高等数学问题数学

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-21 07:15 标签： 高等数学例题精选
基于MATLAB的高等数学问题求解（附光盘）占海明编...
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开学啦！进了大学，数学上，第一个要学习的就是高等数学或者数学分析了。这是让有的人感到头痛，有的人带到新奇的学科。利用高中集合和函数做衔接，我们进入了一个新的数学世界。见到之前没见过的函数，之前没见过方法。也颠覆了之前对数学的一些理解。
学习数学，“刷题”是必然不能少。我们不断的做练习，遇到了各种奇怪的题，然后被我们逐个解决。然而，有一些“长”得很像高等数学题目的问题，其实在高数或者数学分析框架下很难解决，而用更高级的办法几乎是秒杀。高数高手们遇到了这些问题，就算是掉坑里了。
这里，哆嗒数学网为你列举10个“坑”。问题方式为了方便大家参与讨论，都以“是否”形式提问。以下提到的函数，如无特殊说明，都为R→R的实函数。
函数的单调性高中就学啦，一个单调函数可以是y=x这样的连续函数，还可以是y=x·sgn(x)这样有间断点的函数。你还能写出很多单调函数，有无穷多个间断点。不过你画图象时，这些函数的间断点大概都是一个一个离散开的。那么间断点可能稠密吗？
问题：是否存在一个在无理数点连续，有理数点不连续的严格单调函数。
高级秒杀：有理数是可数的。利用级数构造一个特别的函数。
有的人也许学了黎曼函数R(x)，他是一个有所有无理点处连续，所有有理点处不连续的函数。那么可以反过来吗？
问题：是否存在一个在有理数点连续，在无理数点不连续的函数。
高级秒杀：先要知道Gδ集，Fσ集的概念，连续点集只能是Gδ。而有理数集不是Gδ集。
好了，我们学了导数了，虽然高中也学过，没有像高数那样，平凡的对一个函数某点是否可导进行讨论。“可导必然连续，连续不必可导”，这一句顺口溜一直记于脑海。老师还说，存在处处连续，但处处不可导的函数呢。那么，对于严格单调函数，会怎么样呢。
问题：是否存在一个严格单调，但处处不可导的函数。
高级秒杀：有个定理是说：单调函数是几乎处处可导的。
一个可导函数f(x)求导数后变成了f'(x)，f'(x)还是一个关于x的函数呢。f'(x)可能不再连续呢！那么f'(x)可能处处不连续吗？
问题：是否存在一个可导函数，它地导函数处处不连续。
高级秒杀：连续函数列只能收敛到一个间断点集为第一纲集的函数。而实数集是第二纲集。
函数函足f(x+y)=f(x)+f(y)，高中就见过啦。高中还让你证明他是奇函数，在多给一些已知条件的情况下，求f(1)、f(8)什么的。到了大学，在给定f(x)连续情况下，我们能证明f(x)的图象一定是过原点的直线，那么如果f(x)不连续呢。
问题：如果函数函足f(x+y)=f(x)+f(y)，f(x)是否有不连续的例子。
高级秒杀：实数看成有理数域上的线性空间是无限维的，还要用到线性代数中基的概念。当然，我们承认选择公理。
高中里的集合交并运算，都是有限个里在做，多没意思。大学里可以对无限个集合求交并啦。比如R可以写成形如[n,n+1)的并集，其中n跑遍整数集合。注意到，对于不同的整数，他们还两两不交呢。那么把半开半闭区间改成闭区间呢？
问题：实数集是否能写成一列不相交闭区间的并。
高级秒杀需要知道：基数、完备集的概念，完备集的基数是不可数的。而如果可以写成，那些区间的端点可以构成完备集。
泰勒展开真神奇，能把一些函数写成一个幂级数的形式。但我们一定也知道了，就算是一个无穷次可导的函数，他本身也不一定等于它的泰勒级数。那么展开式是多项式的情况呢？
问题：一个无穷次可导函数在任意一点的泰勒展开式都是多项式，这个函数是否是多项式。
高级秒杀：利用贝尔纲定理，精巧的构造一些东西，大概不能算秒杀。
对于形如两个数列取幂f(n)^g(n)这样的，计算极限，我们有了很多办法。比如凑重要极限形式计算，取对数计算等等。但有一些形式非常简单的极限，解决却不容易。
问题：n→∞时，数列|sin(n)|^(1/n)的极限是否等于1。
高级秒杀：刘维尔数的概念，以及π不是刘维尔数。后者是Mahler在1953年的论文上写的，不过，如果不是专门这个方向的一般看不懂，哆嗒数学网的小编也看不懂。
高中就知道了自然对数底e，老师还说他是无理数，但没告诉我为什么是无理数。上了大学，我们终学会了如何证明e是无理数。于是，跃跃欲试，要证明其他数是否是无理数了。
问题：根号2的根号2次方是否是有理数。
高级秒杀：格尔丰德-施奈德定理可以推出他是超越数，当然就是无理数啦。
接上个问题。同样，我们还学会了证明圆周率π是无理数。两个无理数相加可不一定是无理数呢。
问题：e+π是否是有理数。
高级秒杀：些问题人类还没有解决。你能秒杀我叫你大神！。
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高等数学问题
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lim&x→0& f(x)/x = 2,
因分母极限是0，则 分子极限必为 0， 即 f(0) = 0,
否则分式极限不可能为常数 2。再由罗必塔法则，得 f'(0) = 2。令 x - t = u， 则 t = x - u，dt = -du，得lim&x→0& g(x) = lim&x→0& [x ∫ &下x, 上0&f(u)(-du)]/(x-arctanx) = lim&x→0& [x ∫ &下0, 上x&f(u)du]/(x-arctanx)
(0/0)= lim&x→0&[ ∫ &下0, 上x&f(u)du + xf(x) ] / [1 - 1/(1-x^2)]= lim&x→0&[ ∫ &下0, 上x&f(u)du + xf(x) ](1-x^2) / x^2= lim&x→0&[ ∫ &下0, 上x&f(u)du + xf(x) ] / x^2
(0/0) = lim&x→0&[ 2f(x) + xf'(x) ] / (2x) = = lim&x→0&[ f(x)/x + f'(x)/2 ] = 2 + 1 = 3， 于是 a = 3。
采纳率：87%
来自团队：
对。f（0）=0
f（x）可导。当x趋于0的时候，只有分子分母同时为0，这个极限才会存在。
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