MARC状态：已编　
文献类型：中文图书　浏览次数：9　
题名/责任者:
/北&#x4工业大学应用数理学院编
出版发行项:
北&#x4:机械工业&#x51版社,2008
ISBN及定价:
978-7-111-25002-9/CNY29.80
载体形态项:
357页:V24cm
团体责任者:
应用数理学院 编
-高等学校-习题
中图法分类号:
有书&#x76
提要文摘附注:
本书是《高等数学》第2版的配套学习指&#x5书。主要内容有极限与&#x8&#x7、&#x5数与&#x5分、&#x5分中值定理与&#x5数的应用、不定&#x79分、定&#x79分与定&#x79分的应用、多元&#x51数&#x5分学&#x53其应用、&#x91&#x79分、曲&#x7&#x79分与曲面&#x79分、无穷级数、&#x5分方程．另外，本书单&#x72分&#x51两章来&#x4&#x7&#x7合性的例题，其中一章&#x4&#x7一元&#x5&#x79分&#x7合例题，另一章&#x4&#x7整个&#x5&#x79分的&#x7合例题．
使用对象附注:
高等院校工科类专业师生&#x53相关&#x8者。
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《高等数学》练习题库
《高等数学》练习题库计算数学教研室 一．选择题 吴果林1 是（） x ?1 A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 x 2.设 f(sin )=cosx+1,则 f(x)为（） 2 2 A 2x －2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） 2 5 4 3 A．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B． ， ， ， 2 3 4 5 ? n ? 1 ? n , n为奇数 2n ? 1 C．{f(n)},其中 f(n)= ? D. { n } n 2 ? ，n为偶数 ?1 ? n 4.数列有界是数列收敛的（） 充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A．发散数列必无界 B．两无界数列之和必无界 C．两发散数列之和必发散 D．两收敛数列之和必收敛 6．设 lim f ( x) ? k ，(k 为常数)则（）1.函数 y=2x ? x0A. f(x)在点 x 0 有定义 C. f(x) 在点 x 0 的某去心邻域内有界B. f(x) 在点 x 0 无定义 D. f(x)-k & x- C7.在 x 0 处函数 f(x)的左右极限存在且相等即 f(x 0 -0)= f(x 0 +0)是 x ? x 0 时 f(x)有极限 的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 8．下列说法正确的是（） A.无穷小是一个很小的数 B. 无穷大是一个很大的数 C.无穷大是无界的量 D.无界的量是无穷大量 2 9．函数 y ? x ? 1 在区间 [?2,2] 上是（ ） A 单调增加 C 先单调增加再单调减少 sin kx ? 4 ，则 K 为（） 10．设 lim n ?0 x ? 1 A.1 B.2 C.1/4 B 单调减少 D 先单调减少再单调增加D.411． lim A.1sin(x 2 ? 1) ? （） x?1 x ?1B.0C.2D.1/2k 12．设 lim(1 ? ) x ? e 6 则 k=( ) x ?? x A.1 B.2 C.6 D.1/6 13.当 x ?1 时，下列与无穷小（x-1）d 等价的无穷小是（）A.x 2 -1 B. x 3 -1 C.(x-1) 2 14.f(x)在点 x=x0 处有定义是 f(x)在 x=x0 处连续的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 15、当|x|&1 时，y= （ ） A、是连续的 C、有最大值与最小值 B、无界函数 D、无最小值D.sin(x-1)16、设函数 f（x）=（1-x）cotx 要使 f（x）在点：x=0 连续，则应补充定义 f（0） 为（ ） A、 B、e C、-e ） B、arctan1/x D、cos1/x ） D、-e-117、下列有跳跃间断点 x=0 的函数为（ A、 xarctan1/x C、tan1/x18、设 f(x)在点 x0 连续，g(x)在点 x0 不连续，则下列结论成立是（ A、f(x)+g(x)在点 x0 必不连续 B、f(x)×g(x)在点 x0 必不连续须有 C、复合函数 f[g(x)]在点 x0 必不连续D、 19、 设 f(x)=在点 x0 必不连续 在区间(- ∞,+ ∞)上连续， 且 A、a＞0,b＞0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 ） f(x)=0， 则 a,b 满足 （ B、a＞0,b＜0 ）20、若函数 f(x)在点 x0 连续，则下列复合函数在 x0 也连续的有（A、 C、tan[f(x)]B、 D、f[f(x)] ）21、函数 f(x)=tanx 能取最小最大值的区间是下列区间中的（ A、[0,л ] C、[-л /4,л /4] B、 （0,л ） D、 （-л /4,л /4） ）22、在闭区间[a ,b]上连续是函数 f(x)有界的（ A、充分条件 C、充要条件 B、必要条件 D、无关条件23、f(a)f(b) ＜0 是在[a,b]上连续的函 f(x)数在（a,b）内取零值的（ A、充分条件 C、充要条件 B、必要条件 D、无关条件 ））24、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（ A、f(x)=x+1 C、f(x)=x2-1 B、f(x)=x-1 D、f(x)=5x4-4x+1 ）25、曲线 y=x2 在 x=1 处的切线斜率为（ A、k=0 B、k=1 ） C、可导 C、k=2D、-1/226、y=|x-1|在 x=1 处（ A、连续B、不连续D、斜率为 0 ） D、 （1，-2） ）27、曲线 y=x3-3x 上切线平行 x 轴的点有（ A、 （0，0） B（1，0）C、 （-1，2）28、在下列点中，函数 f(x)= A、x=0 B、x=1+tanx+(x-1)可导的点有（ C、x=л /2 D、x=л ） =29、曲线 y=sinx+cosx 在 x=л /4 处的切线方程为（ A 、 y=0 B 、 y= C、x= D、y）(x-л /4)30、曲线 y=x-1/x 与 x 轴的交点处的切线方程为（ A、2x+y=2 B、2x-y=2C、2x-y+1=0 ）D、2x+y-2=031、若直线 y=x 与对数曲线 y=log a x 相切，则（A、eB、1/eC、exD、e1/e32、曲线 y=lnx 平行于直线 x-y+1=0 的法线方程是（ A、x-y-1=0 B、x-y+3e-2=0 C、x-y-3e-2=0） D、-x-y+3e-2=0 ） D、±(л /2-1) ）33、设直线 y=x+a 与曲线 y=2arctanx 相切，则 a=（ A、±1 B、±л /2 C、±(л /2+1)34、设 f(x)为可导的奇函数，且 f`(x0)=a， 则 f`(-x0)=（ A、a B、-a C、|a| D、035、设 y=R A、-1/2，则 y’|x=0=（ B、1/2） C、-1 ） D、 不存在 ） D、036、设 y=(cos)sinx，则 y’|x=0=（ A、-1 B、0 C、137、设 yf(x)= R(1+X)，y=f[f(x)],则 y’|x=0=（ A、0 B、1/ R 2 C、1 ） C、-sinx ）9D、R238、已知 y=sinx，则 y(10)=（ A、sinx B、cosxD、-cosx39、已知 y=x R x，则 y(10)=（ A、-1/x9B、1/ xC、8.1/x ）9D、-8.1/x940、若函数 f(x)=xsin|x|，则（ A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л ）41、设函数 y=yf(x)在[0，л ]内由方程 x+cos(x+y)=0 所确定，则|dy/dx|x=0=（ A、-1 B、0 C、л /2 D、 2 ）42、圆 x2cosθ ,y=2sinθ 上相应于θ =л /4 处的切线斜率，K=（ A、-1 B、0 C、1 D、 2 ）43、函数 f(x)在点 x0 连续是函数 f(x)在 x0 可微的（ A、充分条件 C、充要条件 B、必要条件 D、无关条件44、函数 f(x)在点 x0 可导是函数 f(x)在 x0 可微的（ A、充分条件 C、充要条件 B、必要条件 D、无关条件 ） 不存在）45、函数 f(x)=|x|在 x=0 的微分是（ A、0 B、-dx C、dx ） D、46、设 du=xdx，则 V=（ A、-x2 B、x2 C、x2+cD、 x2/2+c（c 为任意常数） ）47、设 V（0）=0，du=xdx，则 V=（ A、-x2 B、x2 C、x2/2D、 x2/2+c（c 为任意常数） ）48、罗尔定理的三个条件是其法论成立的（ A、充分条件 C、充分必要条件 B、必要条件 D、无关条件49、设 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，不用求导数，即可知方程，f`(x)=0 的根的情 况是（ ）A、至少有四个根，x1=1,x2=2,x3=3,x4=4 B、仅有四个根，x1=1,x2=2,x3=3,x4=4 C、在三区间(1,2),(2,3),(3,4)内分别有一个根 D、在三区间(1,2),(2,3),(3,4)内分别至少有一个根 50、罗必塔法则的条件是其法论成立的（ A、充分条件 C、充分必要条件 B、必要条件 D、无关条件 ） D、∞型 ）x 1 ? ) 的未定式类型是（ 51、极限 lim( x ?1 1 ? x ln xA、0/0 型B、∞/∞型1C、∞-∞ ）sin x x 2 ) 的未定式类型是（ 52、极限 lim( xx ?0A、00 型B、0/0 型C、1 型∞D、∞0 型x 2 sin53、极限 A、0 54、xlimx ?0sin x1 x =（C、2） D、不存在 x0 的（ ）B、1x0 时，n 阶泰勒公式的余项 Rn(x)是较 x A、 （n+1）阶无穷小 C、同阶无穷小 B、n 阶无穷小D、高阶无穷小55、若函数 f(x)在[0, +∞]内可导，且 f`(x) ＞0，xf(0) ＜0 则 f(x)在[0,+ ∞] 内有（ ） B、至少存在有一个零点 D、不能确定有无零点3A、唯一的零点 C、没有零点56、若 a2-3b＜0，则方程 x +ax2+bx+c=0（ A、无实根 C、有两个实根3）B、有唯一实根 D、有三个实根 ）57、方程 x -3x2+m=0 在[-1,1]内（ A、有唯一实根 C、至少有一实根3B、至多有一实根 D、恰有两个实根 ）58、函数 y= x +12x2+1 在定义域内（ A、单调增加 C、有驻点B、单调减少 D、有极值点 ）59、函数 f(x)=|sinx|在（-л , л ）内的极值点有（ A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个60、函数 f（x）在(-∞,+∞)内有定义，又 x0 是极大值点，则（ A、x0 是 f(x)的驻点 B、-x0 是-f(-x)的极小值点 C、f（x）≤f（x0） x∈(-∞,+∞) D、-x0 是-f(x)的极小值点）61、设 lim (f(x)-f(x))/(x-a) =-1，则在点 x=a（x? a2）A、f(x)的导数存在，且 f`(a)=0 C、f(x)取得极小值 62、设 f(x)=x7+x，则 f(x)在[0,1]上（ A、有极小值 0 C、有最小值 03B、f(x)取得极大值 D、f(x)的导数不存在 ）B、有极大值 D、无最大值 ）63、函数 y=x +12x+1 在定义域为（ A、单调增加 C、图形上凹5 3B、单调减少 D、图形下凹 ）64、关于曲线 y=3x -5x 的说法不正确的是（ A、有水平渐近线 C、有三个拐点3B、有两个极限 D、无斜渐近线 ）65、函数(x +4)/x2 的图形在（0,+ ∞）内（ A、单调上升 C、有极小值点（2，3）B、向上凸 D、有拐点（2，3） ） D、0 ） D、2 ） D、都不对66、曲线 y=x2-4x+3 的顶点处的曲率为（ A、2 B、1/2 C、167、抛物线 y=4x-x2 在它的顶点处的曲率半径为（ A、0 B、1/2 C、168、若函数 f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（ A、一个x/2B、两个 ）C、无穷多个69、若∫f(x)dx=2e +C=（ A、2ex/2 70、∫xe- dx =（x x xB、4 ex/2 D ）C、ex/2 +CD、ex/2A、xe- -e- +C C、xe- +e- +Cx xB、-xe- +e- +C D、-xe- -e- +Cx xxx71、设 P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1) dx（ A、不含有对数函数 C、一定是初等函数 72、∫-10|3x+1|dx=（ A、5/6 B、1/2 ） C、-1/2 D、1 B、含有反三角函数 D、一定是有理函数-n）73、两椭圆曲线 x2/4+y2=1 及(x-1)2/9+y2/4=1 之间所围的平面图形面积等于（ A、л B、2л C、4л D、6л ））74、曲线 y=x2-2x 与 x 轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（ A、л B、6л /15 C、16л /15 D、32л /15 ）75、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（ A、 B、2 C、31/2 D、 21/276、设 a,b 为任意两向量，U=a+b,V=a-b,则(u+v)/|u+v|表示（ A、与 a 方向相同的单位向量 B、与 b 方向相同的单位向量 C、与 a 平行的非单位向量 D、与 b 平行的非单位向量 77、在球面(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=1 内的点有（ A、 （1，0，0） C、 （2，1，1） B、 （0，1，0） D、 （1/2，1/2，1） ））78、 绕着过点 （1 ， 0， 0） 且平行 Z 轴的直线旋转， 半径为 2 的圆柱面方程是 （ A、(x-1)2+z2=4 C、x2+(y-1)2= 4 B、(x-2)2+z2=1 D、(x-1)2+y2=4 ））79、球体 x2+(y-1)2+(z-2)2≤9 在平面 xoy 上的投影为（ A、x2+(y-1)2=9 C、x2+(y-1)2≤9 B、x2+(y-1)2=5 D、x2+(y-1)2≤580、下列平面方程中，过点 M（0，3，1）的平面方程是（ A、4x-3y-z=0 B、-3y-z=1）C、y-3z=0D、-3y-z=0 ）81、在平面的截距式方程 x/a+y/b+z/c=1 中，截距 a,b（ A、全不为零 C、全大于零 B、不全为零 D、大于或等于零82、平面 2x-y+2z-8=0 及 x+y+z-10=0 夹角的余弦值为（ A、1/3 B、1/31/3 C、1/(3×31/3 )）D、-1/(3×31/3) ）83、已知点 P（1，3，-4）关于平面л :3x+y-2z=0 的对称点 Q 的坐标是（ A、 （5，-1，0） C、 （-5，-1，0） B、 （5，1，0） D、 （-5，1，0） ）84、平面 2x+3y+6z-35=0 和平面 2x+3y+6z-56=0 的位置关系是（ A、垂直 B、平行且相距 C、斜交 D、平行且相距85、 两直线 L1:x=t+1,y=2t-1,z=t； 及 L2： x=t+2， y=2t-1， z=t+1 间的距离为 （ A、2/3 B、2/(3×31/2) C、1 D、2 ））86、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（ A、Z=4 B、Z=0 C、Z=-2 D、x=2 ）87、平面 x=a 截曲面 x2/a2+y2/b2-z2/c2=1 所得截线为（ A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 ） B、三坐标轴D、两相交直线88、方程=0 所表示的图形为（ A、原点（0，0，0） C、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面 ）89、方程 3x2+3y2-z2=0 表示旋转曲面，它的旋转轴是（ A、X 轴 B、Y 轴 C、Z 轴 ） C、椭圆抛物面D、任一条直线90、方程 3x2-y2-2z2=1 所确定的曲面是（ A、双叶双曲面 二、填空题。 1、Y=(x2+1)1/3 的反函数是 （ ） ） ） B、单叶双曲面D、圆锥曲面2、Y=1+S(x+2)的反函数是 （ 3、Y=1+2sin(x-1)/(x+1)反函数是（4、求极限 lim 3x/(x+2)=（x ? ??） ） ）5、求极限 lim x/(x2+1)=（x ? ?? x ? ??6、求极限 lim (4x2+1)/(3x2+1)=（ 7、求极限 lim 3x/(x+2)=（x ? ??） ） ）8、求极限 lim 1/(x+1)=（x ? ??9、求极限 lim (1-1/x)=（x ? ?? x? 210、求极限 lim (x-2)/(x2-4)=（ ） 11、求极限 lim (x2+2x+5)/(x2+1)=（x ? ?1） ）12、求极限 lim [(x -3x+1)/(x-4)+1]=（x?0313、求极限 lim x-2/(x+2)1/2=（ ）x? 214、求极限 lim [x/(x+1)] =（x??x） ） ）ψ =л /615、求极限 lim (1-x) = （x?01/x16、已知 y=sinx-cosx，求 y`|x=л /6=（17、已知ρ =ψ sinψ +cosψ /2，求 dρ /dψ | 18、已知 f(x)=3/5x+x2/5，求 f`(0)=（ ）=（ ））19、设直线 y=x+a 与曲线 y=2arctanx 相切，则 a=（ 20、函数 y=x2-2x+3 的极值是 y(1)=（ 21、函数 y=2x3 极小值与极大值分别是（ 22、函数 y=x2-2x-1 的最小值为（ 23、函数 y=2x-5x2 的最大值为（ ） ） ） ） ）24、函数 f(x)=x2e-x 在[-1,1]上的最小值为（325、点（0，1）是曲线 y=ax +bx2+c 的拐点，则有 b=（ 26、曲线 y=R(secx)在点（x,y）处的曲率为 k=（） ） cos xc=（）27、半径为 R 的圆周的曲率为（） ）28、曲线 y=sinx 上点（л /2，1）处的曲率为（ 29、曲线 y=x2-4x+3 的顶点处的曲率为（ 30、∫dx/x2= （ ） ） ） ) ）31、∫xx1/2dx= （32、若 F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ 33、若∫f(x)dx=x2e2x+c，则 f(x)= ( 34、d/dx∫abarctantdt=（ ）? 12 ?0x( et 2 ?1) dt ?x ,x ? 0 35、已知函数 f(x)= ? ? a, x ? 0 ?在点 x=0 连续， 则 a=（）36、∫02(x2+1/x4)dx=（ 37、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ 38、∫031/2a dx/(a2+x2)=（ 39、∫0 dx/(4-x2)1/2=（1） ） ） ） ）40、∫л /3 sin(л /3+x)dx=（ 41、∫-21dx /(11+5x)3=（ 42、∫0 43、∫0л /23л） ） ） ） ） ） ） ） ） ）sinψ cos ψ dψ =（ )dθ = （л(1-sin3θл /244、∫л /6cos2u= （45、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ 46、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ 47、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ 48、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ 49、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ 50、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（51、∫4 x1/2(1+x1/2)dx=(9) ） ） ） ） ） ） ) ）52、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ 53、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ 54、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ 55、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ 56、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ 57、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（58、满足不等式|x-2|＜1 的 X 所在区间为 ( 59、设 f(x) = [x] +1，则 f（л +10）=（ 60、函数 Y=|sinx|的周期是 （ 61、 lim (1+2+3?+(n-1)/n2=（n??） ）62、 lim xcotx=（x?0） ） ）63、设函数 Y=R cos(2x)1/2，则 y`=（64、设 y=f(u)可微，u=sinx-xcosx，则 dy＝（ 65、求极限 lim xcot2x=（x?0） ） ） ） ） ） ） )66、求极限 lim xsinx=（x ? ?067、函数 y=x1/x 的极值为（ 68、函数 y=x+tanx 的极值为（69、求曲线 2y(x+1)2=x3 的渐近线（ 70、求曲线(y+x+1)2=x2+1 的渐近线（71、曲线(x-1)2+(y-2)2=16 上点（1，6）处的曲率为 （ 72、抛物线 y=4x-x2 在其顶点处的曲率中心为 ( 73、∫dx/x= （ ） ）74、若∫f(x)dx=x2e2x+c，则 f(x)= （ 75、∫x dx/(9+x2)= （ 76、∫R xdx =（ ）3）77、∫x dx/(x+3)= （ 78、∫R 3xdx= ? （ 79、 ?? ? /33） ） ） ） ） ）sin(x+л /3)dx=（80、∫01xarctanxdx=（81、y=sinx,y=cosx 直线 x=0,x=л /2 所围成的面积是 （ 82、 y=3-2x-x2 与 x 轴所围成图形的面积是 83、心形线 r=a(1+cosθ )的全长为 （ （ ）84、三点（1，1，2） ， （-1，1，2） ， （0，0，2）构成的三角形为 （）85、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是 （ ） ） ) ） ） ）86、求过点（3，0，-1） ，且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程是（ 87、求三平面 x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0 的交点是 88、求平行于 xoz 面且经过（2，-5，3）的平面方程是 （ 89、通过 Z 轴和点（-3，1，-2）的平面方程是 （ (90、平行于 X 轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（ 91、求点（1，2，1）到平面 x+2y-2z-1=0 的距离为（ ）92、过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5 的直线方程为（ 93、过两点 M1(3,-2,1)和 M2(-1,0,2)的直线方程是（ ））94、已知点 P（1，3，-4）关于平面 3x+y-2z=0 的对称点 Q 的坐标是( 95、过点（0，2，4）且与两平面 x+2z=1 和 y-3z=2 平行的直线方程为（ 96、过点（3，1，-2）且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2=z/1 的平面方程为 （ 97、若直线(x-2)/2=(y+1)/3=(z-2)/4 在平面 x-2y+z+D=0 上，则 D=（ ）) ） ）98、点（-1，2，0）在平面 x+2y-z+1=0 上的投影为 D=-599、点 P（3，-1，2）到直 线 x+y-z+1=0,2x-y+z=4 的距离为（ ） ） ）99．y=3-2x-x2 与 x 轴所围成图形的面积是 （100、 直线 2x-4y+z=0,3x-y-2z-9=0 在平面上 4x-y+z=1 的投影直线的方程为 （ 三、解答题1、设 Y=2X-5X2，问 X 等于多少时 Y 最大？并求出其最大值。 2、求函数 y=x2-54/x.(x＜0＝的最小值。 3、求抛物线 y=x2-4x+3 在其顶点处的曲率半径。 4、相对数函数 y=R x 上哪一点处的曲线半径最小？求出该点处的曲率半径。 5、求 y=x2 与直线 y=x 及 y=2x 所围图形的面积。 6、求 y=ex，y=e-x 与直线 x=1 所围图形的面积。 7、求过（1，1，-1） ， （-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。 8、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5 的直线方程。 9、求点（-1，2，0）在平面 x+2y-z+1=0 上的投影。 10、求曲线 y=sinx，y=cosx 直线 x=0，x=л /2 所围图形的面积。 11、求曲线 y=3-2x-x2 与 x 轴所围图形的面积。 12、求曲线 y2=4(x-1)与 y2=4(2-x)所围图形的面积。 13、求抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点（0，3）和（3，0）得的切线所围成的图形的面 积。9/4 14、求对数螺线 r=e 及射线θ =-л ，θ =л 所围成的图形的面积。 15、求位于曲线 y=ex 下方，该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的图形的 面积。 16、求由抛物线 y2=4ax 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。 17、求曲线 y=x2 与 x=y2 绕 y 轴旋转所产生旋转体的体积。 18、求曲线 y=achx/a，x=0，y=0，绕 x 轴所产生旋转体的体积。 19、求曲线 x2+(y-5)2=16 绕 x 轴所产生旋转体的体积。 20、求 x2+y2=a2，绕 x=-b，旋转所成旋转体的体积。 21、求椭圆 x2/4+y2/6=1 绕轴旋转所得旋转体的体积。 22、摆线 x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱，y=0 所围图形绕 y=2a(a＞0)旋转所得旋转体 体积。 23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。 24、计算曲线 y=x/3(3-x)上相应于 1≤x≤3 的一段弧的长度。aθ25、计算半立方抛物线 y2=2/3(x-1)3 被抛物线 y2=x/3 截得的一段弧的长度。 26、计算抛物线 y2=2px 从顶点到这典线上的一点 M（x,y）的弧长。 27、求对数螺线 r=e 自θ =0 到θ =ψ 的一段弧长。 28、求曲线 rθ =1 自θ =3/4 至θ 4/3 的一段弧长。 29、求心形线 r=a(1+cosθ )的全长。 30、求点 M（4，-3，5）与原点的距离。 31、在 yoz 平面上，求与三已知点 A（3，1，2） ，B（4，-2，-2）和 C（0，5，1） 等距离的点。 32、设 U=a-b+2c，V=-a+3b-c，试用 a,b,c 表示 2U-3V。 33、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离。求这动点的轨迹方程。 34、将 xoz 坐标面上的抛物线 z2=5x 绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。 35、将 xoy 坐标面上的圆 x2+y2=9 绕 Z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。 36、将 xoy 坐标面上的双曲线 4x2-9y2=36 分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周，求所生成的 旋转曲面的方程。 37、求球面 x2+y2+z2=9 与平面 x+z=1 的交线在 xoy 面上的投影方程。 38、求球体 x2+(y-1)2+(z-2)2≤9 在 xy 平面上的投影方程。 39、求过点（3，0，-1） ，且与平面 3x-7x+5z-12=0 平行的平面方程。 40、求过点 M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点 M0 的线段 OM0 垂直的平面方程。 41、求过（1，1，1） ， （-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。 42、一平面过点（1，0，-1）且平行于向量 a={2,1,1}和 b={1,-1,0}，试求这平面方 程。 43、求平面 2x-y+2z-8=0 及 x+y+z-10=0 夹角弦。 44、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5 的直线方程。 45、求过两点 M（3，-2，1）和 M（-1，0，2）的直线方程。 46、求过点（0，2，4）且与两平面 x+2z=1 和 y-3z=z 平行的直线方程。 47、求过点（3，1，-2）且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/1 的平面方程。 48、求点（-1，2，0）在平面 x+2y-z+1=0 上的投影。aθ49、求点 P（3，-1，2）到直线 x+2y-z+1=0 的距离。 50、求直线 2x-4y+z=0,3X-y-2z=0 在平面 4x-y+z=1 上的投影直线的方程。 四、证明题1 ． 设 f(x) 在 (0, ? ) 上 有 定 义 ， x1 ? 0, x2 ? 0 , 求 证 : 若f ( x) 单调下降，则 xf ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? x tf (t )dt ? ? ? 0x , x ? 0, 2．设函数 f(x)在 ?0,??? 上连续，且 f ( x) ? 0, 令F ( x) ? ? f (t )dt ? ?0 ? 0, x ? 0 ?证明：F(x)在 ?0,??? 上单调增加。 3．设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且 f (0) ? 0, f ?(0) ? 0, f ??(0) ? 0 。证明： 存在惟一的一组实数 ?1 , ?2 , ?3 使得当 h ? 0 时， ?1 f (h) ? ?2 f (2h) ? ?3 f (3h) ? f (0) 是比 h2 高阶的无穷小.4．证明 y ? (arcsinx) 2 满足方程 (1 ? x 2 ) y ( n?1) ? (2n ? 1) xy( n) ? (n ? 1) 2 y ( n?1) ? 0 5．证明不等式： 2 ? ?11 ?11 ? x 4 dx ?8 31 dx ? 6．证明不等式 ? ? 2 ? , (n ? 2) 0 n 2 6 1? x7．设 f ( x) 在 (0,??) 上连续且单调递减，证明：?n ?11f ( x)dx ? ? f (k ) ? f (1) ? ? f ( x)dx.n k ?1 1n8．设 f ( x) ，g(x)区间 ?? a, a?(a ? 0) 上连续，g(x)为偶函数，且 f ( x) 满足条件 证明： ? f ( x) g ( x)dx ? A? g ( x)dx f ( x) ? f (? x) ? A( A为常数)。?a 0 a a9．设 f ( x) 连续，证明：? ln f ( x ? t )dt ? ?01x0ln1 f (1 ? t ) dt ? ? ln f (t )dt 0 f (t )10．设 n 为正整数，证明 ??2 01 cos x sin xdx ? n 2n n??2 0cosn xdx11．设函数 f ( x) 可导，且 f(0)=0, F ( x) ? ? t n?1 f ( x n ? t n )dt 证明:0xlimx ?0F ( x) 1 ? f ?(0) 2n 2n xa12．设 ? (t ) 是正值连续函数， f ( x) ? ? x ? t ? (t )dt,?a ? x ? a(a ? 0), 则曲线 y ? f ( x)?a在 ?? a, a ? 上是凹的。 13．设 g(t)是 ?a, b? 上的连续函数， f ( x) ? ? g (t )dt, 证明：在 ?a, b? 上至少存在一点 ? ，x a使f (b) ? g (? ) . b?a1 1dx dx ? ?x 14.证明： ? x 1? x2 1 1? x215．设 f ( x) 是定义在全数轴上，且以 T 为周期的连续函数，a 为任意常数，则?a ?Taf ( x)dx ? ? f ( x)dx0Tx u x f (t ) dt ? du ? ? ( x ? u ) f (u )du 16．若 f ( x) 是连续函数，则 ? ? ? ? 0 ? 0 ?0 ?17．设 f ( x) ， g ( x) 在 ?a, b? 上连续，证明至少存在一个 ? ? (a, b) 使得f (? )? g ( x)dx ? g (? )? f ( x)dx?ab?18． 设 f ( x) ，g ( x) 在 ?a, b? 上连续， 且 g ( x) ? 0, x ? ?a, b? ， 试证： 至少存在一个 ? ? (a, b)? 使得 ?ba b af ( x)dx g ( x)dx?f (? ) g (? )2b b 2 19．设 f ( x) 在 ?a, b? 上连续，证明： ? ? ?a f ( x)dx ? ? ? (b ? a) ?a f ( x)dx ? ?20．设 f ( x) 在 ?a, b? 上可导，且 f ?( x) ? M ， f (a) ? 0 证明： b M 2 ?a f ( x)dx ? 2 (b ? a)高等数学 1 题库（参考答案）一． 选择题 1――10 11――20 21――30 31――40 41――50 51――60 61――70 71――80 81――90ABABD CCDAA CAADC DCDAA BABDD CCAAD BCAAC CACCA AC DDBCCCDD ABABB ADDBB BCCCA DCACA BBADB ABCDD ADDCC DDCCA二． 填空题 2 1/2 2 1/2 1．y-(x -1) 及 Y=(x -1) 2．y=10 -2x-13．y=(1+arcsin(x-1)/2)/(1-arcsin(x-1)/2)4．3 5．0 6．4/3 7．3 8．0 9．1 10．1/4 11．2 12．3/4 13．0 -1 14．e -1 15．e 1/2 16．(3 +1)/2 17．? 2 （1+ ） 2 4 ? ? -1 或 12 218．9/25 19．20．2 21．-1，0 22．-2 23．1/524．0 25．0，1 26． cos x 27．1/R 28．1 29．2 30．-1/x +C 31. C＋ 2 x /5 32. F(x)＋C 33. 2xe (1+x) 34.0 35.0 36.21/8 37.271/6 38. ? /3a 39. ? /6 40.0 41.51/512 42.1/4 43. ? －4/3 1/2 44. ? /6－3 /8 45. ? /2 1/2 46. (x+2)2 47. 1－ ? /4 4 48. a ? /16 49. 22/3 50. 1-e 1/2 51. 2(3 -1) 52. ? /2 53. 2/3 54. 4/3 1/2 55. 2 56. 0 57. 3 ? /2 58. (1,3) 59. 14 60. ? 61. 1/2 62. 1 63. －-1/22x3/22 tan 2 x 2 x (u)sinxdx, 64. xf65. 1/266. 1 1/e 67. y(e)=e 68. 无极值 69. x=－1 y=x/2－1 70. y=－1 y=－2x－1 71. 1/4 72. (2,7/2) 73. R x+R c 2x 74. 2x(1+x)e 75. x /2－ln(x +9)+C 76. x(R x-1)+C 3 2 77. x /3-3x /2+9x-ln(x+3)+C 3 2 78. ? ln x-3xln x+6xlnx－6x+C 79. 0 80. ? /4-1/2 81. 7/6 82. 32/3 83. 8a 84. 等腰直角 85. 4x+4y+10z-63=0 86. 3x-7y+5z-4=0 87. (1,-1,3) 88. y+5=0 89. x+3y=0 90. 9x-2y-2=0 91. 1 92. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5 93. (x-3)/-4=(y+2)/2=(z-1)/1 94. (-5,1,0) 95. -x/2=(y-2)/3=(z-4)/1 96. 8x-9y-22z-59=0 97. D=-5 98. 3× 21/2/2 99. 32/3 100. 17x+31y-37z-117=02 2,4x-y+z-1=0三． 解答题 1. 当 X=1/5 时，有最大值 1/5 2. X=-3 时，函数有最小值 27 3. R=1/24. 在点(2 ln 2 ,)处曲率半径有最小值 3×31/2/2 2 25. 7/6 6. e+1/e-2 7. x-3y-2z=0 8. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5 9. （-5/3，2/3，2/3） 1/2 10. 2(2 -1) 11. 32/3 12. 4× 21/2/3 13. 9/4a 2 2? ?2? (a -e ) 4 15. e/2 2 16. 8a /3 17. 3л /10 ?a 2 ? a ? 18. 2a ? (e 2 ? e ?2 )? ? 4 ? 2 ? 2 19. 160л 2 2 20. 2л a b14.16 6 ? 3 2 3 22. 7л a 23. 1+1/2 R 3/2 24.2 3 -4/3 3 ? ? 8 ?? 5 ? 2 ? 25. ? ? ? 1 ? 9 ?? 2 ? ? ?21. 26. 27.y p2 ? y2 p y ? p2 ? y2 ? ln 2p 2 p1 ? a 2 a? e a28.ln3/2+5/12 29. 8a 30. 5× 21/2 31. （0，1，-2） 32. 5a-11b+7c 33. 4x+4y+10z-63=0 2 2 34. y +z =5x 2 2 35. x+y +z =9 2 2 2 36. x 轴： 4x -9(y +z )=36y 轴：4(x2+z2)-9y2=3637. x +y (1-x) =9 z=0 2 2 2 38. x +y +(1-x) ≤9 z=0 39. 3x-7y+5z-4=0 40. 2x+9y-6z-121=0 41. x-3y-2z=0 42. x+y-3z-4=0 43.22213 3 x ? 4 y ?1 z ? 3 44. = = 2 1 5 x ? 3 y ? 2 z ?1 45. = = 2 1 ?4 x y?2 z ?4 46. = = 3 1 ?2 47. 8x-9y-22z-59=0 48. (-5/3,2/3,2/3) 3 2 49. 2 ?17x ? 31y ? 37z ? 117 ? 0 50. ? 4x ? y ? z ? 1 ? 0 ?四．证明题。 1 ． 设 f(x) 在 (0, ? ) 上 有 定 义 ， x1 ? 0, x2 ? 0 , 求 证 : 若f ( x) 单调下降，则 xf ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )证：设 x1 ?0, x2 ? 0 ，且 x1 ? x 2 ，于是f ( x2 ) f ( x1 ) ? ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) x2 x1 f ( x1 ? x2 ) f ( x2 ) ? ? x2 f ( x1 ? x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x2 ) x1 ? x2 x2 ? x2 f ( x1 ? x2 ) ? x2 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? x tf (t )dt ? ? ?0 , x ? 0, 2．设函数 f(x)在 ?0,??? 上连续，且 f ( x) ? 0, 令F ( x) ? ? x f ( t ) dt ? ?0 ? 0, x ? 0 ?证明：F(x)在 ?0,??? 上单调增加。证明：因为 f(x)&0,所以，当 x&0 时，F(x)=? tf (t )dt 连续。 ? f (t )dt0 x 0x? tf (t )dt ? lim xf ( x) ? 0 ? F (0) 又 lim F ( x) ? lim f ( x) ? f (t )dtx ?0 ? x ?0 ? 0 x 0 x ?0 ?x即 F(0) 在 x=0 处右连续。当 x&0 时， F ?( x) ?xf ( x) ? f (t )dt ? f ( x) ? tf (t )dt0 0xx( ? f (t )dt)0x 0x2x x f ( x) ? x ? f (t )dt ? ? tf (t )dt? ? ? 0 ? 0 ? ? x 2 ( ? f (t )dt) 0令 g(x)= xx?x0f (t )dt ? ? tf (t )dt ,有x 0g ?( x) ? ? f (t )dt ? xf ( x) ? xf ( x) ? ? f (t )dt ? 00所以，当 x&0 时，g(x)单调增加，即有 g(x)&g(0)=0故，当 x&0 时， F ?( x) ? 0 所以，F(x)在 ?0,??? 上单调增加。 3．设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且 f (0) ? 0, f ?(0) ? 0, f ??(0) ? 0 。证明： 存在惟一的一组实数 ?1 , ?2 , ?3 使得当 h ? 0 时， ?1 f (h) ? ?2 f (2h) ? ?3 f (3h) ? f (0) 是比 h2 高阶的无穷小. 证明：由麦克劳林公式得f (h) ? f (0) ? f ?(0)h ?1 f ??(0)h ? ? (h 2 ) 2f (2h) ? f (0) ? 2 f ?(0)h ? 2 f ??(0)h ? ? (h 2 )f (3h) ? f (0) ? 3 f ?(0)h ? 9 f ??(0)h ? ? (h 2 ) 2?1 f (h) ? ?2 f (2h) ? ?3 f (3h) ? f (0)1 ? (?1 ? ?2 ? ?3 ? 1) f (0) ? (?1 ? 2?2 ? 3?3 ) f ?(0)h ? (?1 ? 4?2 ? 9?3 ) f ??(0)h 2 ? ? (h 2 ) 2所以， ?1 , ?2 , ?3 应满足方程组? ?1 ? ? 2 ? ?3 ? 1 ? ??1 ? 2? 2 ? 3?3 ? 0 ?? ? 4? ? 9? ? 0 2 3 ? 11 1 1因为系数行列式 1 23 ? 2 ? 0 ，所以，方程组存在唯一解，即存在唯一组实数 ?1 , ?2 , ?3 使1 4 9得当 h ? 0 时， ?1 f (h) ? ?2 f (2h) ? ?3 f (3h) ? f (0) 是比 h2 高阶的无穷小.4．证明 y ? (arcsinx) 2 满足方程 (1 ? x 2 ) y ( n?1) ? (2n ? 1) xy( n) ? (n ? 1) 2 y ( n?1) ? 0 4．提示：先求 y ?, y ??, 得关系式： (1 ? x 2 ) y ?? ? 2 ? xy ? ，再两边求（n-1）阶导数，利用 莱布尼兹公式。5．证明不等式： 2 ? ?1?11 ? x 4 dx ?8 3证明：令 f ( x) ? 1 ? x 4 , x ? ?? 1,1? 则 f ?( x) ?4x 3 2 1? x4?2x 3 1? x4，令 f ?( x) ? 0, 得 x=0 f(-1)=f(1)= 2 ,f(0)=1 则 1 ? f ( x) ? 2 上式两边对 x 在 ?? 1,1?上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对 f(x)进行分析， 显然有 f ( x) ? 1 ? x 4 ? 1 ? 2 x 2 ? x 4 ? (1 ? x 2 ) 2 ? 1 ? x 2 , 于是? dx ? ??111?11 ? x 4 dx ? ? (1 ? x 2 )dx, 故?112??1?11 ? x 4 dx ?8 36．证明不等式1 dx ? ? ?2 ? , (n ? 2) 2 0 1? xn 61? 1? 证明：显然当 x ? ?0, ? 时， （n&2）有 ? 2?1 1 1 1 dx dx ? 2 2 1? ? ? ?? ?? ? arcsin x 2 ? 0 0 n 2 n 2 2 1? x 1? x 1? x 1? x 0 6 1 1即，1 dx ? ? ?2 ? , (n ? 2) 0 n 2 6 1? x17．设 f ( x) 在 (0,??) 上连续且单调递减，证明：?n ?11f ( x)dx ? ? f (k ) ? f (1) ? ? f ( x)dx.n k ?1 1n证明：由 f ( x) 在 (0,??) 上连续且单调递减可得：f (i ? 1) ? f (i), (i ? 1,2,3, . . n . ),因此，由比较定理有?n ?11f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? ? ?1 223n ?1nf ( x)dx f (n)dx? ?1 f (1)dx ? ?2 f (2)dx ? ? ? ?nn23n ?1? f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? ? f (k )k ?1f (1) ? ? f ( x)dx ? f (1) ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? ? ?1 1 2n23nn ?1f ( x)dx? f (1) ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? ? ?1 223nn ?1f ( x)dx? f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? ? f (k )k ?1n8．设 f ( x) ，g(x)区间 ?? a, a?(a ? 0) 上连续，g(x)为偶函数，且 f ( x) 满足条件f ( x) ? f (? x) ? A( A为常数)。 证明： ? f ( x) g ( x)dx ? A? g ( x)dx?a 0aa证明：?a?a0f ( x) g ( x)dx ? ? f ( x) g ( x)dx ? ? f ( x) g ( x)dx?a 00 a a 00a? ? f ( x) g ( x)dx令x ? u ? ? f (?u) g (?u)du ? ? f (? x) g ( x)dx?a? ? f ( x) g ( x)dx ? ? f (? x) g ( x)dx ? ? f ( x) g ( x)dx ? ? ? f ( x) ? f (? x)?g ( x)dx ? A? g ( x)dxa a a a a ?a 0 0 0 09．设 f ( x) 连续，证明：1? ln f ( x ? t )dt ? ?01x0ln1 f (1 ? t ) dt ? ? ln f (t )dt 0 f (t )证明：依题意 ? ln f ( x ? t )dt令x ? t ? u ?0x ?1xln f (u)du1 x ?1＝ 又? 所以1? ln f (u)du ? ? ln f (u)du ? ?x 001ln f (u)du?x ?11ln f (u)duu ? t ? 1? ln f (t ? 1)dt0x 0x? l n f ( x ? t )dt ? ?0ln1 f (1 ? t ) dt ? ? l n f (t )dt 0 f (t )10．设 n 为正整数，证明 ? 2 cosn x sin n xdx ?0?1 2n??2 0cosn xdx证明：令 t=2x,有??2 0n c o ns x s i n xdx ?1 2n ?1??2 0( s i2 nx) n d 2 x ?1 2n ?1??0n sin tdt? ? ? 1 ? 2 n n ? n ?1 ? s i nt d ? t ?? s i n t d? t, ? ? ? 2 ? 0 2 ?又， ? sin tdtt ? ? ? u ? ?? sin (? ? u)du ? ? 2 sin n udu ，n n 2 2 0? ?0?所以，? ?2??2 0cos x sin xdx ?n n1 2( sin tdt ? ? n ?1 ?2 0 n??2 01 sin tdt) ? n 2n??2 0sin n tdt ?1 2n?? ?2sin n xdx又，?sin n xdxx ??2? t ? ?? cosn tdt ? ? 2 cosn xdx2 00?因此，??2 0cosn x sin n xdx ?1 2n??2 0cosn xdx11．设函数 f ( x) 可导，且 f(0)=0, F ( x) ? ? t n?1 f ( x n ? t n )dt 证明:0xlimx ?0F ( x) 1 ? f ?(0) 2n 2n xn 令u ? x n ?t n证明： F ( x) ? ? t0xn ?1f ( x ? t )dtn?1 xn f (u )du n ?0于是， F ?( x) ? x n?1 f ( x n ),F ( x) F ?( x) 1 f (x n ) 1 f ( x n ) ? f (0) 1 lim 2 n ? lim ? lim ? lim ? f ?(0) x ?0 x x ?0 2nx2 n ?1 2 n x ?0 x n 2 n x ?0 2n xn ? 0a12．设 ? (t ) 是正值连续函数， f ( x) ? ? x ? t ? (t )dt,?a ? x ? a(a ? 0), 则曲线 y ? f ( x)?a在 ?? a, a ? 上是凹的。 证明： f ( x) ??xx?a( x ? t )? (t )dt ? ? (t ? x)? (t )dtxx x a ?a ?a xa? x ? ? (t )dt ? ? t? (t )dt ? ? t? (t )dt ? x ? ? (t )dt?af ?( x) ? ? ? (t )dt ? ? ? (t )dt ? ? ? (t )dt ? ? ? (t )dt?a x ?a axaxxf ?( x) ? ? ( x) ? ? ( x) ? 2? ( x) ? 0故，曲线 y ? f ( x) 在 ?? a, a ? 上是凹的。13．设 g(t)是 ?a, b? 上的连续函数， f ( x) ? ? g (t )dt, 证明：在 ?a, b? 上至少存在一点 ? ，x a使f (b) ? g (? ) . b?ax b a a证明：由已知条件 f ( x) ? ? g (t )dt, 有 f (b) ? ? g (t )dt, 又，由于 g(t)在 ?a, b? 上连续，由积分中值定理，有?故bag (t )dt ? g (? )(b ? a), a ? ? ? b,f (b) ? g (? ) b?af (b) ? g (? )(b ? a) ?14.证明： ?dx dx ? ?x 2 x 1? x 1 1? x211dx 证明： ? x 1? x21令x ??1 u1 du dx ?1x 1 ? (? u 2 du) ? ?1x 1 ? u 2 ? ?1x 1 ? x 2 1? 2 u111115．设 f ( x) 是定义在全数轴上，且以 T 为周期的连续函数，a 为任意常数，则?证明：?a ?Taf ( x)dx ? ? f ( x)dx0T?a ?TTf ( x)dx令x ?u ?T??a0f (u ? T )du ? ? f ( x ? T )dx0a? f ( x )以T为周期 f ( x ?T ) ? f ( x )??a0f ( x)dx? ? f ( x)dx ? ?0aa ?TTf ( x)dx ? 0a ?T a在等式两端各加?T0f ( x)dx ，于是得 ?f ( x)dx ? ? f ( x)dx0Tx u x 16．若 f ( x) 是连续函数，则 ? ? ? f (t )dt ? du ? ? ( x ? u ) f (u )du ? 0 ? 0 ?0 ? x u u x x 证明： ? ?? f (t )dt? du ? u ? f (t )dt ? ? uf (u)du ? 0 ? 0 ?0 ? 0 0? x ? f (t )dt ?? uf (u)du0 0xx? ? ( x ? u) f (u)du0x17．设 f ( x) ， g ( x) 在 ?a, b? 上连续，证明至少存在一个 ? ? (a, b) 使得f (? )? g ( x)dx ? g (? )? f ( x)dx?ab?证明： 作辅助函数 F ( x) ? ? f (t )dt? g (t )dt ， 由于 f ( x) , g ( x) 在 ?a, b? 上连续， 所以 F ( x)x b a x在 ?a, b? 上连续， 在 （a,b） 内可导， 并有 F (a) ? F (b) ? 0 由洛尔定理 F ?(? ) ? 0, ? ? (a, b) ? x b b x 即 ?? f (t )dt? g (t )dt? x x?? ? ? f ( x)? g (t )dt ? ? f (t )dt ? g ( x)? x?? ? ? ? ? x x a ?a ? ? ?? f (? )? g ( x)dx ? g (? )? f ( x)dx?ab?＝0 亦即， f (? )? g ( x)dx ? g (? )? f ( x)dx?a b?18． 设 f ( x) ，g ( x) 在 ?a, b? 上连续， 且 g ( x) ? 0, x ? ?a, b? ， 试证： 至少存在一个 ? ? (a, b)? 使得 ?ba b af ( x)dx g ( x)dx?f (? ) g (? )证明：令 F ( x) ? ? f (t )dt, G( x) ? ? g (t )dt, 于是a axxF (b) ? ? f ( x)dx, G(b) ? ? g ( x)dx,a abb作辅助函数 W ( x) ? F (b)? g (t )dt ? G(b)? f (t )dtz axx由题设条件，显然 W ( x ) 在 ?a, b? 上连续，由变上限积分定理 W ( x ) 在 ?a, b? 上可导 又 W (a) ? 0 ， W (b) ? F (b)G(b) ? G(b) F (b) ? 0 由洛尔定理，在 ?a, b ? 内至少存在一点 ? ? (a, b) ，使 W ?(? ) ? 0 F (b) f (? ) 即 F (b) g (? ) ? G(b) F (? ) ? 0 ，亦即 ，故 ? G (b) g (? )? ?ba b af ( x)dx g ( x)dx?f (? ) g (? )2b b 2 19．设 f ( x) 在 ?a, b? 上连续，证明： ? ? ?a f ( x)dx ? ? ? (b ? a) ?a f ( x)dx ? ? x x 2 证明：令 F ( x) ? ? ? ?a f (t )dt ? ? ? ( x ? a) ?a f (t )dt ? ? 2? F ?( x) ? ?? ? f (t ) ? f ( x)? dt ? 0x 2 a2故 f ( x) 是 ?a, b? 上的减函数，又 F (a) ? 0 ， F (b) ? F (a) ? 0b b 2 故 ? ? ?a f ( x)dx ? ? ? (b ? a) ?a f ( x)dx ? ?20．设 f ( x) 在 ?a, b? 上可导，且 f ?( x) ? M ， f (a) ? 0 证明： b M 2 ?a f ( x)dx ? 2 (b ? a) 证明：由题设对 ?x ? ?a, b?, 可知 f ( x) 在 ?a, b? 上满足拉氏微分中值定理，于是有 f ( x) ? f ( x) ? f (a) ? f ?(? )(x ? a),? ? ?a, x ? 又 f ?( x) ? M ，因而， f ( x) ? M ( x ? a) b b M (b ? a) 2 由定积分比较定理，有 ? f ( x)dx ? ? M ( x ? a )dx ? a a 2《高等数学Ⅰ》答疑题arcsin x x 1． lim ( ) x arcsin x ? x x 原式= lim (1? ) x21x ?012x ?01因为limx ?0x ?0arcsin x ? x 1 ? 2 = lim x x x ?01? x 3x=2?1=2limx ?01? 1? x 3x22 21? x=lim3x21 2 2 1 ? x (1 ? 1 ? x ) 61 xx2所以 极限=e1 62．求lim (x ?0x x x a1 ? a2 ????? ann)1 x原式=n x x x x ? x ????? a n ?n 1 = a 1 ln a1????? a n ln a n ? lim a1 a 2 ? lim n x n ln a1?a2???an = = ln a a ? ? ? a n ? 极限= a a ? ? ? a 3.求 lim x ( x ? 2 ? 2 x ? 1 ? x )x ?0x ?0 x ?0n 1 2 nlim (1?x x x a1 ? a2 ????? an ?n)n12n3 2x ???原式=lim xx ? ??3 2[( x ? 2 ? x ? 1) ? ( x ? 1 ? x )]3 2= =lim xx ???[1 1 ? ] x ? 2 ? x ?1 x ?1 ? xx ? x?2 ] x ? 2 ? x ? 1)( x ? 1 ? x ) x ??? 3 ?2 = lim x 2 [ ] ( x ? 2 ? x ? 1)( x ? 1 ? x )( x ? x ? 2 ) x ??? 3 1 ?2 ] == lim x 2 [ 4 2 x ?2 x ?2 x x ??? 1 n ? 4．求 lim tan ( ? ) 4 n n ??lim x [ (3 21 1 tan ? tan (1? tan ) 4 n )= n 原式= lim ( lim ? 1 1 1? tan ?tan (1? tan ) 4 n nn ??n ???nnn=ee?1=e25．求函数 f ( x) ? limx(1 ? sin ?x) n ? sin ?x ,?1 ? x ? 1 n?? 1 ? (1 ? sin ?x) n 1 1 解： （1）显然有 f (0) ? 0 , f (1) ? , f ( ?1) ? ? 2 2 （2）当 0 ? x ? 1 时， 1 ? sin ?x ? 1, 有 lim( 1 ? sin ?x) n ? ?n ??所以， f ( x) ? x 所以， f ( x) ? sin ?x（3）当 ? 1 ? x ? 0 时， 0 ? 1 ? sin ?x ? 1, 有 lim( 1 ? sin ?x) n ? 0n ??1 ? ? ? 2 , x ? ?1 ? ?sin ?x,?1 ? x ? 0 从而， f ( x) ? ? ? x,0 ? x ? 1 1 ? ,x ?1 ? 2 ? 2 6．设 lim f ( x ) 存在， f ( x) ? 3x ? 2 x lim f ( x) ，求 f ( x)x ?1x ?1解：令 lim f ( x ) ? l ，则 f ( x) ? 3x ? 2 xl ，lim f ( x) ? lim(3x ? 2 xl ) ? 3 ? 2l ? l ? l ? ?322x ?1x ?1x ?1故 f ( x) ? 3x ? 6x217．求函数 f ( x ) ?2 x ?1 2 ?11 x的不连续点且判别类型。1 xf ( x) ? lim 解：显然 x=0 为间断点。因为 lim ? ?x ?0 x ?02 ?1 2 ?11 x? 1,f ( x) ? lim 又 lim ? ?x ?0 x ?02 ?1 2 ?11 x1 x? ?1 ，故 x=0 为第一类间断点（跳跃间断点） 。1 ? ? ? f (a ? n ) ? 8．已知 f ( x) 在 x=a 处可导，且 f ( x) ? 0, n 为自然数，求 lim ? ? x ?? ? f (a) ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? f (a ? ) ? f (a) ? f (a ? n ) ? ? ? 1 n ? lim ?1 ? ? 解： lim ? ? ? x ?? x ?? 1 nf (a) ? ? f (a) ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ?f (a) ? 1 f ( a ? )? f ( a nn nn1 ? ? f (a ? ) ? f (a) ? ? 1 n ? lim?1 ? ? ? x ?? 1 nf (a) ? ? ? ? n ? ? 1 1 f (a ? ) ? f (a) f (a ? ) ? f (a) 1 f ?(a) n n 因为 lim n ? lim ? ? n ?? n ?? 1 f (a) f (a) f (a) n n 1 ? ? f ?( a ) ? f (a ? n ) ? f (a) 所以， lim ? ? ?e x ?? f ( a ) ? ? ? ? ? ? 3x ? 2 dy ), f ?( x) ? arcsin x 2 ，求 9．设 y ? f ( x ?0 3x ? 2 dx dy d 3x ? 2 3x ? 2 3x ? 2 3x ? 2 2 12 解： ? f( ) ? f ?( )?( )? ? arcsin( ) ? dx dx 3x ? 2 3x ? 2 3x ? 2 3x ? 2 (3x ? 2) 2 dy 3 ? 于是， x ? 0 ? (arcsin 1) ? 3 ? dx 2 ? x ? cos(t 2 ) dy d 2 y ? t2 1 , 2 10．设 ? ，求 y ? t cos(t 2 ) ? ? cosudu, t ? 0 dx dx ? 1 2 u ? 1 2 2 2 2 2 2 2 解： x? ? ?2t sin(t ), y ? ? cos( t ) ? 2t sin( t ) ? cos( t ) ? 2t ? ?2t sin( t ) 2t 2 dy d y d dy d 1 ?t ， 2 ? ( ) ? (t ) ? ? dx dx dx dx dx 2t sin(t 2 ) ? x ? f ?(t ) dy d 2 y d 3 y , , 11.．设 ? ，其中 f (t ) 的三阶导数存在，且 f ??(t ) ? 0 ，求 dx dx 2 dx3 ? y ? tf ?(t ) ? f (t ) dy y ?(t ) f ?(t ) ? tf ??(t ) ? f ?(t ) ? ? ?t 解： dx x ?(t ) f ??(t )1 f ( a ? )? f ( a ) n n f (a)d 2 y d dy d 1 ? ( ) ? ( t ) ? dx f ??(t ) dx 2 dx dxd3y d d2y d 1 d 1 dt f ???(t ) 1 f ???(t ) ? ( 2)? ( )? ( ) ?? ? ?? 3 2 dx dx dx f ??(t ) dt f ??(t ) dx dx ? f ??(t )? f ??(t ) ? f ??(t )?312.．设方程 xy 2 ? e y ? cos(x ? y 2 ), 求 y ? 解： y 2 ? 2xyy? ? e y y? ? ? sin(x ? y 2 ) ? (1 ? 2 yy?)y? ? ?y 2 ? sin(x ? y 2 ) 2 xy ? e y ? 2 y sin(x ? y 2 )13．设有方程 2 x ? tan(x ? y) ? 解：方程两边对 x 求导，可得?x? y0sec 2 tdt, 求d2y dx22 ? sec 2 ( x ? y) ? (1 ? y ?) ? sec 2 ( x ? y) ? (1 ? y ?) ? 1 ? y ? ?1 sec ( x ? y)2? y? ? 1 ? cos2 ( x ? y) ? sin 2 ( x ? y) ? y?? ? 2 sin(x ? y) cos3 ( x ? y) dy 14．设由方程 x y ? y x 确定 y 是 x 的函数，求 dx y y? y ln x ? e x ln y ，两边同时 x 对求导，得 e y ln x ( y ? ln x ? ) ? e x ln y (ln y ? x ) 解： e x x y y? ? dy y( y ? x ln y) ? ? x y ( y ? ln x ? ) ? y x ? ln y ? x ? ? ? x x? dx x( x ? y ln x) ? 15.设 f ( x) 任意阶可导，且 f ?( x) ? e ? f ( x) , f (0) ? 1, 求 f ( n) (0) 解： f ??( x) ? ?e ? f ( x) f ?( x) ? ?e ?2 f ( x) f ???( x) ? ?2e ?2 f ( x) f ?( x) ? 2e ?3 f ( x) f ( 4) ( x) ? ?3 ? 2e ?3 f ( x) f ?( x) ? ?3 ? 2e ?4 f ( x) ? ( n) f ( x) ? (?1) n?1 (n ? 1)!e ?nf ( n) 所以， f ( n) (0) ? (?1) n?1 (n ? 1)!e ?nf (0) ? (?1) n?1 (n ? 1)!e ? n 16．设 y ? sin 6 x ? cos6 x ，求 f ( n) 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 解： y ? (sin x) ? (cos x) ? (sin x ? cos x)(sin x ? sin x cos x ? cos x) 3 5 3 ? sin 4 x ? sin 2 x cos 2 x ? cos 4 x ? ?3 sin 2 x cos 2 x ? 1 ? sin 2 2 x ? ? cos 4 x 4 8 8 3 ? y ( n ) ? ? 4 n ? cos( 4 x ? n ? ) 8 2 1 arcsin x, 求 y ( n ) (0) 17．设 y ? 2 1? xx 1 1 ? arcsin x ? ? (1 ? x 2 ) y ? ? xy ? 1 ? 0 2 2 2 1? x 1? x 1? x ? (1 ? x 2 ) y?? ? 3xy? ? y ? 0 ? (1 ? x 2 ) y??? ? 5xy?? ? 4 y? ? 0 ? ? (1 ? x 2 ) y ( n?1) ? (2n ? 1) xy( n) ? n 2 y ( n?1) ? 0 显然，当 x ? 0 时， y ? ? ?1, y ?? ? 0, y ??? ? ?4,??解： y ? ? 故 y ( 2n) (0) ? 0, y ( 2n?1) (0) ? ?4 n (n!) 2 18.求 原式=??1sin2x ? 2 cos x 12 22dxdx = ?d (tanx) 2 ? tan x2( sinx x=cos? 2) cos x21 tan x arctan ?c 2 219．求?1 ? ln x( x ?ln x)1 ? ln x22dxx 1 x ? ln x x 原式= ? +c d( )= dx =- ? x x ?ln x x ?ln x x ?ln x ( ) ( ) x x 20. 求不定积分 ? ( x ? 2 x ? 5) cos 2 xdx 1 1 解：原式 ? ( x ? 2 x ? 5) sin 2 x ? ? (3x ? 2) sin 2 xdx 2 2223 21 3 1 3 ( x ? 2 x ? 5) sin 2 x ? (3x 3 ? 2) cos 2 x ? ? x cos 2 xdx 2 4 2 1 3 1 3 3 ? ( x ? 2 x ? 5) sin 2 x ? (3x 3 ? 2) cos 2 x ? x sin 2 x ? cos 2 x ? C 2 4 4 8 1 ? sin x x e dx 21．求不定积分 ? 1 ? cos x 1 ? sin x x 1 1 x 解：原式 ? ? e dx ? ? e x dx ? ? tan ? e x dx x x 2 2 2 cos2 cos2 2 2 1 x x x x x ?? e x d ( ) ? ? tan ? e x dx ? tan ? e x ? ? tan ? e x dx ? ? tan ? e x dx x 2 2 2 2 2 cos2 2 x ? tan ? e x ? C 2 ?22．求不定积分 解：令 x10? x( xdx 10 ? 1)? u ，则 du ? 10x 9 dx ，于是原式 ?1 du 1 u ?1? u 1 ? 1 1 ? ? ? du ? ? ? ? ? du 2 2 ? 10 u (u ? 1) 10 u (u ? 1) 10 ? u (u ? 1) (u ? 1) 2 ? 1 ?1 1 1 ? ? ?? ? ? ? du 10 ? u u ? 1 (u ? 1) 2 ?1? 1 ? ? ln u ? ln u ? 1 ? ??C 10 ? u ? 1? 1 1 ? ln x ? ln x10 ? 1 ? ?C 10 10 10( x ? 1) 1 dx 23．求不定积分 ? sin 3 x 1 sin 2 x ? cos2 x 2 dx ? 解： ? ? sin 3 x dx ? ? csc xdx ?? cot x ? csc xdx sin 3 x ?? ? csc xdx ? ? cot xd (csc x) ? ln csc x ? cot x ? cot x csc x ? ? csc x ? (? csc 2 x)dx??? ln csc x ? cot x ? cot x csc x ? ?故1 dx sin 3 x1 1 ln csc x ? cot x ? cot x csc x ? C 2 2 x sin x 24. 设 f ( x) 的原函数为 ，求解不定积分 ? xf ?( 2 x ) dx x 1 1 1 1 1 解： ? xf ?(2 x)dx ? ? xd ( f (2 x)) ? xf (2 x) ? ? f (2 x)dx ? xf (2 x) ? ? f (2 x)d (2 x) 2 2 2 2 4 ? x cos x ? sin x sin x ? sin x ? 因为 f ( x) 的原函数为 ，故 f ( x) ? ? ? ? x x2 ? x ? 2 x cos 2 x ? sin 2 x 于是， f ( 2 x ) ? ， 4x 2 2 x cos 2 x ? sin 2 x sin 2 x 1 sin 2 x ? ? C ? cos 2 x ? ?C 故 ? xf ?(2 x)dx ? 8x 8x 4 4x? sin13dx ?25．设 f ( x) 在 ?0,??? 上连续且满足 解：将方程?x 2 (1? x )0f (t )dt ? x ，求 f (2)? f x 2 (1 ? x) ? x 2 (1 ? x) ? 1 ，即 f ( x 2 ? x 3 ) ? ( x 2 ? x 3 ) ? 1 1 令 x ? 1, 得f (2) ? 5??x 2 (1? x )??0f (t )dt ? x 的两边对 x 求导，得?1 x f (t )dt , x ? 0 求 f ( x) x ?1 1 x f ( x) 解：将方程两边对 x 求导，得 f ?( x) ? ? 2 ? f (t )dt ? x x 1 1 x 1? 1 x ? 1 将原方程的 f ( x) 表达式代入上式，得 f ?( x) ? ? 2 ? f (t )dt ? ?1 ? ? f (t )dt? ? x? x 1 x 1 ? x 积分，得 f ( x) ? ln x ? C , 由原方程中令 x ? 1, 可得 f (1) ? 1 ，从而 C＝1 故 f ( x) ? ln x ? 126．设当时 x ? 0, f ( x) 可导，且满足方程 f ( x) ? 1 ? 27．设 f ( x) 是连续函数，且 f ( x) ? x ? 2 解：因为 f ( x) 连续，所以 积分有?10f (t )dt ，求 f ( x)1 0?10f (t )dt 存在，不妨设 ? f (t )dt ? l ，于是 f ( x) ? x ? 2l?10f (t )dt ? ? (t ? 2l )dt ， l ?011 21 1 t ? 2l ? l ? ? 2 0 2故 f ( x) ? x ? 1 28．设函数 f ( x) 在区间[0,1]上连续，并设 解： I ??10f ( x)dx ? A ,求 ? dx? f ( x) f ( y)dy0 x11? dx?011xf ( x) f ( y)dy ? ? f ( x)dx? f ( y)dy0 x11x 1 1 x 1 1 x ? ?? f (t )dt? f ( y)dy? ? ? ? f (t )dt ? (? f ( x))dx ? ? f ( x)dx? f (t )dt ? ? 0 x 0 0 0 0 ? ?0?注意：1 1 x 1 x 1 (? f (t )dt) 2 ? (? f (t )dt) 2 ? A2 0 0 0 2 2 2f (t )dt 为 f ( x) 的一个原函数。29．设 f ( x) 在 ?? ?,??? 上连续，且对任何 x,y 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ，计算?x0?1?1( x 2 ? 1) f ( x)dx解：对于这种被积函数含有抽象因子的积分，通常是利用奇偶性积分的“特性”处理，以下证 明 f ( x) 为奇函数。 令 y=0，则由 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 可得： f ( x) ? f ( x) ? f (0) ? f (0) ? 0又，f [ x ? (? x)] ? f ( x) ? f (? x) ，即 f ( x) ? f (? x) ? 0 ，可知 f ( x) 为奇函数，于是30．设 f ( x) ，g(x)区间 ?? a, a?(a ? 0) 上连续，g(x)为偶函数，且 f ( x) 满足条件 （1）证明： ? f ( x) g ( x)dx ? A? g ( x)dx f ( x) ? f (? x) ? A( A为常数)。?a 0 a a?1?1( x 2 ? 1) f ( x)dx ? 0（2）利用（1）的结论计算定积分? ? sin x arctane dx2 x ? 20 a ?a 0?解： （1）证明：?a?af ( x) g ( x)dx ? ? f ( x) g ( x)dx ? ? f ( x) g ( x)dx? ? f ( x) g ( x)dx令x ? u ? ? f (?u) g (?u)du ? ? f (? x) g ( x)dx?a a 000a? ? f ( x) g ( x)dx ? ? f (? x) g ( x)dx ? ? f ( x) g ( x)dx ? ? ? f ( x) ? f (? x)?g ( x)dx ? A? g ( x)dxa a a a a ?a 0 0 0 0（2）取 f ( x) ? arctan e x ， g ( x) ? sin x ， a ??2，则 f ( x) ， g ( x) 在 ??x ?x? ? ?? , ? 上连续 g ( x) ? 2 2?? A，为偶函数。因为 (arctan e x ? arctane ? x )? ? 0 ，所以 arctane ? arctane1 ? A, 于是， A ? 令 x ? 0 ，得 2 arctan故?2， f ( x) ? f (? x) ??2? ? sin x arctane dx ? 2 ?2 x ? 2???2 0sin x dx ??2??2 0sin xdx ??2x 31．设函数 f ( x), g ( x) 满足 f ?( x) ? g ( x) ， g ?( x) ? 2e ? f ( x), 且 f (0) ? 0, g (0) ? 2, 求??0? g ( x) f ( x) ? ? dx ? 2? ?1 ? x (1 ? x) ?解：由 f ?( x) ? g ( x) ， g ?( x) ? 2e x ? f ( x), ，得，f ??( x) ? 2e x ? f ( x), 于是有? f ??( x) ? 2e x ? f ( x) x ，解方程得 f ( x) ? sin x ? cos x ? e ，又， ? ? f (0) ? 0, f ?(0) ? 2? ? g ( x)( ? ? f ?( x)( ? ? g ( x) f ( x) ? 1 ? x) ? f ( x) ? 1 ? x) ? f ( x) ? f ( x) 1 ? e ? ? dx ? ? ? )? ?dx ? ?0 ? ?dx ? ?0 d ( 2? ?0 ? 0 1? x 1? ? (1 ? x) 2 (1 ? x) 2 ?1 ? x (1 ? x) ? ? ? ? ? b (b ? a) 2 b 2 2 ? f ?( x)? dx 32。 设 f ( x) 在 ?a, b? 上有连续的导函数， 且 f (a ) ? 0 试证 ? f ( x)dx ? ? a a 2 ?证明： f ( x) ? f ( x) ? f (a) ?2?xaf ?(t )dt ，于是由柯西不等式2 2x x x b f 2 ( x) ? ? ? f ?(t )dt? ? ? dt? ? f ?(t )? dt ? ( x ? a) ? ? f ?(t )? dt ? ? a a a a ? ?故?baf 2 ( x)dx ? ? [( x ? a) ? [ f ?(t )] dt ]dx ? ? ( x ? a)dx ? ? f ?(t )? dt ?b b b b 2 a a a a22 b 1 ?b ? a ?2 ?a ? f ?( x)? dx 233。讨论 解：?x01p ?1(1 ? x) q ?1 dx 的敛散性。q ?1?10xp ?1(1 ? x)dx ? ? x p ?1 (1 ? x) q ?1 dx ? ?1 x p ?1 (1 ? x) q ?1 dx21 2 01对?1 2 0x p ?1 (1 ? x) q ?1 dx ，因为当 x ? 0 时， x p?1 (1 ? x) q?1 dx ? x p?1 所以当 p ? 0 时，瑕积分收敛； p ? 0 时，发散 对?11 2x p ?1 (1 ? x) q ?1 dx ，因为当 x ? 1 时， x p?1 (1 ? x) q?1 dx ? (1 ? x) q?1 所以当 q ? 0 时，瑕积分收敛； q ? 0 时，发散 综上所述，瑕积分?x01p ?1(1 ? x) q ?1 dx 当 p ? 0 ， q ? 0 时收敛，其余情形发散。34．已知 f ( x) 在 ?a, b? 上连续，在 ( a, b) 内 f ??( x) 存在，又连接 A(a, f (a)), B(b, f (b)) 两点的 直 线 交 曲 线 y ? f ( x) 于 C (c, f (c)) ， 且 a ? c ? b ， 试 证 在 ( a, b) 内 至 少 存 在 一 个 ? 使 得f ??(? ) ? 0证明：由题意，可对 f ( x) 在 ?a, c ? ， ?c, b? 上分别利用拉格朗日中值定理，于是有f ?(?1 ) ?f (c ) ? f ( a ) , ? 1 ? ( a, c ) c?af ?(? 2 ) ?f (b) ? f (c) , ? 2 ? (c, b ) b?c? A, B, C 在同一直线上，?f (c) ? f (a ) f (b) ? f (c) f (b) ? f (a) ? ? c?a b?c b?a故 f ?(?1 ) ? f ?(? 2 ), 因而， f ?( x) 在?? ? ?上满足洛尔定理。1, 2于是，存在一个 ? ? ??1 , ? 2 ? ? ?a, b?, 使得 f ??(? ) ? 03 35．若 f ( x) 在 ?0,1? 上三阶导数，且 f (0) ? f (1) ? 0 ，设 F ( x) ? x f ( x), ，试证在 ?0,1? 内至少存在一个 ? ，使得 F ???(? ) ? 0 证明：用台劳公式证写出 F ( x) 在 x=0 处的二阶台劳展开式为F ( x) ? F (0) ? F ?(0) x ?1 1 F ??(0) x 2 ? F ???(? ) x 3 2! 3!（*）? F ?( x) ? 3x 2 f ( x) ? x 3 f ?( x) , F ??( x) ? 6xf ( x) ? 6x 2 f ?( x) ? x 3 f ??( x)? F (0) ? F ?(0) ? F ??(0) ? 0 ,于是（*） ? F ( x) ?注意到 F (1) ? f (1) ? 0, 由（**）有1 F ???(? ) x 3 3!(**)1 F ???(? ) ? 0 ? F ???(? ) ? 0 3测试题――高等数学Ⅱ一、选择题 1、设 E= ??x, y ?x ? y ? 0?，则（ ） A、E 为连通域； B、E 不是连通域； C、E 为单连通域； D、E 为复连通域； 2、函数 Z ? arcSin ? arcSin 的定义域是（ ） A、 ?2 ? ? ? 2 C、 ? 2 ? x ? 2且 ? 3 y ? 3 3、函数 Z ? B、 ? 3 ? y ? 3 D、 o ? x 2 ? y 2 ? 1x 2 x 3?x2? y 2 1? x 2 ? y 2? ?1?的定义域是（ ）A、 x 2 ? y 2 ? 0 C、 O ? x 2 ? y 2B、 x 2 ? y 2 ? 0 D、 O ? X 2 ? Y 2 ? 1? 1 ? 4、 lim? 1? 2 ? ? x ?? x y? ? y ?? ?A、等于 exy?( )B、等于 1 C、等于 0 D 不存在 ）上连续。( )?1 x?0 ? sin xy 5、设函数 f ?x, y ? ? ? x 则f ?x, y ? 在（ ? x?0 ?yA、全平面 C、全平面除 C 轴 B、全平面除去原点 C、全平面除 y 轴6、在矩开展区域 D： x ? xo ? ? , y ? y0 ? ?内 , f x ?x, y? ? f y ?x, y? ? 0是f ?x, y? ? c （常量） 的（ ） A、必要条件 C、充要条件2 2B、充分条件 C、既非充非也非必要条件7、设 Z ? u ? v , u ? x ? y, v ? x ? y, 则在?1,0?处偏导数 A、4 和 0 C、0 和 02 2 2?z ?z , 的值分别为（ ） ?x ?y ?u ?u ?u , , 的值分别为 ?r ?o ??B、0 和 4 D、4 和 4o s s n i ? ,Y ? r s n i s n i ?,z ? rc o s ? ,则 8、 设u ? x ? y ? z , x ? r c（ ）A、0，0, 2r B、0，2r，0 C、2r，0，0 D、0，0，0 9、当 ? ? （ ）时，由方程 y ? x ? ? sin y ? 0, 能确定y ? f ?x ?且y?x ? 具有连续导函数。( A、 ? ? 1 B、 ? ? 1 C、 ? ? 0 D? ?0?z ?z ?? z 。 ?y ?x)10、在（）条件下，由方程 Z ? x ? y? z 2 所确定的函数。 Z ?x, y ? 满足方程 ( ) A、 ? z 2 连续2? ?? ?? ? C、 ? ?z ? 可微且 ? ?z ? ? 0;2B、 ? z 2 可微2? ? D、 ? ?z ?z 可微且 yz? ' ?z ? ? 02?u ? v ? x ? y ? 0 ?u 则 的值为（ ） ?x ?xu ? yv ? 1 ? 0 v?x v? y A、 ? B、 y?x y?x u? y u?x C、 D、 ? y?x y?x 2 2 2 ?x ? y ? z ? 6 12、空间曲线 ? 在点 ?1,2,1? 处的切线必平行于（ ） ?x ? y ? z ? 0 A、 xoy平面 B、 yoz C、 zox D、平面 x ? y ? z ? 0 13、旋转椭球面 2 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 16 上点（2，2，-2）处外法线与 Z 轴夹角的余弦及切平面与11、设 ? x0z 面夹角的余弦分别为（ ） B、 ?6 6 ,? 6 6 6 6 C、 ,? 6 6A、 ?14、研究函数 z ? x 2 ? y 2 e ? x???2? y2? 的极值，有（ ）6 6 , 6 6 6 6 D、 , 6 6B、有极小值 Z ? 0 D、无极植?1 A、有极大值 Z ? e ，无极小值 C、有极小植 Z ? 0 ，极大值 Z ? e ?115、研究函数 Z ?8 x ? ? y, ?x ? 0, y ? 0? 的极值，有（ ） x y16、函数 f ?x, y ? ? x? ? y? ? x 2 ? 2 xy ? y 2 有三个驻点（0，0） （1，1） （-1，-1） ，则（ ） 。 A、 f ?0,0? 是极大值 C、f(1,1),f(-1,-1)都是极小值1 1A、在（4，2）处有极小值 Z=6； B、在（4，2）处有极大值 Z=6； C、在（1，2）处有极大值 Z=10； D、无极值17、若 f x ?x0 , y0 ? ? 0, f y ?x0 , y0 ? ? 0 ，则在点 ?x0 , y0 ? 处函数 f ? x, y ? （ ） A、连续 C、可能取得极值2 2B、 f ?0,0? 是极小值 D、f(1,1)，f(-1,-1)都是极大值 B、必取极值 D、全微分 d2=018、函数 Z ? x ? 2 y 在条件 x ? y ? 5 下的极值为（ ） A、极大值 f(1,2)=5 B、极小值 f(1,2)=5 C、极大值 f(2,1)4 D、极小值 f(2,1)=4 19、函数 u ? xyzx ? y ? z ? 5, 在条件 xy ? yz ? zy ? 8 下（ ） A、无极值 C、极有极大值 u ? 4 B、有极大值 u ? 44 和极小值 274 D、仅有极小值 u=4 27 2 2 20、圆 x ? 2xy ? 5 y ? 16y ? 0 与直线 x ? y ? 8 ? 0 之间的最短距离是（ ）A、 2 2 B、 3 2 C、 4 2 D、 6 221、据二重积分的概念可知 A、0 22、设： I ? A、??Da 2 x 2 ? y 2 dxdy ? ? ? ，其中 x 2 ? y 2 ? a 2 。C、 ? a 3 D、3 B、 ? a2 32 3 ?a 2）dxdy ，则 I 满足（ 2 2 1 ? cos x ? sin y x ? y ?1??1 1 ?I ?2 B、 2 ? I ? 3 C、 0 ? I ? D、 ? 1 ? I ? 0 2 2 23、设 I ? ?? x 2 ? 4 y 2 ? 9 d x d y ，其中 D 是圆形闭区域： x 2 ? y 2 ? 4 利用二重积分的性质??D估计其值满足（ ） A、 4? ? I ? 36? C、 8? ? I ? 100? 24、设 I ? A、0B、 8? ? I ? 36? D、 36? ? I ? 100?2?? xy dxdy, 其中D : 0 ? y ? x2 D, x ? 2; 则I ? ()36 64 C、 D、256 3 3 cos? xy ? 25、设 I ? ?? xe Sin?xy?dxdy, 其中D : x ? 1, y ? 1则I ? ( )B、DA、e 26、当（）时，B、 e?1C、0D、 ? )?? xD2my dxdy ? 0, 其中D : x 2 ? y 2 ? a 2 , y ? 0, m与n均为自然数.(nA、仅当 m,全为奇数 C、仅当 m 为偶数 27、若区域 D 为 x ? y ? a, 则2 DB、m,n 中至少有一个为奇数 D、仅当 m 为奇数?? xy dxdy ? (D、 a)A、0B、a41 4 C\ a 2?428、若区域 D 由不等式 y ? x , y ? x ? A、0?2,x? y ??2表示.则?? Sin?x ? y ?dxdy ? ??? B、 41 C、 ? 8 6D?29、区域 D 为 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1, 则 A、?? ?y ? x ?dxdy ? ? ?21 D、 ? 8 6?D?41 B、 3C、2 2x?82?30、视 L 为上半圆周 x ? ax? y ? a , y ? 0, 沿逆时针方向， 则 S l ?e Siny ? 2 y ?dx ? ?e cos y ? 2?dy ? ? ?2??1 6D、?8?1 6A、 ? ? a2B、0C、 ?a2 22D、 2?a2231、设 T 是用平面 y ? Z 截球面 x ? y ? z ? 1所得截痕，从 Z 轴的正向往负向看，沿逆时针方向，则 A、?Txyzdz ? (B、 ?) C、 ? ? D、 ?32、设 ? 为球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 的外侧，则2 162 ? 16?? xyzdxdy ? ? ??2 2 B、 ? C、0 D、 15 15 2 33、 微分方程 y&?4 xy ? 4 x ? 2 y ? 0 有两个解 y1 ? e x 2 , y2 ? xe x 2 , 则y ? C1 y1 ? C2 y2 （3 A、 ? 13??）A、是方程的通解 C、仅是方程的一个特解? ? ?B、未必是方程的通解 D、未必是方程的解n ?1 n ?134、已知n ?1 ? ?? 1? an ? 2 ， ? a2n?1 ? 5, 则? an ? ? ? n ?1A、3 B、7 C、8 D、9 35、级数的部分和数列有界是级数收敛的（） A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、以上都不对 36、用比值法或根值法判断下列级数收敛的是（） A、?3n ? 3 n ?1 nn?B、? ?n ? 1?n ?1?3 n ?1?3C、 （）n1 ? n n ?1 2?D、? ?n ? 1?n ?1?1n37、若?un ?1条件收敛，则级数?un ?12 nA、条件收敛 C、一定发散 38、设级数论B、绝对收敛 D、可能收敛也可能发散 ）则级数? bn 发散，且（n ?1n??an ?1?n必发散。 （ ） D、 an ? bnA、 an ? bn 39、设级数B、 an ? bn 绝对收敛，且（） ，则级数 B、 an ? bn2 ?C、 an ? bn?bn ?1 ???an ?1?n必收敛。 （ ） D、 an ? bn ()A、 an ? bn 40、设级数C、 an ? bn? a n 收敛，则级数 ? an ? an?1n ?1 n ?1A、绝对收敛 C、发散?B、条件收敛 D、可能收敛民可能发散? 2 ?41、设级数? a n ， ? bn 都收敛，则级数 ? ?an ? bn ?2 n ?1 n ?1 n ?1（ ）A、绝对收敛 C、发散?B、条件收敛 D、可能收敛民可能发散n n42、已知级数? a ?x ? 1? 在x ? ?1 处收敛，则此级数在 x ? 2处n ?1（ ）A、条件收敛B、绝对收敛C、发散 D、可能收敛民可能发散 43、函数 f ?x ? ? ln?1 ? x ? 展开 x 的幂级数，则 x n 的系数为 （ ）1 1 ?? 1? n B、 ?? 1? C、 ?? 1? D、 n n ?1 n ?1 1, cos x, cos2x,?, cosnx,??正交的最小区间是 （ ） 44、使函数系列 ? 1 A、 nn ?1n ?1? ?? B、 0, ? C、 ?? ? , ? ? D、 ?0, ? ? ? ? 4? 45、使函数系 ?Sinx, Sinzx,?, Sinnx ,??正交的最小区间是 （ ）A、 ?0,? ?? ? ? 4? ?x ?x 2?x n?x n?x ? ? 46、使函数系 ?1, cos , Sin , cos ,? Sin ??? （这里 l ? 0, l ? 1 ）正交 l l l l l ? ?A、 ?0,2? ? B、 ?? ? , ? ? C、 ?0, ? ? D、 ?0, 的区间是 （ ） A、 ?0,2? ? 47、设 f ?x ? 是以 2 ? 为周期的函数，在区间 ?? ? , ? ? 上 f ?x ? ? x ，则其傅立叶级数中 cos3x 及 Sin3x 的系数 a3 及 b3 分别是 （ ） B、 ?? ? , ? ? C、 ?0 ? 1? D、 ?? 1,1?4 4 4 ,0 C、 D、 0, 9? 9? 9? 2 以2? 为周期，且 f ?x? ? x , ?0 ? x ? 2? ,?, 则f ?x? 的傅立叶级数在点 x0 ? 0 收 48、若函数 f ?x ?A、 ?4 ,0 9?B、 0,敛于（ ） A、0 B、 ? 2 49、能展开成正弦级数的函数。 （ ） A、一定是奇函数 C、不一定是奇函数 50、下列 y为y&? y ? e 的特解的是（xC、 2? 2D、 4? 2B、一定是偶函数 D、一定是奇函数或偶函数 ） C、 y ? exA、 y ? xexB、 y ?51、将函数 f ?x ? ? x ? 1 A、 ??0 ? x ? 2? 展开为周期为 4 的余弦级数，则 cos 5?x 的系数为（2 8 8 C、 ? 2 ? 25? 2 0? x?2D、1 x e 2D、 y ?1 x e 2）8?2B、8 25? 252、设 f ?x ? ? ??x ?4 ? x2? x?4则将其展开为半幅余弦级数的常数项 a0 为（ ） D、8 B、 y&?2 y'? y ? 0A、0 B、2 C、4 53、下列方程为一阶齐次微分方程的是（ ） A、 ?x ? y ?dx ? ?x ? 1?dy ? 0 C、dy x ?1 2 2 ?? D、 x ? 3 y dx ? 2xydy ? 0 dx y dy 1 ? ? 1 化为可分离变量的方程应选取的代换为（ ） 54、将方程 dx x ? y??55、 微分方程 y?xy ? 1?dx ? x 1 ? xy ? x y dy ? 0 化为可分离变量的方程应迭取的代换是 （ ）2 2A、 x ? u ? 1, y ? v ? 1 A、 x ? u ? k2?B、 u ? x, y?C、 u ? x ? yD、 u ? x ? yB、 y ? v ? hC、 u ? xyD、 u ? x ? y ) D、 C1 x ? C2 e ? x56、已知方程 x y&? xy'? y ? 0 的一个特解为 x，则方程的通解是 y=( A、 C1 x ? C2 x 2 ? C3 57、初值问题 B、 C1 x ? C 2x ?01 xC、 C1 x ? C2 e xdy 1 ? ? 1, y dx x ? y22? 1 的解为（ ）D、 ?x ? y ? ? ?2x ? 12A 、 ?x ? y ? ? 2 x ? 1 C 、 ?x ? y ? ? 2 x ? 1B、 ?x ? y ? ? 2x ? 1258、微分方程 y' ? 3xy ? x 3 是（ ） A、齐次方程 B、可分离变量方程 C、全微分方程 D、线性非齐次方程 59、微分方程 ?x ? y ?dy ? ?x ? y ?dx 是（ ） A、一阶线性方程 B、可分离变量方程 C、齐次方程 D、全微分方程 60、方程 y ' ? 3 y 的一个特解是（ ） A、 y ? ?x ? 2? C、 y ? ? x ? c ?32 3B、 y ? x 3 ? 1361、方程 y'? xy' ? ?a y 2 ? y' 是（ ） A、可分离变量方程 C、线性非齐次方程 62、已知函数 y?x ? 满足方程 xy ' ? y ln??D、 y ? ? x ? c ? y ? c? x ? 1?33B、齐次方程 D、线性齐次方程A、-1 B、0 C、1 D、e-1 时y ? () 63、曲线 y ? y?x ? 经过点 ?0,?1? ，且满足微分方程 y'?2 y ? 4 x, 则当x ? 1 A、0 B、1 C、2 D、4 64、方程 xdx ? ydy ? x ? y dx 的积分因子可取（2 2y ，且当 x ? 1 时，则当 y ? e 2 时。则当 x ? ?1, y ? () x??） D、1 1 1 B、 2 C、 2 2 2 x ?y y ?x x ? y2 65、方程 xy&? y ' ? 0 属于可降低的类型是（）A、21 xyD、不可确定 D、 C2 n ?1 ? C2B、 y' ? f ?x, y'? 型 ? f ?x ? 型 66、方程 xy&? y ' ? 0 的通解为 y ? ? ? A、 y?n ?C、 y' ? f ?x, y ? C、 n ? 1 ? C67、方程 y&? y' ? 1, y x?0 ? 0, y?x?0 ? 0 的解 y ? ? A、 C ln chx B、 C1 ln chx ? C2 68、方程 y& ? Siny 属于可阶的类型为（ ） A、 y?n ?A、 C1 n x1 ? C2 xB、 C n ?1 ? x C?C、 ? ln chx C、 y' ? f ? y, y'? 型 D、无法确定? f ?x ? 型B、 y& ? f ?x, y'? 型69、方程 y&? y 'A、 y ? n ? 70、下列方程是全微分方程的是（ ） A、 y 2 ? y ? Sinx ? e x C、 y ?3? ? e x y'?e x y 2 ? Sinx 71、微分方程 y? y'? ? x y m A、三阶线性方程 C、三阶线性方程22 2? ?? x 属于可降价的类型是（ ） B、 y& ? f ?x1 y ' ?型 ? f ?x ? 型2C、 y& ? f y1 y ' 型??D、无法确定B、 y ?3? ? y'?e x y ? Sinx D、 y ?3? ? e x y'?e x y ? Sinx B、二阶非线性方程 D、二阶线性方程? ?2? yy' ? 0 是（ ）72、微分方程为 y&?3 y'?2 y ? x 2 的特解的形式为（A、 Ax B、 Ax ? Bx ? C C、 x Ax ? Bx ? c 73、下列函数组中线性无关的是（ ）2?）?D、 x 2 Ax2 ? Bc ? c??A、 cos2 x, Sin2 x B、 e x , ?e x c?? ? 0? 74、下列函数组中线性相关的是（ ） A、 e ? , xe?x2C、 x cos2 x,7 x cos2 x D、 x,2nexD、 e ?x ,5e ?xB、 n x, x n xx2 ? 1 x2 x2C、 e 2 x , e 3 x? 1 ?2? x? ? 1 75、已知函数 y1 ? e （ ） y 2 ? e ? 2 , y3 ? e ? x ? 则， x A、 y1与y 2 线性相关 B、 y 2与y3 线性相关 C、 y1与y3 线性相关 D、两两线性相关 76、微分方程 y& ' ? y& 的通解为 y=（ ） A、 e x ? C1 x 2 ? C2 x ? C3 B、 C1 x 2 ? C2 x ? C3C、 C1e x ? C2 x ? C 3D、 C1 x 3 ? C2 x ? C3二、填空题。 1、求极限limx ?0 y ?02、求极限 lim x ?0y ?03、求极限 lim x ?? 4、求极限 lim x ?0y ??y ? xy ? ( x2 ? y2 1 ?( 2 x ? y2 1 ?( 2 x ? y2) ) ) ) ) )2 ? xy ? 4 ?( y ?0 xy xy 5、求极限 lim ?( x ?0 y ?0 xy ? 1 ? 1 lim Sinxy ?( 6、求极限 x ? 0 y ?0 x7、设 f ?x, y ? ? x ? ? y ? 1?arcsinx ,则f x ?x,1? ? ( y)? x2 ? y2 ?z ? 8、由线 ? 在点 ?2,4,5? 处的切线与正向 x 轴所成倾角为( 4 ?y ? 4 ? 9、微分为方程 y ?? ? y ? ? 2 y ? 0 的通解是（ ） 。 ?u ?（ 10、若函数从=f(t,x,y),x= ? (s,t)均具有一阶连续偏导数，则 ?t ? sin x f (t )dt ? （ 11、设函数 f(x)在[-1，1]上连续，则 ） 。 ?x ?cos x ?12、方程 xy =y 满足 x=1 时，y=0 ， y =1 的特解是（2 2 2'' ' ') 。） 。）13、旋转球 3x ? y ? z ? 16 面上点（-1，-2，3）处的切平面与坐标平面 XOY 的夹角 余弦为（ ） 。 14、微分方程 y ?? ? 4 y ? ? 0 的通解为是（ ） 。 15、函数 z=x2+y2 在点（1，2）到（2，2+ 3 ）的方向的方向导数为（ 16、函数 u=x2+y2-z2 在点 A（c,0,0）处的梯度为( ) 17、函数 u=1n(x2+y2+z2)在点处的梯度为( ) 18、元函数 z ? 1 ? ( ） 。x 2 ? y 2 的极大值点是().19 、 设 α ,β ,γ 为 平 面 三 角 形 的 内 角 ， 则 函 数 y ? cos? cos ? cos? 的 极 大 值 为 ). 20、位于两圆 x2+y2=24 与 x2+y-2=4y 之间的均匀薄板的重心坐标为（ ） 21、锥面 z ?x 2 ? y 2 被柱面 z2=2x 所割下部分的曲面面积为( ). 22、设有一物体，占有空间区域 ? :0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1，在点（x,y,z）处密度为 P（x,y,z）=x+y+z,则该物体的质量为( 23、设 ? 是由锥面 z= ( )?h RX 2 ? Y 2 与平面 z=h(r&0,h&o)所围成的闭区域，则 ??? zd x d y d z =). 24、立体由曲面 z=x2+y2;x+y=a,x=0,y=0,z=0 所围密度为 1,则重心坐标为（ ）. 25 、 设 T 是 从 点 （ 1 ， 1 ， 1 ） 到 点 （ 2 ， 3 ， 4 ，） 的 一 段 直 线 ， 则T?xdx ? ydy ? ? ( x ? y ? 1)dz ? (2). ）L 为抛物线 y=x2 上从 0（0，0）到 B27 、 设 26 、 设 L 是 抛 物 线 y=x 上 从 点 ， （ -1 ， 1 ） 到 （ 1 ， 1 ） 上 的 一 段 孤 ， 则? ?xL2? 2 xy d x ? y 2 ? 2 xy d y = （???（1，1）的一段孤，则? 2 xydx ? xL2dy ? ()28、设 L 为直线 y=x 上从 0（0，0）看到 B（1，1）的一段弧,则 （ ）.2 2 29、密度为 p= x ? y 曲线 L 为圆围 x2+y2=ax 质量 M=（? 2 xydx ? xL2dy ?） ）30、积分 I= ( x ? 4 xy )dx ? (6 x4 3 L?? ?1y 2 ? 5 y 4 )dy 与路径无关，则入=（）( x ? ay)dx ? ydy 31、已知 为某函数的全微分，则 a=（ ( x ? y) 232、 （?为平面 x ? y ? z ? 4 被圆柱面 x 2 ? y 2 ? 1 截出的有限部分， 则曲面积分 ）??? zds=33、面 为（?为 x2+y2+z2=R2 在第一极限的部分，其面密度为 P（X,Y,Z）=X，则曲面的质量） 。 34、设 S 是平面 X+Y+Z=4 被圆柱 x2+y2=1 截出的有限部分，则曲面面积 35、面??2 2 2?? yds =()为 x +y +z 在第一极限的部分其面密度为常数 p，则其绕 Z 轴的转动惯量为2 2 2（? x ? y ? ? ? ?2 ? 0? 饶 z 轴的转动惯量为（ 1 37、设 ? 为由 ? ?x ? y ?与 z=h（h&o）所围立体的表面内侧，则 ?? zd d 236、面密度为 p 的上半球2 2））y? y ? b (a, d ? 0)的上侧则 ?? dxdy ? ( ? 2 2 2 2 39、设曲面 ? x ? y ? z ? a 的 外侧，则 ?? zd s =（ ） ? 2 2 2 2 2 2 40、设曲面 ?为x ? y ? z ? a 的外侧， ?? ( x ? y )dxdy ? ( ? 2 2 2 2 41、设 ? 为球面 x +y +z =a 的外侧，则 ?? xdyz ? ( ) ?38、设2 2 2?为曲面z ?a; x?x=（ ）))42 、 设z? ?为 锥 面)x 2 ? y 2 下 平 面 =9 所 围 成 的 空 间 区 域 的 表 面 外 侧 ， 则??? ydzdx ? (44、设?? ?? 43、向量场 ? =Z ? 穿过上半球面 z= R 2 ? X 2 ? Y 2 的通量 I=( F K) )?2 2 为半球面 z= 4 ? ? y 的上侧。侧?2?? xdydz? ydxdz? zdxdy ? (45、设 L 为圆x y2 ? ? 1 的弧，其周长为 a ，则 ? (2 xy ? 3x 2 ? 4 y 2 )ds ? ( L 4 3) ） 。)2 2 2 46、均匀曲面 Z= a ? x ? y 的重心为 (47、幂级数?48、幂级数 ?? 1?2n ? 1 3n?1 x 的收敛半径是（ 2n n ?1?n ?1的收敛区间是（） ） 。 ） 。 ） 。49、微分方程 y ?? ? y ? 0 的通解为（ ） 。 ? ? ? 50、微分方程 y ? 6 y ? 13y ? 0 的通解为（ 51、齐次线性方程 y?? ? 2 y ? 3 y ? 0的通解为（'52、齐次方程 y ? ?x x ? ; y | x ?1 ? 2的特解为（ y xx x x )dx ? ze (1 ? )dy ? 0的通解为（ y y y sin x 54、微分方程 y? ? y cos x ? e 的通解是（ ） 。 55、微分方程 y ? ? y tan x ? sin 2 x 的通解为（ ） 。53、齐次方程（1+2e 56、方程 y ?? ? 3 y ? ? 0满足初始条件 y 57、微分方程：x ?0） 。, y?x ?0? 3的特解是（） 。dy ? 2 xy ? 4 x的通解为 （ dx） 。58、设圆柱形浮筒，直径为 0.5 米，垂直放在水中，当稍向下压突然放开，浮筒在水中上 下振动的周期为 2 秒种，则浮筒的质量为（ ）kg.dy ? y ? xy 5的通解为 （ dx 60、方程 ?x ? y ? d x ? d y ? d x ? d y 的通解为（59、贝努利方程） 。 ） 。 ） 。??61、方程 yd x ? xd y ? y xd x ? 0 的通解为（262、方程 y''= 1 ? x 的通解为 （2） 。 ） 。63、方程 y ??? ? 12x ? sin x 的通解为（64、 满足微分方程 y ?? ? x 的经过点 M （0， 1） 且在此点与直线 y= （ ） 。 65、微分方程 y 3 y ?? ? 1 ? 0 的通解是（ 66、微分方程 y?? ? ? y?? ? y? 的通解是（3x ? 1相切的积分曲线是 2） 。 ） 。 ） 。67、方程 y?? ? 1 ? ? y?? 的通解为（268、方程 xy ?? ? sin y ? 0 满足 x ? 0 时， y ?? ， y ? ? 1 的特解是（ 2） 。三、解答题x 1、已知函数 f ?x, y ? ? x 2 ? y 2 ? xy tan ，试求 f ?tx, ty ? y w u ?v 2、已知函数 f ?u, v, w? ? U ? W ,试求 f ?x ? y, x ? y, xy? 3、设 f ?x, y, z ? ? zy 2 ? yz 2 ? zx 2 ,求 f xx ?0,0,1?, f xz ?1,0,2?4、设 z ? x ln?xy? ，求5、求函数： z ? ln 1 ? x 2 ? y 2 当 x=1,y=2 时的全微分。 x 6、求函数：Z= ，当 x=2,y=1, ?x ? 0.15, ?y ? 0.1 时的全增量和全微分。 y xy 7、求函数 z ? e ,当x ? 1, y ? 1, ?x ? 0.15, ?y ? 0.1 时的全微分。 ?z 8、设 z ? u 2 v ? uv 2 , 而u ? x cos y, u ? x sin y, 求 . ?x?? 3z 。 ?z 2 ?y?x ?z , u ? 3 x ? 2 y, 求 . y ?x dz 10.设 z ? e x?2 y , 而x ? sin t, y ? t 3 求 dt dz 11. 设 z ? arctan ?xy ?, 而y ? e x , 求 . dx ax e ?y ? z? d? 12. 设 ? ? , 而y ? a sin x, z ? cos x, 求 2 dx a ?1 x ? ? 13、求微分方程 y ? y ? e ?c o 2 s x 的通解。 x dx 14、设 ln x 2 ? y 2 ? arctan , 求 . x dy ?z 15、设 x ? 2 y ? z ? 2 xyz ? 0, 求 。 ?x. ? z x z . 16、设 ? ln 求 ?x z y9、设 z ? u 2 ln v, 而u ??2z . ?x 2 ?2z 3 3 18、设 z ? 3xyz ? a , 求 . ?x?y17、设 e ? xyz ? 0, 求z19、求曲线 x ? t ? sin t , y ? 1 ? cost , z ? 4 sin 20、求曲线 x ?t 1? t ,y ? , z ? t 2 在对应于 t ? 1 的点处的法平面方程。 1? t t 2 2 21、求曲线 y ? 2mx, z ? m ? x 在点 ?x0 , y0 , z 0 ? 处的法平面方程。22、求曲线 ?t ?? ? 在点? ? 1,1,2 2 ? 处的切线方程。 2 ?2 ?? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3x ? 0 在点（1，1，1）处的法平面方程。 ?2 x ? 3 y ? 5 z ? 4 ? 023、求曲线 x ? t , y ? t 2 , z ? t 3 上的点，使在该点的切线平行于平面 x ? 2 y ? z ? 4. 24、求曲面 ax2 ? by2 ? cz 2 ? 1 在点 x0 , y 0 , z 0 处的切平面方程。 25、求曲面 e ? z ? xy ? 3 在点 ?2,1,0? 处的切平面方程。z 2 2 226、求椭球面 x ? 2 y ? z ? 1上平行平面 x ? y ? 2 z ? 0 的切平面方程。 28、设 f ?x, y, z ? ? x ? 2 y ? 3z ? xy ? 3x ? 2 y ? 6z, 求gradf ?0,0,0?2 2 227、求函数 u ? xyz 在点 ?5,1,2? 处沿从点 ?5,1,2? 到点 ?9,4,14? 的方向的方向导数。 29、求函数 f ?x, y ? ? 4?x ? y ? ? x ? y 的极值。2 230、求函数 f ?x, y ? ? 6 x ? x 31、求函数 f ?x, y ? ? ezx 2?32、求函数 f ?x, y ? ? x ? y ? 3xy 的极值。3??4 y ? y ?的极值。 ?x ? y ? 2 y?的极值。2 2 233、求函数 z ? ?x ? 1? ? 2 y 2 的极值。234、求函数 z ? xy 在适合附加条件 x ? y ? 1 下的极大值。 35、 在平面 xoy 上求一点， 使它到 x ? 0, y ? 0及x ? 2 y ? 16 ? 0 三直线的距离平方之和为最小。 36、抛物面 z ? x 2 ? y 2 被平面 x ? y ? z ? 1 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。 37、计算二重积分 38、计算二重积分?? ?xDD2? y 2 d? , 其中 D 是矩形区域： x ? 1, y ? 1??? cos?x ? y?d? , 其中 D 是三顶点分别为 ?0,0?, ?? ,0?和?? ,? ? 的三角形区域。39、求由平面 x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 所围成的柱体被平面 z ? 0 及抛物面 x 2 ? y 2 ? 6 ? z 截得 的立体体积。 40、求由曲面 z ? x 2 ?2 y 2 及 z ? 6 ? 2x 2 ? y 2 所围成的立体的体积。 41、求球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 含在圆柱面 x 2 ? y 2 ? ax 内部的那部分面积。 42、求底圆半径相等的两个直圆柱面 x ? y ? R 及 x 2 ? z 2 ? R 2 及 x 2 ? z 2 ? R 2 所围立体 的表面积。 43、球心在原点，半径为 R 的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比， 求这球体的质量。2 2 244、球体 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2R 2 内，各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试 求这球体的重心。 45 、 一 均 匀 物 体 （ 密 度 P 为 常 量 ） 占 有 的 闭 区 域 ? 由 曲 面 z 2 ? x 2 ? y 2 和 平 面z ? 0, x ? a, y ? a 所围成。求该物体的体积。4 ? x y z ? ? z ? 2 x ? y ? 其中 ? 为平面 ? ? ? 1 在第一极限中的部分。 3 ? 2 3 4 ? ? 2 47、计算 ? T 2 yd x ? 3 xd y ? z d z ；其中 T 是圆周 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 9, z ? 0, 若从 z 轴正向看去，46、计算??取逆时针方向。 48、计算 49、 计算? ?za ? y ?dx ? xdy , 其中 L 为摆线 x ? a?1 ? sin t ?, y ? a?1 ? cost ? 上对应 t 从 0 到 2 ?L?Lx 2 ? y 2 ds, 其中 L 为圆周 x 2 ? y 2 ? ax.的一段弧。 50、计算51、一曲线通过点 ?2,3? ，它在两坐标轴间的任一切线线段被中点平分，求这个曲线方程。???xyzdxdy, 其中 ?为球面 x ? y ? z ? 12 2 2?x ? 0, y ? 0? 的外侧。dy ? y ? e ? x 的通解。 dx 2 53、求微方程： xy? ? y ? x ? 3x ? 2 的通解。52、求微分方程：? ? 55、求全微分方程 ?a ? 2xy ? y ?dx ? ?x ? y ? dy ? 0 的通解。 56、求全微分方程 e dx ? ?xe ? 2 y ?dy ? 0 的通解。54、求全微方程 3x ? 6xy dx ? 6x y ? 4 y dy ? 0 的通解2 2 2 22 2 2??yy57、求全微分方程 ?x cos y ? cos x ?y ? ? y sin x ? sin y ? 0 的通解。 58、求微分方程 x ? y dx ? xdy ? 0 的通解。 59、求全微分方程的： y ?? ? x ? sin x 的通解。2??60、求 y ?? ? xe x 的通解。1 的通解 。 1? x2 62、求 y ?? ? y ? ? x 的通解。61、求 y ?? ?63、已知 y1 ?x ? ? e x 是齐次线性方程 ?2 x ? 1?y ?? ? ?2 x ? 1?y? ? 2 y ? 0 的一个解，求此方程的通 解。64 、 已 知 y1 ?x ? ? x 是 齐 次 线 性 方 程 x 2 y?? ? 2 xy? ? 2 y ? 0 的 一 个 解 ， 求 非 齐 次 线 性 方 程x 2 y?? ? 2xy? ? 2 y ? 0 的一个解，求非齐次线性方程 x 2 y?? ? 2xy ? 2 y ? 2x 3 的通解。 65 、已知齐次线性方程。 y ?? ? y ? 0 的通解为 y?x ? ? c1 cosx ? c2 sin x, 求非齐次线性方程 y ?? ? y ? sec x 的通解。266、已知齐次线性方程。 ?x ? 1?y?? ? xy? ? y ? ?x ? 1? 的通解为 y?x? ? c1 x ? c2 x ? n ?1, 求非齐 次线性方程 ?x ? 1? y ?? xy ? ? y ? x 的通解。 68、求微分方程 y ?4 ? ? y ? 0 的通解。 70、求微分方程 67、 已知方程 y ?? ? 4 y ? ? 4 y ? 0 的特解为 y1 ? e ?2 x , y2 ? xe?2 x 69、求微分方程 y ?4 ? ? 2 y ?? ? y ? 0 的通解。 求 y ?? ? 4 y ? ? 4 y ? x 的通解。y ?4? ? 2 y??? ? y?? ? 0 的通解。 71、求微分方程 y ?4 ? ? 5 y?? ? 36y ? 0 的通解。 72、求微分方程 2 y?? ? y? ? y ? 2e x 的通解。 73、求微分方程 y ?? ? a 2 y ? e x 的通解。 74、求微分方程 2 y?? ? 5 y? ? 5x 2 ? 2 x ? 1 的通解。 ?x 75、求微分方程 y ?? ? 3 y ? ? 2 y ? 3xe 的通解。 x 76、求微分方程 y?? ? 2 y ? ? 5 y ? e sin 2 x 的通解。 3x 77、求微分方程 y ?? ? 6 y ? ? 9 y ? ?x ? 1?e 的通解。 78、求微分方程 y ?? ? 4 y ? x c o s x 的通解。四、证明题 1．设函数 z ( x, y ) 由方程 F ( x ?2 3 2 3 2 3z z ?z ?z , y ? ) ? 0 所确定，证明： x ? y ? z ? xy y x ?x ?y2 32．试证：曲面 x ? y ? z ? a 上任意一点处的切平面在各坐标轴上截距的平方和等于常数 a2 . 3．设 f ( x, y) 是平面 D 上的连续函数，且在 D 的任何一个子域 ? 上，恒有?? f ( x, y)d? ? 0 ，则在 D 内 f ( x, y) ? 0D?4．设 f ( x) 在 ?0, a?(a ? 0) 上连续，试证： 2a a f ( x)dx? ?0 f ( x)dx?x f ( y)dy ? ? ? ? ? 0 ? ? b x b 1 n?2 f ( y )dy ? (b ? y ) n ?1 f ( y )dy 5．设 f ( x) 在 ?a, b? 上连续，试证： ? dx ? ( x ? y ) ? a a a n ?1 a26．设为 f 连续函数，证明：?? f (ax ? by ? c)dxdy ? 2?D 21?11 ? u 2 f ( a 2 ? b 2 u ? c)du,其中D为x ? y 2 ? 1, 且a 2 ? b 2 ? 0 7．设 f ( x, y) 在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，证明： ? 1 xf x? ? yf y? f (0,0) ? lim dxdy ，其中 D 为圆环域： ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 1 ? ?0 2? ?? x 2 ? y 2 D8.设 f (t ) 为连续函数，证明?? f ( x ? y)dxdy ? ?Da?af (t )(a ? t )dt,其中 D 为矩形域： x ?9．设 f ( x) ， g ( x) 均在 ?a, b? 上连续，证明柯西不等式：a a , y ? (常数 a ? 0) 2 2? b f ( x) g ( x)dx? ? ? b f 2 ( x)dx? ? b g 2 ( x)dx? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? ?a ?? ? ?a ? 10．设 f ( x) 为 ?0,1? 上的单调增加的连续函数，证明：2? ? xf0 1 01xf 3 ( x)dx2? ? ( x)dx ?10 1f 3 ( x)dx f 2 ( x)dx20N 2 2 ? 2N 2 e ? x dx ? ? ? e ? x dx? ? ? e ? x xdx ? ? ? ?0 ? 2 0 2 0 2 12．设曲线 L 是正向圆周 ( x ? a) ? ( y ? a) 2 ? 1 ， ? ( x) 是连续的正函数，证明： x ?L ? ( y) dy ? y? ( x)dx ? 2? a b 13．设 n ?1 ? n?1 , (n ? 1,2,?, an ? 0, bn ? 0) ,证明 an bn11．证明：?N(1)若?bn ?1?n收敛，则?an ?1?n收敛； （2）若?an ?1?n发散，则?bn ?1?n发散。14．设 an ? 0 且 {nan } 有界，试证?an ?1?2n收敛。15．若 lim n 2 a n ? c (c ? 0) ，试证n ???an ?1?n收敛。16．设 f 0 ( x) 在区间 ?0, a?(a ? 0) 上连续，而且 f n ( x) ? 证：无穷级数?x0f n?1 ( x)dx, x ? ?0, a?(n ? 1,2,?) ，试?fn ?0?n( x) 在 ?0, a ? 上是绝对收敛的。? f ( x) 1 ?0， 证明级数 ? f ( ) x