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高中数学：数列与数学归纳法精练800题（创新版）
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iframe(src='//www.googletagmanager.com/ns.html?id=GTM-T947SH', height='0', width='0', style='display: visibility:')高中数学典型例题解析（第四章数列）
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高中数学典型例题解析（第四章数列）
第四章& 数列
§4.1等差数列的通项与求和
一、知识导学
1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.
2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.
5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列
6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.
7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．
8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝．我们把Ａ＝叫做ａ和ｂ的等差中项．
二、疑难知识导析
1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函数.
2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：若a1适合an(n&2),则不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.
4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an=
a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.
5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为，若令A＝，B＝a1－，则＝An2+Bn.
6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.
错解：（1）an=3n+7;
(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.
错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=101,显然3n+7不是它的通项.
正解：（1）an=3n－2;
(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.
&[例2] 已知数列的前n项之和为①
求数列的通项公式。
错因：在对数列概念的理解上，仅注意了an＝Sn－Sn-1与的关系，没注意a1=S1.
正解：&&&& ①当时，
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
经检验 时 &也适合，
&&&&&&&&&&&&
[例3] 已知等差数列的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于&&&&&&&&&& 。
错解：S30= S10·2d. &d＝30，
S30+d =100.
错因：将等差数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.
正解：由题意：得
代入得S40 ＝。
[例4]等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求；
错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.
错因：误认为
[例5]已知一个等差数列的通项公式an=25－5n，求数列的前n项和；
错解：由an0得n5
前5项为非负，从第6项起为负，
Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)
当n6时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an｜＝
错因：一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和.
[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，
由此可以确定求其前项和的公式吗？
解：理由如下：由题设： &&&
[例7]已知：&（）& （1） 问前多少项之和为最&&&& 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？
&解：（1）& &&&&&∴
当近于0时其和绝对值最小
&&令：& 即 1024+
&&&&∵ &&&&&∴
[例8]项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，求证此数列的和是方程 的根。 （）
&证明：依题意&&&&
∴ &&&&&&&∴&& （获证）。
四、典型习题导练
1．已知，求及。
2．设，求证：。
5.已知依次成等差数列，求证：依次成等差数列.
6.在等差数列中， ，则 （&&&&&&
A．72　　B．60　　C．48　　D．36
7. 已知是等差数列，且满足，则等于________。
8.已知数列成等差数列，且，求的值。
§4.2等比数列的通项与求和
一、知识导学
1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常
数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．
2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．
3.等比数列的前n项和公式：&
二、疑难知识导析
1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.
2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.
3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.
4.在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.
5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.
6.等比数列｛an｝的通项公式an=a1qn-1可改写为.当q&0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0　的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝的图象是函数的图象上的一群孤立的点.
7．在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1] 已知数列的前n项之和Sn=aqn（为非零常数），则为（　）。
A.等差数列　　　
B.等比数列　　
C.既不是等差数列，也不是等比数列
D.既是等差数列，又是等比数列
为等比数列，即B。
错因：忽略了中隐含条件n＞1.
正解：当n＝1时，a1=S1＝
既不是等差数列，也不是等比数列，选C。
[例2] 已知等比数列的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于.
错解：S30= S10·q 2. &q 2＝7，q＝，&S40=
错因：是将等比数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.
正解：由题意：得，
[例3] 求和：a+a2+a3+…+an.
错解：&a+a2+a3+…+an＝.
错因：是（1）数列｛an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.
正解：当a＝0时，a+a2+a3+…+an＝0;
&&当a＝1时，a+a2+a3+…+an＝n;
当a1时，&a+a2+a3+…+an＝.
[例4]设均为非零实数，，
求证：成等比数列且公比为。
证法一：关于的二次方程有实根，
& 则必有：，即，∴非零实数成等比数列
& 设公比为，则，代入
& ∵，即，即。
证法二：∵
∴，∴，且
∵非零，∴。
[例5]在等比数列中，，求该数列前7项之积。
&∵，∴前七项之积&
[例6]求数列前n项和
& 解：&&&&&&&&&&&&&&
两式相减：
[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，
问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？
&&& (2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？
解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：
& a1= 0.2 （kg）,&& a2=×0.2（kg）,&&& a3=
()2×0.2（kg）
&由此可见：an=
()n-1×0.2（kg）,&& a5= ()5-1×0.2= ()4×0.2=0.0125（kg）。
&&& (2)由(1)得{an}是等比数列&&&
a1=0.2 ,&&& q=&
答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。
四、典型习题导练
1.求下列各等比数列的通项公式：
2)a1=5, 且2an+1=-3an
3)a1=5, 且
2.在等比数列，已知，，求.
3.已知无穷数列，
求证：（1）这个数列成等比数列
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
4.设数列为求此数列前项的和。
5.已知数列{an}中，a1=-2且an+1=Sn，求an ,Sn
6.是否存在数列{an}，其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？
7.在等比数列中，，求的范围。
§4.3数列的综合应用
一、知识导学
1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求Sn还是求an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.
二、疑难知识导析
&1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；
2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；
3.等差数列中, am=an+ (n－m)d, ; 等比数列中，an=amqn-m;
4.当m+n=p+q（m、n、p、q∈）时，对等差数列｛an｝有：am+an=ap+aq；对等比数列｛an｝有：aman=apaq；
5.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}(k、b是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；
6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）数列；
7.对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶-S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈）；
8.若一阶线性递推数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
三、经典例题导讲
[例1]设是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明：。
错解：欲证
由对数函数的单调性，只需证＜
& 原不等式成立.
错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况.
正解：欲证
由对数函数的单调性，只需证＜
由已知数列是由正数组成的等比数列，
则－＝&＝－＜0；
& 原不等式成立.
[例2] 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）
错解：因球　每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形成了一公比为的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，共经过的路程应为前10项之和.
即＝199（米）
错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.
正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了＝100（米）…因此到球第10次着地时共经过的路程为
＝300（米）
答：共经过300米。
[例3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？
错解：年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a19=a(1+r)18.
错因：只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a元.
正解：不妨从每年存入的a元到18年时产生的本息 入手考虑，出生时的a元到18年时变为a(1+r)18，
1岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)17，
2岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)16，
17岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)1，
a(1+r)18+ a(1+r)17+&
…+ a(1+r)1
答：取出的钱的总数为。
&[例4]求数列的前n项和。
& 解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则
&&&&& &&当时，
[例5]求数列前n项和
解：设数列的通项为bn，则
[例6]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，
求数列{an}的前n项和
& 解：取n =1，则
又由 &可得：
[例7]大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）
解：设相邻两层楼梯长为a，则
当n为奇数时，取&& S达到最小值
当n为偶数时，取&& S达到最大值&
四、典型习题导练
1．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？
2．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)
3．已知数列中，是它的前项和，并且，
& （1） 设，求证数列是等比数列；
& （2） 设，求证数列是等差数列。
4.在△ABC中，三边成等差数列，也成等差数列，求证△ABC为正三角形。 5． 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
6. 已知 是一次函数，其图象过点 ，又 成等差数列，求的值
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资料评价：高中数学数列试题解题技巧研究--《课程教育研究》2016年02期
高中数学数列试题解题技巧研究
【摘要】：高中数学中数列试题解题技巧,不仅在高中数学里面占有一定的地位,在大学的数学教学过程中,也会有不小的指导价值,并且在近几年,该数列试题还成为了高考数学中的主要考点,所以高中数学数列试题的解题技巧更是成为了众多高中院校教师讲课的重点,但是在很多高中数学实际教学的过程中,还是有很多学生没有掌握该类数列试题的解题技巧,面对数列试题常常是无从下手,为此,本文就将对高中数学数列试题解题技巧展开进一步的研究,探索解题规律,为高中生提高帮助。
【作者单位】：
【分类号】：G634.6
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