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三重积分的计算
定界限的简便获得
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化三重积分I=∫∫∫（存在Ω）f(x,y,z)dv为三次积分，其中积分区域Ω分别是
第一种：双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域。
第二种：由曲面z=x^2+2y^2及z=2-x^2所围成的闭区域。
我计算时还要画图，很麻烦，请问有不用画图就能定下界限的方法吗？请高手解答，谢谢。
我个人觉得可以不用画图，因为有些图画起来真的很麻烦 甚至根本就画不出来，假如考试的时候碰到了这类题，浪费很多时间在画图上面那就太不值了，我就不会画图 我只要知道其在坐标面的投影，还有就是两个图哪个在上 哪个下下，这样基本上就可以确定积分的区间了。
就比如你提到的 z1=x^2+2*y^2,
投影：x^2+y^2 ...
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我个人觉得可以不用画图，因为有些图画起来真的很麻烦 甚至根本就画不出来，假如考试的时候碰到了这类题，浪费很多时间在画图上面那就太不值了，我就不会画图 我只要知道其在坐标面的投影，还有就是两个图哪个在上 哪个下下，这样基本上就可以确定积分的区间了。
& &就比如你提到的 z1=x^2+2*y^2,&&z2=2-x^2&&投影：x^2+y^2&&1&&z1在下，z2在上
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没有&&都要画图&&这就是为什么解析几何是你叫重要的章节的原因
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大哥，话题没那么沉重吧。
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怎么判断出那个面在上，那个面在下。
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想象，找出投影的区间，然后集中所有的条件解出相应不等式，也就是区间
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三重积分的计算方法小结
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三重积分的计算方法小结
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3秒自动关闭窗口导读：三重积分的计算方法种种，摘要：三重积分的计算一直是教学中的重点和难点，本文根据三重积分的被积函数的不同性质，总结了三重积分计算的不同的处理方法，有的方法是选择合适的坐标系，有的方法是利用公式，还有的方法是利用被积函数在积分区域中的特殊性质，这些方法可以简化三重积分的计算，关键词：三重积分变量代换对称性，如果找到了适合的方法，文[9]、[10]对运用对称性求解三重积分做了详细的研究，本文总结了以 三重积分的计算方法种种
摘要：三重积分的计算一直是教学中的重点和难点，本文根据三重积分的被积函数的不同性质，总结了三重积分计算的不同的处理方法，有的方法是选择合适的坐标系；有的方法是利用公式，做变量代换；还有的方法是利用被积函数在积分区域中的特殊性质。这些方法可以简化三重积分的计算。 关键词：三重积分 变量代换 对称性
Several Methods of Calculation of Triple Integral
Abstract: Calculation of triple integral is a important and difficult part in teaching work, in this paper, according to the different character of integrand of triple integral, we give different calculation methods of triple integral, by choosing suitable coordinate system, and the variable replacement formula, the special character of integrand in the integration area. The methods can make the calculation of triple integration easier. Keywords:
1 引言 三重积分的计算，有时是非常复杂的，如果找到了适合的方法，不仅可以避免在解题时走弯路，节约时间，还可以保证准确高效的解答出问题。文[1]―[8]对选用合适坐标系和利用公式，做变量代换，进行了简单的介绍，文[9]、[10]对运用对称性求解三重积分做了详细的研究，[11]研究了截面法，本文总结了以上所有常用的解决三重积分的计算方法。 2．三重积分的定义[1] 设f?x,y,z?为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V上的函数，J是一个确定的数。若对任给的正数?，总存在??0，使得对于V的任何分割T,只要T??,属于分割T的所有积分和都有 ?f??i?1ni,?i,?i??Vi?J??， 则称f?x,y,z?在V上可积，数J称为函数f?x,y,z?在V上的三重积分，记作
J????f?x,y,z?dV
JV????f?x,y,z?dxdydz， V其中f?x,y,z?称为被积函数，x，y，z称为积分变量，V称为积分区域。 3.三重积分的计算方法 3.1三重积分化为三次积分（直角坐标系） (1)若闭区域?由不等式a?x?b,y1?x??y?y2?x?,z1?x,y??z?z2?x,y?表示，（y1?x?,y2?x?,z1?x,y?,z2?x,y? 皆为连续函数），则 ???f?x,y,z?dV???badx?y2?x?y1?x?dy?z2?x,y?z1?x,y?f?x,y,z?dz 例1 将三次积分?dx?dy?f?x,y,z?dz化成依次对变量x，z和y的三次积分。 0001xxy
?dx?dy?f?x,y,z?dz?0001xxy?10dy?dx?y1xy0f?x,y,z?dz
=?dy?dz?f?x,y,z?dx?00y1y21?10dy?2dz?zf?x,y,z?dxyyy1
(2)???f?x,y,z?dxdydz???badxs?x???f?x,y,z?dydz， 其中s?x?是用平面X?x截?所得的截断面。
例2 计算三重积分I?与抛物柱面x?y????xsin?y?z?dxdydz，其中?是由平面x?0,z?0,y?z??2所围成的空间区域。 ??解
区域?在xoy面上的投影区域D???x,y?0?y???2,0?x??y??，故?是以D为底，以平面z?????y??y为顶的曲顶柱体，即????x,y,z??x,y??D,0?z?22???，则
I???Ddxdy?2?y0xsin?y?z?dz ?
? ??xcosDydxdy??20dy?y0xcosydx 2
? 3．2采用柱面坐标法 1?20?24ycosydy?12??ysiny?cosy?20 1???2? 形如z?f?x2?y2?的曲面围成的闭区域，可以采用柱坐标变换。 0?r????x?rcos??直角坐标与柱面坐标的关系?y?rsin?，0???2?
， ?z?z???z????则：
???f?x,y,z?dxdydz?????F?r,?,z?rdrd?dz?， 其中F?r,?,z??f?rcos?,rsin?,z?。 例3
计算三重积分????y?1??x?zdV，其中?:22x?z22?y?1?1?x?z 22解 由公式得，
原式=?d??rdr002?1?1?1?r2rr?y?1?dy?2??r012?r?r?dr2??10
变量变换成柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次积分来计算，也可以用下面两种方法：○1，“先一后二法”（即先算一个一重积分，后算一个二重积分）。“先一后二法”的定限原则是：将积分域?投影到某坐标平面上。以向xOy平面投影为例，记?的投影域为D，以D来确定?和r的积分限，再在D内任作一条垂直于D的直线从下向上穿过?，以确定z的积分限。 ○2当用平行于坐标平面的平面来截?，而截面为圆、椭圆或半圆、半椭圆等时，通常采用“先二后一法”（即先算一个二重积分，后算一个一重积分），也称“截面法”。以平行于xOy平面的平面来截?为例，记截面为Dz，则先在Dz上计算二重积分，最后对变量z计算一个定积分。（注意：当被积函数f?x,y,z?仅是z的函数，而截得的区域Dz的面积很容易求得时，适合此法）
例4 计算三重积分????xa22dV，其中?由椭球面axa22?yb22?zc22?1围成。 解
原式=1a2????xdV?21a2??axdx??dydzDx2
=1a2?a?axA?x?dx2 yb22其中A?x?为Dx的面积，因为截面Dx是一个椭圆，椭圆方程为根据椭圆的面积公式，可以得出：A?x??1a22??x???x??bc??1?a2??dx????23?zc22?1?xa22，所以??Dx2?x??， dydz??bc??1?a2???所以，原式=
= ?a?a 14?a215abc?4?15abc 3．3采用球面坐标法 形如z?f?x2?y2?z2?的曲面围成的闭区域，可以采用球面坐标变换。 0?r????x?rsin?cos?,?直角坐标与球面坐标的关系?y?rsin?sin?,
0????， ?z?rcos?,0???2??则： ????f?x,y,z?dxdydz?????F?r,?,??rsin?drd?d?， 2其中F?r,?,???f?rsin?cos?,rsin?sin?,rcos??， 特别的，当F?r,?,???1时，V?43?a。
3球面坐标法的定限原则是：不要将积分域?向任何坐标平面投影，而直接以?来定r、?、?的限。从原点作射线穿过?以定r的限，以过z轴的半平面扫过?以定?的限，以原点为顶点、以z轴正半轴为中心轴的“伞面”扫过?来定?的限。 例5 计算三重积分?????1222??dVx?y?z?222???x?y?z??,其中?由曲面 4
z2?x?y,z222?3x?3y22及平面z?1所围成。 解 由公式可得
原式=?d???4d??cos??r??2?rsin?dr 2r??
=2???4??6?14?4cos?1???sin?d? ?cos??1?
=2?????4????lncos?3?? 12cos???6
=?? ?2433???ln? ?3272???3．4一般变量代换公式 变量代换x?x?u,v,w?,y?y?u,v,w?,z?z?u,v,w?，把空间有界闭区域?1一对一的变为?，且雅可比行列式J?0，则 ???f?x,y,z?dxdydz?????f?x?u,v,w?,y?u,v,w?,z?u,v,w??Jdudvdw， ?1?x?x?v?y?v?z?v32?x?w?y?w?z?w其中
J???x,y,z???u,v,w???u?y?u?z?u， 例6 计算三重积分xa22????yb22?zc22?1?xyz?2?1???a2?b2?c2?dxdydz??22。
解 令x?arsin?cos?,y?brsin?sin?,z?crcos?，则该椭球变换成球体
?1???r,?,??0???2?,0????,0?r?1???x,y,z???r,?,? 2
一对一映射为球体r?1，且2???abcrsin?，所以
原式=?d??d??1?r3abcr2sin?dr 000?1 5 包含总结汇报、文档下载、办公文档、专业文献、教学研究、考试资料、IT计算机、教学教材、旅游景点以及三重积分的计算方法种种等内容。本文共2页
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计算三重积分，（V)由，，z=0所围成，其中A＞a＞0；
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提问人：匿名网友
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求三重积分 过程要具体收藏
怎么还是没人
晕死。你自己也不看看图吗，哪个是中间那道题啊。
用球坐标破吧
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结果是六分之π乘以根号二减一的那个
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