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100以内混合加减带括号,十以内加减混合带括号,带括号的加减混合运算,10以内带括号的加减法,100以内加减法带括号,二年级加减混合带括号,加减混合带括号,100以内加减带括号,加减混合运算增减括号,100以内加减法 填括号
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100以内混合加减带括号
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刘京有奥林匹克训练题库A
奥林匹克训练题库
第一章数字谜
　　1．根据下列各串数的规律，在括号中填入适当的数：
　　（1）1，4，7，10，（ ），16，……
　　（2）2，3，5，8，13，（ ），34，……
　　（3）1，2，4，8，16，（ ），……
　　（4）2，6，12，20，（ ），42，……
　　2．观察下列各串数的规律，在括号中填入适当的数：
　　（1）2，3，5，7，11，13，（ ），19，……
　　（2）1，2，2，4，8，32，（ ），……
　　（3）2，5，11，23，47，（ ），……
　　（4）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（ ），……
　　3．观察下列各串数的规律，并在每小题的两个括号内填入适当的数：
　　（1）1，1，2，4，3，9，4，16，（ ），25，6，（ ），……
　　（2） 15， 16， 13， 19， 11， 22，（ ）， 25， 7，（ ），……
　　4．按规律填上第五个数组中的数：
　　{1，5，10}{2，10，20}{3，15，30}{4，20，40}{ }
　　5．下面各列算式分别按一定规律排列，请分别求出它们的第40个算式：
　　（1）1＋1，2＋3，3＋5，1＋7，2＋9，3＋11，1＋13，2＋15，
　　（2）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，……
6．下面两张数表中的数的排列存在某种规律，你能找出这个规律，并根据这个规律把括号里的数填上吗？
　　（1）2 6 7 11 （2）2 3 1
　　4 4 ( ) 1 3 5 2
　　3 5 5 6 4 ( ) 3
　　7．下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：
　　（1）3，5，7，11，15，19，23，……
　　（2）6，12，3，27，21，10，15，30，……
　　（3）2，5，10，16，22，28，32，38，24，……
（4）2，3，5，8，12，16，23，30，……
8．下图所示的两组图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：　（1）
　　9．观察下面图形中的数的规律，按照此规律，“？”处是几？
　　　
　　10．根据左下图中数字的规律，在最上面的空格中填上合适的数。
11．观察右上图的规律，然后在括号内填上合适的数。
◇按数字规律填出下图中空缺的数：
　　13．下图中有一个圆内四个数字间的关系与另外三个圆不同，请找出这个圆，并修改其中的两个数，使圆内四个数字间的关系与另外三个圆相同。
　　14．在下面各数阵中，第10行的第3个数分别是几？
　
　　15．下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数：
　　（1）
　　16．下图中已经画出了三个图，请将第四个图补全。
　　17．根据下面的图和字母的关系，将ad的图补上。
　　18．下面的每一个图形都是由△，□，○中的两个构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，“？”应当是几？
　　19．左下图中大圆圈内的数字是由它周围的小圆圈里的数字确定的，那么小圆圈里的“？”代表几？
20．右上图的数字之间存在着某种关系，请按照这一关系求出数字a和b。
　　21．左下图中共有12个小图形，每一个不同的小图形表示1～9中的一个数码，每行的三个图形表示一个三位数，四行表示四个三位数：146，521，658和692。问第二行表示哪个三位数？
　
22．右上图中，每个圆代表一个数码，每横行的三个圆从左到右看做一个三位数，四行表示的四个三位数是890， 784，361，256。那么，
奥林匹克训练题库
第一章数字谜
1．在下列各式的等号左端填上符号＋，－，×，÷，（ ），使得等式成立：
　　（1） 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1999；
　　（2） 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=2000；
　　（3） 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=2001；
　　（4） 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=2002；
　　（5） 9 9 9 9 9=17；
　　（6） 9 9 9 9 9=18；
　　（7） 9 9 9 9 9=19；
　　（8） 9 9 9 9 9=20；
　　（9） 9 9 9 9 9=21；
　　（10） 9 9 9 9 9=22。
2．下列各式中填入符号＋，－，×，÷，（ ），[ ]，{ }，使得等式成立：
　　（1）1 2 3= 1；
　　（2）1 2 3 4= 1；
　　（3）1 2 3 4 5= 1；
　　（4）1 2 3 4 5 6= 1；
　　（5）1 2 3 4 5 6 7= 1；
　　（ 6）1 2 3 4 5 6 7 8= 1；
　　（7）1 2 3 4 5 6 7 8 9= 1。
3．在下列各式的等号左端填入符号＋，－，×，÷，（ ），使等式成立：
　　（1）1 2 3 4 5 4 3 2 1=1999；
　　（2）1 2 3 4 5 4 3 2 1=2000；
　　（3）1 2 3 4 5 4 3 2 1=2001；
　　（4）1 2 3 4 5 4 3 2 1=2002。
4．在下列各式的等号左端填入符号＋，－，×，÷，（ ），使等式成立：
　　（1）9 8 7 6 5 4 3 2 1=1999；
　　（2）9 8 7 6 5 4 3 2 1=2000；
　　（3）9 8 7 6 5 4 3 2 1=2001；
　　（4）9 8 7 6 5 4 3 2 1=2002。
5．在下列各式等号左边的数字之间的适当位置，添上＋，－，×，÷四种运算符号各一次，使得等式成立： 　（1）1 1 1 1 1 l 1 l=111；
　　（2）1 2 3 4 4 3 2 1=141；
　　（3）1 2 3 4 5 6 7 8=78；
　　（4）1 3 5 7 8 6 4 3=36。
6．在下面的式子中填上若干个（ ），使得等式成立：
　　1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。
7．在下列各式中合适的位置填入（ ），[ ]和{ }，使得等式成立：
　　（1） 1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9=505；
　　（2） 1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9=1005；
　　（3） 1＋2×3＋4×5＋6×5＋8×9=1717；
　　（4） 1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9=2899；
　　（5） 1＋2×3×4×5＋6×7＋8×9=9081。
8．在下列各式中添上括号（小、中、大括号均可以），使得结果最大，并计算出来：
　　（1）8×3＋2÷6－5×4－7＋9；
　　（2）7＋9×10＋8÷6－5；
　　（3）1＋2×3＋4÷5－4×3－2－1；
　　（4）17－2－5×3＋10－2－4；
　　（5）1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。
9用尽量少的“1”，以及若干个＋，－，×，÷，（ ）符号，组成一个等于1999的算式。
10用尽量少的“7”，以及若干个＋，－，×，÷，（ ）符号，组成一个等于1999的算式。
11．在下面的数字之间插入四则运算符号、括号及等号，使之成为等式。例如33÷33＋1＋1＋1－2=2。问题是怎样插入才能使等式的结果最大？　　3 3 3 3 1 1 1 2 2
12．请在下列各式中分别插入一个数码，使之成为等式：
　　（1）1×11×111= 111111；
　　（2）3×77×377＝377377。
13．下列各式中不同的字母代表0～9中不同的数码，求出它们使得等式成立的值：
　　
14．在下面的算式中，不同的汉字代表不同的数码。“学习好勤动脑”表示的六位数是几？
　　学习好勤动脑×5=勤动脑学习好×8。
　　　
16．用1～9九个数码组成三个三位数，要求第二个数、第三个数分别是第一个数的2倍和3倍，你能给出几组解？
17．下列各式中不同的字母代表0～9中不同的数码，求出它们使得等式成立的值：
　　　
18．在下列算式的□内填上适当的数字，使得等式成立：
　　　
19．在下列各式中，将从1开始的若干个连续自然数填入□中，使得等式成立：
　　　
20．将1～9分别填入下列各式的□中，使得等式成立：
　　　
21．将1―9分别填入下列各式的□中（每小题中填入的数字不得重复），使等式成立：
　　　
22．将1～8填入下列各式的八个□中，使得等式成立：
　　　
23．下列各式都是带余数的除法算式，并且都是由1～9九个数码组成。现在各式都已知余数，请将各个算式补充完整：
　　（1）□□□□÷□=□□□ 1；
　　（2）□□□□÷□=□□□ 2；
　　（3）□□□□÷□=□□□ 3；
　　（4）□□□□÷□=□□□ 4；
　　（5）□□□□÷□=□□□ 5；
　　（6）□□□□÷□=□□□ 6；
　　（7）□□□□÷□=□□□ 7；
24．将0～9这10个数码填入下列3个算式的□中，使得3个等式同时成立：
　　　　□+□=□，
　　　　□-□=□，
　　　　□×□=□□。
25．将1～9这九个数码填入下列三个算式的九个□中，使得三个等式都成立：
　　　　
26．将1～9这九个数码分别填入下面四个算式的□中，使得四个等式都成立：
　　□- □=1
　　□□÷□=9
□×□=9。
27．下列各小题都是由1～9九个数码组成的算式，其中有几个已知道，请将其余的数码填入□中，使得各等式成立：
　　（1）□×□=5□
（2）□×□×□=□+□
　　□□÷□×□=□；
□÷□=9
　　（3）□×□=□□□÷5□=□□
28．在下列各式中，分别将1～8填入八个○中，使得等式成立：
　　
29．在下列各小题中，不同的字母代表0～9中不同的数码，求出每小题中各字母代表的数码：　　
30．在下式的四个□内填入四个不同的一位数，要求左边的数比右边的数小，并且运算结果等于24。
　　□÷（□÷□÷□）=24。
31．将0～9这10个数码填入下面的10个□中，使得到的4个数都是平方数：
　　□，□□，□□□，□□□□。
32．在下列各式中的每个□内填入一个一位数（每道小题中填入的数字要求互不相同），使得等式成立： 　（1）□2=□2+□2；
　　（2）□2=□2+□2+□2+□2；
　　（3）□3=□3+□3+□3。
33．将1～8八个数码填入下式的八个□中，使得等式成立。说来也巧，在正确答案中，将算式中所有的指数2都去掉，等式仍成立。
　　□2+□2+□2+□2=□2+□2+□2+□2。
34．求满足下列各式的a，b，c：
　　
35．在下列各式的□中填入适当数字，使得等式成立且数字关于等号左右对称：
　　（1）12×23□=□32×21；（2）12×46□=□64×21；
　　（3）□8×891=198×8□；（4）24×2□1=1□2×42；
　　（5）□3××3□。
36．在被除数小于100的情况下，给下列各式的□内填入适当的数字，使算式成立：
　　
37．在下列各式的每个□内填入一个大于1的一位数，使等式成立：
　　（1）[□×（□3+□）]2=8□□9；
　　（2）[1□5-3□]÷□]2=4□□。
38．将1～8分别填入下式的八个□内，使算式取得最小值：
　　□□×□□×□□×□□。
39．将 1～9分别填入下式的九个□内，使算式取得最大值：
　　□□□×□□□×□□□。
40．从1～7中选出六个数填入下式的□中，能得到的最大结果是多少？
　　□×（□-□）÷□-□×□。
41．从1～9这九个自然数中选出八个填入下式的八个○内，使得算式的结果尽可能大：
　　[○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。
42．在下列各题中，分别从1～9九个数码中选出八个填入□内，使带分数算式
　　　
43．将八个不同的合数填入下式的□中，要求相加的两个合数互质，求A的最小值。
　　A=□+□=□+□=□+□=□+□。
44．将1～8八个数分别填入下列各式的八个□中，使得运算得到的结果是自然数，并且尽可能的小：
　　（1）□□□□-□□□□；
　　（2）□×□+□×□+□×□+□×□；
　　（3）（□+□+□□）×（□+□+□□）；
　　（4）☆□÷□+□÷□+□÷□+□÷□。
45．将＋，－，×，÷四个运算符号分别填入下式的四个□中，使算式的结果尽可能大：
　　　
46．在下面带分数等式中的每一个○内填入1， 2， 3中的一个数码，要求等号左边的两个带分数与等号右边的两个带分数相同。
　　　　
47．在上题中，如果在每一个○内填入的不是1，2，3，而是1，3，7中的一个数码呢？
48．下列各式中，不同的汉字代表1～9中不同的数码，算式中还出现了小数。请用数字重新写出各式：
　　（1）妙.趣×横.生=妙＋趣＋横＋生；
　　（2）解.趣题×真妙=妙题＋趣解；
（3）数×学＋奥.林×匹.克=数＋学＋奥＋林＋匹＋克。
奥林匹克训练题库
第一章数字谜
在下列竖式中，有若干个数字被遮盖住了，求各竖式中被遮盖住的几个数字之和：
　　2．在下列各式的□中填入适当的数码，使得两位数乘法的乘积是正确的。要求各式的四个□中填入的数码互不相同：
　
　3．下列各式中的a，b，c分别代表1，2，3中的不同的数字，求出下列各式和的最大值：
　　　
　4．下左式中的a，b，c，d分别代表0～9中的一个数码，并且满足a＋b＝2（c＋d），被加数最大是多少？
　　5．上中式中的a，b，c，d分别代表1―9中的一个数码，并且满足2（a＋b）＝c＋d，被减数最小是几？
　　6．在下列各式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号表示不同的数字，求出下列各式：
　　　
　　7．在□内填入适当的数字，使下列加法竖式成立：
　　　
　　8．在□内填入适当的数字，使下列减法竖式成立：
　　
　　
9．将1～9九个数码分别填入右式的九个□中，要求先填1，再在与1相邻（左、右或上、下）的□中填2，再在与2相邻的□中填3 最后填9，使得加法竖式成立。
　　10．在右式的四个□中填入同一个数字，使得“迎”、“新”、“世”、“纪”四个字所代表的各数之和等于2000。中应填几？
　　11．在□内填入适当的数字，使下列乘法竖式成立：
　　12．在□内填入适当的数字，使下列除法竖式成立：
　　13．□内填入适当的数字，使得下列除法竖式成立：
14．用代数方法求解下列竖式：
　
15．求出左下式的商。16．求出右上式的被除数和除数。
17．在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：
18．在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：
　　19．在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小：　　　　
　　20☆在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小：
　　　
　　21．在下列加、减法竖式中，每个不同的汉字代表0～9中不同的数字，求出它们使竖式成立的值：
　　22．在下列各式中，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值：
　　　　
　　23．在下列乘法竖式中，每个不同的汉字代表0～9中不同的数字，求出它们使竖式成立的值：
　　24．在下列乘法竖式中，每个不同的汉字代表1～9中不同的数字，而被乘数与积正好是反序数，求出这些竖式：
　　25．在下列乘法竖式中，每个不同的汉字代表0～9中不同的数字，求出它们使竖式成立的值：
26．在下列乘法竖式中，每个不同的汉字代表0～9中不同的数字，求出它们使竖式成立的值：
　　　　
　　27．在下列竖式中，每个不同的字母代表0～9中不同的数字，请用数字重新写出各竖式：
　　
28．将1～7七个数码分别填入下列竖式的□内，使得竖式成立：
29．将1～8分别填入下列竖式的八个□中，每题都有两种不同填法，请至少找出其中一种：
　　　　
30．下列每个竖式都是由0～9十个数码组成的，请将空缺的数码填上：
31．下列每个竖式都是由1，2，3，4，5，6，7，8七个数码组成，请将空缺的数码填上，使得竖式成立：
　　
32．在□内填入小于10的质数，使得下列竖式成立：
33．在下列竖式的□内填入4～9中的适当数码，使得组成第一个加数的四个数码与组成第二个加数的四个数码相同，只是排列顺序不同。
34．下面两个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求ABCDEFG。
　　　　
　35．一个四位数除以一个一位数得（1）式，它除以另一个一位数得（2）式，求这个四位数。
　
　　36．一个五位数除以一个一位数得（1）式，它除以另一个一位数得（2）式，求这个五位数。
　　　　
37．将1～9九个数码分别填入下式的九个□中，使得竖式成立（注意：因为是六十进制，所以分、秒前面的数字要小于60）。
　　　　　　
奥林匹克训练题库
第一章数字谜四 数阵
　　1．在下列各图中，将从1开始的连续自然数填入图中的○内，要求每边上的数字之和都相等，中心○处各有几种填法？（每小题给出一个解）
　1
将1～11填入右上图的○内，使每条虚线上的三数之和都等于18。
　　3．将1～6填入右上图的○中，要求四条直线上的数字之和都等于10。
　　4．将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围。
4
5．将1～6填入右上图的六个○中，使每个大圆周上的四数之和都等于16。
　　6．将1～9这九个自然数分别填入左下图中的九个○内，使三角形每边上的四数之和都等于20，且有一个顶点○内的数字为1。
6
　　7．将1～10填入右上图的10个○中，使得每个菱形的4个顶点数之和都等于定数k。问：k的最大值与最小值各是多少？请各给出一种填法。
　8
　　8．将1～9这九个自然数填入左下图的九个小三角形中，使得每个由四个小三角形构成的三角形内的四个数字之和都等于17。
9．将1～8这八个自然数分别填入右上图中的八个○内，使四边形每条边上的三数之和都相等且尽可能大。
10．将自然数1～8填在右图的八个○内，使每个小三角形三个顶点数字之和都等于13，并且8位于大正方形的一个顶点上。
11．将1～8这八个自然数填入右图的四个圆相互分割的八个部分中，使每个圆内的三个数字之和都相等，并且这个和尽量小。
　　12．将自然数1～10这10个自然数分别填入左下图的10个○内，使五边形每条边上的3数之和都等于17，并且数字1位于一个顶点上。？？？
10
13．将1～8填入右上图的八个○中，使小正方形的四个顶点数之和是大正方形的四个顶点数之和的两倍，并且大正方形每条边上的三个数之和都相等。
14．小明玩布阵游戏，他要用360名士兵守卫一座城池（见左下图，图中间表示城区，四周表示城墙，方格中的数表示兵力分布），要求四个角的兵力相同。现在的兵力分布恰好每边有100名士兵，如果小明想使每边有150名士兵，那么兵力应如何分布？
15．有座一长方形城堡，四周有10个掩体（如右上图）。守城的士兵有10件武器，各种武器的威力系数如下表。为了使每一面的武器威力系数都相同，并且尽量大，应如何在10个掩体中配备武器？
　　16．将1～5填入右图的○中，使得横、竖、大圆周上的几个数之和都相等。
16
17．将1～7七个数字填入左下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等。
18．将1～9八个数字填入右上图的八个○内，使每个圆周和每条直线上的四数之和都相等。
　　19．将1～10填入左下图的10个○内，使3条直线上的4个数字之和相等，3个正三角形3个顶点上的数字之和也相等。
19
20．将1～9填入右上图的九个○内，使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上。
　　21．左下图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志。请将1～9分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等。
21
22．将1～7这七个自然数分别填入右上图的七个○内，使得三个大圆周上的四个数之和都等于定数，指出这个定数所有的可能取值，并给出定数为13时的一种填法。
23．将1～7分别填入下右图中的A，B，C，D，E，F，G七个部分，使每个圆内的四个数字之和都等于14，并要求G部分填的是奇数。
　　24．将1～7填入右图中的A，B，C，D，E，F，G七个部分，使每个内含四个数的三角形内的四个数之和都等于19。
　　25．将1～9填入左下图的九个○内，使四个大圆周上的四数之和都等于定数16。
25 26
26．右上图中的四个圆除阴影部分外被相互分割成A，B，C，D，E，F，G，H，I九个部分，将1～9这九个自然数分别填入这九个部分，使每个圆内的四个数字之和都等于20，并要求I部分填入奇数。
27．右图中有5个正方形和12个圆圈，将1～12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都等于K，那么K等于几？
　　28．下面各图中各有10个小三角形和4个大三角形，将1～10填入每个小三角形，使每个大三角形内的数字之和都等于25（其中已填好了3个数）：
　
29．将1～9填入下列各图的九个○中（其中6和1已填好），使得每个三角形上的三个数之和都相等：
144 右上图共有8条边，分别用A，B，C，D，E，F，G，H表示，要测量它的周长至少要测量哪几条边的长度？
　　30．下图的大三角形被分割成九个小三角形，大三角形的每条边都与其中五个小三角形有公共点。如果将1～9分别填入这九个小三角形，使得每条边上的五个小三角形内的数字之和都相等，那么这个和的最小值是多少？最大值是多少？
30
31．自然数1～12中有些已填入右上图的○内，请将其余的数补充填入，使得每条直线上的四数之和都相等。
　　32．将1～9填入下图的九个○内，使每个圆周上的四数之和都相等。
　　33．下图中有6个正方形，将1～9填入图中的9个○内，使得每个正方形4个顶点上的数字之和都相等。
33 34
34．将数字1～8分别填入右上图所示四面体的八个○中，使每个面上的四个○中的数字之和都等于14。
　　35．将数字1～8标在下图所示立方体的八个顶点上，使得每个面上的四个顶点所标数字之和相等。
　　36．在上图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。
　　37．将1～8填入下图所示立方体的八个顶点上，其中1已经填好，要使任意相邻的两条棱上的三个数之和都是两位数，A处应填几？
37
　　38．下页上图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等。
39．将1～12填入右上图的空格中（其中已填好四个数），使每个圆内的四个数之和都等于28。
　　40．将九个连续自然数填入左下图的九个空格中，使每一横行和每一竖列的三数之和都等于60。
40
41．将从1开始的九个连续奇数填入右上图的九个空格中，使每一横行、每一竖列及每条对角线上的三个数之和都相等。
42．将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及任一条对角线上的三个数之和都等于定数k。　　　　
　　43．将九个数填入右上图的空格中，使得每行、每列以及每条对角线上
　
44．下列各图中的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，求x和y。
44
　　45．下列各图中九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24，求x和y。
　　46．下列各图中的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，求x和y。
47求任一列、任一行以及任一条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方。
48．求九个数之和为531的三阶质数幻方。
49．求四个角上的四个数字之和为292的三阶质数幻方。
50．在下列各图的每个方格中都填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的四个数字都是1，2，3，4。
50
51．在下列各图的空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（已填好一个），使每一横行、竖行及对角线上的三数之和都等于21。
51
52．下图的九个小方格中填的数正好是1～9，并且满足：既不同行也不同列的任意三个数之和都等于15。符合题意的不同填法共有36种。下面各小题中都已填上了三个数，请将其余的数补上。
53．将1～8填入右图中的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线段连接的相邻的两个○内。
53　
　　54．将1～8填入右图的八个空格，使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数不是连续数。
55．下图的九个○由线段相连，其中一个○里的数是6。请选出九个连续自然数（包括6在内）填入○中，使每条直线上的各数之和都等于23。
56．将1～9填入右上图中的九个○内，使图中所有三角形（共七个）的三个顶点数之和都相等。
　　57．将自然数1～11填入下图的11个○中，使得每条直线（共10条）上的三个数字之和都相等。
　　58．在下图的六个○内各填入一个质数，使它们的和等于20，且每个三角形（共五个）的三个顶点数之和相等。
58
59．将1，2，3，4，8，12这六个数填入右上图的六个○内，使三角形每条边上的三个数的乘积都相等。
　　60．在下图的七个○内各填入一个质数，使每个小三角形（共六个）的三个顶点数之和相等，且为尽量小的质数。
61．把20以内的质数分别填入左下图中的八个○，使图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
61
　　62．20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入上图的八
个○中（其中3已填好），使得用箭头连接起来的四个数之和都相等。
63．在图的空格中任意填入八个自然数（可以相同），使每边的数字之和为5，而八个数的总和为12。如果八个数的总和为13，14，15，16呢？
　　64．从1～13中选出12个自然数填入左下图的空格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等。
64
65．将1～6分别填入右上图的六个○中，使得每个三角形三个顶点的数字之积能被它的三个顶点的数字之和整除，并且正方形四个顶点的数字之积也能被它的四个顶点的数字之和整除。
66．将1～9填入下图的九个○中，使得三角形每条边（共有六条）上的三个数之和都相等。
67．在下列各图的九个方格中已填入四个数，请再填入五个自然数，使得任一行、任一列的三个数之积都相等：
68．在下列各图中分别填入五个自然数，使得每一横行、每一竖列的三个数的乘积都相等：
　　69．在下列各图中分别填入六个自然数，使得每一横行、每一竖列的三个数的乘积都等于60：
　　70．右图的四个圆被相互分割成八个部分，在这八个部分中分别填入1或2，使得各圆内的三个数字之和互不相同。
70
　　71．在下图的六个○内填入1或2，使得每个大圆周上的四个数字之和互不相同。
72．将前9个自然数填入左下图的9个方格中，使得任一行、任一列以及任一条对角线上的3个数之和互不相同，并且相邻的2个自然数在图中的位置也相邻。
73．在右上图的五个○内各填入一个自然数，使得图中八个三角形的顶点数字之和互不相同。满足这个条件的自然数有很多组，求所填五个数之和最小的一组。
　　74．下图中有三个正方形，在每个正方形的四个顶点上填入1，2，3，4四个数。问：
　　（1）能否使八个三角形顶点数之和都相等？
（2）能否使八个三角形顶点数之和互不相同？如果能，请画图填数；如果不能，请说明理由。
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第一章数字谜
　　1．用0～9这10个数码各一次，拼凑出5个自然数，使得第2，3，4，5个自然数分别是第1个自然数的2，3，4，5倍。
　　2．用1～9这9个数码各一次，拼凑出5个自然数，使第2，3，4，5个自然数分别是第1个自然数的2，3，4，5倍。
　　3．用1～9九个数码各一次拼凑三个三位数，要求第二、三个数分别是第一个数的2倍和3倍。你能给出几组解？
　　4．用1～6六个数码各一次拼凑大、中、小三个两位数，使得这三个数构成等差数列。
　　5．下图有两个正方形，这两个正方形的面积值恰好由4，5，6，7，8，9六个数码组成。求这两个正方形的面积。
　　6．用1～9九个数码各一次，拼凑出尽量多的平方数。
　　7．用0～9这10个数码各一次，拼凑出一位、两位、三位、四位的平方数各一个。共有几种拼法？
　　8．用0～9这10个数码各一次拼凑出2个自然数，使它们分别是同一个自然数的平方与立方。
9．求一个四位数的平方数，它的前两位数码相同，后两位数码也相同。
　　10．求一个三位数，它等于它的三个数码之和的三次方。
　　11．求一个四位数，它等于它的四个数码之和的四次方。
　　12．有两个数，它们各个数位上的数码从左至右越来越大，其中一个六位数是另一个数的平方，求这个六位数。
　　13．一个四位数，它的第一个数码恰好等于这个数中数码0的个数，第二个数码恰好等于这个数中数码1的个数，第三个数码恰好等于这个数中数码2的个数，第四个数码恰好等于这个数中数码3的个数。求这个四位数。
　　14．在下面表格第二行的每个空格中各填一个整数，使它恰好等于它上方的数字在第二行中出现的次数。
　　15．一个七位数，它的第一个数码恰好等于这个数中数码0的个数，第二个数码恰好等于这个数中数码1的个数……第七个数码恰好等于这个数中数码6的个数。求这个七位数。
　　16．用六个连续的一位自然数组成三个两位数，要求每个两位数都能被组成它的两个数码之积整除。求这三个两位数。
　　17．用六个连续的一位自然数拼凑两个三位数，要求每个三位数都能被组成它的三个数码之积整除。求这两个三位数。
　　18．求五个自然数，它们的和等于它们的积。
　　19．求六个自然数，它们的和等于它们的积。
　　20．求七个自然数，它们的和等于它们的积。
　　21．用1～9九个数码各一次，最多可以拼凑出几个质数？怎样拼凑？
　　22．用0～9这10个数码各一次，最多可以拼凑出几个不大于666的质数？怎样拼凑？
　　23．在不大于500的22个连续自然数中，各位数字之和能被5整除的数最多有几个？最少有几个？请举例说明。
　　24．用0～9这10个数码各1次，组成2个四位数、1个三位数、1个两位数和1个一位数，使其中任意2个数都是互质数。已知组成的四位数是1860，其余3个数各是多少？
　　25．用0～9这10个数码组成四位、三位、两位、一位数各1个，使其中任意2个数都互质。如果组成的四位数是2394，那么其余3个数是多少？
　　26．将40拆成若干个不同的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大。
　　27．将36拆成若干个不同质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大。
　　28．将37拆成若干个不同质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大。
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第一章数字谜六 其它数字谜
　　1．在下图的空格中填入适当的数字，使得任意三个相邻格子中的数字之和都等于20。
1
　　2．右上图中，每个方格中都有一个数，横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15，竖列任意三个相邻方格内的数字之和都是18，求图中所有数之和。
　　3．左下图中任意三个相邻方格内写的数之和都是19，求x＋y。
　　4．在右上图的○内填上尽量小的自然数，使得连线两端两个数中，大数减小数之差等于连线上的数字。
5．将下列各组数填入右图的○中，然后把每条线段连接的两个数之差（大数减小数）写在线段的中间，要求写在线段中间的九个数正好是1～9九个数：
　　（1）0，1，2，3，4，6，9；
（2）0，1，2，5，6，7，9；
（3）0，2，4，5，7，8，9。
6．在左下图的七个○中填入互不相同的自然数，要求所填的自然数中最小的是1，并且相邻两个○内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个○之间标出的数字。
7．在右上图中心的五边形内填入一个不大于50的数，然后在10个圆圈内填入10个互不相同的质数，使得每组2个质数之和等于中心五边形内的数。
8．在下面各图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立：
9．将1～6填入左下图的○内，共有多少种不同填法？
10．将1～9填入右上图的○内，使各关系式成立。
11．将1～9填入下列各图的□与○内，使各关系式成立：
　　12．在下列各图中，分别从1～8中选择六个数填入□内，使得按顺时针方向计算的各关系式成立：
12
13．将1～8这八个自然数填入左下图的空格中，使四边形组成的四个等式都成立。
　14．将1～8八个数分别填入右上图的八个○内，使得图中的六个等式都成立。△代表几？
　15．在下列各图的空格中填入适当的自然数和＋，－，×，÷符号，使横行的四个等式及竖列的四个等式都成立：
　
　　16．下图的圆中有五条直径线，将1～10分别填在五条直径的两端，使圆周上任何两个相邻数之和等于直径另一端的两个相邻数之和，并要求这些和分别等于下列各组数：
　　（1）9，11，13；（2）10，11，12；
（3）7，9，11，13，15；（4）9，10，11，12，13。
　　17．下图中A，B，C代表不同的自然数，且除A，B，C外的每个字母都等于指向它的几个箭头起点处的数字之和（如D＝A＋B），适当选取A，B，C的数值，使得X的值最小，此时X等于几？
17 　
　　18．在下图的七个○内各填一个自然数，要求每条直线上的三个数中，中间的数是两边的数的平均值。试根据已填好的两个数求x。
19．左下图的○内填的是6个不同的自然数，而且每个数都是上一行相邻两数之和，如果最下面的数是9，那么这道题还有两种不同的填法，请你找出来（第一行的三个数之和相等，就认为是同一种填法）。
　　20．在下图的10个圆中填入10个不同的自然数，并且上边圆中的数等于它下方2个
与它有短线相连的圆中数之和。最上面的圆中的数最小是多少？
　　21．将1～6这六个数填入左下图的六个○中，使得大圆周上相邻的两个○中的数之和都是质数。
20
22．从1～7这七个自然数中挑出六个，填入右上图的○中，使得任意相邻的两个○中的数之和都是质数。共有四种不同填法，你能都找出来吗？
　　23．将1～10这10个自然数排成一圈，使得任何相邻2数之和都是小于15的质数。
　　24．将1～10这10个自然数排成一圈，使得任何相邻2数之差为2或3。
25．下图的环中已经填了1～5五个数，请将1～5填入右下图的环中，使得两环随意叠合时，在相互叠合的各个圆圈中至少有一处数字相同。
　　26．将下图分成形状相同的四块，使得每块图形中的四个数字之和都相等。
　　27．左下图中有25个数，从每行中取出一个数，使得剩下的每横行及每竖列的数字之和都等于20。
27
28．右上图中有36个数，请从每行中取出一个数，使得剩下的每横行及每竖列的数字之和都等于28。
　　29．下图的4×4方格中有16个数，去掉其中若干个数，使得第1～4列数字之和的比为1∶2∶3∶4。被去掉的几个数之和最小是多少？
　　30．国际象棋的皇后可以沿横、竖及对角斜线走。在一个3×3棋盘上，只要放一个皇后就可以控制棋盘中所有的格（见左下图，Q表示皇后）。为了控制一个4×4棋盘，至少要放几个皇后？控制一个5×5棋盘呢？
　　31．有七张纸片，正面分别标有1，2，3，4，5，6，7，反面分别标有A，B，C，D，E，F，G。现将它们按下图所示正面朝上地摆在桌子上，请根据下列条件，在图中标出每张纸片反面的字母：
　　（1）A与E有重叠部分；
　　（2）B与D，E，F，G有重叠部分；
　　（3）C与E，G有重叠部分；
　　（4）D与B有重叠部分；
　　（5）E与A，B，C有重叠部分。
　
　　32．有八张纸片，正面分别标有A，B，C，D，E，F，G，H，反面分别标有1，2，3，4，5，6，7，8。现将它们按下图所示正面朝上地摆在桌子上，请根据下列条件，在图中标出每张纸片反面的数字。
　　（1）2与5，7有重叠部分；
　　（2）3与1，4，7有重叠部分；
　　（3）4与3，5，7有重叠部分；
　　（4）5与1，2，4，8有重叠部分；
　　（5）6与1，有重叠部分；
　　（6）8与5，6有重叠部分。
　
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第二章 整数问题一 四则运算运算及运算规律
　　1 减数、被减数与差三者之和除以被减数，商是多少？
　　2 被减数比差大61，减数比差小22，请写出这个减法算式。
　　3 甲、乙两数之和加上甲数是220，加上乙数是170，甲、乙两数之和是多少？
　　4 在一个减法算式中，被减数是120，减数是差的3倍，减数是几？
　　5 被减数、减数与差的和是100，减数比差大10，差是几？
　　6 小明做两个整数的加法，他把万位上的8看成了3，百位上的7看成了9，个位上的5看成了6，算得的结果是49920。问：正确的结果是多少？
　　7 两数相乘，若被乘数增加14，乘数不变，则积增加84；若乘数增加14，被乘数不变，则积增加168。原来的积是多少？
　　8 两个数的和是94，有人计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了，结果算出的和是31。求这两个数。
　　9 两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数和除数。
　　10 两个数的乘积是被乘数的5倍，是乘数的12倍，这两个数的乘积是多少？
　　11 两个数的商是23，和是672，求这两个数中大数减小数之差。
　　12 已知两个数的差是2345，两数相除的商是8，求这两数之和。
　　13 甲、乙、丙三数的和是100，甲数除以乙数与丙数除以甲数的结果都是商5余1。问：乙数是多少？
　　14 被除数比除数的3倍多1，并且已知被除数、除数、商和余数的和是81，求被除数和除数。
　　15 一个整数除以15余2，被除数、商和余数的和是100，求被除数和商。
　　16 两个整数相除，商是4，余数是8。已知被除数比除数大59，求被除数。
　　17 两个自然数相除，商是4，余数是15，被除数、除数、商、余数之和是129。请写出这个带余数的除法算式。
　　18 一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。问：被除数、除数、商及余数之和是多少？
　　19 某数除以87，商5余5，这个数除以5的商是多少？
　　20 在101到200这100个自然数中，相邻两数相加不需进位的有多少对？
　　21 甲数各位数字之和是10，乙数各位数字之和是5。当甲、乙两数用竖式相加时，有一次进位。甲、乙两数和的各位数字之和是多少？
　　22 甲数各位数字之和是9，乙数各位数字之和是10。当甲数作为被减数，乙数作为减数，用竖式相减时，有两次借位。那么甲、乙两数之差的各位数字之和是多少？
　　23 从1～6中选5个数填入下式，求算式的结果的最大值：
　　□×(□－□)×(□－□)。
　　24 在下式中添加若干对括号，使算式取得最大值：
　　80÷10-4×2＋2×5＋1。
25 将四个不同的自然数填入下式的四个□中，使得等式成立。这四个自然数的和最小是多少？
　　(□＋□)×(□-□)＝12。
　　26 在一位自然数中，任取一个质数和一个合数相乘，所有可能的乘积的总和是多少？
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第二章 整数问题一 四则运算速算与巧算
　　计算下列各题(第27～44题)：
765×213÷27＋765×327÷27。
9×17＋91÷17-5×17＋45÷17。
51×49＋3.51×49＋51×3.51。
37×18＋27×42。
(101＋103＋…＋199)-(90＋92＋…＋188)。
(＋…＋9001)-(1＋3＋…＋999)。
123＋234＋345＋456＋567＋678＋789。
(873×477-198)÷(476×874＋199)。
-＋- ＋…＋2×1。
1＋2＋22＋23＋…＋299
　　45 ×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1)是哪个数的平方？
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第二章 整数问题一 四则运算等差数列与高斯求和
　　46 计算下列各题：
　　(1)11＋14＋17＋…＋101；
　　(2)2＋6＋10＋…＋90；
　　(3)297＋293＋289＋…＋209；
　　(4)193＋187＋181＋…＋103；
　　(5)1＋3＋4＋6＋7＋9＋10＋12＋13＋…＋66＋67＋69＋70；
　　(6)2＋4＋8＋10＋14＋16＋20＋22＋…＋92＋94＋98＋100；
　　(7)－998＋997＋996－995＋…＋106＋105－104＋103＋102－101。
　　47 在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。写出插入的5个数。
　　48 在之间，所有个位数字是7的自然数之和是多少？
　　49 左下图是一个堆放铅笔的V形架，如果V形架上一共放有210支铅笔，那么最上层有多少支铅笔？
　
　　50 有一堆粗细均匀的圆木，堆成右上图的形状，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，共堆了25层。问：这堆圆木共有多少根？
　　51 在上题中，如果最下面一层有98根，这堆圆木共有2706根，那么共堆了多少层？
52 用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？
　　
　　53 某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。问：这个剧院一共有多少个座位？
　　54 小明从1月1日开始写大字，第1天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月共写了589个大字。问：小明每天比前一天多写几个大字？
　　55 一个七层书架放了777本书，每一层比它的下一层少7本书。问：最上面一层放了几本书？
　　56 学校进行乒乓球选拨赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛。问：有多少人参加了选拨赛？
　　57 跳棋棋盘(如左下图)上一共有多少个棋孔？
　　
　　58 右上图中的正六边形棋盘上共有多少个棋孔？
　　59 用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形按左下图所示铺满一个大的等边三角形，已知这个大的等边三角形的底边放有10根火柴，那么一共要用多少根火柴？
　　
　　60 有一个六边形点阵(右上图)，它的中心是一个点，看做第1层，第2层每边2个点，第3层每边3个点……这个六边形点阵共100层。问：这个点阵共有多少个点？
　　61 求前100个既能被2整除又能被3整除的数之和。
　　62 在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
　　63 在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的奇数的和是多少？
　　64 在1～200这200个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？
　　65 求所有加6以后能被11整除的三位数的和。
　　66 在所有的两位数中，十位数字比个位数字小的两位数有多少个？
67 一个数列有11个数，中间一个数最大。从中间的数往前数，一个数比一个数小2；
从中间的数往后数，一个数比一个数小3。这11个数的总和是200，那么中间的数是几？
　　68 编号为1～9的九个盒子中共放有351粒米，已知每个盒子都比前一号盒子多同样粒米。如果1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？如果3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多几粒米？
　　69 从两位的自然数中，每次取两个不同的数，要使这两个数的和是三位的自然数，有多少种取法？
　　70 某校排练体操，一圈套一圈地围成若干圈，从外向内各圈人数依次少4人。如果围成8圈的最外圈人数比围成4圈的最外圈人数少20人，那么参加排练的共有多少人？
　　71 观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是n2，那么，第20行最左边的数是几？第20行所有数字的和是多少？
　　
　　72 有一列数：1，999，998，1，997，996，1，…从第3个数起，每一个数都是它前面2个数中大数减小数的差。求从第1个数起到第999个数这999个数之和。
　　73 10个连续偶数的和是从1开始的10个连续奇数和的2.5倍，其中最大的偶数是多少？
74 有一类自然数，其中每一个数与5的和都是9的倍数，与5的差都是7的倍数，这
类自然数中从小到大排列的第10个是几？
　　75 设自然数按如下方式排列，那么第10行第1个数字是几？
　　76 某车间从3月2日开始每天调入1人，已知每人每天生产1件产品，该车间从3月1日至3月21日共生产840件产品。问：该车间原有工人多少名？
　　77 小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某个数时，和是1000，但他发现计算时少加了一个数。问：小明少加了哪个数？
　　78 莎莎练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复计算了其中一个数字。问：莎莎重复计算了哪个数字？
　　79 有一套丛书共6册，每册出版间隔时间是7年，当6册出完后，这套丛书的出版年份的总和是11883。问：第6册是何年出版的？
　　80 奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米。已知去时用了4天，回来时用了3天。问：学校距离百花山多少千米？
　　81 上体育课时，我们几个同学站成一排，从1开始顺序报数，除我以外的其他同学报的数之和减去我报的数恰好等于50。问：共有多少个同学？我报的数是几？
　　82 有若干个学生，顺次编号为1，2，3，…所有编号之和是100的倍数且小于1000。问：共有多少个学生？
　　83 重阳节那天，延龄茶庄请来25位老人品茶，这25位老人的年龄恰好是25个连续自然数，并且年龄之和恰好是2000。问：其中年龄最大的老人多少岁？
　　84☆9张面积都是9的图形放在面积为45的桌面上(不能超出桌面)，能否使任何2个图形相互重叠的面积都小于1？
　　85☆求一个自然数n，使得前n个自然数的和是一个三位数，并且该三位数的个位、十位、百位三个数码都相同。
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第二章 整数问题一 四则运算位值原理
　　
　　87 证明：一个三位数减去它的各个数位的数字之和后，必能被9整除。
　　
　　数，求数码a。
　　90 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。
　　92 有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。
　　93 有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数。
　　94 有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把3加写在它的后面，则也可也以得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数。将这两个三位数和一个四位数相加等于3600。求原来的两位数。
　　　表示一个看不清的数码，求这个数和A。
　　这里A表示一个看不清的数码。求这个数和A。
　　97 有一个三位数，把它的个位数移到百位上，百位和十位上的数码相应后移一位成了一个新的三位数，原三位数的2倍恰好比新三位数大1，求原来的三位数。
　　98 求一个三位数，它等于抹去它的首位数字之后剩下的两位数的4倍与25之差。
　　99 把5写在某个四位数的左端得到一个五位数，把5写在这个数的右端也得到一个五位数，已知这两个五位数的差是22122，求这个四位数。
　　100 某三位数是其各位数字之和的23倍，求这个三位数。
　　101 a，b，c是1～9中的三个不同数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a＋b＋c)的多少倍？
　　102 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？
　　103 用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？
　　104 某校的学生总数是一个三位数，平均每个班35人。统计员提供的学生总数比实际总人数少270人。原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位与十位的数字对调了。这个学校学生最多是多少人？
105☆ a，b，c分别是0～9中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数字，如果其
中五个数字之和是2234，那么另一个数字是几？
　　106 有一类三位数，它的各个数位上的数字之和是12，各个数位上的数字之积是30，所有这样的三位数的和是多少？
　　108 一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大4，求这个两位数。
　　110☆一个三位数除以11所得的商等于这个三位数各位数码之和，求这个三位数。
　　112☆将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。
　　113☆在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。
　　114☆将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802。求原来的四位数。
　　115☆将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数。现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数M，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338。求这个四位数。
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第二章 整数问题二 奇数与偶数奇偶数与加减运算
　　1 判断下面算式的得数是奇数还是偶数：
　　(1)12+13+14+…+86+87；
　　(2)(300+301+302+…+397)-(151+152+…+191)。
2 有七个连续偶数，其中最大数是最小数的3倍，求这七个数。
　　3 有10个连续奇数，第5个数与第8个数的和为56，求第1个数。
　　4 能否在下式的□内填入加号或减号，使下式成立？
　　1□2□3□4□5□6□7□8□9=10。
5 对于任意三个自然数，是否总有两个数的和是偶数？为什么？
　　6 有一排树，每两棵间的距离为1米。如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数米。为什么？
　　7 在30到100中，所有3的倍数的数之和是奇数还是偶数？
　　8 在前100个自然数中，任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的不同的取法共有多少种？
　　9 有11张卡片，分别写有1～11这11个自然数。现在要将这11张卡片分为两堆，使得一堆所有卡片上的数字之和是奇数，另一堆所有卡片上的数字之和是偶数。能否做到？
　　10 任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？
　　11 两个四位数相加，第一个四位数的每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置。两数的和可能是7356吗？为什么？
　　12 P为质数，P3+5仍为质数，P5+5是不是质数？
　　13 有12张卡片，其中有三张上面写着1，三张写着3，三张写着5，三张写着7。问：能否从中选出五张，使它们上面的数字之和为20？为什么？
　　14 有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有页码之和能否是1999？
　　15 下图是一张9行9列的方格纸，在每个方格内填入所在行数与列数之和，例如a=4+7=11。在填入的81个数中，偶数有多少个？
　　16 有一根团成一团的毛线，拿剪刀任意剪一刀，假设剪出偶数个断口。问：这根毛线被分成的段数是偶数还是奇数？
　　17☆沿江有1，2，3，4，5，6号六个码头，相邻两码头间的距离都相等。早晨有甲、乙两船从1号码头出发，各自在这些码头间多次往返运送货物。傍晚，甲船停泊在6号码头，乙船停泊在1号码头。请说明甲、乙两船的航程不相等。
　　18 在左下图中，已填入两个数字1和8。问：在其余的格子中能否填满整数，使得横行任意相邻两数左边减右边之差都相等，纵列任意相邻两数下边减上边之差都相等？
　　
　　19 在右上图的4×4方格中还有12个空格，希望填入12个自然数，使得同一行中相邻两数的差(大数减小数)都相等，同一列中相邻两数的差(大数减小数)也相等。问：这件事能否办到？为什么？
　　20 有一列数，从第2个数起，每个数与它前面一个数的差等于它的序号。例如：第6个数与第5个数的差是6。如果第1个数是1，那么第100个数是奇数还是偶数？
　　21 100个数排成一排，除了两头的两个数外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和。这排数最左边的几个数为：2，1，1，2，…问：最右边的一个数是奇数还是偶数？
　　22 在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去，最后得到44，66，109。问：原来写的三个整数能否为1，3，5？
　　23 在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和加1，这样继续操作下去，最后得到35，47，81。问：原来写的三个整数能否为2，4，6？
　　24 有两堆石子，第一堆有1234枚，第二堆有4321枚，每次允许要么从两堆中拿走相同数量的石子(每次拿的数可以不同)，要么从一堆中拿若干枚放入另一堆。问：能否经过若干次操作把两堆石子同时拿光？为什么？
　　25°某城市举行小学生数学竞赛，试卷共有20道题。评分标准是：答对一道给3分，没答的题每题给1分，答错一道扣1分。问：所有参赛学生的得分总和是奇数还是偶数？为什么？
　　26°电视台举办知识竞赛，共10道题。评分标准是：基础分15分，答对一道加3分，没答的题每题记1分，答错一道减1分。如果有奇数个人参赛，那么所有参赛人的得分总和一定是奇数吗？
　　27 一次数学考试共有20道题。规定答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不得分。小明得了23分，已知他未答的题目数是偶数。他答错了几道？
　　28 在9×9的方格表中，画出一条从左上角到右下角的对角线，以这条对角线为轴对称地放置棋子，每个方格中至多放一枚棋子，且每行恰好放了5枚棋子。请说明，在所画出的对角线上的格子里至少放有一枚棋子。
　　29°桌上放着七只杯子，有三只杯口朝上，四只杯口朝下，每个人任意将杯子翻动四次。问：若干人翻动后，能否将七只杯子全变成杯口朝下？
　　30°桌上放着四只杯口朝下的杯子，每次翻动三只。问：能否将四只杯子全变成杯口朝上？如能，怎样翻？
　　31°有6个学生都面向南站成一排，每次恰有5个学生向后转，最少要做多少次才能使6个学生都面向北？
　　32 桌面上放着五枚正面朝上的硬币，这时小明来翻转硬币，每次随意翻转两枚，翻转若干次后，小明用手捂住其中一枚硬币，此时另外四枚硬币恰好是两反两正。请问：小明捂住的那枚硬币哪面朝上？
　　33 在2×2的方格里，如左下图那样摆上四个围棋子，如果每次改变同一行或同一列两个棋子的颜色，即白色变黑色，黑色变白色，那么能否通过若干次这样的换色，使左下图变成右下图的样式？
　　
　　34 在3×3的方格里，如左下图那样摆上九个围棋子，如果每次改变同一行或同一列三个棋子的颜色，即白色变黑色，黑色变白色，那么能否通过若干次这样的换色，使左下图变成右下图的样式？
　　
35 对于左下表，每次将其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后(各次减去或加上的数可以不同)变为右下表？为什么？
　　36 把1，2，3三个数分别填在右图中的A，B，C三个小圆圈内，然后按逆时针方向，先把B中的数改为A中的数与B中的数之和，再把C中的数改为B中(已改过)的数与C中的数之和，再把A中的数改为C中(已改过)的数与A中的数之和，这样循环做下去。如果在某一步做完之后，A，B，C中的数都变成了奇数，则停止运算。为了尽可能多运算几步，那么2应填在A，B，C哪个圆圈中？
　　
　　37 小敏给9个点分别涂上红色或兰色，涂完后又全部擦干净，然后再涂一遍，两次总共涂上红色和兰色的点各9个。无论怎样涂，是否总能找到一个两次涂的颜色不相同的点？
　　38 某音乐厅有767个座位，在连续的两场演出中，音乐厅将这两场的票售给A，B两所大学各767张。问：是否一定有这样的座位，在这两场演出中坐的不是同一学校的人？
　　39 有777个孩子，依次编为1～777号。能否将这些孩子分为若干组，使每组中都有一个孩子的号码数等于本组其余孩子号码数的总和？为什么？
　　40 在左下图的每个 中填入一个自然数(可以相同)，使得任意两个相邻的 中的数字之差(大数减小数)，恰好等于它们之间所标的数字。能否办到？为什么？
　　41 如右上图所示，将1～12顺次排成一圈。任意选一个数a(1≤a≤12)，然后从数a的下一个数起顺时针数a个数。例如a=3，就从4数到6；a=11，就从12顺时针数11个数到10。问：当a等于几时，可以数到7？
　　42 一本故事书有50篇故事，这些故事占的篇幅从1页到50页各不相同。如果从书的第1页开始印第一个故事，下一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？
　　43 A，B，C，D，E，F，G七盏灯各自装有拉线开关，开始B，D，F亮着，一个小朋友按从A到G，再从A到G，再……的顺序拉开关，一共拉了2000次。问：此时哪几盏灯是亮的？
　　44☆走廊里有10盏电灯，从1到10编号，开始时电灯全部关闭。有10个学生依次通过走廊，第1个学生把所有的灯绳都拉了一下，第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下，第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下……第10个学生把第10号灯的灯绳拉了一下。假定每拉动一次灯绳，该灯的亮与不亮就改变一次。试判定：当这10个学生通过走廊后，走廊里哪些号数的灯是亮的？
　　45☆将任意六个整数填入2×3的方格中。证明：必定存在一个矩形，它的四个角上的四个数字之和为偶数。
46☆能否将1，1，2，2，3，3，…，10，10这20个数排成一排，使得两个1之间夹着这20个数中的1个数，两个2之间夹着这20个数中的2个数……两个10之间夹着这20个数中的10个数？为什么？
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第二章 整数问题二 奇数与偶数奇偶数与乘除运算
47 若x，y，z是满足x2+y2=z2的自然数，则x，y，z中可能有几个偶数？
　　48 3～9这七个数，两两相乘后所得的乘积的和，是奇数还是偶数？为什么？
　49 两个不同的自然数的积再乘以这两个自然数的差(大减小)，其结果是奇数还是偶数？
50 在下式的□和 中各填一个自然数，使得等式成立：
2-124= 2。
51 由三个不同的自然数□，△， 组成一个等式：
□+△+ =□×△- 。　　这三个数中最多有多少个奇数？
　　52 分别就m是奇数和偶数两种情况，判断下列各式中a，b的奇偶性：
　　(1)23+45+67+89+a+b=m；
　　(2)123×455×589×a×b =m；
　　(3)90÷a÷b =m；
　　(4)(a +b)×a =m。
　　53 在右图所示的一张5行5列的方格纸上，每个方格内填入最上边与最左边两个数的乘积，例如a=5×4=20。在填入的25个数中，奇数有多少个？
　　
　　54 教室里有男女同学若干人，男生衣服上有5个扣子，女生衣服上有4个扣子。如果学生人数是奇数，扣子总数是偶数，那么女生的人数是奇数还是偶数？
　　55 一次乒乓球比赛有31名选手参赛，能否制定一个比赛程序表，使每个选手刚好参加三场比赛？为什么？
　　56 15名同学参加一篇小论文的讨论会，有没有可能每一个同学都恰好与5名同学讨论过问题？为什么？
　　57°在一次有99人参加的聚会中，每人至少认识3个人，请说明其中必有1人至少认识4个人。
　　58°在一次同学聚会中，大家见面彼此握手问候。问：参加聚会的同学中握手次数是奇数的同学的人数是奇数还是偶数？为什么？
　　59 解放军某连队有120名战士，每天晚上要派3名战士站岗。如果要做一个安排，使得在一段时间内他们中的任何两个人都恰好在一起站过一次岗，那么这样的安排能实现吗？
　　60°三个相邻偶数的乘积是一个五位数8***8，求这三个偶数。
　　61°三个相邻奇数的乘积是一个六位数3****3，求这三个奇数。
　　62 证明：一个自然数如果有奇数个约数，则这个数一定是平方数。
　　63°已知1999×△+4×□=9991，其中△，□是自然数，求□。
　　64 一个小于80的自然数共有5个约数，求这个数。
　　65°求一个小于200的自然数，它的每位数都是奇数，并且它是两个两位数的乘积。
　　66 甲、乙二人玩填符号游戏，先将1至100从左至右排成一排，然后两人从左至右轮流在两数之间填“+”号或“×”号。甲说：“如果我先填，则无论你怎样填，我想让最后结果是奇数或是偶数都可以做到。”甲应如何填？
67 先任意指定7个整数，然后将它们按任意顺序填入2×7方格表第一行的七个方格中，再将它们按任意顺序填入方格表第二行的方格中，最后，将所有同一列的两个数之和相乘。问：积是奇数还是偶数？
　　68 扑克牌中的J，Q，K分别表示11，12，13，甲取13张红桃，乙取13张草花，两人各自任意出一张牌凑成一对，这样一共可以凑成13对。如果将每对求和，再将这13个和相乘，那么积是奇数还是偶数？为什么？
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第二章 整数问题二 奇数与偶数区分颜色法
　　69°有一张黑白相间的方格纸，如果用记号(2，3)表示从上往下数第2行，从左往右数第3列的这一格(见右图)，那么(77，88)这一格是黑色还是白色？
69　
　　70°全班35名同学分五排，每排七人坐在教室里，每个座位的前、后、左、右位子称为它的邻座。问：要让这35位同学每人都换到他的邻座去，能办到吗？
　　71°左下图是一所房子的示意图，图中数字表示房间号码，每间房子都与隔壁的房间相通。问：能否从1号房间开始，不重复地走遍所有房间又回到1号房间？
　　72°右上图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？
　　73°某展览会有36个展室(如右图)，每两相邻展室之间均有门相通。试问：能否从入口进去，不重复地参观完全部展室后，从出口出来？
　　74 在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列(左下图)。守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，连小屋排成九行九列(右下图)呢？
　　75 一只电动老鼠从左下图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。当这只电动老鼠又回到A点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82次弯。如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？
　　76 右上图的16个点表示16个城市，两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通。问：能否找到一条不重复地走遍这16个城市的路线？
　　77 能否用9个右图所示的卡片拼成一个6×6的棋盘？
　　78 下面的三个图形都是从4×4的正方形纸片上剪去两个1×1的小方格后得到的。问：能否把它们分别剪成1×2的七个小矩形。
　　
　　79☆能不能用1×4的长方形纸片拼成一个6×6的正方形棋盘？
　　80 右图是一个6×6的方格纸，这个方格纸的左上角和右下角各被剪去一个小方格。能否用17个2×1的矩形恰好将它覆盖？
　　
　　81☆用若干个2×2和3×3的小正方形，能否拼成一个11×11的大正方形？
　　82°左下图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸。
　　(1)如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？
　　(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋。如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？
　　
　　83 中国象棋的马走“日”字，车走横线或竖线，右上图是半张中国象棋盘，试回答下列问题：
　　(1)一只马从某点出发，是否一定得跳偶数步才能返回该点？
　　(2)一只马能否跳遍这半张棋盘，每一点都不重复，最后的一步跳回起点？
　　(3)证明：一只马不可能从位置B出发，跳遍半张象棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点)。
　　(4)一只马能否从位置B出发，用6步跳到位置A？为什么？
　　(5)一只车从位置A出发，在这半张棋盘上走，每步走一格，走了若干步后到了位置B。证明：至少有一个格点没被走过或被走了不止一次。
　　84☆右图中每条直线上都有四个圆圈，将这些圆圈任意涂上红色或蓝色。是否可以使得恰有三条直线上的红圈数是奇数？
　　
　　85☆一条长线段的两端点为红色，现用分点将它分割成若干短线段(见下图)，然后将长线段中间的各分点随意地染成红色或蓝色(图中用实心点表示红色，用空心点表示蓝色)。我们把这若干条短线段分为两类，一类为两端点同色，另一类为两端点异色。请说明，两端点异色的短线段的数目必为偶数。
　　86☆在上题中，如果将两端点染成异色，那么请说明两端点异色的短线段的数目必为奇数。
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第二章 整数问题 三 整数、倍数及余数质数、合数及质因数分解
　
　1 可以分解为三个质数之积的最小的三位数是几？
　　2 用2，3，5，7四个数进行四则运算，每个数只能用一次，能够得到的最大质数是几？
　　3 “任何不小于4的偶数都可以表示为两个质数之和”，这就是著名的哥德巴赫猜想。例如8=3+5，但是8只有这一种表示形式，而22却有3+19和5+17两种表示成两个不同质数之和的形式。那么，能有两种表示成不同质数之和形式的最小自然数是几？
　　4 两个质数的和是39，求这两个质数的积。
　　5 有两个质数，它们的和与差也都是质数，求这两个质数。
　　6 A，B，C为三个质数，A+B=16，B+C=24，且A＜B＜C，求这三个质数。
　　7 A，B，C为三个小于20的质数，A+B+C=30，且A＜B＜C，求这三个质数。
　　8 除以9余2，并且与4和6的差都是质数的两位自然数有哪几个？
　　9 两个大于10的合数的和是31，求这两个数。
　　10 将八个不同的合数填入下式的□中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？
A=□+□=□+□=□+□=□+□。
　　11 将四个不同的合数分成两组，要求每组的两个合数之和都相等，而且每组的两个合数互质。这四个合数之和最小可以是多少？
　　12☆写出10个连续的自然数，它们个个都是合数。
　　13☆求不能用三个不相等的合数之和来表示的最大奇数。
14 有一类多位数，各个数位上的数字都不相同，且相邻两个数位上的数字之和都是质
数。这类多位数中最大的是几？
　　15 有一类多位数，各个数位上的数字都不相同，且相邻两个数位上的数字之和都是合数。这类多位数中最大的是几？
　　16°两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少？
　　17°三个自然数的乘积为84，其中两个数的和等于另一个数。求这三个数。
　　18°有7张卡片，上面分别写着1～7七个数字。明明、芳芳和亮亮每人拿了2张。
　　明明说：“我的两张数字之和是7。”
　　芳芳说：“我的两张数字之差是1。”
　　亮亮说：“我的两张数字之积是12。”
　　那么，剩下的一张上面写的数字是几？
　　19 有1，2，3，4，5，6，7，8，9九张牌，甲、乙、丙各拿了三张。甲说：“我的三张牌的积是48。”乙说：“我的三张牌的和是15。”丙说：“我的三张牌的积是63。”
　　问：他们各拿了哪三张牌？
　　20 将1～9九个自然数分成三组，每组三个数。第一组三个数之积是48，第二组三个数之积是45，第三组三个数之和最大是多少？
　　21 有九张卡片，上面分别写着1～9九个数字。甲、乙、丙、丁四人每人拿了两张。
　　甲说：“我的两张数字之和是9。”
　　乙说：“我的两张数字之差是6。”
　　丙说：“我的两张数字之积是12。”
　　丁说：“我的两张数字之商是3。”
　　那么，剩下的一张上面写的数字是几？
　　22 甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪，三人各自中靶的环数之积都是60，按个人中靶的总环数由高到低排，依次是甲、乙、丙。靶子上4环的那一枪是谁打的？(环数是不超过10的自然数)
　　23 46305乘以一个自然数a，乘积是一个整数的平方。求最小的a和这个整数。
　　24 将16分解成若干个质数(可以相同)相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数，那么这个平方数可能是几？
　　25 甲数比乙数大5，乙数比丙数也大5，三个数的乘积是6384，求这三个数。
　　26 把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。
　　27 把39，45，49，56，60，70，78，84，91九个数分成三组，使每组中三个数的乘积都相等。
　　28 A3=1008×B，其中A，B均为自然数，求B的最小值。
　　29 1×2×3×…×10=6n×M，其中n，M都是自然数，求n的最大值。
　　30 2000年的哪几天，年数、月数和日数的乘积恰好等于三个连续的5的倍数(如5，10，15等)的乘积？
　　31 求具有下列特征的质数：这个质数加上10或14后，其和仍是质数。
32 某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？并将它们写出来。
　　33°求出所有个位数字不同的最小合数(如：个位数字为5的最小合数是15)的和。
　　34 从小到大写出五个质数，要求后面的质数都比它前面一个质数大12。
　　35°九个连续自然数中最多有几个质数？
　　36 九个连续自然数中最多有四个质数，例如1～9中有2，3，5，7四个质数。请在200以内再找出五组这样的质数。
　　37 用1～9九个数字，每个数字必须用一次且只能用一次，最多可以组成多少个质数？
　　38 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数。
　　39 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数。
　　40☆把质数373拆开(不改变各数字间的顺序)，所有的可能只有3，7，37，73这四个数，它们都是质数。请找出所有具有这种性质的两位和两位以上的质数。
　　41°将20以内的八个质数分别填入下式的方格内，使得A是整数。A等于几？
　　42 将小于36的11个质数分别填入下式的方格内，使得A是质数。A最小是几？
　　43 从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写到一个正方体木块的6个面上，并且使相对两个面的数的和都相等。将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和，可能有多少种不同的值？
　　44 小明买了铅笔、橡皮和本三种文具，已知它们的数目是各不相同的质数，且满足
　铅笔数×(橡皮数+本数)=110+本数，　　小明买了多少块橡皮？
　　45 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数。求这两个整数。
　　46 李老师带领同学们去种树，学生们按人数恰好等分成三组。已知他们共种了312棵树，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。问：一共有多少个学生？每人种了几棵树？
　　47 在放暑假的8月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它四天的日期都是质数。这四个质数分别是这个合数减去1，这个合数加上1，这个合数乘上2减去1，这个合数乘上2加上1。问：小明是哪几天在姥姥家住的？
　　48 小于2000又与2000互质的数有800个，这800个数相加的和是多少？
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第二章 整数问题 三 整数、倍数及余数乘积的个位数
49 四个连续自然数的积是3024，求这四个数。
　　50 三个连续自然数的积是32736，求这三个数。
　　
51 证明：任意五个连续自然数的积的个位数字都是0。
　　52 1×2×3×…×19×20，这个乘积的末尾共有多少个0？将这个乘积再乘上一个个位不是0的数，使得最后的结果的末尾有尽量多的0，此时，末尾将有多少个0？
　　53 把自然数从1开始作连乘积，即　　1×2×3×4×…
　　问：当乘到多少时，乘积的最末10位数字第一次全为0？
　　54 右图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。第二排的四个数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数A的末尾共有多少个0？
　　
　　55°将一批图书分给三个班，他们所得的本数一个班比一个班多3本，且各班所得图书本数的乘积为58968。问：三个班各得多少本图书？
　　56 某班同学做体操时正好可以排成一个行与列相等的方阵。做完操后，老师让班长按5人一组分组活动，班长算了一下就说：“5人一组分组还多2人。”老师马上说：“你一定算错了。”你知道老师这样说的根据吗？
　　57°求下列各式所得结果的个位数字：
(1)222+333+444；
(2)367×876+431；
　　(3)12。
　　58 求7+72+73+74+…+7100的和的个位数字。
　　59°八个小于20的不同奇数的连乘积，其个位数可能有哪些？
　　60 已知1×2×3×…×n+4等于两个相邻自然数的乘积，试确定n的值。
　　61 已知(1×2×3×…×n)+3等于一个自然数的平方，试确定n的值。
　　62 1！+2！+3！+…+99！的后两位数字是多少？　　(注：n！=1×2×3×…×n。)
　　63 有五个连续自然数，它们的和是a，它们的乘积是b，a×b的后两位数字是多少？
　　64°已知四个数35□2，3□57，3□36，□329，其中哪几个可以写成平方数？这几个平方数分别是几？
　　65°一个自然数的四次方的个位数字可能是哪些数？
　　66 n是自然数(n3-n)×(n3+n)的个位数字是几？
　　67 已知n是一个小于10的自然数，(n4-1)不能被5整除，求n。
　　68 无论多少个末两位数是25的数相乘，它们的乘积的末两位数仍是25。我们称25是“变不掉的两位数尾巴”。“变不掉的两位数尾巴”还有76。试求出所有“变不掉的三位数尾巴”。
　　69°证明：(299+399)能被5整除。
　　70°证明：()是10的倍数。
　　71 A=11n+22n+33n+44n+55n，在99以内，有多少个n使得A不能被5整除。
　　72°形如2p-1(p是质数)的质数称为梅森质数，截止到1998年1月，人们已知的最大的梅森质数是，求它的个位数。
　　73☆形如22n+1(n为非负整数)的数称为费马数。求证：当n≥2时，费马数的个位数字为7。
　　74 是否存在自然数n，使得(n2+n+7)是15的倍数？为什么？
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第二章 整数问题 三 整数、倍数及余数整除性
　　75°如果四位数6□□8能被73整除，那么商是多少？
　　76°如果四位数5□□6能被34整除，那么可以有多少个不同的商？
　　77 个位数是6，且能被3整除的四位数有多少个？
　　78 三个数的和是555，这三个数分别能被3，5，7整除，而且商都相同，求这三个数。
　　80 求各位数字都是 7，并能被63整除的最小自然数。
　　81 用1，2，3，4这四个数码可以组成24个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有哪些？
　　
82 从 2，3，5，7，8五个数中任选四个能组成哪些能被75整除的没有重复数字的四位数？
83 一个三位数能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除，这样的三位数有哪些？
　　84 求出能被11整除，首位数字是4，其余各位数字均不相同的最大和最小的六位数。
　　85 已知自然数2*3*4*5*1能被11整除，问：*代表数码几？
　　86 已知四位数 7**1能被9整除，问：*代表数码几？
　　88 把一个三位数的百位和个位上的数字互换，得到一个新的三位数，新、旧两个三位数都能被4整除。这样的三位数共有多少个？
　　89 在 8264的左右各添一个数码，使新得到的六位数能被45整除。
　91 在 666后面补上三个数码组成一个六位数，使这个六位数能被783整除，应当怎样补？
　　92 在 5678这个数的前面或后面添写一个数 2，所得到的两个五位数都能被2整除。现在请你找出一个三位数添写在5678的前面或后面，使所得的两个七位数都能被这个三位数整除。满足题意的三位数有哪几个？
　　93 一个四位数，四个数字各不相同，且是17的倍数，符合条件的最小四位数是多少？
　　94 一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足此条件的最小自然数。
　　95 一个整数乘以17后，乘积的后三位是999，求满足题意的最小整数。
　　96 1×2×3×…×15能否被 9009整除？
　　97 A=61×62×63×…×87×88，A能否被6188整除？
　　98 从1～ 9这九个数中选出六个不同的数字组成一个能被11整除的六位数，求出这样的六位数中最大的与最小的两数之和。
　　99 用1～ 9这九个数码组成一个没有重复数字的能被11整除的九位数，这样的九位数有31680个，求出其中最大的和最小的。
　　101 能否用1， 2， 3， 4， 5， 6六个数码组成一个没有重复数字，且能被11整除的六位数？为什么？
　　102 用8个不同数码组成的八位数中，能被36整除的最小的数是几？
103 用1―9这九个数码各一次，组成三个分别能被7，9，11整除的三位数，并要求这
三个数的和尽可能大。
　　104 将自然数N接写在任一个自然数的右面，得到的新数都能被N整除。例如将2写在任一自然数的右面，得到的新数都能被2整除。在1～100中，满足条件的自然数N有哪几个？
　105 111…11是各位数字都是1的自然数，并且是7的倍数，求这样的数中最小的那个数。
107 已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数码只有0和8两
种。问：A最小是几？
　　109 在三位数abc中， 2b＋c=12，求必定能整除这个三位数的最大自然数。
　　110 一个四位数减去它的各位数字的和得到19□9，□中的数字是几？
　　111 用1～9这九个数码各一次，组成三个能被9整除的三位数，要求这三个数的和尽可能大，求这三个数。
　　A和B。
　　113 用1，3，5，7，9中的任意一个数与2，4，6，8中的任意一个数相乘，在所有不同的积中有多少个能被6整除？
　　114 在1～13中任意取两个不同的数相乘，可以得到许多不相等的乘积，在所有这些不同的乘积中有多少个能被6整除？
　　115☆有一个2000位的数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c。c等于多少？
　　116☆已知自然数A的各个数位上的数码之和与3×A的各个数位上的数码之和相等，证明A必能被9整除。
　　117 小马虎买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：□11.4□元(□表示不明数字)。你能帮助小马虎找出不明数字吗？
　　118 小明买了6支铅笔、 2支圆珠笔、 3本笔记本和7块橡皮，总共用去2元9角钱。已知圆珠笔3角9分1支，橡皮6分1块，售货员算错帐了吗？
　　119 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍。问：商店剩下的一箱货物重多少千克？
　　120 有一水果店进了六筐水果，分别装着香蕉和桔子，重量分别为8，9，16，20，22和27千克。当天只卖出一筐桔子，在剩下的五筐中香蕉的重量是桔子重量的2倍。问：这天水果店进了多少千克香蕉？
　　121 55个苹果分给甲、乙、丙三人，甲的苹果个数是乙的2倍，丙最少但也多于10个。问：三人各得多少苹果？
　　122 四名学生做加法练习：任写一个六位数，把它的个位数字(不等于0)拿到这个数最左边一位数字的左边得到一个新的六位数，然后与原六位数相加，他们的得数分别为，845267，其中只有一名同学做对了。问：正确答案是几？
　　123 证明：任意两个连续奇数的和一定是4的倍数。
　　124 证明：任意两个连续偶数的乘积是8的倍数。
　　125 证明：任意三个连续偶数的和一定是6的倍数。
　　126 证明：任意三个连续奇数的和一定是3的倍数。
　　127 证明：任意三个连续自然数的乘积是6的倍数。
　　128 证明：任意两个自然数的和、差、积中，至少有一个能被3整除。
　　129 甲数比乙数大5，乙数比丙数也大5，试说明三数之和、三数之积都能被3整除。
　130 至少给出多少个自然数，才能使给出的数中总能选出3个，使得它们的和是3的倍数。
　　131 证明：任何一个三位数，连着写两遍得到一个六位数，这个六位数一定能被7，11，13整除。
　　132 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
　　133☆1―9九个数字按右图所示的次序排成一个圆圈，请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数。如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么应在何处剪开？
　　
　　134 用六个2和若干个0组成的整数是否有可能是平方数？
　　135 111是平方数吗？为什么？
　　136 从1～1000中选出一些数，使得这些数中任意两个数的和都能被18整除。这样的数最多能选出多少个？
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第二章 整数问题 三 整数、倍数及余数约数与最大公约数
　　137 54321的除本身之外的最大约数是多少？
　　138 将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字，所得到的两个数都是78的大于1的约数。求这个两位数。
　　139 有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数之和是100，求这个自然数。
　　140 有一个自然数，它的最大的两个约数之和是123，求这个自然数。
　　141 求只有 8个约数但不大于30的所有自然数。
　　142 给出一个自然数n，n的所有约数的个数用T(n)表示。(1)求 T(42)；(2)求满足 T(n)=8的最小自然数n；(3)如果T(n)=2，那么n是怎样的数？
　　143 在1～100中，所有的只有3个约数的自然数的和是多少？
　　144 如果自然数a和b各自恰好都有5个不同的约数，那么a×b能否恰好有10个不同的约数？
　　145☆少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这200个灯泡按1～200编号，它们的亮暗规则是：
　　第一秒，全部灯泡变亮；
　　第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；
　　第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；
　　一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。
　　这样继续下去，每4分钟一个周期。问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？
　　146 100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？
　　147 一个学生做两个两位数乘法时，把其中的一个乘数的个位数字9误看成7，得出的乘积是756。问：正确的乘积是多少？
　　148 给出一个自然数n，n的所有约数的和用S(n)表示，求S(24)和S(36)。
　　149☆对于任意的大于2的自然数n，所有小于n且与n互质的自然数的个数是奇数还是偶数，还是不能肯定？
　　150 一个数如果等于除它本身以外的所有约数之和，则称此数为完全数。已知30以内有两个完全数，请将它们找出来。
　　151 某商店把几十个单价原为 0.2元的转笔刀降价后全部售出，共卖得2.53元。问：降价后单价多少元？
　　152 有一瓶440毫升的酒和容量不同的甲、乙两种酒杯。如果将酒倒入甲种杯，则倒满若干杯后，还剩35毫升酒(不足一杯)；如果将酒倒入乙种杯，则倒满若干杯后也剩35毫升酒(不足一杯)。已知甲、乙两种酒杯的容量都不超过100毫升，求甲、乙酒杯的容量。
　　153 把21，26，65，99，10，35，18，77分成若干组，要求每组中任意两个数都互质，至少要分成几组？如何分？
　　154 a，b两数的最大公约数是12，已知a有8个约数，b有9个约数，求a和b。
　　155 用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数。
　　156 用1－7这七个数码组成两个三位数和一个一位数，要求三个数中任意两个都互质。已知其中一个数为714，求另两个数。
　　157 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数最大可以到多少？
　　158 100个正整数之和为6666，它们的最大公约数的最大可能值是多少？
　　159 A，B是两个奇数，它们的最大公约数是3，求(A＋B)和(A－B)的最大公约数。
　　160 甲、乙两数的最大公约数是37，两数的和是444，这样的自然数有哪几组？
　　161 有一个大于1的自然数，用它除498，447和379得到相同的余数，求这个自然数。
　　162 两个小于150的数的积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。
　　163 写出三个小于20的自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质。
　　164 试用 2， 3， 4， 5， 6， 7六个数码组成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大。
　　165 1～8八个数字，按右图所示的次序排成一个圆圈，请你在某两个数字之间沿直径剪开，这时按顺时针次序形成两个四位数(例如，在1和5之间剪开，得到的两个数是)。如果要使剪开后所得到的两个数的最大公约数最大，那么应从何处剪开？最大公约数是几？
　　
　　166 有一个长方形棋盘，每个小方格的边长都是1，长有200格，宽有120格(如下图)。纵横线交叉的点称为格点，连结A，B两点的线段共经过多少个格点(包括A，B两点)？
　
　
　　167 在右图中，以O为一个端点，以A，B，C，D，E，F，G，H为另一个端点，共可以连出8条线段。在这8条线段中，不经过图中任何一个格点的有几条？
　　168 有三根钢管，分别长200，240和360厘米。现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段，一共能截成多少段？
　　169 两根铁丝分别长65米和91米，用一根木尺分别去丈量它们，都恰好量完而无剩余。这根木尺最多有多长？
　　170 有三根铁丝，分别长300厘米、444厘米、516厘米。把它们截成同样长且尽可能长的整厘米小段(不许剩余)，每小段折成一个小正方形。然后将这些小正方形混放在一起拼成一个长方形(每拼一次都必须全部用上这些小正方形)，这样可能拼成的长方形有几种？
　　171 有336个苹果、 252个桔子、 210个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？
　　172 将22块橡皮和33支铅笔平均分给参加打扫教室卫生的同学，结果橡皮多1块，铅笔少2支，参加打扫卫生的同学有多少名？
　　173☆如右图所示，街道ABC在B处拐弯，在街道一侧等距装路灯，要求A