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2.插值法-1
第 2章插值法离散变量连续化1问题：? 许多实际问题都用函数 y=f (x) 表示某种内在规律 的数量关系, 数学上的一条曲线。 ? 部分函数是通过实验或观测得到的，只能给出函数 在定义区间上部分离散点的数值。 ? 有的函数表达式计算复杂，使用不方便，需要根据 已有的函数表构造一个能反映原函数特性，又便于 计算的函数。通常选择一类简单函数如多项式函数、 分段函数等2插值函数? 设函数 y ? f ( x)在区间[a, b] 上有定义，且已知在点a ? x0 ? x1 ? ? ? xn ? b上的值y0 , y1 ,?， , yn 若存在一简单函数 P ( x)， 使P( xi ) ? yi (i ? 0,1,?, n)（1.1）成立，就称 P( x) 为 f ( x) 的插值函数，点 x0 , x1 ,?, xn 称为插值节点，包含节点的区间 [a, b]称为插值区间，求插值函数P ( x) 的方法称为插值法.3插值函数分类若 P ( x) 是次数不超过 n的代数多项式， 即P( x) ? a0 ? a1 x ? ? ? an x n（1.2）其中 ai 为实数，就称 P ( x )为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值.若 P ( x )为分段的多项式，就称为分段插值. 若 P ( x )为三角多项式 ，就称为三角插值. 只讨论多项式插值与分段插值.4插值函数的几何解释从几何上看，插值法就是求曲线 y ? P( x) ，使其通过 给定的 n ? 1 个点 ( xi , yi ), i ? 0,1,?, n ，并用它来近似曲线y ? f ( x) . 如图2-1.图2-15拉格朗日插值法 ? 线性插值与抛物插值? 对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得形如(1.2) 的插值多项式. ? 先讨论 n=1 的简单情形.yk ? f ( xk ), yk ?1 ? f ( xk ?1 )问题：给定区间 [ xk , xk ?1 ] 及端点函数值使它满足 要求线性插值多项式 L1 ( x) ，L1 ( xk ) ? yk , L1 ( xk ?1 ) ? yk ?1.，6其几何意义就是通过两点( xk , yk ), ( xk ?1 , yk ?1 ) 的直线. 如图2-2.图2-27?由 L1 ( x) 的几何意义可得到表达式L1 ( x) ? yk ? yk ?1 ? yk ( x ? xk ) xk ?1 ? xk（点斜式） （2.1） （两点式）L1 ( x) ?xk ?1 ? x x ? xk yk ? yk ?1 xk ?1 ? xk xk ?1 ? xkx ? xk ?1 , xk ? xk ?1由两点式看出， L1 ( x) 是由两个线性函数lk ( x ) ? lk ?1 ( x) ? x ? xk , xk ?1 ? xk（2.2）的线性组合得到，其系数分别为 y k 及 yk ?1 ，即L1 ( x) ? yk lk ( x) ? yk ?1lk ?1 ( x)（2.3）8线形插值基函数显然，lk ( x) 及 lk ?1 ( x) 也是线性插值多项式，在节点 xk 及 xk ?1上满足条件lk ( xk ) ? 1, lk ?1 ( xk ) ? 0,lk ( xk ?1 ) ? 0; lk ?1 ( xk ?1 ) ? 1,称 lk ( x ) 及 lk ?1 ( x)为线性插值基函数， 图形见图2-3.图2-39n=2的情形,二次插值，抛物插值? 假定插值节点为 xk ?1，xk ，xk ?1 ，要求二次插值多项式 L2 ( x), 使它满足L2 ( x j ) ? y j ( j ? k ? 1, k , k ? 1)?几何上 L2 ( x) 是通过三点( xk ?1 , yk ?1 ), ( xk , yk ), ( xk ?1 , yk ?1 ) 的抛物线. ? 可以用插值基函数的方法求 L2 ( x) 的表达式，此时基函数lk ?1 ( x), lk ( x), lk ?1 ( x) 是二次函数，且在节点上满足条件lk ?1 ( xk ?1 ) ? 1,lk ( xk ) ? 1,lk ?1 ( x j ) ? 0,( j ? k , k ? 1);( j ? k ? 1, k ? 1);lk ( x j ) ? 0,（2.4）10lk ?1 ( xk ?1 ) ? 1,lk ?1 ( x j ) ? 0,( j ? k ? 1, k ).二次插值(抛物插值)基函数由插值条件，它应有两个零点 xk 及 xk ?1 ， 以求 lk ?1 ( x为例， )可表示为lk ?1 ( x) ? A( x ? xk )( x ? xk ?1 ),其中 A为待定系数，可由插值条件 lk ?1 ( xk ?1 ) ? 1 定出A? 1 ( xk ?1 ? xk )( xk ?1 ? xk ?1 ) ( x ? xk )( x ? xk ?1 ) . ( xk ?1 ? xk )( xk ?1 ? xk ?1 )于是lk ?1 ( x) ?11二次插值基函数（续）同理lk ( x ) ? ( x ? xk ?1 )( x ? xk ?1 ) . ( xk ? xk ?1 )( xk ? xk ?1 ) ( x ? xk ?1 )( x ? xk ) . ( xk ?1 ? xk ?1 )( xk ?1 ? xk )lk ?1 ( x) ?二次插值基函数 lk ?1 ( x) ， lk ( x )， lk ?1 ( x) 在区间 [ xk ?1 , xk ?1 ] 上的图形见图2-4.12二次插值基函数（续）图2-413二次插值函数利用 lk ?1 ( x)， lk ( x)， lk ?1 ( x) ， 可得到二次插值多项式L2 ( x) ? yk ?1lk ?1 ( x) ? yk lk ( x) ? yk ?1lk ?1 ( x)（2.5）显然，它满足条件 L2 ( x j ) ? y j , ( j ? k ? 1, k , k ? 1). 将 lk ?1 ( x) ,lk ( x) ， lk ?1 ( x) 代入 (2.5) , 得L2 ( x) ? yk ?1 ( x ? xk )( x ? xk ?1 ) ( x ? xk ?1 )( x ? xk ?1 ) ? yk ( xk ?1 ? xk )( xk ?1 ? xk ?1 ) ( xk ? xk ?1 )( xk ? xk ?1 ) ( x ? xk ?1 )( x ? xk ) . ( xk ?1 ? xk ?1 )( xk ?1 ? xk )? yk ?114拉格朗日插值多项式将以上方法推广到一般情形，讨论如何构造通过n ? 1 个节点 x0 ? x1 ? ? ? xn 的 n 次插值多项式 Ln ( x) .根据插值的定义 Ln ( x) 应满足Ln ( x j ) ? y j ( j ? 0,1,?, n).（2.6）为构造 Ln ( x) ，先定义 n 次插值基函数.15n 次拉格朗日插值基函数?定义1 若 n 次多项式 l j ( x) ( j ? 0,1,?, n) 在 n ? 1 个节点x0 ? x1 ? ? ? xn 上满足条件?1, k ? l j ( xk ) ? ? ( j , k ? 0,1,?, n) ?0, k ? j.（2.7）就称这 n ? 1 个 n 次多项式 l0 ( x), l1 ( x), ?, ln ( x) 为节点 x0 , x1 , ?, xn 上的 n 次插值基函数.16?n 次插值基函数为 与前面的推导类似，lk ( x ) ? ( x ? x0 ) ? ( x ? xk ?1 )( x ? xk ?1 ) ? ( x ? xn ) ( xk ? x0 ) ? ( xk ? xk ?1 )( xk ? xk ?1 ) ? ( xk ? xn )(k ? 0,1,?, n).（2.8）?因此， 满足条件（2.6）的插值多项式 Ln ( x)可表示为Ln ( x) ??yk ?0nklk ( x).（2.9）? 形如2.9式的插值多项式 Ln ( x) 称为拉格朗日插值多项式 ? n = 1,2 时分别为线性插值与抛物线插值17?若引入记号?n?1 ( x) ? ( x ? x0 )( x ? x1 )?( x ? xn ),容易求得（2.10）? ?1 ( xk ) ? ( xk ? x0 )?( xk ? xk ?1 )( xk ? xk ?1 )?( xk ? xn ), ?n? 于是公式（2.9）可改写成Ln ( x) ?? ykk ?0n?n ?1 ( x) . ? ( x ? xk )?n ?1 ( xk )（2.11）注意: n 次插值多项式 Ln ( x) 通常是次数为 n 的多项式， 特殊情况下次数可能小于 n .18插值余项与误差估计?若在 [ a, b]上用 Ln ( x) 近似 f ( x) ，则其截断误差为Rn ( x) ? f ( x) ? Ln ( x), 称为插值多项式的余项.(n) 定理2 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，f ( n ?1) ( x) 在 ( a, b) 内存在，节点 a ? x0 ? x1 ? ? ? xn ? b, Ln ( x) 是满足条件(2.6)的插值多项式，则对任何 x ? [a, b] ，插值余项f ( n ?1) (? ) Rn ( x) ? f ( x) ? Ln ( x) ? ?n ?1 ( x) (n ? 1)!（2.14）这里 ? ? (a, b)且依赖于 x ， ?n ?1 ( x) 是（2.10）所定义的.19证明由给定条件知 Rn ( x) 在节点 xk (k ? 0,1,?, n)上为零，即 Rn ( xk ) ? 0 (k ? 0,1,?, n)， 于是Rn ( x) ? K ( x)( x ? x0 )( x ? x1 )?( x ? xn ) ? K ( x)?n?1 ( x)（2.15）其中 K ( x) 是与 x有关的待定函数. 现把 x 看成 [a, b] 上的一个固定点，作函数? (t ) ? f (t ) ? Ln (t ) ? K ( x)(t ? x0 )(t ? x1 ) ?(t ? xn ),根据插值条件及余项定义，可知 ? (t ) 在点 x0 , x1 , ?, xn 及x 处均为零，故 ? (t ) 在 [a, b] 上有n ? 2个零点，20根据罗尔定理，? ?(t ) 在 ? (t )的两个零点间至少有一个零点，故 ? ?(t ) 在 [a, b] 内至少有 n ? 1个零点. 对 ? ?(t ) 再应用罗尔定理，可知 ? ??(t ) 在 [a, b] 内至少有n 个零点.依此类推，? ( n?1) (t ) 在 ( a, b) 内至少有一个零点，记为? ? (a, b) ，使? ( n?1) (? ) ? f ( n?1) (? ) ? (n ? 1)! K ( x) ? 0,21于是f ( n ?1) (? ) K ( x) ? , ? ? (a, b), (n ? 1)!且依赖于 x将它代入（2.15），就得到余项表达式（2.14）.? ? 余项表达式只有在 f ( x)的高阶导数存在时才能应用. 但 ? 在 ( a, b) 内的具体位置通常不可能给出，a ? x ?b?若可以求出 max f ( n ?1) ( x) ? M n ?1 , 那么插值多项式 Ln ( x) 逼近 f ( x) 的截断误差限是M n ?1 Rn ( x) ? ?n ?1 ( x) . (n ? 1)!（2.16）22?当n ? 1 时，线性插值余项为R1 ( x) ? 1 1 f ??(? )?2 ( x) ? f ??(? )( x ? x0 )( x ? x1 ), 2 2? ? [ x0 , x1 ]（2.17）?当n ? 2时，抛物插值余项为1 R2 ( x) ? f ???(? )( x ? x0 )( x ? x1 )( x ? x2 ), 6? ? [ x0 , x2 ]（2.18）23例1 已知 sin 0.32 ? 0.314567, sin 0.34 ? 0.333487,sin 0.36 ? 0.352274, 用线性插值及抛物插值计算 sin 0.3367的值并估计截断误差. 解 由题意, 取x0 ? 0.32, y0 ? 0.314567,x1 ? 0.34,x2 ? 0.36,y1 ? 0.333487,y2 ? 0.352274.24用线性插值计算，取 x0 ? 0.32, x1 ? 0.34, 由公式（2.1） y1 ? y0 (0.3367 ? x0 ) sin 0.3367 ? L1 (0.3367) ? y ? x1 ? x00.01892 ? 0.314567 ? ? 0.0167 ? 0..02由（2.17）,其截断误差 其中 于是x0 ? x ? x1R1 ( x) ?x0 ? x ? x1M2 ( x ? x0 )( x ? x1 ) , 2M 2 ? max f ??( x) ? max ? sin x ? sin x1 ? 0.3335,R1 (0.3367) ? sin 0.3367 ? L1 (0.3367)1 ? ? 0.3335 ? 0.0167 ? 0.0033 225用抛物插值计算，由公式（2.5）得sin( 0.3367) ? y0 ( x ? x0 )( x ? x2 ) ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? y1 ( x0 ? x1 )( x0 ? x2 ) ( x1 ? x0 )( x1 ? x2 )( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x2 ? x0 )( x2 ? x1 )? y2? L2 (0.3367)0. ? 0.314567 ? ? 0.. ?10 ?4 ? 0. ? ? 0.352274 ? 0.8? 0.33037426结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样 由（2.18）,截断误差限R2 ( x) ? M3 ( x ? x0 )( x ? x1 )( x ? x2 ) , 6 M 3 ? max f ???( x) ? cos x0 ? 0.828,x0 ? x ? x2其中 于是R2 (0.3367) ? sin 0.3367 ? L2 (0.3367)?1 ? 0.828 ? 0.0167 ? 0.033 ? 0.0233 6? 0.178 ?10 ?6.27均差与牛顿插值公式?均差及其性质利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公 式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数 lk ( x)( k ? 0,1,?, n)均要随之变化，整个公式也将发生变化.28为了克服这一缺点，可把插值多项式表示为如下便于 计算的形式Pn ( x) ? a0 ? a1 ( x ? x0 ) ? a2 ( x ? x0 )( x ? x1 ) ? ? ? an ( x ? x0 ) ?( x ? xn?1 )（3.1）其中 a0 , a1 ,? an 为待定系数， 可由 n ? 1个插值条件Pn ( x j ) ? f j ( j ? 0,1, ?, n)确定.29当 x ? x0 时， Pn ( x0 ) ? a0 ? f 0 . 当 x ? x1 时，由 Pn ( x1 ) ? a0 ? a1 ( x1 ? x0 ) ? f1 推得a1 ? f1 ? f 0 . x1 ? x0当 x ? x2 时， 由Pn ( x2 ) ? a0 ? a1 ( x2 ? x0 ) ? a2 ( x2 ? x0 )( x2 ? x1 ) ? f 2推得f2 ? f0 f ? f0 ? 1 x ? x0 x1 ? x0 a2 ? 2 . x2 ? x1依此递推可得到 a3 ,? an .30一阶均差、二阶均差， k 阶均差定义2称f [ x0 , xk ] ?f ( xk ) ? f ( x0 ) xk ? x0为函数 f ( x) 关于点 x0 , xk 的一阶均差.f [ x0 , x1 , xk ] ? f [ x0 , xk ] ? f [ x0 , x1 ] xk ? x1称为 f ( x) 的二阶均差.一般地，称f [ x0 , x1 , ? xk ] ? f [ x0 , ?, xk ? 2 , xk ] ? f [ x0 , x1 ?, xk ?1 ] xk ? xk ?1为 f ( x) 的 k 阶均差（均差也称为差商）.（3.2）31均差的性质均差有如下的基本性质： 1° k 阶均差可表为函数值f ( x0 ), f ( x1 ), ?, f ( xk ) 的线 性组合，即f [ x0 , x1 , ?, xk ] ?? (xj ?0kf (x j )j? x0 ) ? ( x j ? x j ?1 )( x j ? x j ?1 ) ? ( x j ? xk ).（3.3）这个性质可用归纳法证明. 这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差 的对称性.32均差性质（续）f [ x0 , x1 ,? xk ] ? f [ x1 , x0 , x2 ,?, xk ] ? ? ? f [ x1 ,?, xk , x0 ]2° 由性质1°及（3.2）可得f [ x1 , ?, xk ] ? f [ x0 , ?, xk ?1 ] f [ x0 , x1 , ? xk ] ? . xk ? x0（3.4）3° 若f ( x) 在 [ a, b] 上存在 n 阶导数，且节点x0 , x1 ,?, xn ? [a, b], 则 n 阶均差与导数关系如下：f [ x0 , x1 , ? xk ] ? f(n)(? ) , n!? ? [a, b].（3.5）这公式可直接用微分中值定理证明.33均差表均差计算可列均差表如下（表2-1）.表2 ? 1 xk x0 x1 x2 x3 x4 ? f ( xk ) 一阶均差 f ( x0 ) f ( x1 ) f [ x0 , x1 ] f ( x2 ) f [ x1 , x2 ] f ( x3 ) f ( x4 ) ? f [ x2 , x3 ] f [ x3 , x4 ] ? 二阶均差 三阶均差 四阶均差f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x2 , x3 , x4 ] ? f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] ? f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ] ?34牛顿插值公式根据均差定义，把 x 看成 [a, b] 上一点， 可得f ( x) ? f ( x0 ) ? f [ x, x0 ]( x ? x0 ),f [ x, x0 ] ? f [ x0 , x1 ] ? f [ x, x0 , x1 ]( x ? x1 ), ????f [ x, x0 ,?, xn ?1 ] ? f [ x0 , x1 ,?, xn ] ? f [ x, x0 , x1 ,?, xn ]( x ? xn ).35只要把后一式代入前一式，就得到f ( x) ? f ( x0 ) ? f [ x0 , x1 ]( x ? x0 ) ? f [ x0 , x1 , x2 ]( x ? x0 )( x ? x1 ) ? ? ? f [ x0 , x1 ,?, xn ]( x ? x0 ) ?( x ? xn?1 ) ? f [ x, x0 ,?, xn ]?n?1 ( x) ? N n ( x) ? Rn ( x),其中N n ( x) ? f ( x0 ) ? f [ x0 , x1 ]( x ? x0 ) ? f [ x0 , x1 , x2 ]( x ? x0 )( x ? x1 ) ? ? ? f [ x0 , x1 ,?, xn ]( x ? x0 ) ?( x ? xn?1 ),（3.6） 返回36Rn ( x) ? f ( x) ? N n ( x) ? f [ x, x0 ,?, xn ]?n?1 ( x),（3.7）?n ?1 ( x)是由（2.10）定义的.显然，由（3.6）确定的多项式 N n ( x) 满足插值条件， 其系数为 且次数不超过 n，它就是形如（3.1）的多项式，ak ? f [ x0 ,?, xk ],(k ? 0,1,?, n).称 N n ( x)为牛顿（Newton）均差插值多项式. 系数 a k 就是均差表2-1中加横线的各阶均差，它比 拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.37（3.7）为插值余项，由插值多项式唯一性知，它与拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的.事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点. 但（3.7）更有一般性，它在 f 是由离散点给出的 情形或 f 导数不存在时也是适用的. 牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，当增加 插值节点时，只要在原来插值多项式的基础上增加一项 即可.38例2给出 f ( x) 的函数表（见表2-2），求4次牛顿插值多项式，并由此计算 f (0.596) 的近似值. 首先根据给定函数表造出均差表.表2 ? 2 xk f(xk ) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 0.40 0. 0.00 0.65 0.00 0. 0. 1. 1.73 1.33 0.48 0.33 0.63 0.26 五阶均差? 0.0001239从均差表看到4阶均差近似常数，5阶均差近似为0. 故取4次插值多项式 N 4 ( x) 做近似即可. 按牛顿插值公式，将数据代入N4 ( x) ? 0.41075 ? 1.116( x ? 0.4) ? 0.28( x ? 0.4)( x ? 0.55)? 0.19733( x ? 0.4)( x ? 0.55)( x ? 0.65)? 0.03134( x ? 0.4)( x ? 0.55)( x ? 0.65)( x ? 0.8)于是f (0.596) ? N 4 (0.596) ? 0.6319240截断误差R4 ( x) ? f [ x0 ,?, x5 ]?5 (0.596) ? 3.63 ?10?9.这说明截断误差很小，可忽略不计.41差分与等距节点插值实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单得多.为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念.差分及其性质设函数 y ? f ( x) 在等距节点 xk ? x0 ? kh (k ? 0,1,?, n) 上 的值 f k ? f ( xk ) 为已知，这里 h 为常数，称为步长.42定义3记号?f k ? f k ?1 ? f k , ?f k ? f k ? f k ?1 ,（4.1） （4.2）分别称为 f ( x) 在 x k处以 h 为步长的向前差分，向后差分 符号 ? ， ? 分别称为向前差分算子，向后差分算子 利用一阶差分可定义二阶差分为?2 f k ? ?f k ?1 ? ?f k ? f k ? 2 ? 2 f k ?1 ? f k .一般地可定义 m 阶差分为?m f k ? ?m?1 f k ?1 ? ?m?1 f k . ? m f k ? ? m?1 f k ? ? m?1 f k ?1.43引入两个常用算子符号： 不变算子 I 及移位算子 E 定义如下： 不变算子I fk ? fkk k ?1 k移位算子k kE f k ? f k ?1k于是，由 ? f ? f ? f ? E f ? I f ? ( E ? I ) f 可得： 向前差分? ? (E ? I )?1向后差分 ? ? I ? E44差分基本性质.性质1 各阶差分均可用函数值表示.例如n ? n ? n? j j ?n? ? ? ? f n ? k ? j , （4.4） ? f k ? ( E ? I ) f k ? ? (?1) ? ?E f k ? ? (?1) ? ? ? j ?0 j ?0 ? j? ? j?nnnj? f k ? ( I ? E ) f k ? ? (?1)n ?1 nj ?0nn? jn ? n ? j ?n n? j ? n ? ? ? j? ?E f k ? ? (?1) ? ? j? ? f k ? j ? n , （4.5） j ?0 ? ? ? ?? n ? n(n ? 1) ? (n ? j ? 1) 其中 ? 为二项式展开系数. ? j? ?? j! ? ?45性质2可用各阶差分表示函数值.?n? j ? [? ? ? j? ?? ] f k , j ?0 ? ?n例如，可用向前差分表示 f n ? k ，因为f n ? k ? E f k ? ( I ? ?) f kn n所以f n?k?n? j ? ?? ? j? ?? f k . j ?0 ? ?n（4.6）46性质3均差与差分有密切关系.f k ?1 ? f k ?f f [ xk , xk ?1 ] ? ? k, xk ?1 ? xk h例如，对向前差分， 由定义f [ xk ?1 , xk ? 2 ] ? f [ xk , xk ?1 ] f [ xk , xk ?1 , xk ? 2 ] ? xk ? 2 ? x kf ( xk ? 2 ) ? f ( xk ?1 ) f ( xk ?1 ) ? f ( xk ) ? h h ? 2h 1 2 ? ? fk , 2 2h47一般地有f [ xk , ? , xk ? m ] ? 1 1 m ? fk m m! h(m ? 1,2, ?, n)（4.7）同理，对向后差分有f [ xk , xk ?1 , ?, xk ? m ] ? 1 1 m ? fk , m m! h（4.8）利用（4.7）及均差与导数的关系又可得到?n f k ? h n f ( n ) (? ),（4.9）这就是差分与导数的关系. 其中 ? ? ( xk , xk ? n ) ，48差分计算表（表2-3），表中 ? 为向前差分， ? 为向后差分.表2 ? 3 fk f0 ?f 0 (?f1 ) f1 ?f1 (?f 2 ) f2 ?f 2 (?f 3 ) f3 ?f 3 (?f 4 ) f4 ? ?49? (? )?2 (? 2 )?3 (? 3 )?4 (? 4 )??2 f 0 (? 2 f 2 ) ?3 f 0 (? 3 f 3 ) ?2 f1 (? 2 f 3 ) ?3 f1 (? 3 f 4 ) ?2 f 2 (? 2 f 4 ) ? ? ? ?4 f 0 (? 4 f 4 ) ?等距节点插值公式将牛顿均差插值多项式（3.6）中各阶均差用相应差分代替，可得到各种形式的等距节点插值公式.如果节点xk ? x0 ? kh(k ? 0,1,?, n) ，要计算x0 附近点可令 x ? x0 ? th, 0 ? t ? 1, 于是 x 的函数 f ( x) 的值，?k ?1 ? ? (x ? x j ) ? t (t ? 1) ? (t ? k )h k ?1.j ?0 k式3.650牛顿插值公式将此式及均差与差分的关系代入牛顿插值公式，则得t (t ? 1) 2 N n ( x0 ? th) ? f 0 ? t?f 0 ? ? f0 ? ? 2! t (t ? 1) ? (t ? n ? 1) n ? ? f0 , n!（4.10）称为牛顿前插公式， 由拉格朗日插值余项公式得t (t ? 1) ? (t ? n) n ?1 ( n ?1) Rn ( x) ? h f (? ), (n ? 1)!? ? ( x0 , xn ).（4.11）51如果要表示 xn 附近的函数值 f ( x) ，也可使用牛顿插值公式（3.6），但为了降低误差，插值点应按 xn , xn?1 ,?, x0的次序排列，这时N n ( x) ? f ( xn ) ? f [ xn , xn?1 ]( x ? xn ) ? f [ xn , xn?1 , xn?2 ]( x ? xn )( x ? xn?1 ) ? ? ? f [ xn , xn?1 ,?, x0 ]( x ? xn ) ?( x ? x1 ).作变换 x ? xn ? th, ? 1 ? t ? 0 ，并利用均差公式与向后差分 关系公式（4.8）， 得52t (t ? 1) 2 N n ( xn ? th) ? f n ? t?f n ? ? f0 ? ? 2! t (t ? 1) ? (t ? n ? 1) n ? ? fn , n!（4.12）称其为牛顿后插公式，其余项Rn ( x) ? f ( x) ? N n ( xn ? th)t (t ? 1) ?(t ? n) n ?1 ( n ?1) ? h f (? ), (n ? 1)!（4.13）其中 ? ? ( x0 , xn ).53?通常求开头部分插值点附近函数值时使用牛顿前插公式，求插值节点末尾附近函数值时使用牛顿后插公式.?如果用相同节点进行插值，则向前向后两种公式只是形式上差别，其计算结果是相同的.54例3给出 f ( x) ? cos x 在 xk ? kh, k ? 0,1,?,6, h ? 0.1处的函数值，试用4次等距节点插值公式计算 f (0.048) 及f (0.566) 的近似值并估计误差.解xk根据题意，插值条件为0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6f ( xk ) 1.00 0.34 0.58 0.82534为使用牛顿插值公式，先构造差分表（表2-4）. 由于 x ? 0.048 接近 x0，所以应用牛顿向前插值公式计算f (0.048) 的近似值.55表 2?4 f ( xk ) 1.00 ? 0.07 ? 0.34 ? 0.06 ? 0.58 ? 0.34 ? 0.00876 ? 0.44 ? 0.35 0.00009 ? 0.25 0.00010 ? 0.00001 ?f (?f ) ? 0.00500 ? 0.13 0.00012 ? 0.00002 ?2 f (? 2 f ) ?3 f (? 3 f ) ?4 f (? 4 f ) ?5 f (? 5 f )(带下划线各阶向前差分，双下划线各阶向后差分 .)56取 x ? 0.048, h ? 0.1, 则 t ? x ? x0 ? 0.048 ? 0 ? 0.48,h 0.1用表2-4上半部的各阶向前差分，得f (0.048) ? cos 0.048 ? N 4 (0.048) ? 1.00000 ? 0.48 ? (?0.00500)(0.48)(0.48 ? 1) (?0.0 ? (0.48)(0.48 ? 1)(0.48 ? 2)(0.0 ? (0.48)(0.48 ? 1)(0.48 ? 2)(0.48 ? 3)(0.00012) ? 0.99885 4! ?57由余项公式（4.11）得误差估计M5 R4 (0.048) ? t (t ? 1)(t ? 2)(t ? 3)(t ? 4) h 5 5!? 1. ,其中 M 5 ? sin 0.6 ? 0.565.58计算 f (0.566) 应使用牛顿向后插值公式，x ? 0.566,这里x ? x6 ? ?0.34, h ? 0.1, h 用差分表2-4中下半部的各阶向后差分，得x6 ? 0.6,t?? 0.00876 N 4 (0.566) ? 0.82534 ? 0.34 [?0.05224 ? (0.66)( 2 0.09 ? (1.66)( ? 2.66 ? ))] ? 0.8 于是 cos 0.566 ? 0.84405.59由余项公式（4.13）得误差估计M5 R5 (0.566) ? t (t ? 1)(t ? 2)(t ? 3)(t ? 4) h 5 5!? 1. ,其中 M 5 ? 0.565.60分段低次插值? 并非插值多项式次数越高，精度也越高 ? 一般采用分段低次插值C 如：一次(线性)插值 二次(抛物线)插值 三次插值? 插值结点的选择C 已知结点及其函数值(xi,yi),i=0,1,2,…,n，求f(x) C x应在插值结点之间，如: xj&x&xk C 插值区间应尽量小，如： xj&x&xi+161分段低次插值高次插值的病态性质根据区间 [a, b] 上给出的节点做出的插值多项式 Ln ( x), 在次数 n 增加时逼近 f ( x) 的精度不一定也增加. 这是因为对任意的插值节点，当 n ? ?时，Ln ( x) 不 一定收敛到 f ( x) .62考虑函数 f ( x) ? 1 /(1 ? x 2 ) ，它在 [?5,5] 上的各阶导数均存在. 以 [ ?5,5]上的 n ? 1 个等距节点xk ? ?5 ? 10 k , n (k ? 0,1, ?, n)所构造的拉格朗日插值多项式为Ln ( x) ? ??n ?1 ( x) 1 . 2 ? ?1 ( x j ) j ? 0 1 ? x j ( x ? x j )?nn令 xn ?1/ 2 ? 1 ( xn ?1 ? xn ), 则 xn ?1/ 2 ? 5 ? 5 ,2n63表2-5列出了 n ? 2,4,?,20 时的 Ln ( xn?1/ 2 ) 的计算结果及在 xn ?1/ 2 上的误差 R( xn ?1/ 2 ).表2 ? 5 n 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 f ( xn ?1/ 2 ) 0..........042440 Ln ( xn ?1/ 2 ) 0.759615 ? 0..607879 ? 0..578721 ? 2..332743 ? 10..123671 ? 39.952449 R ( xn ?1/ 2 ) ? 0..423216 ? 0..880668 ? 1..800440 ? 5..217397 ? 20..99488964可见，随 n 的增加， R( xn ?1/ 2 ) 的绝对值几乎成倍增加. 这说明当 n ? ? 时 Ln 在 [ ?5,5] 上是不收敛的.Runge证明了，存在一个常数 c ? 3.63 ，使得当 x ? clim Ln ( x) ? f ( x), 而当 x ? c 时?Ln ( x)? 发散. 时， n ??65取 n ? 10, 根据计算画出 y ? 1 /(1 ? x 2 ) 及 y ? L10 ( x) 在 [ ?5,5]上的图形，见图2-5.图2-566从图上看到，在 x ? ?5 附近, L10 ( x)与 f ( x) ? 1 /(1 ? x 2 ) 偏离很远， 这说明用高次插值多项式Ln ( x)近似 f ( x) 效 果并不好. 通常不用高次插值，而用分段低次插值.67下图是用Matlab完成的Lagrange插值：682.6.2分段线性插值由于升高插值多项式的阶数有时并不能达到提高精度的效果, 所以实际中往往采用分段插值的思想. 分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区 间, 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值. 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来 逼近 f ( x).69设已知节点 a ? x0 ? x1 ? ? ? xn ? b 上的函数值f 0 , f1 ,?, f n , 记 hk ? xk ?1 ? xk , h ? max hk ,k求一折线函数 I h ( x) , 满足：1. I h ( x) ? C[a, b],2. I h ( xk ) ? f k(k ? 0,1,?, n),3. I h ( x) 在每个小区间 [ xk , xk ?1 ]上是线性函数.则称 I h ( x)为分段线性插值函数.70由定义可知 I h ( x) 在每个小区间 [ xk , xk ?1 ] 上可表示为x ? xk ?1 x ? xk I h ( x) ? fk ? f k ?1 xk ? xk ?1 xk ?1 ? xk( xk ? x ? xk ?1 ).(6.1)若用插值基函数表示，则在整个区间 [a, b] 上 I h ( x) 为I h ( x) ? ? f j l j ( x),j ?0 n(6.2)其中基函数 l j ( x ) 满足条件l j ( xk ) ? ? jk ( j , k ? 0,1, ?, n),其形式是71? x ? x j ?1 , ? ? x j ? x j ?1 ? x ? x j ?1 l j ( x) ? ? , ? x j ? x j ?1 ? ? 0, ?x j ?1 ? x ? x j ( j ? 0略去); x j ? x ? x j ?1 ( j ? n略去); (6.3) x ? [a, b], x ? [ x j ?1 , x j ?1 ].利用插值余项（2.17）得到分段线性插值的误差估计xk ? x ? xk ?1maxM2 f ( x) ? I h ( x) ? max ( x ? xk )( x ? xk ?1 ) x 2 k ? x? xk ?172或写成M2 2 max f ( x) ? I h ( x) ? h , a ? x ?b 8(6.4)其中 M 2 ? max f ??( x) .a ? x ?b73下图是用Matlab完成的分段线性插值（附程序）：74附：分段线性插值程序 n=11; m=61; x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.^2); z=0*x; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y1=interp1(x0, y0, x); plot(x, z, ’r’, x, y, ’k:’, x, y1, ’r’) gtext(‘Piece. Clinear.’), gtext(‘y=1/(1+x^2)’) title(‘Piecewise Linear’) 注：interp1(x0,y0,x)为Matlab中现成的分段线性插值程序.75分段二次插值? 由相邻三个插值节点构造二次插值多项 式 ? 构成分段二次插值76
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