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解法【1】：传统方法，积分。
这道题随机变量看似3个，其实两个就够了，设X和Y处把棍子折断，X、Y在[0,1]之间满足均匀分布。
不妨假设X&Y。则三段长度分别是X、Y-X、1-Y，如果X最短，那么满足
X&Y-X也就是2X&Y
X&1-Y也就是Y&1-X
根据上面的条件，我们可以画出X和Y的曲线，求出边界条件，然后用积分求X的期望，代入联合分布即可。明显，最短的X长度不会超过1/3，又因为X、Y-X、1-Y都要大于等于0小于等于1，所以期望就是如下
因为我们假设X最小，那么其他的也可能最小，一共有3种情况，另外如果X&Y也是一样，所以一共有6种可能的情况，也就是1/54*6=1/9。所以答案是1/9。
计算最大值类似，先假定一组条件，然后根据对称性简单求和。
还是假设X&Y，然后X最大，那么
X&Y-X也就是Y&2X
X&1-Y也就是Y&1-X
同样可以画出X和Y的坐标图，然后列出求积分的公式
同样，结果乘以6，得到11/18。
解法【2】：
可以利用几何特性，化期望为求解质心问题。
假设X是最短的，Y是最长的，那么第三段满足X&1-X-Y&Y，也就是
根据上面两条式子，可以画出坐标图，以及满足条件的三角形区域。
三个点分别是(1/3,1/3)(0,1/2)(0,1)，求解质心，三角形均匀分布，质心就是重心，所以将三个点求平均即可（1/9，11/18）。所以得出结果。
解法【3】：对于n段的解法
假设我们把一根绳子剪成&n&段，每段的长度分别是&l1,l2,…,ln。设最短的一段是&x。那其他的&n-1&段都要大于等于&x。换句话说，每一段都得预留出了&x&的长度，剩余1-nx，问题等价于，余下的&1-nx&里我们还需要分割n-1小段出来。也就是说:
上面的积分公式，第一行用到了分部积分的方法，第二行求解，显然P(L&=1/n^2)的概率是1，所以才有上面的结果。
所以，最短的那一段的平均长度是：1/n^2。那可能又要问了，其他的几段呢？我们来算算倒数第二段先。和上面的做法一样，先把最短的一段从每一段中截走，绳子的总长度剩下&1-nx。那倒数第二段就是剩下里面最短的一段啦，再把刚才的那一段加回去，于是长度就是
一条线段分成三段，求三段能组成一个三角形的概率
这是一个几何概型，任意分的情况下，最长的线段一定大于等于L/3，而能组成三角形的时候，长度不能超过L/2（因为两边之和要大于第三边），所以，问题很容易了，原来可以选择分割点的地方（L/3~L），有2L/3的长度，现在呢，我最长的一段只能在（L/3~L/2）之间，长度只有L/6，所以，概率就是（L/6）/（2L/3）=1/4。
【参考资料】
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历史上的今天
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blogTitle:'1段1m长的绳子任意切成3段，问最短一段的长度期望值是多少?? 一条线段分成三段，求三段能组成一个三角形的概率?',
blogAbstract:'\r\n1段1m长的绳子任意切成3段，问最短一段的长度期望值是多少?? 那么,切成n段情况又如何呢??\r\n\r\n
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解:概率为:,人中有男生人,女生有人;设男生用,,表示,两女生用,表示,从人中取人担任正副组长的基本事件空间为:,有个基本事件.设从人中取人,正组长为男生的基本事件为,共有个基本事件所以;设从人中取人,组长至少有一个女生的基本事件为,共有个基本事件所以.
熟练掌握古典概型的性质及用连接法计算其概率是解题的关键.
2046@@3@@@@古典概型及其概率计算公式@@@@@@156@@Math@@Senior@@$156@@2@@@@概率@@@@@@27@@Math@@Senior@@$27@@1@@@@排列组合与概率统计@@@@@@4@@Math@@Senior@@$4@@0@@@@高中数学@@@@@@-1@@Math@@Senior@@
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求解答 学习搜索引擎 | 某高级中学高三1班有男生33人,女生22人,用分层抽样的方法找出5人组成一个课外活动小组.求:(1)某同学被选到的概率是多少,该活动小组有几个男生几个女生;(2)从中选出正副组长各一人,则正组长为男生的概率是多少;(3)组长中至少有一个女生的概率是多少.& 某个兴趣小组有学生10人，其中有4人是三好学生，现已把这10
某个兴趣小组有学生10人，其中有4人是三好学生，现已把这10人分成两组进行竞赛辅导，第一小组5人，其中三好学生2人．（1）如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组的组长，那么这个同学恰好在第一小组内的概率是多少？（2）现在要在这10人中任选一名三好学生当组长，则这名同学在第一小组的概率是多少？
【考点】古典概型及其概率计算公式．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“某个兴趣小组有学生10人，其中有4人是三好学生，现已把这10人分成两组进行竞赛辅导，第一小组5人，其中三好学生2人．（1）如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组的组长，那么这个同学恰好在第一小组内的概率是多少？（2）现在要在这10人中任选一名三好学生当组长，则这名同学在第一小组的概率是多少？”的学库宝（http://www.xuekubao.com/）教师分析与解答如下所示：
【考点】古典概型及其概率计算公式．
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初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一，为此某市教育局对该市部分学校的学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习痕感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣．达标包括A级和B级）．并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了&&&&名学生，并将图①补充完整；（2）根据抽样调查结果，请你估计该市近25000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标？（3）若某个5人学习小组中有1人A级，3人B级，1人C级，随机从中选择2人都达标的概率是多少？（请用树状图或列表的方法求解）．
某个兴趣小组有学生10人，其中有4人是三好学生，现已把这10人分成两组进行竞赛辅导，第一小组5人，其中三好学生2人．（1）如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组的组长，那么这个同学恰好在第一小组内的概率是多少？（2）现在要在这10人中任选一名三好学生当组长，则这名同学在第一小组的概率是多少？
某个学生生物兴趣小组进行了如下实验，根据材料回答下面有关实验探究问题．【实验目的】比较甲、乙、丙三种微生物所产生的淀粉酶的活性【实验原理】略．【实验材料】三种微生物淀粉酶提取液（提取液中酶蛋白浓度相同）等【实验步骤】a．取四支试管，分别编号；b．按右表内要求进行操作；试管1试管2试管3试管4蒸馏水（ml）2pH=8缓冲液（mL）0.5淀粉溶液（mL）1甲生物提取液（mL）乙生物提取液（mL）丙生物提取液（mL）总体积（mL）3.8c．将上述四支试管放入37℃的水浴，保温1小时；d．上述四支试管冷却后滴入碘液；e．观察比较实验组的三支试管与对照组试管的颜色及其深浅；【实验结果】（注：“+”显色，“++”显色更深；“-”不显色）试管1试管2试管3试管4颜色深浅程度++-+（1）【实验步骤】b中实验操作蒸馏水的作用是&&&&．（2）在实验结果中，试管4的颜色深浅程度是&&&&（用“+”或“-”表示）．（3）该实验的自变量是&&&&，无关变量有&&&&（写出2种即可）．（4）除了用碘液检验淀粉的剩余量来判断实验结果外，还可以用&&&&试剂来检测生成物的量．（5）根据上述结果得出的结论是：不同来源的淀粉酶，虽然酶蛋白浓度相同，但活性不同．造成实验中三种酶活性差异的根本原因是&&&&．（6）同学们还做了反应速率与底物浓度关系的实验．如图面坐标中已根据实验结果画出3号试管中酶活性的曲线，请你在答题纸坐标图中画出2号试管中酶活性的曲线．&&&&．
知识点讲解
经过分析，习题“某个兴趣小组有学生10人，其中有4人是三好学生，现已把这10”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
古典概型及其概率计算公式
一种概率模型。在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。例如：掷一次硬币的实验（质地均匀的硬币），只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面的可能性是相同的；如掷一个质地均匀骰子的实验，可能出现的六个点数每个都是等可能的；又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验，也属于这个模型。是概率论中最直观和最简单的模型；概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。古典概型的特点：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。1、 试验的样本空间只包括有限个元素；2、 试验中每个基本事件发生的可能性相同；具有以上两个特点的试验是大量存在的，这种试验叫等可能概型，也叫古典概型。求古典概型的概率的基本步骤：（1）算出所有基本事件的个数n；（2）求出事件A包含的所有基本事件数m；（3）古典概型公式：代入公式P(A)=m/n，求出P（A）。
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