第四章光的衍射（Diffraction）方向会偏离直线传播，弯入到障碍物 的几何阴影中，并呈现光强的不均匀 分布的现象。光的衍射现象：光波在空间传播遇到障碍时，其传播When light passes through a narrow slit, it spreads out more than what could be accounted for by geometric construction. This is an example of diffraction. Diffraction can be defined as any departure from the predictions of geometric optics.123Diffraction? The phenomenon that the light waves tend to bend around and become spread out when they pass near a barrier is called diffraction. ? Diffraction of light occurs when a light wave passes by a corner or through an opening or slit that is physically the approximate size of, or even smaller than that light's wavelength.456Diffraction pattern of an icosahedral quasicrystal7Related Concept? The terms diffraction and scattering are oftenused interchangeably and are considered to be almost synonymous.? Diffraction describes a specialized case oflight scattering in which an object with regularly repeating features (such as a diffraction grating) produces an orderly diffraction of light in a diffraction pattern.8? In the real world most objects are verycomplex in shape and should be considered to be composed of many individual diffraction features that can collectively produce a random scattering of light.9衍射实验(Diffraction experiment)：Barrier? S Light source ScreenK光的衍射是光的波动性的主要标志之一。衍射与干涉的区别？10干涉和衍射的联系与区别：从本质上讲干涉和衍射都是波的相干叠加， 没有区别。 通常：干涉指的是有限多的子波的相干叠加， 衍射指的是无限多的子波的相干叠加，二者常常同时存在。 例如，不是极细缝情况下的双缝干涉，就应该 既考虑双缝的干涉，又考虑每个缝的衍射。11衍射屏例1.*S观察屏 不但光线拐弯, 而且在屏上出现 明暗相间的条纹。观察屏?a 衍射屏L? L例2.S ?*透过手指缝看日光灯， 也能看到衍射条纹。12屏幕 阴 影屏幕缝较大时，光是直线传播的缝很小时，衍射现象明显 131412刀片边缘的衍射圆屏衍射（泊松点）15? 不同的观察区域，有不同的观察结果。平行单色光 照到一圆孔 上，在孔板 后不同处的 面上观察光 的不同特点P1P2P3 P4直线传播近场衍射区远场衍射区16衍射现象的分类(Classification of light diffraction)：根据光源、衍射屏和观察屏三者之间的位置确定 （1）夫琅和费衍射(Fraunhofer diffraction)： 距离衍射屏远处的衍射。 （2）菲涅耳衍射（ Fresnel diffraction ）： 距离衍射屏近处的衍射。 K ? S17? 衍射的分类：光源 S *障碍物观察屏LBDP（1）菲涅耳（Fresnel）衍射 — 近场衍射L 和 D中至少有一个是有限值。 （2）夫琅禾费（Fraunhofer）衍射 — 远场衍射 L 和 D皆为无限大（也可用透镜实现）。? 这种分类上从理论计算上考虑的。菲涅尔衍射是普遍，而夫朗和费衍射仅是它的一个特例。 ? 由于夫朗和费衍射的计算要简单的多，因此把它 单归一类 ? “远”和“近”与衍射孔径D及波长?的相对大小 有关： –对一定的?，若D越小，衍射现象越明显。 –对一定的D，若?越小，衍射现象越不明显。 观察衍射现象一般都是在远处，且使? ～D （衍射现象明显）。 –当?/D→0时，波动光学 ? 几何光学 19§4-1.光波的标量衍射理论一、惠更斯－菲涅耳原理 1、惠更斯原理 (Huygens’ principle)：（1）波阵面的形成，（2）波面的传播方向。SDD' K光波通过圆孔的惠更斯作图法202、惠更斯－菲涅耳原理? 惠更斯原理（1678年）认为：波前上每一个点都可看做是发出球面子波的波源。 –不能说明在不同方向上波的强度分布菲涅尔1818年将惠更斯的子波概念修正为：1)波传到的任意点都是子波的波源； 2)各子波在空间各点进行相干叠加。 波所到达的任意点都可看作是能发出球 面子波的波源，空间中任意点P的振动 是包围波源的任意闭合曲面上发出的子 波在该点的相干叠加。S21P波阵面外任一点光振动应该是波面上所有 子波相干叠加的结果。Z Q R S?r?P?Z'图1 点光源S对P点的作用22? 衍射问题变成了一个无限多光束的干涉问题。 ? 处理问题的关键：计算波源到各面元之间及各面元到场点之间的光程差。e ikr dE( p) ? F (? ) E (Q ) dS r倾斜因子n dS Qeikr E ( p) ? ?? C ? F (? ) E (Q) dS r ?菲涅尔衍射公式·?rdE(p)· p23S(波前)设初相为零光源S在波面ZZ ' 上 任意Q点产生的复振幅： exp?ikR ? ~ EQ ? A ? R波阵面外任一点光振动应该是波面 上所有子波相干叠加的结果。Z Q R S?r P~ EQ 对P点的贡献为：~ ~ exp?ikr ? dE ?P? ? CK?? ? ? EQ ? d? r?Z'子波向P点的球面波公式子波法线方向的振幅子波振幅随?角的变化24Q点处的面光源d?对P点的作用： ~ ~ exp?ikr ? dE ?P ? ? CK ?? ? ? EQ ? d? r菲涅尔假设： 当? = 0 时，K(?)=Max, ?? p?? 时，K(?)=0.（实验证明是不对的）若S发出的光源振幅为A（单位距离处）CA ~ ?ikR??? K ??? e xp?ikr ? d? E ?P ? ? e xp R r ?求解此公式主要问题：C、K(?)没有确切的表达式。25二、菲涅耳－基尔霍夫衍射公式（确定了C、K(q))~ ? ? ikr ikr ~ ? ? ? ? 1 ? E e ? e ? E ( P) ? ? ??E ? ? ?d? ?? 4p ? ? ?n ? r ? ?n ? r ? ? ? ?亥姆霍兹——基尔霍夫积分定理26? ? A ikl ? E 1 ? A ikl ? 在 ? 上： E? e , ? cos( n , l ) ? ik ? ? e l ?n l? l ? ~~A为离光源单位距离处的振幅27基尔霍夫 (Kirchhoff) 从波动方程出发，用场论得出了 比较严格的衍射公式。? ? A e xp ikl ? e xp ikr ? ? cos?n, r ? ? cos?n, l ?? E ?P ?＝ ?? ? d? ? ? i? ? l r 2 ? ?～w'( n,l ) ? w r P其中，设定方向角 ( n, l ) 和 ( n, r ) 为?与 l 和 r 的夹角。S( n,r ) l RP点：由?多个虚设的子波源产生。w&28E ?P ?＝～?ikl ? ? e xp?ikr ? ? cos?n, r ? ? cos?n, l ??d? A e xp ? ? i? ?? l r 2 ? ? ?子波的复振幅与 cos?n, r ? ? cos?n, l ? K ( ?) ? 2 成正比，与波长 ?成反比。1 p ? i ? ? e xp[ ?i ] i 2 表示子波的振动位相超 前于入射波90?。29当光线接近于正入射时cos(n, l ) ? ?1, cos(n, r ) ? cos ?exp(ikl ) exp(ikR ) ? l R( n,l ) ( n,r ) ?? rP则 K ?? ? ?1 ?1 ? cos? ? 230将近似条件代入得到：菲涅耳－基尔霍夫衍射近似公式exp?ikR ? i ~ E ?P ? ? ? A 2? R???exp?ikr ? ?1 ? cos ? ?d? r( n,l ) ( n,r ) ??r PSR31三、基尔霍夫衍射公式的近似exp?ikR ? i ~ E ?P ? ? ? A 2? R???exp?ikr ? ?1 ? cos ? ?d? r1、傍轴近似（两点近似） ? ? (1) cos?n ? r ? ? cos? ? 1 (2)在振幅项中 1 1 ? r z11 K ?? ? ? ?1 ? cos ? ? ? 1 2 y1x1 Q r z1 Ky P xCP0 E孔径 ?的衍射32(3)设定孔径函数~ E ?x1 , y1 ?, d? ? dx 1dy 1exp(ikR ) ~ ~ 它在 ? 之外 E ?x1 , y1 ?＝0，在 ? 之内 E ?x1 , y1 ? ? A 。 R ? i ~ E ?x, y ? ? ? A? ? E ?x1 , y1 ?exp?ikr ?dx1dy1 ?? ?z yy1 x1进一步的计算需要将 exp( ikr )中的r表示成 (x,y,z)的函数。Q C z1 KrPxP0 E孔径 ?的衍射332.菲涅耳近似（对位相项的近似）r ? z1 ? ( x ? x1 ) ? ? y ? y1 ? ? z1 1 ?2 2 2?x ? x1 ?2 ? ? y ? y1 ?2z12 3 2? z1 ??x ? x1 ?2 ? ? y ? y1 ?22 z1?[?x ? x1 ? ? ? y ? y1 ? ] 228 z1? ....yr ? z12 2 ? x ? x1 ? ? ? y ? y1 ? ?y1 x1 Q C z1 K r2 z1Px近似条件： [?x ? x1 ? ? ? y ? y1 ? ]2 p ?? 3 4? z12 2P0 E34r ? z12 2 ? x ? x1 ? ? ? y ? y1 ? ?2 z1称为菲涅耳近似。得到菲涅耳衍射：e ikz1 ~ E ?x, y ? ? i?z1??? k ~ 2 2 ? E ?x1 , y1 ? exp ?i x ? x1 ? ? ? y ? y1 ? ?? ? 2 z1 y???y1? ? dx1 dy1 ?xx1 Q C z1 K rPP0 E353.夫琅合费近似继续展开r ? z12 2 ? x ? x1 ? ? ? y ? y1 ? ?2 z1? x1 x ? y1 y x 2 ? y 2 x1 ? y1 ? z1＋ ? ? ? ... z1 2 z1 2 z1? x1 x ? y1 y x 2 ? y 2 ? 取上式前三项 r ? z1＋ z1 2 z1x2 ? y 2 e xp[ ik ( z1 ? )] 2 z1 ~ E ?x, y ? ? i?z1 ? ~ ? k ? ? i ?xx1 ? yy1 ?? dx1dy1 ? ??? E ?x1 , y1 ?e xp? ? z1 ?2236菲涅耳衍射和夫琅和费衍射是两个经常应用的衍射计算。 菲涅耳衍射和夫琅合费衍射的判别式；? x k或者 Z&21?x ?x? y1 2z22?max?? p(菲涅耳衍射) (夫琅合费衍射)371? y1 ? ? y1 ?2? ?max22Z&1max本课内容回顾一、惠更斯－菲涅耳原理1、惠更斯原理 2、惠更斯－菲涅耳原理? CA e xp ikr ? ~ ?ikR??? K ??? E ?P ? ? e xp d? R r ?38二、菲涅耳－基尔霍夫衍射公式精确计算：E ?P ?＝～?ikl ? ? e xp?ikr ? ? cos?n, r ? ? cos?n, l ??d? A e xp ? ? i? ?? l r 2 ? ? ?近似计算：? ? i e xp ikR? e xp ikr ? ~ ?1 ? cos??d? E ?P ? ? ? A ?? 2? R r W39三、基尔霍夫衍射公式的近似? i ~ E ?x, y ? ? ? A? ? E ?x1 , y1 ?exp?ikr ?dx1dy1 ?? ?z1、菲涅耳近似（对位相项的近似）? k eikz ? ~ ~ 2 2 ? ? ? ? ? ? E ?x, y ? ? E x , y e xp i x ? x ? y ? y 1 1 1 1 ? ? ? ? ? i?z ? 2 z1r ? z12 2 ? x ? x1 ? ? ? y ? y1 ? ???? ? dx1dy1 ?2 z1402、夫琅合费近似1 x2 ? y 2 ~ E ? x, y ? ? e xp[ ik ( z1 ? )] i?z1 2 z1 ? ~ ? k ? ? i ?xx1 ? yy1 ?? dx1dy1 ? ??? E ?x1 , y1 ?e xp? ? z1 ?? x1 x ? y1 y x 2 ? y 2 r ? z1＋ ? z1 2 z141DefinitionFraunhofer diffraction refers to parallel, collimated light (far-field diffraction).In Fresnel diffraction, the light need not be parallel (near-field diffraction). Fresnel diffrac it includes Fraunhofer diffraction as a special case. But Fraunhofer diffraction is so much easier to discuss that it is customarily presented first.42FraunhoferJoseph von Fraunhofer (), German. After working for a while as a lens grinder and apprentice optician, he became a partner in an optical company that made precision theodolites, professor at the University of Munich, and was knighted by King Maximilian of Bavaria. In his short life (died of tuberculosis at age 39), he produced large-aperture telescope lenses, exceptionally well corrected for spherical and chromatic aberration, ruled precision gratings and discovered their use for spectroscopy, and found that the spectrum of the sun is crossed by dark 43 lines since named Fraunhofer lines.FresnelAugustin Jean Fresnel (), a nineteenth century French physicist. He studied mathematics, th he went into optics later. He is best known for the invention of unique compound lenses designed to produce parallel beams of light, which are still used widely in lighthouses. In the field of optics, Fresnel derived formulas to explain reflection, diffraction, interference, refraction, double refraction, and the polarization of light reflected from a transparent substance. 44Huygens’ principle? Huygens’ principle states that each point ona wavefront may be considered the origin ofnew, secondary wavelets, these formanother wavefront, and so on. In this waythe wave moves forward.45HuygensChristiaan Huygens () - Christiaan Huygens was a brilliant Dutch mathematician, physicist, and astronomer who lived during the seventeenth century, a period sometimes referred to as the Scientific Revolution. Huygens, a particularly gifted scientist, is best known for his work on the theories of centrifugal force, the wave theory of light, and the pendulum clock. His theories neatly explained the laws of refraction, diffraction, interference, and reflection, and Huygens went on to make major advances in the theories concerning the phenomena of double refraction 46 (birefringence) and polarization of light.§4－2 .典型孔径的夫琅合费衍射一、衍射系统与透镜作用1、透镜的作用：无穷远处的衍射图样成象在焦平面上。2 2 夫琅合费衍射对z的要求 ?=600nm, x1 ? y1? x z ??21? y1 ?2???2 ? 2 cm maxmax? 330m(x,y) L2 P(x1,y1)L1 Sf夫琅合费衍射装置47加有透镜之后，衍射公式如何变化？2、夫琅合费衍射公式变化? k ? ~ E ?x, y ? ? C ? ? E ?x1 , y1 ?e xp?? i ?xx1 ? yy1 ?? dx1dy1 ? z1 ? 1 x2 ? y2 e xp[ ik ( z1 ? )] 其中 C ? i?z1 2 z1 可以写成E ?x, y ? ? C ? ? ? ? x y ?? ~ E ?x1 , y1 ?e xp?? ik ? ? x1 z ? y1 z ? ?? dx1dy1 1 1 ?? ? ?48在无透镜时，观察点为P’；有透镜时，在透镜焦平面 上为Px? z1 ? ? ? x f ?在傍轴近似下，公式中 Z1 由 f ' 代替。计算公式变为：E ?x, y ? ? C ? ?e xpx2 ? y2 [ ik ( f ? ? )] 2f?? ? x y ?? ~ E ?x1 , y1 ?e xp?? ik ? ? x1 f ? ? y1 f ? ? ?? dx1dy1 ?? ? ?(x, y )p' (x', y' ) x x'C?i? f ?f'?pz149二、夫琅合费衍射公式的意义 加有透镜之后，有两个因子与透镜有关：1 x2 ? y2 e xp[ ik ( f ? ? )] （1）复数因子 C ? i?f ? 2f? 2 ? y2 x ? f ?2 ? ? 其中 f ? ? x 2 ? y 2 ?? CP ? r 2f? 结论：若孔径很靠近透镜，r 是孔径原点O处发出的子 波到P点的光程，而 kr 则是O点到P点的位相延迟。P(x,y ) P(x1,y1) Q r?C? H O ?f'50（2）位相因子 孔径上其它点发出的光波与O 点的光程差： x y ?＝OH＝OP ? QP ? OQ ? q ? x1 sin? x ? y1 sin? y ? x1 ? y1 f? f? 而位相差 恰好是积分中的位相因子，它表示 2p ? x y ? 孔径上各点子波的位相差。 ? x1 ? y1 ? ? ? ? f? f ?? ?I 光程差：?＝OH， ? H O x y ?x ? , ? y ? ? f? f?P(x,y )P(x1,y1) Qr?CP0f'51夫琅合费衍射公式的意义（总结）E ?x, y ? ? C ? ? ? ? x y ?? ~ E ?x1 , y1 ?e xp?? ik ? ? x1 f ? ? y1 f ? ? ?? dx1dy1 ?? ? ?1 x2 ? y2 C? e xp[ ik ( f ? ? )] i?f ? 2f?O点到P点的位相延迟孔径上其它点发出的 光波与O 点的位相差。积分式表示孔径上各点子波的相干叠加。叠 加结果取决于各点发出的子波与中心点发出 子波的位相差。52三、矩孔衍射 (Diffraction by a rectangular aperture)1、强度分布计算 （Intensity distribution calculation）设矩形孔的长和宽分别为 a 和 b，用单位平面波照射，即y1bax1?1 ~ E ?x1 , y1 ? ? ? ?0在矩孔以内 在矩孔以外a b53? ~ ? ? x y ?? ~ E ?x, y ? ? C ? ? E ?x1 , y1 ? exp?? ik ? ? x1 f ' ? y1 f ' ? ?? dx1dy1 －? ? ?? ?设x y l? , m? f? f?~ E ?x, y ? ? C ? 2a ? 2b exp?? ik ?lx1 ? my1 ??dx1dy1? 2 ? 2ab54~ E ?x, y ? ? C ? 2a ? 2b exp?? ik ?lx1 ? m y1 ??dx1 dy1? 2 ? 2ab? C ? exp?? iklx1 ?dxa 2 a ? 2b 2 1 b ? 2?exp?? ikm y1 ?dy1? kla ? ? km b? sin ? ? sin ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? Cab ? kla ? ? km b? ? ??? ? ? 2 ? ? 2 ? kla px km b py ~ 若令： ?＝ ＝ a, ? ? ? b, 和E0 ? abC 2 ?f ? 2 ?f ?~ ~ sin? sin? ? 则 E ?x, y ? ? E0 ? ?552、强度分布特点? sin ? ? ? ? ? 先讨论沿y轴方向的分布。2? sin ? ? I＝I 0 ? ? ? ? ?2? ? ? , I 0 ? E0 ?I/I01.022? ?Cab ?2在Y轴上， ? sin ? ? ? ? 0, ? ? ?1 ? ? ? 故：? sin ? I y＝I 0 ? ? ? ? ? ? ? ?20.80.60.40.2（1）主极大值的位置：0.0当? =0时，I有主极大值 Imax＝I0，-10-2-5 p -p0p25p10?56? sin ? I y＝I 0 ? ? ? ?? ? ? ?2（2）极小值的位置：I/I01.0当?=np, n=+1,+2,…时，即0.8pyb ?f ? ? np , y ? n ?f ? b I=0,有极小值。 主极大值的宽度：0.6 0.4 0.2?＝ ? p ?f ? Y＝2 b0.0 -10-2-5 p -p0p5 2p10?57（3）次极大值的位置：对于其它的极大值点，有d ? sin ? ? ? ? ? 0，即 tg? ? ? ? ? d? ? ? ?21.00.8?可用作图求解。 注意：次极大值位置 不在两暗纹的中间。 （4）暗条纹的间隔0.60.40.2-1.43p -2.45p-101.43p 2.45p00.0?f ? e? b? ?p e e ?p-5p5?p10?Y=2 e58（5）沿X轴与 Y 轴有同样的分布：0 .8? sin ? ? ? sin ? ? ? I ? I0 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?220 .60 .40 .2衍射在 X轴呈现与 Y 轴同样 的分布。在空间的其它点上， 由两者的乘积决定。40 600 020406020M0.00220.0470.00220.047 0.0.047 0.002259方孔菲涅耳衍射6016四、单缝衍射 (Diffraction by a single slit) 1. 光强分布计算 （Intensity distribution calculation） 已知矩孔衍射的强度分布：~ ~ sin? sin? E ?x, y ? ? E0 ? ? ?x y11b y1 x 1px py a, ? ? b 其中 ?＝ ?f ? ?f ?a61当b&&a时，矩孔变为狭缝， 此时，入射光在Y方向上的衍射效应 可以忽略。 因此单缝衍射的分布为? sin ? ? I ? I0 ? ? , ? ? ?2kla p ?? ? a sin ? 2 ?622. 光强分布特点 衍射条纹与中央条纹 因为?较小，sin?=x/f’=?? 中 央极大条纹的角半径半宽度： ?0＝? a e0 ? ? ? f ? aP(y1) r???102e0x P(y)ye00 0.5 163Of'红光紫光白光64sin? ? Δ x / f明纹暗纹的图示中央亮纹的半角宽?1f?x65讨论：由? sin? ? I ? I0 ? ? ，可得到以下结果： ? ? ?2(1) 主极大（中央明纹中心）位置： si n? ? 1 ? I ? I 0 ? I max ? ? 0处，? ? 0 ? ? (2) 极小（暗纹）位置： ? ? ? kp，k ? 1,2,3?时， sin ? ? 0 ? I ? 0 p a si n? ? ? ? ? kp ? a sin ? ? ? k? 由 ? 一致 或由 N? ? ? ?2 kp ? a sin? ? ?k?66这正是缝宽可以分成偶数个半波带的情形。(3) 次极大位置： 满足dI ? 0 ? tg ? ? ? d?yy1 = tg?·-2p·2py2 = ?·-2.46p·-p· 0p?-1.43p +1.43p +2.46p 0 相应 : a sin? ? ?1.43? , ? 2.46? , ? 3.47? , ?67? 22 .46p， ? 3.47p， ? (4) 光强：将 ? ? ?1.43p，? sin? ? I ? I0 ? ? ， 依次带入光强公式 得到从中央往外各 ? ? ?次极大的光强依次为 0.0472I0 ， 0.0165I0， 0.0083I0?1 I / I0相对光强曲线I次极大 && I主极大0.017 0.047?20.047 0.017 0? a2?a??a?asin?68(5) 条纹宽度① 中央明纹宽度 对于近轴近似， 角宽度 ?? 0 ? 2? 1 ? 2观测屏 衍射屏 透镜??a???1x2 x1 0?x?x0?? 0If ? ? ? 线宽度 ?x0 ? 2 f ? tg? 1 ? 2 f? 1 ? 2 f a a ② 其他明纹（次极大）宽度 单缝衍射明条 ? 1 k? ? ?x ? f ? ?x0 xk ? f sin ? k ? f 纹宽度的特征 a 2 a中央亮纹的边缘对应的衍射 角?1，称为中央亮纹的半角宽（6）波长对条纹间隔的影响（7）缝宽变化对条纹的影响?x ? ? — 波长越长，条纹间隔越宽。??当缝极宽 a ? 0 时，各级明纹向中央靠拢，密集得无法 分辨，只显出单一的亮条纹，这就是单缝的几何光学像。 此时光线遵从直线传播规律。 ?当缝极细（a ? ?）时， sin ?1?1，?1 ?p/2 衍射中央亮纹的两端延伸到很远很远的地方,屏上只接到中 央亮纹的一小部分(较均匀),当然就看不到单缝衍射的条纹 70 了。这就是我们前面只考虑干涉，不考虑缝的衍射的缘因（8）若单缝偏离光轴，由 于入射角不变，所以衍射条 纹不变。 单缝衍射条纹沿与缝长正 交方向延伸Y YBa?p ·?0fAδEXSL1XAL271（9）若光源偏离光轴，这 时为平行光非垂直入射。 在缝前造成的最大光程差 为 asini ，其结果使得衍射 条纹偏离光轴。BiA0f用缝光源代替点光源后， 衍射条纹为竖条纹。72五、夫琅合费圆孔衍射(Fraunhofer diffraction by a circular aperture)1、光强分布：2设圆孔半径为a，则孔径函数变为2当 x1 ? y1 ? a 当 x1 ? y1 ? a 直角坐标变极坐标： X2 2变为极坐标r?a r?aX? x1 ? r1 cos ?1 ? ? y1 ? r1 sin ?11L2 ?? r1 Y1 ? Y73? x ? r cos? ? ? y ? r sin? dx1dy1 ? r1dr1d? 1?? r代入夫琅合费衍射公式E ?x, y ? ? C ? ?? ? x y ?? ~ E ?x1 , y1 ?e xp?? ik ? ? x1 f ? ? y1 f ? ? ?? dx1dy1 ?? ? ?得到极坐标夫琅合费衍射公式：? ? r ~ 2p a E ?r，? ? ? C ?0 ?0 exp?? ik ?r1 cos? 1 cos? ? r1 sin ? 1 sin ? ?? f' ? ? r1dr1d? 1 设r/f’ =? 得到：2p a ~ ?? ik?r1 cos(?1 ? ?)?? r1dr1d?1 E ??，? ?＝C ? ? e xp 0 0742p a ~ ?? ik?r1 cos(?1 ? ?)?? r1dr1d?1 E ??，? ?＝C ? ? e xp 0 0其中?2p0?? ik?r1 cos(?1 ? ?)?d?1 ? 2pJ 0 ?kr1?? e xpJ 0 ?kr 1?? 是零阶贝赛尔函数~ E ??，? ? ? ?0a r1 2pJ 0 ?kr1? ?dr1 ? 2pk?a ?0?kr1? ?J 0 ?kr1? ?d ?kr1? ? ?其中应用了递推公式 即有a? xJ ?x?dx ? tJ ?x?t 0 0 1k?a 1 1 0?k? ?21? ?kr ? ?J ?kr ? ?d ?kr ? ? ? ?0 1 0xJ 0 ?x ?dx ? ka?J 1 ?ka? ?752p a ~ ?? ik?r1 cos(?1 ? ?)?? r1dr1d?1 E ??，? ?＝C ? ? e xp 0 0最后得到2 J 1 ?ka? ? ~ 2 E ?? ,? ? ? pa C ka?其中 pa 2 是圆孔面积，设 I( ? ) ? I0 ? ?2 ? ? ? ? 2 J 1 ka ?I 0 ? (pa 2C ) 2X L2X1 ??ka???? rr1? Y?? rf'Y1762.衍射图样? 2 J1 ? z ? ? I ( z) ? I0 ? ? 其中：z = ka?? ? z ? J1 ( z ) 1 ? , I ? I 0 , 在中心有极大强度点。 当z=0， lim z ?0 z 2 当z ? 0，J1 ( z) ? 0时，I＝0， 出现暗环位置。21.0出现次级极大的位置是0.8d ? J1 ? z ? ? J 2 ?z ? ?? ?0 ? ? dz ? z ? z0.60.40.2由二阶贝赛尔函数的零点决定。0.0 -10 -5 0 5 1077结论：相邻暗环间隔不等， 次极大光强比中央极大小 得多。 其中中央亮斑称为爱里斑，1.00.80.60.4它的半径满足：z0=1.22p,即r0 z 0 ? ka? 0 ? ka ? 1.22p f?0.20.0 -10 -5 0 5 10爱里斑的半径：0.61? r0 ? f? a2r0783、椭圆的衍射图样 (Diffraction pattern)衍射屏衍射图样79Homework1. A single-slit, illuminated by red light of 600nm wavelength, gives first-order Fraunhofer diffraction minima that subtend angles of 4o with the optic axis. How wide is the slit?80§4－4光学成像系统的衍射和分辨本领(Diffraction and resolving power of an optical system)一、理想光学系统的衍射现象 1、定性解释：SLDS’RL1SDL2S’R812、公式推导：(x1,y1)M M’xrqP’0 zQ P0 ? RyA ~ E ?x, y ? ? e i?Rik 2 2 (x ?y ) 2R?????? k ? exp?? i ?xx1 ? yy1 ?? dx1dy1 ? R ?823、结论：一个无像差光学系统，对于物点所成的像也不是一个点 而是一个衍射光斑。这个衍射光斑中的光强分布与系统 孔径的夫琅和费衍射图样完全相同。设光学系统通光孔的直径为D，它产生的爱里斑的半径：r0 ? 1.22? f? D当对点源成象时，衍射斑纹在其像面上，爱里斑的半径r0 ? 1.22? R， D R为出瞳距。834、星点检验装置：检验透镜的成像质量聚光镜 星点 （针孔） PS 0L1被测透镜显微镜SP’0 S’R84二、光学系统的分辨本领 （Resolving power of an optical system）光学系统的分辨本领是指光学系统分辨细微结构的能力。1.5LS1 S21.0S’20.5S’10.0 0 5d1015851.00.8LS1 S20.6S’2 S’10.40.20.0 0 2 4 6 8 10 121.5LS1 S2S’2 S’11.00.50.0 0 2 4 6 8 10 1286相对光 1 强曲线0I / I0sin? 1.22(?/D)爱里斑集中了约 84% 的 衍 射光能。圆孔的夫琅禾费衍射87小孔（直径D）对两个靠近的遥远的点光源的分辨点光源距 离较大 可分辨符合 瑞利 判据点光源距 离太小 不可分辨 88刚可分辨 非相干叠加不可分辨瑞利判据： (Rayleigh criterion) 对于两个等光强的非相干的物点，如果 一个象斑的中心恰好 落在另一象斑的边缘 （第一暗纹处），则此两 物点被认为是刚刚可以分辨的。透镜的分辩本领物点 ? 象点 几何光学： 物(物点集合) ? 象(象点集合) 波动光学 ： 物点 ? 象斑 物(物点集合) ? 象 (象斑集合)90( 经透镜 )( 经透镜 )衍射限制了透镜的分辨能力。1、瑞利判据（Rayleigh’s criterion）当一个象点的衍射光 斑主极大和另一个像 点的衍射的第一极小 值重合时，两个像点 刚好被分开。1 0.811.00.80.60.40.20.0 0 2 4 6 8 10 12912、几种常见的光学系统的分辨本领（1）望远镜的分辨本领1.22? 2?＝? 0＝ D 望远镜的作用 ?2? ? ? ? ? 60''(角度的放大)S12? S292望远镜：? 不可选择， 可 ? D ?? R▲ 世界上最大的光学望远 镜： D = 8 m建在夏威夷山 顶， 1999年建成 ▲世界上最大的射电望远 镜： D = 305 m，建在波 多黎各岛。能探测射到整个地球表面仅10 -12W的功率，也可探测引力波。93（2）照像物镜的分辨本领? ?＝f '? 0 ? 1.22 ? f '? ? D1 D R? ? ? ? 1.22 f ' ??线对 / m m?若取??550nm,则R=1490D/f’ D/f’为物镜的相对孔径94（3）显微物镜的分辨本领?? 0.61? n sin u显微物镜DS’2 ?S1 ??’2u’ S’1 l’S295Homework (12-4)? A diffraction-limited telescope with a 7.6cmaperture is aimed at a target 12.5km away. Assuming light of 500nm wavelength and neglecting air turbulence, what size details can be resolved by the telescope?96Rayleigh’s criterion? Diffraction limits the resolvance (resolvingpower). Consider two nearby stars. Only when the diffraction patterns of these two stars are separate will the stars appear separate. When the central maxima fuse, the two stars appear as one when the central maximum of on star coincides with the first minimum of the other, resolution is marginal, a condition called Rayleigh’s criterion. 97§ 4－ 5多缝的夫琅合费衍射一、双缝衍射 （Double-slit diffraction） 1、实验装置：L1a x1L2 xSy1 d yP982、强度计算：E ? x, y ? ? C ??? ???? ? x y ?? E ( x1 , y1 ) exp?? ik ? ? x1 f ? ? y1 f ? ? ?? dx1dy1 ? ?? ?~ ? ~ ? ? ? E y ? C ? ? E ?y 1 ? exp(?ikmy 1) dy 1 ? Cd a ?( ? ) ? d2 a 2 ?( ? ) 2 2exp(?ikmy 1) dy 1 ? Cd a ( ? ) ? d2 a 2 ( ? ) 2 2exp(?ikmy 1) dy1kma sin d 2 ? 2aC cos(km ) kma 2 299设? ?kma , 2I 0 ? ( aC ) 2 ? 2 kmd ? ? cos ( 2 ) ?2? sin ? I ( y) ? 4I 0 ? ? ? ?? ? km d ? kd sin ?是双缝对应 P点的位相差狭缝1y Pd狭缝2? f100双缝衍射是单缝衍射和双缝干涉的组合3、条纹分析? sin ? I ( y) ? 4I 0 ? ? ? ?1? 2 km d ? ( ) ? cos 2 ? y cos ?2 i i22kmd cos ( ) 22y0.50150 ? 215? sin ? ? 4I0 ? ? ? ? ? ? ?2z10.5065ki(4 4 ? y ) i ? zi3210 ?1234564I ( y)k i 4z i 20050100d ? 3a150 i20025010130双缝衍射的强度分布杨氏双缝干涉强度分布单缝衍射强度分布I ?双衍sin ? 2 2 ? 4 I m单衍 ( ) cos ? ?衍射因子I ? ? 4 I 0 cos ? sin ? 2 I ?单衍 ? I m单衍 ( ) ?2干涉因子其中 ? ? pd sin ? ?pa sin ? ?? ?I m ? 4 I m单衍I ?双 衍I?ap sin ? sin 2 2 dp sin ? ? ? 4 I m单 衍 ( ) cos ( ) m ap sin ? ? ?I双缝干涉单缝衍射双缝衍射结论：（1）双缝衍射的强度曲线是单缝衍射强度对 双缝干涉强度进行调制的结果这种调制表现在以变化的I ?单衍代替了不变的 4I0（2）在 a ?? ? 时，双缝衍射的强度分布情况变为理想 的杨氏干涉的强度分布情况pa sin ? ?? ?0 ?I ?双衍sin ? 2 2 ? I m双衍 ( ) cos ? ? ?I ? ? I m cos ?2105双缝衍射明暗条纹的位置 极小值的位置 双缝干涉的极小（两束光位相相反）? d sin ? ? ( 2k ? 1) ? k ? 0,?1,?2 min( 1) 2单缝衍射的极小 （ 两束光迭加，强度为零）a sin ? ? m? ?m ? ?1,?2?min ?(2)极大值的位置双缝干涉的极大d sin ? ? k? ?k ? 0,?1,?2?max?(3)单缝衍射的极大在此无意义注意：若两束光既满足（3）式，又满足（2）式，即：a sin ? ? m? ??m ? ?1,?2??min ?(2)d sin ? ? k? ??k ? 0,?1,?2??max?(3)强度为零的衍射光相干，相长干涉的强度仍为零—缺级。( 2) m a 缺级条件：( 3) ? k ? d? 为整数比时缺 k 级如m a 1 ? ? k d 3?缺第 3 级明纹，还缺 6、9、12 ???4? 2 ?1 0124例、已知 D ? 50cm, ? ? 480nm, d ? 0 ? 1mm , a ? 0 ? 02mmxd ?a?b?1求：D（1）双缝衍射相邻两条明纹间距 （2）包络线中的‘x’ （3）双缝衍射的第 1 级明纹的相对强度 （4）中央明纹的包线中，共包含了 几条完整的明纹？ （5）中央明纹包线中恰好11 条明纹，如何设计 a 、 d ? 解：（1）： ?x ?? （2）： x ? Dtg?1 ? D sin ?1 ? D a ? 12mmD ? d? 2 ? 4mm（3）双缝衍射的第 1 级明纹的相对强度sin ? 2 2 根据 I ? ? I m ( ? ) cos ? I? sin ? 2 ?( ) cos2 ? 根据题意： Im ?pd sin ? ?? ? pa sin ? ?? ?d sin ? ? 1?? sin ? ? d?pa 0 ? 02 p ? p? p? d 0?1 5I? Imp sin 2 2 5 ?( ) (cos p ) ? 86% p 5（4）中央明纹的包线中，共包含了 几条完整的明条纹？? 包线的第一极小的衍射角：a sin ?1 ? k? ? sin ?1 ? a设中央明纹中共有 k 级明纹 d sin ?1 ? k? ? d 0?1 d ? k? ?k? ? ?5 (第 5 级缺级 ！） a a 0 ? 02 包含了 2 ? 4 ? 1 ? 9 条明条纹 （5）若要中央明纹的包线中恰好 有 11 条明纹，应 如何设计 a 、 d ?? d sin ? ? ( 2k ? 1) ??( 2) 2 (k (1) a 2 : ? ( 2) d 11a sin ? ? m? ??(1)?( m ? 1)k ??? 5! )3、瑞利干涉仪（Rayleigh interferometer）L1 DL21级 0级 -1级SL1 SDB1L22级 1级 0级qeeB2?=(n2-n1)l=q?111二、多缝衍射（Multiple-slit diffraction）a…...d N个夫琅和费单缝衍射的叠加。1121131141151.光强分布： 每个单缝：设 sin? ? y f? sin? ? ~ E＝E0 ? ? ? ? ? ? ?aky ka ?＝ ? ? sin? 2f 2相邻两个缝中心之间到P点的光程差?＝d si n? 2p 位相差： ? ? d si n? ?rd ? ?yP(由双缝衍射的结果 引申到此）f'116合成的振幅为：~ ~ sin? ~ sin? i? ~ sin? i 2? ~ sin? i ( N ?1)? E＝E0 ? E0 e ? E0 e ? ... ? E0 e ? ? ? ? iN? sin ? ( 1 ? e ) ~ ~ sin? i? i 2? i ( N ?1) ? ? E ? ? E0 [1 ? e ? e ? ... ? e ] 0 i? ? 1 ? e ?~ sin? eiN? / 2 (e ?iN? / 2 ? eiN? / 2 ) ? E0 ? i? / 2 ?i? / 2 i? / 2 ? e (e ?e )~ sin ? sin(N? / 2) i ( N ?1)? / 2 ? E0 ? e ? sin ?? / 2?117所以P点处光强度为：sin ? 2 sin(N? / 2) 2 ~ ~* I ? EE ? I（ ） ?[ ] 0 ? sin ?? / 2?sin? 2 光强度由两个因子决定： （ ） ?是单缝衍射因子，sin(N? / 2) 2 [ ] 是多缝干涉因子。 sin ?? / 2 ?1182、条纹分析sin ? 2 sin(N? / 2) 2 ~ ~* I ? EE ? I（ ） ?[ ] 0 ? sin ?? / 2?（1）干涉因子的影响 1）主极大值条件： 2p ?? d si n?＝2mp ? 时 当 d si n?＝m?sin(N? / 2) 2 [ ] ? N2 sin ?? / 2?在?方向上产生极大，极值为：I r max sin? 2 ? N I（ ） 0 ?21192）极小值条件：sin(N? / 2) 2 [ ] sin ?? / 2 ?m' 时 ＝(m ? )p ?m' ? 1,2, ? N ? 1? 当 2 N m' d sin ? ? (m ? )? ?m' ? 1,2, ? N ? 1? N?有零值，且在两主极大间有N-1个零值 主极大的半角宽度：?? ??Nd cos ?1203）次极大的个数与强度：在两个极大之间有N－1个零点，有N－2个次级 极值。? si n (N ) 2 2 ? si n ( ) 2 2y z f 1020N=4020 x 224121（2）衍射因子的影响1? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ?2z0.506543210 ?123456（3）缺级现象及条件：?d ? m ? n? ? ?a?（4）缝数对条纹分布的影响：122§4－6 衍射光栅 ( Diffraction gratings )一、概述：光栅：能对入射光波的振幅或相位进行空间周期 性调制，或对振幅和相位同时进行空间周 期性调制的光学元件。光栅光谱：光栅的夫朗和费衍射图样。 光栅分类：振幅型和相位型（按调制方式） 透射型和反射型（按工作方式） 平面型和凹面型（按工作表面） 机刻光栅、复制光栅、全息光栅（制作方法）光栅作用：分光作用。123反射光栅 透射光栅 光栅的种类： 光栅最早由 d d Rittenhouse发明， 此后夫琅禾费又在 1819年独立制成。 闪耀光栅 光栅常数 光栅常数是光栅空间周期性的表示。 设：a是透光（或反光）部分的宽度， b 是不透光（或不 反光）部分的宽度，则： d = a+b ? 光栅常数普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm， 用电子束刻制可达数万条/mm(d ?10-1?m)。124二、光栅的分光性能 1、光栅方程（The grating equation）正入射时： ?＝d sin ? ? m? 修正式：?＝d (sin? ? sin i) ? m?R1idR1光栅面法线d i光栅面法线?R2?R2?＝d (sin? ? sin i) ? m??＝d (sin? ? sin i) ? m?符号规则：光线位于光栅面法线异侧，取“-”号；反 125 之，取“+”号2. 光栅光谱与色散（衍射角与波长变化的关系）d sin ? ? m?体现了衍射角?与?的关系光栅光谱线：多色光的各级亮线。 ?1?2& ?1-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4123126123由光栅光谱图可见： 1）白光经光栅产生的光谱只有0级重合，其他各级 均彼此分开； 2）波长长，衍射光谱谱线间隔宽； 3）谱线级次越高，色散越大； 4）有越级现象。127角色散：波长相差1埃的两条谱线之间的角距离d? m ? d? d cos ?线色散：焦平面上，波长相差1埃的两条谱线之 间的距离。dl d? m ? f? ? f? d? d? d cos ?说明几点：128光栅的自由光谱范围： 若??的光谱范围内，可以观察到互相分开的谱线。此时，m (m ? 1)? ? m(? ? ?? )??＝??只与?和m有关?129I0 单 单缝衍射光强曲线I单-2-1N20例 N ? 4 , d sin ?4 ?asin2N?/sin2?12(?/a)多光束干涉光强曲线-8-40I N 2 I0 单4单缝衍射 轮廓线sin? 8 (?/d)光栅衍射光强曲线-8-4048sin? (?/d)130缺级19个明条纹缺级单缝衍射和多缝衍射干涉的对比 （d =10 a）1313、光栅分辨本领 (Resolvance of a grating)是指分辨两个很靠近的谱线的能力。 根据瑞利判据，当?＋ ? ? 产生的 谱线的位置落在?的同级 谱线的零点上时， 两个谱线刚好被分离。 已知m级谱线? sin ?m ? m d1.0 0.80.60.40.20.0 0 2 4 6 8 10 12（1）?????132它的零点位置：d [sin(? m ? ?? )] ? (m ? 1 )? N（2）sin?? ? ??, cos ?? ? 1133（2）-（1）则有：?? ??N ? d cos? m(谱线的角半宽度)??就是光栅所能分辨的最 小角度，? 故??对应的波长差为： ??＝ mN通常定义 ? ??为光栅的分辨本领 A＝? ??＝mN , ( F ? P, A ? mN , N ? 0.97 s) m是干涉级次，N是光栅的总栅数。134三、几种典型光栅 （一）平面光栅 1、光栅的光强分布sin(N? / 2) 2 I ? I（ ） ?[ ]（零级谱线与中央衍射 重合） 0 ? sin(? / 2)2sin ?p 其中 ?＝ a ? sin ? ?衍射调制谱线位置135? ?2p?d sin ?2.光栅方程 3.角散色：d sin ? ? m ?由干涉项决定的。m ?? ＝ ?? d cos?( 波长每增加一个A 0，产生的??变化)4.分辨本领：? A＝ ＝mN ??136A=mN问题：A大时，m值应大，但I 变小（能量损失）。干涉谱线几乎没有多少能量了。解决的方法是： 1） 将衍射的极大方向变换到高级谱线上。（闪耀光栅）2） 增大光程差，提高衍射级次。（阶梯光栅）137（二）平面定向光栅（闪耀光栅）刻划面法线光栅面法线与刻划 面法线分开，使光强 度的分布发生改变。g栅面法线g??光强度分布 最大的方向i?i ? a d衍射面1、光强度分布最大的方向 满足反射定律：?=?2、衍射级次应由光栅方程决定由 ?＝d (sin? ? sin i) ? m? , 知衍射零级方向为 ? ?i1383、光栅闪耀角g的控制i ? ? ? g ? ? ? g ? ? ? 2g刻划面法线栅面法线 光强度分布 最大的方向代入光栅方程g g? i? ?0级衍射面d (sin? ? sin i)＝m?a d整理得： 2d sin g cos(i ? g )＝m?式中?、m为要求具有最大光强的波长（闪耀波长）和 级次，根据给定的d和i可求得 g 。1394、实例：刻划面法线光强度分布 最大的方向如果选择“自准条件”入 射，即i=g（沿刻划面法线 入射），则有?=?=0。 光栅方程变为2d sing＝m?g栅面法线g? i? ?0级衍射面a d当m＝1时，对应?=?B称为闪耀波长，此时光强最大值 正好分布在衍射的1级光谱上（在g方向上）对?B 的一级光谱闪烁的光栅对?B /2的2级光谱和 ?B /3的3 级光谱也闪耀。140应用时是根据?B，确 定g，由于中央衍射有 一定的宽度，所以闪4 耀波长附近的谱线也 k i 有相当大的强度，因 2 4z i 而闪耀光栅可用于一 定的波长范围。 00ki ( 4? y ) i ? zi50100?B(中心波长)150 i20025030141（三）阶梯光栅 （用阶梯形状达到增加光程的目的）?组成 ?基本参数 ?种类a入射光? ?a? ?入射光h透射式阶梯光栅h反射式阶梯光栅142光程差构成：1）偏转?产生的程差?1＝a sin? ? a?2）玻璃厚度产生的程差 ? 2 ? h( n ? 1)a入射光? ?? ＝?1 ? ? 2 ? h(n ? 1) ? a?h透射式阶梯光栅143a? ?入射光? ＝? 2 ? ?1 ? 2h ? a?h由于h较大，m很大， 分辨本领很大。反射式阶梯光栅144例：设一个有20个阶梯的光栅，h=1cm, n=1.5, ?=500nm,透射光在法线方向上的衍射级次和分辨本领：m?(n ? 1)h??0.5 ?1?10?2 5 ?10?7? 104A ? mN ? 104 ? 20 ? 2 ?105反射光在法线方向上的衍射级次和分辨本领：m?2h?? 4 ?104A ? mN ? 8 ?105145（四）正弦光栅 （振幅型、位相型）若透射系数t(x1)按余弦或正弦函数变化的光栅称为正 弦光栅。对振幅型正弦光栅，它的振幅透射率：2p t ( x1 ) ? 1 ? B cos x1 dt(x1)Imax用一个单位振幅平面波垂直 照明光栅时，出射光栅的振 幅为： Idmin146 1x2p ? x1 在光栅内 ~ ?1 ? B cos E ( x1 ) ? ? d ?0 在光栅外 ? 2p ? ? x ? ? ? ?1 ? B cos x1 ?rect? 1 ? d ? ? ? Nd ?其夫琅和费衍射的复振幅分布：?? 2p ? ~ ? x ?? E ( x) ? ???1 ? B cos x1 ?rect? 1 ?? d ? ? Nd ?? ?? 2p ? ? ? x ?? ? ? ??1 ? B cos x1 ? ? ??rect? 1 ?? d ? ? ? ? Nd ?? B B ? ? ? ?? (u ) ? ? (u ? u0 ) ? ? (u ? u0 )? ? Nd sincNdu 2 2 ? ? B B ~ E ( x) ? Nd[sincNdu ? sincNd (u ? u0 ) ? sincNd (u ? u0 )] 2 2 x sin ? 1 式中 u ? ? , u0 ? ?f ? d147所以正弦光栅衍射图样的强度分布为：? p ?? ? sin dN sin ? ? ? I＝N 2 ?? p ?? dN sin ? ? ?? ? ? ? p ? p ? ?? ? ?? ? ? ? sin dN sin ? ? sin dN sin ? ? ? ? ? ?? ? ? B2 ? 2 ? B ? ? ? d ?? d ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? 4 ? p 4 ? p ? ? dN sin ? ? dN sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? d ? d ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2?? ? ? ? ? ?1??= ?/Nd0 -?/d 0 ?/d148Homework (12-6)? A grating has slits that are 0.15mm wideand separated, center to center, by 0.6mm. Which of the higher-order maxima are missing?149Resolvance of a grating?The resolvance (resolving power) of agrating is a measure of its capacity to resolve two closely spaced spectrumlines.150Types of gratings? We distinguish transmission gratings whichlet the light pass through, from reflection gratings. ? A grating with completely opaque bars and clear intervals is called an amplitude gratings. ? If the bars do not block the light but merely retard its phase, we have a phase grating.151? This is possible, for example, by placingincreasingly thicker glass plates in front of successive slits, retarding the light, from slit to slit, by wavelengths. This is called an echelon grating.? a blazed reflection grating152Diffraction gratings? Any arrangement which is equivalent in itsaction to a number of parallel equidistant slits of the same width is called a diffraction grating.153
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