}=0& eeimg=&1&&&br&&p&所以&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7DH%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+H%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial t}& eeimg=&1&&&br&&p&只要哈密顿量不显含时间，那么哈密顿量不随时间变化。&/p&&h2&二、&/h2&&p&哈密顿力学形式的构建到这里应该就完整了，但是这样我们看不到任何与具体问题的联系。这种联系我们还是需要从与拉格朗日力学的等价关系中寻找。首先，从上面看来，显然哈密顿量和拉格朗日量类似，也是足以表征系统运动性质的函数。因此当哈密顿量不显含时间的时候，也表明时间不影响系统运动的规律，系统具有时间平移的对称性。在拉格朗日力学中，这个对称性带来能量守恒量：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=E%3D%5Cdot%7Bq%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+L%7D%7B%5Cpartial%5Cdot%7Bq%7D%7D-L& alt=&E=\dot{q}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-L& eeimg=&1&&&br&&p&而在哈密顿力学中，这意味着哈密顿量不随时间变化，也就是说，哈密顿量是此时的守恒量。那么，最简单的情况下，等价性意味着哈密顿量正是能量：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H%3DE%3D%5Cdot%7Bq%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+L%7D%7B%5Cpartial%5Cdot%7Bq%7D%7D-L& alt=&H=E=\dot{q}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-L& eeimg=&1&&&br&&p&如果再注意到拉格朗日力学中，动量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+L%7D%7B%5Cpartial%5Cdot%7Bq%7D%7D& alt=&p=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}& eeimg=&1&&，那么等式的右边正好像是一个勒让德变换的形式：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H%28q%2Cp%2Ct%29%3D%5Cdot%7Bq%7Dp-L%28q%2C%5Cdot%7Bq%7D%2Ct%29& alt=&H(q,p,t)=\dot{q}p-L(q,\dot{q},t)& eeimg=&1&&&br&&p&（严格来说，勒让德变换应该是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H%28q%2Cp%2Ct%29%3D%5Csup_%7B%5Cdot%7Bq%7D%7D%28p%5Cdot%7Bq%7D-L%28q%2C%5Cdot%7Bq%7D%2Ct%29%29& alt=&H(q,p,t)=\sup_{\dot{q}}(p\dot{q}-L(q,\dot{q},t))& eeimg=&1&&。要求&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+L%7D%7B%5Cpartial+%5Cdot%7Bq%7D%5E2%7D%3E0& alt=&\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2}&0& eeimg=&1&&一般都能满足，而对于给定的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&，这最大值就取在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+L%7D%7B%5Cpartial+%5Cdot%7Bq%7D%7D& alt=&p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}& eeimg=&1&&的位置，所以这还可以算是个勒让德变换。）&/p&&p&而勒让德变换，我们知道，正是将一组自变量中的函数与另一组自变量中的函数相联系的方式。而&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28q%2Cp%29& alt=&(q,p)& eeimg=&1&&坐标和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28q%2C%5Cdot%7Bq%7D%29& alt=&(q,\dot{q})& eeimg=&1&&坐标描述的是同一个空间，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+L%7D%7B%5Cpartial+%5Cdot%7Bq%7D%7D& alt=&p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}& eeimg=&1&&正好提供了一个将两组坐标相联系的变换。在这个变换下，哈密顿量和拉格朗日量通过勒让德变换相联系，这样我们就算是明确了两套力学之间的关系。&/p&&p&如果从这个勒让德变换出发，我们也可以从欧拉-拉格朗日方程推导出正则方程。这个计算还是很简单的。&/p&&p&这里做一些注记：&/p&&ol&&li&同样是运动方程，欧拉-拉格朗日方程是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&个二阶常微分方程组，而正则方程是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2N& alt=&2N& eeimg=&1&&个一阶常微分方程组。解这些方程组时都会引入&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2N& alt=&2N& eeimg=&1&&个常数，它们确定了系统的初始状态。这些地方是一样的。&br&&/li&&li&同拉格朗日量类似，哈密顿量虽然等于能量，但它的绝对数值并没有意义，有意义的仍然是它的函数形式。因此，哈密顿量也可以相差一个常数而没有任何实际作用。&br&&/li&&li&不是所有的系统的哈密顿量与拉格朗日量都有解析的表达式。比如，对于化学反应系统，它的哈密顿量有解析表达式：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H%28q%2Cp%29%3D%5Csum_ja_j%28q%29%28e%5E%7B%5Clangle+p%2Cv_j%5Crangle%7D-1%29& alt=&H(q,p)=\sum_ja_j(q)(e^{\langle p,v_j\rangle}-1)& eeimg=&1&&，但它的拉格朗日量只是数值可算，没有解析的表达式。这个哈密顿量中，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=j& alt=&j& eeimg=&1&&是化学反应的编号，向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=q& alt=&q& eeimg=&1&&是系统中各种分子的个数，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=v_j& alt=&v_j& eeimg=&1&&是反应&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=j& alt=&j& eeimg=&1&&的状态改变矢量，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_j%28q%29& alt=&a_j(q)& eeimg=&1&&是当系统的状态为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=q& alt=&q& eeimg=&1&&时，第&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=j& alt=&j& eeimg=&1&&个反应发生的概率。&/li&&/ol&&br&&h2&三、&/h2&&p&当然，哈密顿力学远远不只有这么点点内容。如果给定系统的初态，将已经极小化的作用量当做末态的函数，考虑哈密顿量与之的关系，有（嗯，这里记号和概念会有点乱，注意一下积分符号里面的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=q%2Cp& alt=&q,p& eeimg=&1&&是过程的函数，而积分符号外面的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=q%2Cp& alt=&q,p& eeimg=&1&&是末态的坐标。）：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S%28q%2Ct%29%3D%5Cint_%7Bt_0%7D%5Et+L%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7Dt%3D%5Cint_%7Bt_0%7D%5Et%28p%5Cdot%7Bq%7D-H%28q%2Cp%2Ct%29%29%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7Dt& alt=&S(q,t)=\int_{t_0}^t L\,\mathrm{d}t=\int_{t_0}^t(p\dot{q}-H(q,p,t))\,\mathrm{d}t& eeimg=&1&&&br&&p&所以：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7DS%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3DL& alt=&\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=L& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&对路径做变分，考虑欧拉-拉格朗日方程：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+S%3D%5Cint_%7Bt_0%7D%5Et%5Cdelta+L%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7Dt%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B%5Cpartial+L%7D%7B%5Cpartial+q%7D%5Cdelta+q%5Cright%5D_%7Bt_0%7D%5E%7Bt%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+L%7D%7B%5Cpartial+q%7D%5Cdelta+q%28t%29%3Dp%5Cdelta+q& alt=&\delta S=\int_{t_0}^t\delta L\,\mathrm{d}t=\left[\frac{\partial L}{\partial q}\delta q\right]_{t_0}^{t}=\frac{\partial L}{\partial q}\delta q(t)=p\delta q& eeimg=&1&&&/p&&br&&p&得到：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+S%7D%7B%5Cpartial+q%7D%3Dp& alt=&\frac{\partial S}{\partial q}=p& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&那么由上面几式，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7DS%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+S%7D%7B%5Cpartial+t%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial+S%7D%7B%5Cpartial+q%7D%5Cdot%7Bq%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+S%7D%7B%5Cpartial+t%7D%2Bp%5Cdot%7Bq%7D%3DL& alt=&\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{\partial S}{\partial q}\dot{q}=\frac{\partial S}{\partial t}+p\dot{q}=L& eeimg=&1&&&br&&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+S%7D%7B%5Cpartial+t%7D%3DL-p%5Cdot%7Bq%7D%3D-H& alt=&\frac{\partial S}{\partial t}=L-p\dot{q}=-H& eeimg=&1&&&br&&p&这样我们可以进一步用作用量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&来代替动量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&，得到的也是一个运动方程，叫做哈密顿-雅克比方程：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+S%7D%7B%5Cpartial+t%7D%2BH%28q%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial+S%7D%7B%5Cpartial+q%7D%2Ct%29%3D0& alt=&\frac{\partial S}{\partial t}+H(q,\frac{\partial S}{\partial q},t)=0& eeimg=&1&&&br&&p&关于相空间中的几何还有众多topic，比如表明相空间中演化中区域体积不变的刘维尔定理，保持正则方程不变的正则变换等等。因为我也没有完全整理好它们的significance，这里就不详述了。&/p&&br&&h2&四、&/h2&&p&在将经典力学过渡到量子力学时，相空间的坐标不再是实数，而要变成算符，系统的状态改由希尔伯特空间中的矢量——态来描述。由于算符的对易子所属的李代数与泊松括号的李代数同构，可以将经典力学中的方程翻译成量子力学。将经典的哈密顿量中的函数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=q%2Cp& alt=&q,p& eeimg=&1&&改成算符&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7Bq%7D%2C%5Chat%7Bp%7D& alt=&\hat{q},\hat{p}& eeimg=&1&&，得到的就是量子力学的哈密顿量；将泊松括号改成对易子，得到的就是量子力学的运动方程——海森堡方程：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Chat%7BF%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Chat%7BF%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5Chbar%7D%5B%5Chat%7BF%7D%2C%5Chat%7BH%7D%5D& alt=&\frac{\mathrm{d}\hat{F}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\hat{F}}{\partial t}+\frac{1}{i\hbar}[\hat{F},\hat{H}]& eeimg=&1&&&br&&p&更深层次的关系，则要通过路径积分来理解：&/p&&p&一个系统从状态&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Ca%5Crangle& alt=&|a\rangle& eeimg=&1&&演化到&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cb%5Crangle& alt=&|b\rangle& eeimg=&1&&的概率，写成对中间状态&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Ca%27%5Crangle& alt=&|a'\rangle& eeimg=&1&&的积分，等于：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clangle+a%7Cb%5Crangle%3D%5Cint%5Clangle+a%7Ca%27%5Crangle%5Clangle+a%27%7Cb%5Crangle%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7Da%27& alt=&\langle a|b\rangle=\int\langle a|a'\rangle\langle a'|b\rangle\,\mathrm{d}a'& eeimg=&1&&&br&&p&如果我们加入很多中间状态：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clangle+a%7Cb%5Crangle%3D%5Cint%5Clangle+a%7Ca_1%5Crangle%5Clangle+a_1%7Ca_2%5Crangle%5Clangle+a_2%7Ca_3%5Crangle%5Ccdots%5Clangle+a_n%7Cb%5Crangle%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7Da_1%5Cmathrm%7Bd%7Da_2%5Ccdots%5Cmathrm%7Bd%7Da_n& alt=&\langle a|b\rangle=\int\langle a|a_1\rangle\langle a_1|a_2\rangle\langle a_2|a_3\rangle\cdots\langle a_n|b\rangle\,\mathrm{d}a_1\mathrm{d}a_2\cdots\mathrm{d}a_n& eeimg=&1&&&br&&p&并将&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Cto%5Cinfty& alt=&n\to\infty& eeimg=&1&&，得到的相当于是一个对于路径的积分。注意这里有测度的问题，因为一般的无穷重积分是没有定义的。严格定义路径积分需要引入维纳测度，细节我就不清楚了。而对于任意接近的两个无限接近的状态，我们假设概率为：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clangle+a_i%7Ca_%7Bi%2B1%7D%5Crangle%3D%5Cexp%5Cleft%28%5Cfrac%7BiL%7D%7B%5Chbar%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5Cright%29& alt=&\langle a_i|a_{i+1}\rangle=\exp\left(\frac{iL}{\hbar}\mathrm{d}t\right)& eeimg=&1&&&br&&p&那么总的概率可以写成：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clangle+a%7Cb%5Crangle%3D%5Cint%5Cprod_%7B%5Cmathrm%7BPath%7D%7D%5Cexp%5Cleft%28%5Cfrac%7BiL%7D%7B%5Chbar%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5Cright%29%5C%2C%5Cmathrm%7BD%7Dx%3D%5Cint%5Cexp%5Cleft%28%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Cint+L%28x%28t%29%2C%5Cdot%7Bx%7D%28t%29%2Ct%29%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5Cright%29%5C%2C%5Cmathrm%7BD%7Dx%3D%5Cint%5Cexp%5Cleft%28%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7DS%5Bx%5D%5Cright%29%5C%2C%5Cmathrm%7BD%7Dx& alt=&\langle a|b\rangle=\int\prod_{\mathrm{Path}}\exp\left(\frac{iL}{\hbar}\mathrm{d}t\right)\,\mathrm{D}x=\int\exp\left(\frac{i}{\hbar}\int L(x(t),\dot{x}(t),t)\,\mathrm{d}t\right)\,\mathrm{D}x=\int\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[x]\right)\,\mathrm{D}x& eeimg=&1&&&br&&p&这里&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7BD%7Dx& alt=&\mathrm{D}x& eeimg=&1&&表示积分是对于所有可能的路径积分。那么以这个积分为出发点，结合经典力学，也可以完全构建出量子力学。&/p&&p&从这里也可以粗糙地看出量子力学如何过渡到经典力学：如果作用量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&比起&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chbar& alt=&\hbar& eeimg=&1&&大太多，对上面的积分有贡献的基本只有经典的路径，因为经典路径对应于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&极小的路径。而偏离经典路径越远，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&越大，附近路径的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cexp%5Cleft%28%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7DS%5Bx%5D%5Cright%29& alt=&\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[x]\right)& eeimg=&1&&（注意其实是三角函数）震荡的频率也越快，求和后贡献基本相消，于是实际上有贡献的只有经典路径及其周围很窄的范围，因而此时粒子运动只走确定的路径。&/p&
题外话：本来理论力学只打算写成一篇的，结果拉格朗日力学写到结尾发现篇幅不对了，就只好拆成3篇了……话说为什么第一篇赞数奇高，守恒量反而没人关心，而且点赞者有不少三无人士……难道这种文章也有水军助阵？如果研究一下这种东西的传播，似乎也有点意…
理论力学不是真实的，它确实是看事物的另一个角度。&br&&br&更严谨地说，因为经典（刚体）力学不是真实的，而理论力学是经典力学的等价表述，所以理论力学不是真实的。而至于为什么经典力学不是真实的，因为它很轻易就可以失效：&br&&ul&&li&速度快的时候失效：相对论&/li&&li&微观自由度多的时候失效：湍流、热弹体，粘弹体&/li&&li&能量形式多的时候失效：电/磁弹体&/li&&/ul&实际上，任何物理模型都不是真实的，它们只是人类殚思竭虑以数学为工具对现实作所能做到最好的逼近。&br&&br&拉格朗日量只考虑系统能量能分成动能（只和&b&自由度的变化率&/b&有关）和势能（只和&b&自由度本身&/b&有关）两部分时的情况，它其实是广义牛顿第二定律在所有自由度以及时间上的变分对测试函数的微分（建议平时就要习惯连着积分号一起写）。如果系统能量比这个复杂，比方说能量对自由度的加速度的微分不为零，比方说一部分能量逃到微观自由度中、必须引入热力学表述，拉格朗日力学就会失效。&br&&br&理论力学最大的贡献在于引入了广义力的概念，即是说，随便什么量，只要系统能量对它的微分不为零，就能拥有一个力（这个力和动能的转换即为广义牛顿第二定律）。在这奇思妙想之上，如果你再考虑到系统能量实际上只在统计意义上有意义（自由能），你就基本上能学懂现代的力学了。
理论力学不是真实的，它确实是看事物的另一个角度。 更严谨地说，因为经典（刚体）力学不是真实的，而理论力学是经典力学的等价表述，所以理论力学不是真实的。而至于为什么经典力学不是真实的，因为它很轻易就可以失效： 速度快的时候失效：相对论微观自由…
&p&如果要说物理专业和非物理专业对物理理解的区别，大概就是从这里开始的。事实上，理论力学是现代物理的基石，它的思想对物理的影响是非常深远的。但是，它并不如一般人听说过的物理那样直观，甚至它的很多含义至今我也不敢保证完全能够理解并讲清楚。本文我还是会按照朗道的方式展开，不会如一些本科教学一样为了妥协学生的理解程度而颠倒主次。&/p&&p&先从推荐用书开始。&/p&&p&1.&b&Landau《Mechanics》&/b&不用多说，朗道这本小册子是当之无愧的经典。言简意赅，醍醐灌顶。我当时是用这一本入门的，时至今日我仍能回想起第一次接触理论力学时感受到的震撼。&/p&&p&2.&b&Goldstein《Classical Mechanics》&/b&这本书我买来做参考，但是没怎么看过。的确，讲得比朗道全面而且细，对于朗道没怎么提的耗散和场也都有所涉及，讲法似乎也比朗道现代一点。不过，没有朗道那本大胆。&/p&&br&&p&理论力学主要由2个等价的理论构成：&b&拉格朗日力学&/b&与&b&哈密顿力学&/b&。&/p&&p&首先，有一些需要理清的共通概念。当我们描述一个系统随时间的变化时，我们往往需要用一些参量来标记系统的状态。如果我们知道了某时刻系统所处的状态，动力学方程会确定地给出系统状态随时间的演化（注意：这在量子力学中也是对的）。比如，描述粒子运动，我们要用位置坐标和速度来标记它的状态；描述电磁场，我们需要知道电势和磁矢势；描述刚体运动，我们需要知道质心的位置与速度，角方向与角速度。这些参量中，有时候一部分只是另一部分对于时间的导数。我们通常将不是导数的那一部分，称作&b&广义坐标（&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=q& alt=&q& eeimg=&1&&）&/b&，它们的导数称作&b&广义速度（&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdot%7Bq%7D& alt=&\dot{q}& eeimg=&1&&）&/b&。广义坐标的个数（如果有约束的话，减去约束方程的数目。物理常常讨论无约束的方程，但约束在工程中可能会经常遇到），称作&b&自由度&/b&。比如，单粒子运动的自由度是3，N个粒子运动的自由度是3N，刚体运动的自由度是6，经典场运动的自由度是不可数无穷（空间上的每一个点都是一个自由度）。所有可能的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28q%2C%5Cdot%7Bq%7D%29& alt=&(q,\dot{q})& eeimg=&1&&集合，称为&b&相空间&/b&。&/p&&p&拉格朗日力学最基本的原理，称为&b&最小作用量原理（Least Action Principle）&/b&。它假定有一个作用量Action，它是一个关于运动“轨迹”的泛函：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%5Bq%5D& alt=&S[q]& eeimg=&1&&。泛函是说，对于给定的广义坐标随时间的关系&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=q%28t%29& alt=&q(t)& eeimg=&1&&，我们能通过特定的方法计算出一个实数&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%5Bq%5D& alt=&S[q]& eeimg=&1&&与这个轨迹对应。最小作用量原理则是说，真实的运动&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=q%28t%29& alt=&q(t)& eeimg=&1&&使得泛函&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%5Bq%5D& alt=&S[q]& eeimg=&1&&达到它的极小。&/p&&p&而关于这个泛函&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%5Bq%5D& alt=&S[q]& eeimg=&1&&，我们总是假定它可以写成某个关于坐标的函数对时间（或关于场的函数对时空）的积分：&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%5Bq%5D%3D%5Cint+L%28q%2C%5Cdot%7Bq%7D%2Ct%29%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7Dt& alt=&S[q]=\int L(q,\dot{q},t)\,\mathrm{d}t& eeimg=&1&&&p&或&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%5Bq%5D%3D%5Cint+%5Cmathcal%7BL%7D%28f%2C%5Cpartial_if%2Cx_i%29%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7D%5E4x& alt=&S[q]=\int \mathcal{L}(f,\partial_if,x_i)\,\mathrm{d}^4x& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&其中，函数&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%28q%2C%5Cdot%7Bq%7D%2Ct%29& alt=&L(q,\dot{q},t)& eeimg=&1&&称为拉格朗日量，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D%28f%2C%5Cpartial_if%2Cx_i%29& alt=&\mathcal{L}(f,\partial_if,x_i)& eeimg=&1&&称为拉格朗日密度。&/p&&p&那么拉格朗日量/密度是什么？这并没有特别的规定。一般对于拉格朗日量只有几点要求：&/p&&ol&&li&要保证作用量&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&是一个&b&标量&/b&，即无论坐标系如何旋转，甚至洛伦茨变换都不应该改变它。这意味着在牛顿力学中拉格朗日量也是标量。而在相对论中，因为时间也不是标量，所以拉格朗日量应当适当选取来保证作用量是标量。&/li&&li&因为作用量是标量，系统总的作用量应该等于各部分之和，因此总的拉格朗日量也等于各部分的和。&/li&&li&因为我们关心的是作用量的函数形式本身，作用量可以相差一个常数（就好像势能零点可以随意取一样），因而拉格朗日量可以相差一个函数对时间的全微分。&/li&&li&拉格朗日量只与一阶导数有关，因为大量实践告诉我们知道位置和速度就已经足够描述所有运动了。除此以外，拉格朗日量是任意给定的。&br&&/li&&/ol&&br&&br&&p&嗯，一般人看到这里应该早就晕了，因为这和大家从高中开始接触的牛顿力学完全不沾边，并不直观。其实可以这样理解，既然要用数学来处理现实问题，怎样将想要研究的东西抽象出来，与相应的数学结构相联系，是很重要的问题。牛顿力学实际上是非常直接的做法，即将粒子的运动状态抽象为坐标和速度之后，直接去寻找运动时这些量满足的规律。而理论力学，可以说是力学的力学，它先不管坐标和速度满足什么样的规律，而是将一种规律和函数空间中的一个函数（拉格朗日量）对应起来，使得我们可以用同一的框架去研究不同规律，研究不同的力学。所以实际上，有了最小作用量原理之后，只要给定一个拉格朗日量，就产生出一种力学。牛顿力学只不过是拉格朗日力学中的一个例子。对于接触过C++的同学，可以这样理解：&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-cpp&&&span&&/span&&span class=&k&&class&/span& &span class=&err&&拉格朗日力学&/span&
&span class=&p&&{&/span&
&span class=&k&&public&/span&&span class=&o&&:&/span&
&span class=&kt&&double&/span& &span class=&n&&Action&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&kt&&double&/span& &span class=&n&&InitialTime&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&kt&&double&/span& &span class=&n&&FinalTime&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&p&&{&/span&
&span class=&k&&return&/span& &span class=&n&&Integrate&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&Lagrangian&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&InitialTime&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&FinalTime&/span&&span class=&p&&);&/span&
&span class=&p&&}&/span&
&span class=&k&&virtual&/span& &span class=&kt&&double&/span& &span class=&n&&Lagrangian&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&vector&/span&&span class=&o&&&&/span&&span class=&kt&&double&/span&&span class=&o&&&&/span& &span class=&n&&Coordinates&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&vector&/span&&span class=&o&&&&/span&&span class=&kt&&double&/span&&span class=&o&&&&/span& &span class=&n&&Velocity&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&kt&&double&/span& &span class=&n&&Time&/span&&span class=&p&&);&/span&
&span class=&p&&};&/span&
&span class=&k&&class&/span& &span class=&err&&牛顿力学 : &/span&&span class=&nc&&public&/span& &span class=&err&&拉格朗日力学&/span&
&span class=&p&&{&/span&
&span class=&k&&public&/span&&span class=&o&&:&/span&
&span class=&kt&&double&/span& &span class=&n&&Lagrangian&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&vector&/span&&span class=&o&&&&/span&&span class=&kt&&double&/span&&span class=&o&&&&/span& &span class=&n&&Coordinates&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&vector&/span&&span class=&o&&&&/span&&span class=&kt&&double&/span&&span class=&o&&&&/span& &span class=&n&&Velocity&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&kt&&double&/span& &span class=&n&&Time&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&p&&{&/span&
&span class=&k&&return&/span& &span class=&n&&Mass&/span&&span class=&o&&*&/span&&span class=&n&&DotProduction&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&Velocity&/span&&span class=&p&&,&/span&&span class=&n&&Velocity&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&p&&;&/span&
&span class=&p&&}&/span&
&span class=&p&&};&/span&
&/code&&/pre&&/div&&p&嗯，就是说拉格朗日力学是一个抽象类，当给定了具体的描述方式和拉格朗日量后，这个派生类才是一个力学（比如牛顿力学）。&br&&/p&&p&那么我们怎么得到具体的力学的运动方程呢？用变分法。思想还是和微积分求极值很像：给轨迹一个扰动，相应拉格朗日量和作用量都有可能改变。如果对于这个扰动作用量的改变等于0，那么意味着在这个轨迹附近作用量达到了极大或极小，这和函数出现一个峰值或谷值的情形是类似的。结论就是欧拉-拉格朗日方程：&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+L%7D%7B%5Cpartial%5Cdot%7Bq%7D%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial+L%7D%7B%5Cpartial+q%7D%3D0& alt=&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0& eeimg=&1&&&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_i%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+x_i%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cmathcal%7BL%7D%7D%7B%5Cpartial%28%5Cpartial_if%29%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cmathcal%7BL%7D%7D%7B%5Cpartial+f%7D%3D0& alt=&\sum_i\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_if)}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial f}=0& eeimg=&1&&&br&&p&不过我们不知道按这个方程给出的是极小还是极大。有趣的是虽然最小作用量原理中要求极小，但实际上一般书籍中都很少去关心是不是真的极小，而把欧拉-拉格朗日方程给出的轨迹就直接当做运动方程。这里我没有仔细考虑过这个问题，只是如果想知道欧拉-拉格朗日方程给出的是极大还是极小，只需要再做一次变分，考察二阶变分的符号即可。这和判断函数的极大或极小是类似的。&/p&&br&&p&作为例子，朗道给了一种“推导”牛顿力学的方法，可以感受一下物理中怎么凑一个拉格朗日量：考虑一个自由运动的粒子，因为参考系的具体选取不影响粒子的运动，所以拉格朗日量不能含坐标本身，只能包含速度。而因为空间各个方向没什么区别，所以粒子运动只能与速度的大小或&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=v%5E2& alt=&v^2& eeimg=&1&&有关。又因为拉格朗日量不含坐标，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+L%2F%5Cpartial+x%3D0& alt=&\partial L/\partial x=0& eeimg=&1&&，根据欧拉-拉格朗日方程，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+L%2F%5Cpartial+v& alt=&\partial L/\partial v& eeimg=&1&&是一个常数，由&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%3DL%28v%5E2%29& alt=&L=L(v^2)& eeimg=&1&&，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+L%2F%5Cpartial+v& alt=&\partial L/\partial v& eeimg=&1&&后依然是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&&的函数，这意味着&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&&是一个常数，即自由运动的粒子只做匀速直线运动。&/p&&br&&br&&br&&p&那么考虑到伽利略相对性原理，换到另一个速度&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7B%5Cepsilon%7D& alt=&\bm{\epsilon}& eeimg=&1&&很小很小的参考系，那么粒子的速度变成&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7Bv%27%7D%3D%5Cbm%7Bv%7D-%5Cbm%7B%5Cepsilon%7D& alt=&\bm{v'}=\bm{v}-\bm{\epsilon}& eeimg=&1&&，取一阶近似拉格朗日量变成：&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%28v%27%5E2%29%5Capprox+L%28v%5E2%29-2%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7DL%28v%5E2%29%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%28v%5E2%29%7D%5Cbm%7Bv%7D%5Ccdot%5Cbm%7B%5Cepsilon%7D& alt=&L(v'^2)\approx L(v^2)-2\frac{\mathrm{d}L(v^2)}{\mathrm{d}(v^2)}\bm{v}\cdot\bm{\epsilon}& eeimg=&1&&&br&&p&由于相对性原理要求左右两个拉格朗日量没有本质区别，右边的项必须为对时间的全微分。而&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7Bv%7D& alt=&\bm{v}& eeimg=&1&&本身已经是对时间的全微分了，那么系数必须是一个常数，定义为质量&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&，那么有：&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2& alt=&L=\frac{1}{2}mv^2& eeimg=&1&&&br&&p&如果外界有势场（通常只与坐标有关），那么势的贡献可以直接加在拉格朗日量后面，那么假设这一项为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=-V%28x%29& alt=&-V(x)& eeimg=&1&&（这里负号是为了方便），把&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2-V%28x%29& alt=&L=\frac{1}{2}mv^2-V(x)& eeimg=&1&&&br&&p&带入欧拉-拉格朗日方程，我们就得到了：&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=m%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dv%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7DV%28x%29%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D%3DF& alt=&m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x}=F& eeimg=&1&&&br&&p&这正是牛顿第二定律。由此也可以看出之前定义的质量&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&与牛顿力学中所述的质量是一致的。&/p&&br&&p&实际上，相对论、麦克斯韦方程都可以放在这个框架之内。比如相对论的拉格朗日量是：&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%3D-mc%5E2& alt=&L=-mc^2& eeimg=&1&&&br&&p&只是这个积分是要对本征时&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctau& alt=&\tau& eeimg=&1&&而非坐标时间&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&进行。对于电磁场（重复指标表示求和）：&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D%3D-F%5E%7Bij%7DF_%7Bij%7D& alt=&\mathcal{L}=-F^{ij}F_{ij}& eeimg=&1&&&br&&p&其中&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bij%7D%3D%5Cpartial_i+A_j-%5Cpartial_j+A_i& alt=&F_{ij}=\partial_i A_j-\partial_j A_i& eeimg=&1&&，其实是一个由电场强度与磁感应强度组成的矩阵。它给出的就是麦克斯韦方程的一半（另一半自然满足）。&/p&
如果要说物理专业和非物理专业对物理理解的区别，大概就是从这里开始的。事实上，理论力学是现代物理的基石，它的思想对物理的影响是非常深远的。但是，它并不如一般人听说过的物理那样直观，甚至它的很多含义至今我也不敢保证完全能够理解并讲清楚。本文我…
&p&纵观整个20世纪的数学史，苏俄数学无疑是一支令人瞩目的力量。百年来，苏俄涌现了上百位世界一流的数学家，其中如鲁金 （Н. Н. Лузин），亚历山德罗夫（П. С. Александров），柯尔莫戈罗夫（А. Н. Колмогоров），盖尔范德（И. М. Гельфанд），沙法列维奇（И. Р. Шафаревич），阿洛尔德（В. И. Арнольд）等都是响当当的数学大师。而这些优秀数学家则大多毕业于莫斯科大学（Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова）。&/p&&p&莫斯科大学所涌现的优秀数学家其数量之多，质量之高，恐怕除了19世纪末20世纪初的哥廷根大学。在20世纪就再也没有那个大学敢与之相比了，即使 是赫赫有名的普林斯顿大学也没有出过这么多的优秀数学家，莫斯科大学是当之无愧的世界第一数学强校。对于莫斯科大学，我们是既熟悉又陌生，说熟悉是因为， 中国大学的数学系都多少受了莫斯科大学的影响。我们曾经长期学习莫斯科大学的数学教材，做莫斯科大学的数学习题集，直到现在许多数学专业的学生还在做各种 莫斯科大学编写的习题集。&/p&&p&如在下我，就曾经做过吉米多维奇的《数学分析习题集》（Б. П. Демидович《Сборник задач и упражнений по математическому анализу》）、巴赫瓦洛夫的《解析几何习题集》（С. В. Бахвалов《Сборник задач по аналитической геометрии》）、普罗斯库列科夫的《线性代数习题集》（И. В. Проскурярков《Сборник задач по линейной алгебре》）、法杰耶夫的《高等代数习题集》（Д. К. Фаддеев《Сборник задач по высшей алгебре》）、菲力波夫的《常微分方程习题集》（А. Ф. Филиппов《Сборник задач по дифференциальныму уравнениям》）、沃尔维科斯基的《复变函数习题集》（Л. И. Волковыский《Сборник задач по теории функций комплексного переменного》）、符拉基米罗夫的《数学物理方程习题集》（В. С. Владимиров《Сборник задач по уравнениям математической физики》）、费坚科的《微分几何习题集》（А. С. Феденко)《Сборник задач по дифференциальной геометрии》）、克里洛夫的《泛函分析——理论o习题o解答》（А. А. Кириллова《Теоремы и задачи функционального анализ》）、捷利亚科夫的《实变函数习题集》（С.А.Теляковский《Сборник задач по теории функций действительного переменного》）。&/p&&p& 说陌生的因为，莫斯科大学有很多方面和中国大学大相径庭。那么莫斯科大学成为世界数学第一强校奥秘何在？我很幸运家里有亲戚，曾于80年代公派到 莫斯科大学数学力学部读副博士（кандидат）（相当于美国的博士），又有熟人正在莫斯科大学数学力学系读副博士。从中了解到莫斯科大学数学学科的具 体情况，特地把这些都发在BBS上，让大家看看，世界一流的数学家是如何一个一个的从莫斯科大学走出的。&/p&&p&邓小平有句话说足球要从娃娃抓起，莫斯科大学则是数学要从娃娃抓起。每年暑假，俄罗斯各个大学的数学力学系和计算数学系（俄罗斯的大学没有我们这样 的数学学院，如莫斯科大学，有18个系和2个学院，和数学有关的是数学力学系（Mеханико-математический факультет）和计算数学与自动控制系（Факультет вычислительной математики и кибернетики），数学力学系下设数学部（Отделение математики）和力学部（Отделение механики），其中的力学部和我国的力学系大不相同，倒接近于应用数学系，计算数学与控制论系（Факультет вычислительной математики и кибернетики）包括计算数学部和控制论部2个部，计算数学部和我国的信息与计算科学专业相当，控制论部接近于我国的自动化系。&/p&&p&但是数学学的很多，前二年数学力学系及计算数学与控制论系一起上课，第三年数学力学系和计算数学与控制论系一起学计算数学方面的课程，到大四大五才 单独上专业课）都要举办数学夏令营（Летний математический лагерь），凡是喜欢数学的中小学生都可以报名参加，完全是自愿的。由各个大学的数学教授给学生讲课做数学方面的讲座和报告。莫斯科大学的数学夏令营 是最受欢迎的，每年报名的人都是人满为患，大家都希望能一睹数学大师们的风采，听数学大师讲课，做报告，特别是苏联著名的数学家柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）和维洛格拉托夫（И. М. Виноградов），吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）（苏联有了微型电子计算机后，吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）经常在夏令营里教人玩计算机）几乎每年都参加夏令营的活动。&br&&br&
数学夏令营和我国的奥数班不同，他的目的不是让学生参加什么竞赛，拿什么奖，而是培养学生对数学的兴趣，发现有数学天赋的学生，使他们能通过和数学家的接触，让他们了解数学，并最终走上数学家的道路。&br&&br&
在柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）的提议下，从70年代开始，苏联的各个名牌大学大多举办了科学中学，从夏令营中发现的有科学方面天赋的学生都能报名进入科学中学， 由大学教授直接授课，他们毕业后都能进入各个名牌大学。其中最著名的当属莫斯科大学的柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）科学中学（Школа Колмогорова- специализированный учебно-научный ценр МГУ имени М. В. Ломоносова）。这所学校从全国招收有数学、物理方面天赋的学生，完全免费。对家境贫寒的学生还发给补助，尽管莫斯科大学现在经济上困难重重，但 这点直到现在都没变。事实上科学中学的学生成才率相当高，这点是有目共睹的。到80年代末，90年代初，已经有几个当年的柯尔莫哥罗夫科学中学的学生成了 科学院院士。&br&&br&
中国的大学，近年来常爆出招生中走后门的丑闻。其实以前就有高干子弟，成绩不好，居然能进名牌大学的事情。象50-60年代的北京大学、科技大学、清华大 学都有这样的学生。南京大学当年被院系调整搞得乱七八糟，从当家老大变成二流重点大学。现在，大概没那个中央领导的子弟看的上，估计这样的学生是没有的。 反观莫大，那可是非硬功夫进不去的，就算你是苏共总书记的儿子也一样。&/p&&p&莫大敢如此硬气，其实是其前校长彼得罗夫斯基（И. Г. Петровский）（我们对这位大数学家不会陌生吧！）利用担任最高苏维埃主席团成员（член Президиума Верховного Совета СССР）以及和苏共的各个高级官员的良好关系争来的尚方宝剑有关。&/p&&p&苏联有明确规定，包括莫大在内的几个名牌大学招生只认水平不认人（其它大学，高级官员的子女同等条件优先），必须是择优录取。莫大的生源好，和苏联 的整体基础教育水平高也有关。苏联有一点值得中国学习，苏联的中小学的教学大纲和教材都是请一些有水平的科学家编写的，像数学就是柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）、吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）和庞特里亚金（Л. С. Понтрягин）写的，而且苏联已经把微积分、线性代数、欧氏空间解析几何放到中学教了。大学的数学分析、代数、几何就可以在更高的观点上看问题了 （其实和美国的高等微积分、初等微积分的方法相似）。&br&&br&
有一流的生源，不一定能培养出一流的数学家，还必须要有严谨的学风。莫大的规定相当的严格，必修课，一门不及格（不过政治和体育除外，政治是因为学校在这 方面睁一只眼闭一只眼，纯粹是给上面看的），留级，两门不及格，开除，而且考试纪律很严，作弊简直是比登天还难！莫大的考试方法非常特殊，完全用口试的方 式。主课如数学分析或者现代几何学、物理学、理论力学之类，一个学期要考好及次，像数学分析，要考7-8次。考试一般的方法如下：考场里有2-3个考官考 一个学生，第一个学生考试以前，第二个学生先抽签（签上就是考题），考试时间一般是30-45分钟，第一个考试的时候，第二个在旁边准备，其他人在门外等 候，考生要当场分析问题给考官听后，再做解答。据称难度远大于笔试，感觉像论文答辩。&br&&br&
不过莫大有一点是挺自由的，就是转专业，这一般都能成功，像柯尔莫戈罗夫（А. Н. Колмогоров）就是从历史系转到数学力学系，这是尽人皆知的。&/p&&p&中国的数学专业往往是老师满堂灌，学生下面听，最糟糕的是有的老师基本是照本宣科，整一个读书机器。莫大的老师上课，基本不按教学大纲讲课（其实教 学大纲也说教师在满足大纲的基本要求的情况下，应当按自己的理解讲课），也没有什么固定的教材，教师往往同时指定好几本书为教材，其实就是没有教材，只有 参考书！而且莫大的课程都有相应的讨论课，每门课的讨论课和讲课的比例至少是1：1，象外语课就完全是讨论课了！讨论课一般是一个助教带上一组学生，组织 讨论班，像一些基础课的讨论班比如大一，大二的数学分析、解析几何、线性代数与几何（其实讲的是微分几何和射影几何）、代数学、微分方程、复分析、大三的 微分几何与拓扑、大四的现代几何学（整体微分几何）都是以讨论习题和讲课内容为主。为了让学生多做题，做好题，所以教师要准备有足够的高质量的习题资料， 像前面说的各种各样的习题集，就是把其中的一部分题目拿出来出版发行（事实上在打基础的阶段不多练习是不行的）。总的来说，讨论课的数量大于讲授，如 1987年大纲，大一第一学期，每周讲课是13节，讨论是24节（不算选修课）。而且莫大有个好传统就是基础课都是由名教授甚至院士来讲，柯尔莫戈罗夫 （А. Н. Колмогоров），辛钦（А. Я. Хинчин）都曾经给大一学生上过《数学分析》这样的基础课，现在的莫大校长萨多夫尼奇（В. А. Садовничий），目前也在给大一学生讲《数学分析》（不过校长事情太多，不太可能一个人把课给上下来）。&/p&&p&想培养一流数学家，就一定要重视科研训练，包括参加各种学术讨论班和写论文，莫大的学生如果在入学以前参加过数学夏令营，那他在入学以前已经有一定的科研训练，因为，在夏令营就要组织写小论文。&/p&&p&入学以后，学校也鼓励学生写论文，到大三下学期学生要参加至少一个学术讨论班，以决定大四大五是参加哪个教研组（莫大数学部有17个教研室，如数学 分析教研室（Кафедра математического анализа），函数论与泛函分析教研室（Кафедра теории функций и функционального анализа），高等代数教研室（Кафедра высшей алгебры），高等几何与拓扑学教研室（Кафедра высшей геометрии и топологии），微分几何及其应用教研室（Кафедра дифференциальной геометрии и её приложений），一般拓扑与几何学教研室（Кафедра общей топологии и геометрии），离散数学教研室（Кафедра дискретной математики），微分方程教研室（Кафедра дифференциальных уравнений），计算数学教研室（Кафедра вычислительной математики），数理逻辑与算法论教研室（Кафедра математической логики и теории алгоритмов），概率论教研室（Кафедра теории вероятностей），数理统计与随机过程教研室（Кафедра математической статистики и случайных процессов），一般控制问题教研室（Кафедра общих проблем управления），数论教研室（Кафедра теории чисел），智能系统数学理论教研室（Кафедра математической теории интеллектуальных систем），动力系统理论教研室（Кафедра теории динамических систем），数学与力学史教研室（Кабинет истории математики и механики），初等数学教学法教研室（Кабинет методики преподавания элементарной математики）等。每个教研室下设教研组（教研组即是科研单位又是教学单位）的活动（莫大数学系，到了大四大五，学生每学期要参加一个学术讨论班 （семинар）目的是写论文，莫大要求本科毕业生至少要有3篇论文，其中2篇是学年论文，一篇作为毕业论文，毕业论文要提前半年发表在专门发毕业论文 的杂志上，半年内无人提出异议方可进行论文答辩，而且参加答辩的人是从全国随机抽取的。答辩时还要考察一下学生的专业知识，这种答辩又称为国家考试。&br&&br&
对于本科生，需要让他们对数学和相邻学科有个全面的了解，莫大在这点做的很不错，数学系的学生不仅要学习现代几何学，高等代数（内容大概包括交换代数和李 群李代数）等现代数学，也要学习理论力学，连续介质力学，物理学中的数学方法（大概相当于我国物理专业的电动力学，热力学与统计物理，量子力学）等课程。 而且还有一些各种各样的选修课，供学生选择。必修课中的专业课里不仅有纯数学课程也有变分法与最优控制这样的应用数学课程，所以莫大的学生在应用数学方面 尤其出色。&br&&br&
要成为一个合格的数学家，光短短5年的本科是远远不够，还要经过3-4年的副博士阶段的学习和无固定期限的做博士研究，应该说莫大的研究生院在数学方面绝 对是天下第一的研究生院，莫大研究生院在数学方面有门类齐全的各种讨论班，讨论班的组织者都是世界闻名的数学家，参加讨论班的不仅有莫大的学者，还有来自 全苏各个科研机构的学者。经过5年的必修课和专门化课，选修课的学习，凡是到莫大研究生院来的学生都有很扎实的专业知识，所以莫大的研究生是不上课的，一 来就是上讨论班，进行科学研究，同样研究生想毕业也要拿出毕业论文和学年论文，毕业论文要拿到杂志上发表半年以后，有15名来自不同单位的博士签名，才能 参加答辩。答辩的规矩比本科生更严格，只有通过毕业答辩和学年论文的答辩才能拿到数学科学副博士学位。至于数学科学博士（доктор математических наук），则是给有一定成就的科学家的学位，要拿博士至少要有一本合格的专著才行。&br&&br&
如果谁拿到莫大的数学科学博士的学位，那么谁就可以到大多数世界一流大学混个教授（包括助教授）当！但是这个过程是十分难完成的，俄罗斯有种说法，说院士 为什么比一般人长寿，是因为院士居然可以完成从本科到博士这样折磨人的过程，所以身体一定好的很！&br&&br&
说到莫斯科大学的数学,有一个人是不能不提的,那就是数学大师柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）,应该说柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）不仅是数学家,而且是教育家,但是这并不是我在这里要专门介绍他的原因,我专门介绍他是基于以下几个原因：1，如果说使莫斯科大学 的数学跻身于世界一流是在鲁金（Н. Н. Лузин）和彼得罗夫斯基（И. Г. Петровский）的带领之下，那么使莫斯科大学真正成为世界第一数学强校则是在柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）担任数学力学部主任的时期。2，柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）是莫斯科数学学派（Московский математический школа）中承前启后的一代中的领军人物，特别是如盖尔范德（И. М. Гельфанд），阿诺尔德（В. И. Арнольд）等著名数学家都是他的学生。3，柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）虽然没当过莫大校长但是彼得罗夫斯基（И. Г. Петровский）去世后，他在莫大基本上就是太上校长，莫大的一些改革措施都和他多少有些关系。对于数学家柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров），大家一定很熟悉，但是对于教育家柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров），大家就不大清楚了！下面是我从沃尔夫奖得主，日本著名数学家伊藤清写的一篇纪念柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）的文章中摘抄下来的。&br&柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）认为，数学需要特别的才能这种观念在多数情况下是被夸大了，学生觉的数学特别难，问题多半出在教师身上，当然的确学生对数学的适应 性存在差异，这种适应性表现在：1，算法能力，也就是对复杂式子作高明的变形，以解决标准方法解决不了的问题的能力。2，几何直观的能力，对于抽象的东西 能把它在头脑里像图画一样表达出来，并进行思考的能力。3，一步一步进行逻辑推理的能力。&br&&br&
但是柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）也指出，仅有这些能力，而不对研究的题目有持久的兴趣，不做持久的努力，也是无用的。柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）认为，在大学里好的教师要做到以下几点：1，讲课高明，特别是能用其他科学领域的例子来吸引学生，增进理解，培养理论联系实际的能 力。2，以清楚的解释和广博的知识来吸引学生运动。3，善于因材施教。&br&&br&
柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）以为以上三条都是有价值的，特别是3，这是一个好教师必须做到的，那么对于数学力学系或计算数学与控制论系的学生又应当怎样做呢？ 柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）以为除了通常的要求外，有两点要特别强调：1，要把泛函分析这样的重要学科（他说的重要学科恐怕还包括拓扑学和抽象代数）当成日常 工具一样应用自如。2，要重视实际问题。&br&柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）认为，学生刚开始搞研究时，首先必须让学生树立“我能够搞出东西”的自信心，所以教师在帮助学生选课题时，不能光考虑问题的重要性，关键是要看问题是否在学生的能力范围之内，而且需要学生做出最大的努力才能解决问题。&br&&br&
其实科研训练应当是越早越好，在学生做习题的时候就要注意进行科研训练了！这也是莫大数学成功的秘诀之一。莫斯科大学讨论课上的习题根本没有我们常见的套 公式，套定理的题目。比如，我的那个亲戚，在莫大读书时担任数学分析课的助教（莫大学数学的学生毕业后大多数是到各个大学担任教师，所以莫大很重视学生的 教学能力，一般，研究生都要作助教，本科生毕业前要进行大学数学的教学实习），据他说，主讲教授每次布置的讨论课题目简直稀奇古怪，比如说有一次，是叫他 让学生利用隐函数定理证明拓扑学中的Morse引理，还有一次，叫他给出有界变差函数的定义，然后证明什么全变差的可加性等等，一直到雅可比分解！基本上 把我们国家的实变函数课中的有关问题都干掉了！总之他们经常叫学生证明一些后续课程中的定理，据他们认为这样做基本等于叫学生做小论文，算是模拟科研，对 以后做科研是有好处的。&/p&
纵观整个20世纪的数学史，苏俄数学无疑是一支令人瞩目的力量。百年来，苏俄涌现了上百位世界一流的数学家，其中如鲁金 （Н. Н. Лузин），亚历山德罗夫（П. С. Александров），柯尔莫戈罗夫（А. Н. Колмогоров），盖尔范德…
哈哈，这个问题我可以说几句了，俄选这套书我买了将近20本……虽然基本上都没怎么看……&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/bbf0ebcb0f96fb6a31ecadc5a5a0c74d_b.jpg& data-rawwidth=&3200& data-rawheight=&2400& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3200& data-original=&https://pic2.zhimg.com/bbf0ebcb0f96fb6a31ecadc5a5a0c74d_r.jpg&&&/figure&(好吧，这其实是我几乎所有的书我放书是按同学科地放一堆的)&br&大致说基本比较熟悉的吧，译者我都基本上记不得是谁了(一下很多东西都是凭印象的，请轻喷，毕竟放寒假回家了嘛……)&br&先说和物理相关的书&br&《连续介质力学》译者是李值，好像是北大的耶。国内应该是做流体力学的元老了吧(个人猜测)，反正国内的和流体力学有关的教材俄系的好多都是他翻译的(《自然科学问题的数学分析》，这本书好坑讲量纲分析都讲了大半本书……主要是看到卓里奇的名字上……然后当然是华丽丽的朗道五《流体动力学》了，其实本来这本书的译名是《流体力学》的，但是后来译者考虑到什么什么blabla的(译者毕竟也是在莫大的数力系混过的，据说其实流体力学包含的内容其实比流体动力学更广，所以书名译成这个更合理啊……)，这个细节可以看出译者还是很用心的哦……)虽然这些书看着很慢，但绝不是翻译的原因……(你懂得，自己太渣了而已)&br&然后就是我最爱的《经典力学的数学方法》(学校给我拍照我都是抱着它的哦……)译者是齐民友，他的名字也经常能见到，无论是译者(不得不提他另外一本译作《数学分析八讲》，也非常棒，挺喜欢的……)，或是作者，还是各种工具书词典编者校者……毕竟是从事了多年的教学工作，文风当然是很亲切的……而且还有很多良心注释……&br&《理论力学》这本也是很棒的，看了朱照宣同志的理论力学上册后就跑去看这个了，然后第一章就给虐得长跪不起……李俊峰译的，朗道《力学》的译者也是他(所以我朋友才会给我开玩笑说，你看的力学都是李俊峰“写”的哦……)这两本书基本上都是看完了的，马尔契夫的还好，数学内容多，文章少，朗道里文字阐述还是比较多的，字一多我就有跳过去的冲动，没有仔细看过……总的来说还是可以接受。&br&接下来说说动力学和微分方程的书&br&《非线性动力学定性理论方法》我是看着作者长得那么像蓝翔毕业的万磁王就手贱买了下来……&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/cd365bdcdacb_b.jpg& data-rawwidth=&2400& data-rawheight=&3200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2400& data-original=&https://pic4.zhimg.com/cd365bdcdacb