微分方程y”+6y’+9y=5xe^-3x通解是什么？_百度知道
微分方程y”+6y’+9y=5xe^-3x通解是什么？
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特征根方程得线性通解y=(Ax+B)e^(-3x)将特解y*=Cx³e^(-3x)代入微分方程整理得C最后通解=y+y*
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二次微分方程的通解
第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程?方程Y???PY??QY?0称为二阶常系数齐次线性微分方程?其中P、Q均为常数?如果Y1、Y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解?那么Y?C1Y1?C2Y2就是它的通解?我们看看?能否适当选取R?使Y?ERX满足二阶常系数齐次线性微分方程?为此将Y?ERX代入方程Y???PY??QY?0得R2?PR?QERX?0?由此可见?只要R满足代数方程R2?PR?Q?0?函数Y?ERX就是微分方程的解?特征方程?方程R2?PR?Q?0叫做微分方程Y???PY??QY?0的特征方程?特征方程的两个根R1、R2可用公式24,P???求出?特征方程的根与通解的关系?1特征方程有两个不相等的实根R1、R2时?函数、是方程的两个线性无关XREY1?XR2的解?这是因为?函数、是方程的解?又不是常数?XREY1?XR2XRXREY2121??因此方程的通解为?XRRECY21?2特征方程有两个相等的实根R1?R2时?函数、是二阶常系数齐次线性微XREY1?XR12分方程的两个线性无关的解?这是因为?是方程的解?又XREY1?XRRXRXRRQEPEEQP1111112???????0211PEX所以也是方程的解?且不是常数?XRY1?XEYR?12因此方程的通解为?XRXRECY112?3特征方程有一对共轭复根R1,2???I?时?函数Y?E??I?X、Y?E??I?X是微分方程的两个线性无关的复数形式的解?函数Y?E?XCOS?X、Y?E?XSIN?X是微分方程的两个线性无关的实数形式的解?函数Y1?E??I?X和Y2?E??I?X都是方程的解?而由欧拉公式?得Y1?E??I?X?E?XCOS?X?ISIN?X?Y2?E??I?X?E?XCOS?X?ISIN?X?Y1?Y2?2E?XCOS?X??21COSYY1?Y2?2IE?XSIN?X??INI??故E?XCOS?X、Y2?E?XSIN?X也是方程解?可以验证?Y1?E?XCOS?X、Y2?E?XSIN?X是方程的线性无关解?因此方程的通解为Y?E?XC1COS?X?C2SIN?X?求二阶常系数齐次线性微分方程Y???PY??QY?0的通解的步骤为?第一步写出微分方程的特征方程R2?PR?Q?0第二步求出特征方程的两个根R1、R2?第三步根据特征方程的两个根的不同情况?写出微分方程的通解?例1求微分方程Y???2Y??3Y?0的通解?解所给微分方程的特征方程为R2?2R?3?0?即R?1R?3?0?其根R1??1?R2?3是两个不相等的实根?因此所求通解为Y?C1E?X?C2E3X?例2求方程Y???2Y??Y?0满足初始条件Y|X?0?4、Y?|X?0??2的特解?解所给方程的特征方程为R2?2R?1?0?即R?12?0?其根R1?R2??1是两个相等的实根?因此所给微分方程的通解为Y?C1?C2XE?X?将条件Y|X?0?4代入通解?得C1?4?从而Y?4?C2XE?X?将上式对X求导?得Y??C2?4?C2XE?X?再把条件Y?|X?0??2代入上式?得C2?2?于是所求特解为X?4?2XE?X?例3求微分方程Y???2Y??5Y?0的通解?解所给方程的特征方程为R2?2R?5?0?特征方程的根为R1?1?2I?R2?1?2I?是一对共轭复根?因此所求通解为Y?EXC1COS2X?C2SIN2X?N阶常系数齐次线性微分方程?方程YN?P1YN?1?P2YN?2?????PN?1Y??PNY?0?称为N阶常系数齐次线性微分方程?其中P1?P2?????PN?1?PN都是常数?二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式?可推广到N阶常系数齐次线性微分方程上去?引入微分算子D?及微分算子的N次多项式?LDDN?P1DN?1?P2DN?2?????PN?1D?PN?则N阶常系数齐次线性微分方程可记作DN?P1DN?1?P2DN?2?????PN?1D?PNY?0或LDY?0?注?D叫做微分算子D0Y?Y?DY?Y??D2Y?Y???D3Y?Y????????DNY?YN?分析?令Y?ERX?则LDY?LDERX?RN?P1RN?1?P2RN?2?????PN?1R?PNERX?LRERX?因此如果R是多项式LR的根?则Y?ERX是微分方程LDY?0的解?N阶常系数齐次线性微分方程的特征方程?LR?RN?P1RN?1?P2RN?2?????PN?1R?PN?0称为微分方程LDY?0的特征方程?特征方程的根与通解中项的对应?单实根R对应于一项?CERX?一对单复根R1?2???I?对应于两项?E?XC1COS?X?C2SIN?X?K重实根R对应于K项?ERXC1?C2X?????CKXK?1?一对K重复根R1?2???I?对应于2K项?E?XC1?C2X?????CKXK?1COS?X?D1?D2X?????DKXK?1SIN?X?例4求方程Y4?2Y????5Y???0的通解?解这里的特征方程为R4?2R3?5R2?0?即R2R2?2R?5?0?它的根是R1?R2?0和R3?4?1?2I?因此所给微分方程的通解为Y?C1?C2X?EXC3COS2X?C4SIN2X?例5求方程Y4??4Y?0的通解?其中??0?解这里的特征方程为R4??4?0?它的根为??12,I?124,3IR??因此所给微分方程的通解为?SINCOS212XCXEYX????2SINCOS432XCXEX????二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程?方程Y???PY??QY?FX称为二阶常系数非齐次线性微分方程?其中P、Q是常数?二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解Y?YX与非齐次方程本身的一个特解Y?YX之和?Y?YX?YX?当FX为两种特殊形式时?方程的特解的求法?一、FX?PMXE?X型当FX?PMXE?X时?可以猜想?方程的特解也应具有这种形式?因此?设特解形式为Y?QXE?X?将其代入方程?得等式Q??X?2??PQ?X??2?P??QQX?PMX?1如果?不是特征方程R2?PR?Q?0的根?则?2?P??Q?0?要使上式成立?QX应设为M次多项式?QMX?B0XM?B1XM?1?????BM?1X?BM?通过比较等式两边同次项系数?可确定B0?B1?????BM?并得所求特解Y?QMXE?X?2如果?是特征方程R2?PR?Q?0的单根?则?2?P??Q?0?但2??P?0?要使等式Q??X?2??PQ?X??2?P??QQX?PMX?成立?QX应设为M?1次多项式?QX?XQMX?QMX?B0XM?B1XM?1?????BM?1X?BM?通过比较等式两边同次项系数?可确定B0?B1?????BM?并得所求特解Y?XQMXE?X?3如果?是特征方程R2?PR?Q?0的二重根?则?2?P??Q?0?2??P?0?要使等式Q??X?2??PQ?X??2?P??QQX?PMX?成立?QX应设为M?2次多项式?QX?X2QMX?QMX?B0XM?B1XM?1?????BM?1X?BM?通过比较等式两边同次项系数?可确定B0?B1?????BM?并得所求特解Y?X2QMXE?X?综上所述?我们有如下结论?如果FX?PMXE?X?则二阶常系数非齐次线性微分方程Y???PY??QY?FX有形如Y?XKQMXE?X的特解?其中QMX是与PMX同次的多项式?而K按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2?例1求微分方程Y???2Y??3Y?3X?1的一个特解?解这是二阶常系数非齐次线性微分方程?且函数FX是PMXE?X型其中PMX?3X?1???0?与所给方程对应的齐次方程为Y???2Y??3Y?0?它的特征方程为R2?2R?3?0?由于这里??0不是特征方程的根?所以应设特解为Y?B0X?B1?把它代入所给方程?得?3B0X?2B0?3B1?3X?1?比较两端X同次幂的系数?得??3B0?3??2B0?3B1?1????10由此求得B0??1??于是求得所给方程的一个特解为3????XY例2求微分方程Y???5Y??6Y?XE2X的通解?解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程?且FX是PMXE?X型其中PMX?X???2?与所给方程对应的齐次方程为Y???5Y??6Y?0?它的特征方程为R2?5R?6?0?特征方程有两个实根R1?2?R2?3?于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y?C1E2X?C2E3X?由于??2是特征方程的单根?所以应设方程的特解为Y?XB0X?B1E2X?把它代入所给方程?得?2B0X?2B0?B1?X?比较两端X同次幂的系数?得??2B0?1?2B0?B1?0????10由此求得?B1??1?于是求得所给方程的一个特解为?XEXY2??从而所给方程的通解为?XXEC2321?提示?Y?XB0X?B1E2X?B0X2?B1XE2X?B0X2?B1XE2X??2B0X?B1?B0X2?B1X?2E2X?B0X2?B1XE2X???2B0?22B0X?B1?2?B0X2?B1X?22E2X?Y???5Y??6Y?B0X2?B1XE2X???5B0X2?B1XE2X??6B0X2?B1XE2X?2B0?22B0X?B1?2?B0X2?B1X?22E2X?52B0X?B1?B0X2?B1X?2E2X?6B0X2?B1XE2X?2B0?42B0X?B1?52B0X?B1E2X??2B0X?2B0?B1E2X?方程Y
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分类：数学
这是个常系数2阶线性常微分方程. 特征方程：t^2-6t+9=0,2重特征根t=3.齐次方程通解y=(C1+C2*x)e^3x. 原方程通解(x^2/2+x^3/6)e^3x（可用常数变异法求）.故原方程通y=(C1+C2*x)e^3x+(x^2/2+x^3/6)e^3x,C1,C2任意常数
是这样的吧?√[4c?/(a?b)]=2|c|/|ab| *√b 【注意：不知题中是否说明了a,c 是≥0,还是≤0,如果没说明,就以≥0计算】=2c/ab * √b
使命题p:"f(x)=log(2a-1)^x在其定义域上是减函数"为真命题的a的集合为P,使q:"函数g(x)=根号（x+abs(x-a)(1)求集合P和Q(2)若命题p和q至少有一个是真命题,求实数a的取值范围
（1）∵f(x)=log(2a-1) x在其定义域(0,+∞)上递减∴0＜2a-1＜1,∴1/2＜a＜1即P=﹛a 1/2＜a＜1﹜∵g(x)=√x+|x-a|-2的定义域为q∴x+|x-a|-2≥0,恒成立当x≥a时,左边=2x-a-2,最小为2a-a-2=a-2x≥0,得：a≥2当x
tan(-68╱3兀)=tan(-33π+π/3)=tanπ/3=根号3
得A:B:C=2:3:4COS就可以利用余弦定理求了
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