x/2+y/3+z/4=1应用2重积分求体积

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-17 07:56 标签： x+y+z=1图像
三重积分计算I=∫∫∫(x+y+z)^2dv..设V:x^2+y^2+z^2&=4(x-2)^2+y^2+z^2&=4_百度知道
三重积分计算I=∫∫∫(x+y+z)^2dv..设V:x^2+y^2+z^2&=4(x-2)^2+y^2+z^2&=4
(x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz，由于积分区域关于xoy面、xoz面对称，而2xy、2xz、2yz关于y或z为奇函数，因此它们的积分为0，因此被积函数只剩下x²+y²+z²再由轮换对称性，本题积分区域改为：x²+y²+z²≤4，x²+y²+(z-2)²≤4，积分结果不变。x²+y²+(z-2)²=4可化为：x²+y²+z²=2z，球坐标方程为r²=2rcosφ，即r=2cosφ∫∫∫ (x²+y²+z²) dxdydz球坐标=∫∫∫ r²*r²*sinφ drdφdθ=∫[0→2π]dθ∫[0→π/2]dφ∫[2cosφ→2] r²*r²*sinφ dr=(2π/5)∫[0→π/2] r^5sinφ |[2cosφ→2] dφ=(64π/5)∫[0→π/2] (1-(cosφ)^5)sinφdφ=-(64π/5)∫[0→π/2] (1-(cosφ)^5)d(cosφ)=(64π/5)(1/6)(cosφ)^6-(64π/5)(cosφ)
|[0→π/2]=(64π/5)-(64π/5)(1/6)=(64π/5)(5/6)=32π/3
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计算三重积分∫∫∫xyzdxdydz,其中Ω是由柱面x^2+z^2=4与x^2+y^2=4在第一卦限所围的立体
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Ω2：z=√(5-x²-y²)--&x²+y²+z²=5、上球Ω1：x²+y²=4z、抛物面5-z²=4z--&z=1圆环Dz：x²+y²=4、r=2Ω=Ω1+Ω2体积∫∫∫dV=∫(0→2π)dθ∫(0→2)rdr∫(r²/4→1)dz+∫(0→2π)dθ∫(0→2)rdr∫(1→√(5-r²))dz=2π∫(0→2)r•(1-r²/4)dr+2π∫(0→2)r•[√(5-r²)-1]dr=2π∫(0→2)[r-r³/4+r√(5-r²)-r]dr=2π&#-4)/3=(2/3)(5√5-4)π
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∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz,区域是由x^2+y^2=z,z=4围成的,怎么算?不能直接把x^2+y^2=4带进去提出来然后直接算区域的体积吗?
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∵积分空间区域是由x^2+y^2=z,z=4围成的∴此空间区域投影到xy平面的区域是S：x²+y²=4于是,作柱面坐标变换：x=rcosθ,y=rsinθ,z=z (0≤θ≤2π,0≤r≤2,r²≤z≤4)故∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz=∫dθ∫dr∫r²*rdz=2π∫r³(4-r²)dr=2π∫(4r³-r^5)dr=2π(2^4-2^6/6)=2π(16/3)=32π/3.
标准答案啊嘿嘿
就是还是不明白我说的那个方法可不可以？
你的方法是错误的！
∵用你的方法做：原式=4∫∫∫dxdydz=4∫dθ∫rdr∫dz
=4*(2π)∫r(4-r²)dr
=8π(2*2²-2^4/4)
额，那为什么不可以啊？算闭曲线积分的时候不都可以吗？
二重积分与闭曲线积分是两个不同的慨念，怎么能混为一谈呢。但二重积分与闭曲线积分通过格林定理可以转换。好好再看看这两种积分定义和定理吧。
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