大学物理大学物理第一章质点的运动第一部分 - 爱问共享资料
简介：本文档为《38ppt》，可适用于高等教育领域，主题内容包含大学物理大学物理第一章质点的运动第一部分力学．什么是力学机械运动是指物体之间或物体各部分之间发生的相对位置的变化。机械运动的绝对性运动本是绝对的机械符等。
侵权或盗版
*若权利人发现爱问平台上用户上传内容侵犯了其作品的信息网络传播权等合法权益时，请按照平台要求书面通知爱问！
赌博犯罪类
在此可输入您对该资料的评论~
添加成功至
资料评价：在离水面高度为h的岸边,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸边s距离处,当人以V0的速率收绳时试求_百度知道
在离水面高度为h的岸边,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸边s距离处,当人以V0的速率收绳时试求
在离水面高度为h的岸边,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸边s距离处,当人以V0的速率收绳时试求在离水面高度为h的岸边,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸边s距离处,当人以V0的速率收绳时试求船的速率与加速度各有多大?
求下面的dv/ds怎么算的
我有更好的答案
为您推荐：
其他类似问题
换一换
回答问题，赢新手礼包
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边x距离处．当人以v0的速度收绳时，试求船的速_百度知道
在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边x距离处．当人以v0的速度收绳时，试求船的速
在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边x距离处．当人以v0的速度收绳时，试求船的速度与加速度
我有更好的答案
第一问求的是速率还是速度
能给个整个的图吗
带着题目的 全图
这个是速度吧
不是都在上面了吧吗？
我说第一问是求的速度吧
dl/dt怎么=-v0呢
d2l/dt2=0
因为l在减小，是负的。因为绳子加速度是0
第三个为啥是负的
为啥x=-h/tan ？
采纳率：71%
来自团队：
为您推荐：
其他类似问题
换一换
回答问题，赢新手礼包
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。当前位置： >>
1-2描述质点运动的物理量
§1-2 描述质点运动的物理量一、时间和时刻(time and moment) 时间表示一个过程对应的时间间隔，是重要的物 理量，国际单位制（SI）中七个基本物理量之一。 时间具有单方向性，是标量，单位是s (秒)。 某一瞬时称为时刻，质点运动时，与质点某一位 置对应的为某一时刻，在时间坐标上是一个点。 在坐标系中考察质点的运动时, 质点位置与时刻相 对应, 质点运动所经过的路程与时间相对应。1二、位置矢量 (position vector)? 来代表， 所引的有向线段OP 来表示，或用矢量 r ? 就称为质点P的位置矢量, 简称位矢。 这个矢量 r位矢包含两方面信息：质点P相 对参考系固定点O的方位；质点P 相对参考系固定点O的距离大小。 用黑体字母或带箭头的字母表 示矢量。 O质点P在任意时刻的位置, 可用从原点O到质点P? rP2质点在运动, 位置在变化, 位置矢量必定随时间改变。 位置矢量是时间的函数：? ? r ? r (t )上式称为质点运动的轨道参量方程，即质点的运 动学方程，它给出了质点运动的轨迹, 也给出了质点在任意时刻所处的位置。? ? ? ? 在直角坐标系中 r ? xi ? yj ? zk3三、位移(displacement)和路程(distance, path ) 位移：质点在一段时间内位置的改变 。? ? ? ?r ? rB (t ? ?t ) ? rA (t )质点从点A到点B所完成的位移等于点B的位置 矢量与点A的位置矢量 之差。 位移是矢量，既表示质点位? rBOB? ?s ?r置变更的大小(点A与点B之间的距离)，又表示这种变更的方向? rALA(点B相对于点A 的方位)。4? B ? ? rA ? x Ai ? y A j ， A ?r ? ? ? ? ? rA rB ? xB i ? yB j ， rB ? ? ? ?r ? rB ? rA ? ? x ? ( xB ? xA )i ? ( yB ? y A ) j o x A x ? x xB B A位移 平面运动: ?? ?ryyB ? y A? ? ? ? ?r ? ( xB ? xA )i ? ( yB ? y A ) j ? (zB ? zA )k5三维运动:路程?s从P1到P2：yP 1?s'路程 ?s ? P P 1 2位移与路程的区别 (1) 两点间位移是唯 z 一的． ? (2) 一般情况 Δr ? ?s ．O? ?r?sP2? ? r (t1 ) r (t ) 2P ( x1 , y1 , z1 ) 1 P2 ( x2 , y2 , z2 )x(3) 位移是矢量，路程是标量．6注意? ? ?r 　?r 　?r ， ，y? r1O? P ?r 1? r2P2? ? ? ? ?r ? ?xi ? ?yj ? ?zk? 2 2 2 z ?r ? ?x ? ?y ? ?z2 2 22的意义不同．?rx2Δ r ? x2 ? y2 ? z2 ? x1 ? y1 ? z127在直角坐标系中? ? ? ? ?r ? ?xi ? ?yj ? ?zkzA? ? ? ?r ? rB ? rA ? ABO x? ? rA r By? ?r?sB? ?r ? ?x 2 ? ?y 2 ? ?z 2路程：质点在轨道上所经过的曲线长度Δs ? ? ? ds ? dr ?s ? ?r ? ?r lim ?s ? lim ?r?t ?0 ?t ?0位移矢量反映 ?t内质点位置的移动(大小、方位)矢量的“差之模”和“模之差 ”一般是不相等的 8路程?s是一定时间内物体所经过路线的总长度。?t 时间内经过的路程是曲线AB的长度，是标量。 质点的位移和路程不同。位移运算遵从矢量运算的法则：平行四边形定则。一般位移矢量的模不等于路程 , 只有在质点作单方向直线运动时，它们才相等。?t ?0? lim ?r ? lim ?s?t ?09位移和路程单位相同, 在国际单位制中为m (米)。四、速度1 平均速度 在 ?t 时间内，质点 位移为yB? r (t ? ?t)?sA? ?r? ? ? ?r ? r (t ? ?t ) ? r (t ) ? ? 　　?xi ? ?yj ? ? ? ?r ?x ? ?y ? i? v? ?t ?t ?to? r (t)x? ? ? j ? vx i ? v y j102 瞬时速度（简称速度）? ? ?r dr ? v ? lim ? ?t ?0 ?t dt ? dx? dy ? v　 ? i? j dt dt ? ? ? vxi ? v y jy? vy? v ? vxxo若质点在三维空间中运动，其速度? ? ? ? v ? vxi ? v y j ? vz k11? 当 ?t ? 0 时, dr ? ds ? ds ? v? et dt速度方向 切线向前ds 速度大小 v ? dt ? 速度 v 的值 速率12讨论 一运动质点在某瞬 y ? 时位于位矢 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为dr （A） dt ? dr （C） dt注意? dr （B） dt? r (t )xoxdx 2 dy 2 （D） ( ) ? ( ) dt ? dtdr dr ? dt dt13例1? ? r(t) ? x(t)i ? y(t) j ,?? ?设质点的运动方程为其中x(t ) ? 1.0t ? 2.0，y(t ) ? 0.25t ? 2.0，2式中x，y的单位为m(米)， t 的单位为s(秒)，（1）求 t ? 3 s 时的速度． （2）作出质点的运动轨迹图．14已知：x(t ) ? 1.0t ? 2.0，y(t ) ? 0.25t 2 ? 2.0， 解 (1) 由题意可得? ?1 速度 v的值 v ? 1.8m ? s ，它与 x轴之间的夹角1.5 o ? ? arctan ? 56.3 1.015? ? ? t ? 3 s 时速度为 v ? 1.0i ? 1.5 jdx dy vx ? ? 1.0，　 vy ? ? 0.5t dt dtx(t ) ? 1.0t ? 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) ? 0.25t ? 2.0，消去参数 t 可得轨迹方程为y ? 0.25x ? x ? 3.02轨迹图t ? ?4 s6y/mt ? 4st ? ?2 s 42 -6 -4 -2 0t?02 4t ? 2sx/m616例2 如图A、B y 两物体由一长为 l 的 B 刚性细杆相连，A、B l ? 两物体可在光滑轨道 A 上滑行．如物体 A以 ? o v 恒定的速率 v 向左滑 ? 行, 当? ? 60 时, 物体B的速率为多少？x17解 选如图的坐标轴ylA? dx ? ? B ? v A ? v x i ? i ? ? vi dt ? ? dy ? ? vB ? v y j ? j o dt因 x ? y ?l2 2 2? vxdx dy 两边求导得 2 x ? 2y ? 0 dt dt18? v v 当? ? 60 时， B ? 1.73v， B 沿 y 轴正向o19dy x dx 即 ?? dt y dt x dx ? ? vB ? ? j y dt dx ? ?v ? dt ? ? ? vB ? vtan? jyB?lAo? vx五、加速度1 平均加速度 在 ?t 时间内，质 点速度增量为yAO? vAB? vB? ? ? ?v ? vB ? v A ? ? ?v a? ?t? ? ?v a 与 同方向? ? v A ?v ? vBx202 (瞬时)加速度? ? 2 ? ?v dv d r ? a ? lim ? ? 2 ?t ?0 ?t dt d t? dv x ? dv y ? dv z ? a? i? j? k dt dt dt ? ? ? ? a ? axi ? ay j ? az k21? 2 2 2 加速度大小 a ? a ? a x ? a y ? a z加速度方向? ? 直线运动 a // v曲线运动 指向凹侧? ? ? ? v 注意：物理量 r ， r ， ， ? a 的共同特征是都具有矢量性和相对性．? v1? a1? a2? v222? ? 根据加速度的定义式 可得 dv ? a (t )dt若求在t0到t 时间内速度的变化, 可对上式积分：t ? ? ? v ? v0 ? ? a(t )dt t0 t ? ? ? v ? v0 ? ?t a (t )dt0速度公式位矢的一般表达式t ? t ? ? ? r ? r0 ? ?t [v0 ? ?t a (t )dt ]dt 0 023§1-3 描述质点运动的坐标系一、直角坐标系 (rectangular coordinate)在参考系上取一固定点作为坐标原点O, 过点O画三条相互垂直的带有刻度的坐标轴, 即x轴、y轴和z 轴, 就构成了直角坐标系 O-xyz。 通常采用的直角坐标系zP(x,y,z)属右旋系, 当右手四指由x轴方向转向y轴方向时, 伸直的 拇指则指向z轴的正方向。x O? ry24位置矢量可表示为? ? ? ? r ? xi ? yj ? zk? ? ? j 其中 i 、和 k 分别是x、y和z方向的单位矢量。? 位矢大小 r ? r ? x 2 ? y 2 ? z 2可用方向余弦来表示位置矢量方向。y x cos? ? , cos ? ? , r rz cos ? ? rcos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 125质点运动的轨道参量方程式写成分量形式 速度表达式x ? x ( t )? ? y ? y( t ) ? ? z ? z(t ) ?? ? ? ? ? dr dx ? dy ? dz ? v? ? i? j ? k ? vx i ? v y j ? vz k dt dt dt dtdx dy dz vx ? , v y ? , vz ? dt dt dt? 2 2 2 v ? v ? vx ? v y ? vz26加速度的表达式? dv x ? dv y ? dv z ? a? i? j? k dt dt dt 2 ? ? ? ? d 2 y ? dz ? d x ? 2 i ? 2 j ? 2 k ? a x i +a y j +az k dt dt dtdv y d 2 y dv x d 2 x dv z d 2 z ax ? ? 2 , ay ? ? 2 , az ? ? 2 dt d t dt dt dt dt加速度大小? 2 2 2 a ? a ? ax ? a y ? az任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢量的 分量有关, 而与其它方向的分量无关。27质点任意运动都可以看作是三个坐标轴方向上 各自独立进行的直线运动所合成的。 质点的任意运动都可以分解为在三个坐标轴方 向上各自独立进行的直线运动。 运动叠加原理在直角坐标系中的表现。 如果质点在某个方向(如x方向)上的速度不随时 间变化, 即质点在该方向上的分运动为匀速直线运 动, 则在该方向上的位移可由位移公式求得?x ? x ? x0 ? v x (t ? t 0 )28如果质点在某个方向(如x方向)上的加速度不随时间变化, 该方向上分运动为匀变速直线运动,在x方向的速度变化可根据速度公式求得:v x ? v x 0 ? a x (t ? t 0 )1 2 x ? x0 ? v x 0 t ? a x t 2vx ? vx0 ? 2ax ( x ? x0 )2 2vx ? vx0 ? ax tvx ? vx 0 ? axtv x0 ? vx x ? x0 ? t 229运动学的两类问题运动方程是运动学问题的核心1. 已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度 以及加速度? ? r ? r ?t ?? ? dr v? dt? 2? ? dv d r a? ? 2 dt dt2. 已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以 及初始条件求质点的运动方程? ? dv ? adt ,? ? dr ? vdt ,? ?? v? v0 ? rt ? ? dv ? ? adt t0r0t ? ? ? dr ? ? vdt t030例3 有一个球体在某液体中竖 ? ? 直下落, 其初速度 v0 ? 10 j ，它在 ? ? 液体中的加速度为 a ? ?1.0vj ，问： (1)经过多少时间后可以认为小球已 停止运动； (2)此球体在停止运动前经历的路程 有多长？o? v0y31解vt dv ?? ? ? ? dt v0 v 0dv ?a ? ? ? 1 .0 v dtln v v0 ? ?t t0, vv ? v0e .?tdy ?t 解得： v ? v0e ?v ? ? v0 e dt y t ?t ? ? dy ? v 0 ? e dt?t0 0v ln ? ?t , v0o? v0yyy 0解得：y ? 10 1 ? e ） （? ?v0 e?tt 0y ? v0 (1 ? e )?t?t? ? v0 ? 10 j32v ? v0 e ?1.0t，y ? 10 1 ? e （?1.0ty0 ? 10(1 ? e?10?0 ) ? 10(1 ? 1) ? 0?10 ?） y? ? 10(1 ? e10) ? 10(1 ? 0) m ? 10 mv0Ov/m ? s-1y/mt/sOt/svt /sv0 /102.3v0 /100 v0 / 1 000 v0 / 10 0004.6 6.9 9.2y / m 8.997 4 9.899 5 9.989 9 9.999 0 t ? 9.2 s, v ? 0, y ? 10 m33例4：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边, 如图。如 果绞车以恒定的速率u拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面 的高度为h, 求小船向岸边移动的速度和加速度。解：以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向右, y 轴竖直向下, 如图所示。 ? uo l xhhlxxy34设小船到坐标原点的距离为l, 任意时刻小船到岸边的距离x总满足 x 2 = l 2 ? h 2 dx dl ? 2l 两边对时间t 求导数, 得 2 x dt dt dl ? ? u绞车拉动纤绳的速率, 纤绳随时间在缩dt短, 故dl dt?0;l x u?-dx dt? v 是小船向岸边移动的速率。2 2∴v ? -x ?h x负号表示小船速u度沿x 轴反方向。d x dt2 2小船向岸边移动的加速度为a??dv dt??u h x32235v?-l xu?-x ?h22u,x ?l ?h .2 2 2x dl dx x ?l dv dt dt u ? ? ?ux ?lv u a? ?? 2 2 dt x x l ?ux 2 ?l ( ? u ) x x ?? u x3?? ? x ?l2 2x3u ?2u h x32 2.36例5：抛体运动。假设物体以初速度v0沿与水平方向成角 ? 0 方向被抛出, 求物体运动的轨道方程、射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。解：首先必须建立坐标系, 取抛射点为坐标原点O,x 轴水平向右, y 轴竖直向上, 如图。 抛体运动可以看作为x方向 的匀速直线运动和y方向的匀 变速直线运动相叠加。 y? v0?0x37O 运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具。解? ? ? ? a ? ay ? g ? ?g j ? ax ? 0 1?2 ? ? r ? v 0 t ? gt 2y? v0t?1 ?2 gt 2P按已知条件，t=0时，有 O? r? v0xv0 x ? v0 cos?ax ? 0 ay ? ?g38v0 y ? v0 sin ?解得：1 2 x ? v0 cos? ? t， y ? v0 sin ? ? t ? gt 2 g 2 y x 轨迹方程为： ? x tanα ? 2 2 2v0 cos ? ? y vy ? v ? ? v0 y v0 ? ?vxoαvx? v0 xd0? vy? vx39求最大射程2 2v dd 0 2 v 0 d0 ? sin ? cos?， ? cos 2? ? 0 g d? g π 当? ? ， y 实际路径 真空中路径 42 0d0 m ? v g2 0由于空气阻力，实际 射程小于最大射程．oxdd040a x ? 0 , v x ? v 0 cos ? 0 , x ? (v 0 cos ? 0 )t1 2 a y ? ? g, v y ? v0 sin? 0 ? gt, y ? (v0 sin?0 )t ? gt 2抛体运动轨道方程y ? ( tan? 0 ) x ?令y = 0，得g 2(v0 cos? 0 )g22x2( tan? 0 ) x ?2( v0 cos? 0 )x2 ? 0x1 = 0是抛射点的位置,v0 另一个是射程 x 2 ? sin 2? 0 g241抛射角?0 =?/4时,最大射程 物体的飞行时间 T ?x2xmax ?? 2v0 gv02gv0 cos ?sin ?当物体到达最大高度时, 必有v y ? 0 物体达最大高度的时间t1 ?sin2v0 gsin ?最大高度 H ?v02?2g 实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度都比上述值要小。42例题6 有一学生在体育馆阳台上以投射角θ=30°和 速率v0=20m/s向台前操场出一垒球。球离开手时距离 操场水平面的高度h=10m。试问球投出后何时着地？ 在何处着地？着地时速度的大小和方向各如何？ 解：以投出点为原 点，建立x，y坐标 轴如图所示。 运动方程的分量式x ? v0 cos? ? t 1 2 y ? v0 sin ? ? t ? gt243把已知条件y=-h=-10m, θ=30°, v0=20m/s代入方程得t ? 2.78s, t ? ?0.74s(舍去）；x ? 48.1m(着地点距投射点的水平距离）?vx ? 17.3m/s ? ?vx ? v0 cos ? ? 由? 和t ? 2.78s ? ?v ? ?17.2m/s ? y ? ?v y ? v0 sin ? ? gt ?着地时速度大小 v ?v ? v ? 24.4m/s2 x 2 y此速度和水平面的夹角 vy ?17.2 ? ? arctan ? arctan ? ?44.8? vx 17.344说明 质点运动学两类基本问题 1 由质点的运动方程可以求得质点在 任一时刻的位矢、速度和加速度；2 已知质点的加速度以及初始速度和 初始位置, 可求质点速度及其运动方程．? r (t )求导 积分? v(t )求导 积分? a (t )45? ? ? 2 补例1 已知质点的运动方程为 r ? 2ti ? 19 ? 2t j求：（1）轨道方程；（2）t =2s 时质点的位置、速度 以及加速度； （3）什么时候位矢恰好与速度垂直？ 解： (1)??? ? ? ? ? 2 （2） r ? [2 ? 2i ? 19 ? 2 ? 2 j ]m ? ?4i ? 11 j ?m 2 ? ? ? ? ? ? ? dr ?1 v? ? 2i ? 4tj v 2 ? ?2i ? 8 j ? m ? s dtv2 ? 2 ? ?? 8? m ? s ?1 ? 8.25 m ? s ?12 246x ? 2t , y ? 19 ? 2t 2 1 2 消去时间参数 y ? 19 ? x 2??? ? ? ? dr （3） v ? ? 2i ? 4tj dt?8 ? ? arctan ? ?75?58? 2? ? ? dv a? ? ?4 j dta ? 4 m?s（4）?2方向沿 y 轴的负方向? ? ? ? ? ? 2 r ? v ? 2ti ? 19 ? 2t j ? ?2i ? 4tj ?????? 4t ? 4t (19 ? 2t 2 ) ? 4t (2t 2 ? 18)? 8t (t ? 3)(t ? 3) ? 0t1 ? 0 , t2 ? 3 s两矢量垂直47例7 子弹(质点)射入固定在地面上的砂箱内， 假设射入时刻定为 t =0 ，子弹速率为v0 。加速度与速率成正比，比例系数为k，即 a ?v求：1) v (t )2) xmax解：1)建坐标系如图d? 由 a? dtaodv ? ? kv dt砂箱?x有式48dv ? ? kv dt分离变量：d??? ? kdtt两边分别积分： ? ( t ) d?? ?0?? ? ? kdt0? kt得结果:v (t ) ? v 0e#492) 由式 有 两边分别积分dx v? dtdx ? vdtx t即 dx ? ?0e dt? ktdx ? ? ? 0 e ? ktdt ?0 0得结果：v0 ? kt x ? (1 ? e ) kt ?? v0 xmax ? k#50补例2 路灯距地面高度为h，身高为l 的人以速度v0 在路上匀速行走。求：（1）人影头部的移动速度； （2）影长增长的速率。解： （1）x2 ? x1 x2 ? l h(h ? l ) x2 ? hx1h l两边求导：dx2 dx1 O x1 x2 x (h ? l ) ?h dt dt dx2 dx1 h v0 其中： ?v , ? v0 v ? dt dt h ? l 51（2） 令b ? x2 ? x1 为影长db l dx2 v? ? ? dt h dt代入l b ? x2 h以dx 2 hv 0 ? dt h ? l得l v0 v? ? h?l52*二、平面极坐标系(planar polar coordinates) 用平面极坐标系处理圆周运动一类的平面运动。 取参考系上一固定点O作为极点,过极点所作 的一条固定射线OA称为极轴。 质点处于点P, 连线OP 称为点P 的极径, 用?表示；自OA到OP转 过的角? 称为点P的极角。点P位 置可用(?,? )来表示, 这两个量就 称为点P的极坐标。(自看）53P ( ? ,? )? ?O A三、自然坐标系 (natural coordinates) 沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。 取轨道上一固定点为原点, 规定两个随质点位置变化而改变方向的单位矢量, 一个是指向质点运动方向的切向单位矢量, 用? 表示, 另一个是垂直于切向并指向轨道凹侧的法向单位矢量, 用n表示。因为质点运动的速度总是沿着轨道的切向,所以在自然坐标系中, 速度矢量可表示为? ? v (t ) ? v(t )? (t )54自然坐标系下的速度和加速度自然坐标系：把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。Ps ?s O? ? et enQ? en??? 切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为 et ? 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为 en规定：? et55Ps? ?s en? etQO? et? v质点位置： s ? s?t ? 路程：?s ? sP ? sQ? ds ? 速度： v ? vet ? et dt56? 加速度矢量为 a ?? dvdv ? d? ? (v? ) ? ? ? v dt dt dt dt d ??第一项表示由于速度大小变化所引起的加速 度分量, 大小等于速率变化率, 方向沿轨道切 向, 称切向加速度(tangential acceleration)? dv ? at ? ? dt第二项是由速度方向变化所引起的加速度分量， 为法向加速度(normal acceleration)d? ? ? an ? v n dt57?(t+?t)B ?(t) A LB′????A′?(t)O’?(t+?t)当?t→0时, 点B 趋近于点A,等腰?O?A?B?顶角 ? ? →0。? ? 极限方向必定垂直于 ? (t ) , 指向轨道凹侧,与法向单位矢量n一致，并且?? d? lim ? lim ? ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t dt ??58讨论? d et dtOΔ?? ? ? ?et ? et (t ? ?t ) - et (t )当： ?t ? 0 , ?? ? 0 有 ?e t ? e t ? ?? ? ?? 方向? et ?t ? ?t ?? ?sP 1P2? et ?t ?? ? ?et ? et? ?et? et ?t ? ?t ?Δ?? ? d et ?et ?? ? ? lim ? lim en d t ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t? et ?t ?59? ?? ??s?O? et ?t ? ?t ?? d et ?s ? ? ? lim en d t ?t ?0 ρ?t 1 ds ? v? ? en ? en ρ dt ρ? 2 de t v ? v ? en dt ρ? ?sP 1P2 Δ?? et ?t ?沿法线方向法向加速度：? det v 2 ? ? an ? v ? en dt ρ60如果轨道在点A 的内切圆的曲率半径为? ,d? ? v ?d? ? v 2 ? ? an ? v n? n? n dt ? dt ?? dv ? at ? ? dt一般情况下, 质点的加速度矢量应表示为? ? ? dv ? v ? a ? at? ? an n ? ? ? n dt ?612综上所述：? ? ? dv ? v 2 ? a ? at ? an ? et ? en dt ?加速度的大小：a ? a ?a2 n2 t加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：an ? ? arctan at例：抛体运动? an?? at? g624 圆周运动及其角量描述角位置? ：质点所在的矢径与x 轴的夹角。角位移??： 质点从A到B矢径转过的角度 。规定： 逆时针转向??为正 顺时针转向??为负yB角速度?： 角加速度：?? d? ? ? lim ? dt ?t ?0 ?t?R?sA???Ox63?? d? ? ? lim ? dt ?t ?0 ?t角量表示匀加速圆周运动的基本公式：? ? ?0 ? ? t1 2 ? ? ? 0 ? ?0t ? ? t 2 2 2 ? ? ?0 ? 2? ?? ? ? 0 ?角量和线量的关系：v ? R? at ? R?an ? R?2s ? R?dv d? ?R dt dtv 2 an ? ? R? R2ds d? ?R dt dt d? ?? . dt64可以把角速度看成是矢量 ！??方向由右手螺旋法则确定 。右手的四指循着质点的转动方向弯曲，拇指 的指向即为角速度矢量的方向。 y ? 线速度与角速度的关系： ω? ? ? v ???r? ? ? dv dω ? ? dr ? ? r ? ω? dt dt dtOR? v? ? rx65z? ? ? ? ? a ? α ? r ? ω? v ? ? ? α ? r ? ? R 方向沿着运动的切线方向。 ? ? ? α ? r 为切向加速度 ? ? ? ??v y ? ? ? ω 2 ? ? ? v ? ?v ? ? R ? v R ? ? ω? v 方向指向圆心 ? ? r ? ? x O ω? v 为 法向加速度z66例8 求如图所示的抛体轨道顶点处的曲率半径 解：在轨道顶点 ? y ? 0y?v ? v x ? v 0 cos?d? x ? at ? ?0 dt ? an ? g由o??0?an ? gxan ?v2?得(v 0 cos? ) v ?? ? an g22#67v ? r? ? r (?2t ? 4) ? 0.2 ? (?2 ?1 ? 4) m ? s ? 0.4 m ? s?1例9: 半径为r = 0.2 m的飞轮，可绕 O 轴转动。已 知轮缘上一点M的运动方程为? = -t2+4t ，求在1秒 时刻M点的速度和加速度。 d? d? 解： ? ? ?? ? ?2 ? ?2t ? 4 dt dt?1at ? ? r ? (?2) ? 0.2 m ? s ?2 ? ?0.4 m ? s ?2 ?an ? r? 2 ? 0.2(?2 ?1 ? 4)2 m ? s ?2 ? 0.8 m ? s2 a ? at2 ? an ? 0.89 m ? s?2v ?2? anoM?? atx68an 0.8 ? ? arctan ? arctan ? 63.4? at 0.4? a*例题10 . 一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为 s ? v0t ? bt2/ 2，v0、b都是正的常量。（1）求该点在时刻 t 的加速度；（2）t 为何值时， 该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知 飞轮的半径为R。 解：由题意，可得该点的速率为：ds d 1 2 v? ? (v0t ? bt ) ? v0 ? bt dt dt 2上式表明，速率随时间t而变化，该点做匀变速 圆周运动。69（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:? at ? dv ? d s ? ?b 2 ? dt dt ? v 2 (v0 ? bt ) 2 ?a ? ? ? n R R2a ? a ?a2 t2 n?(v0 ? bt ) ? (bR)42R2? at加速度方向由它和速度的夹角确定为? (v0 ? bt ) ? ? ? arctan ? ? ? ? Rb ?? v? ? a ? an oR70（2）令at= an，即(v0 ? bt ) ?b R2bR ? v0 ? bt得t ? (v0 ? bR ) / b71例11:汽车在半径为 m 的圆弧形公路上刹车,运动学方程 200s ? 20t ? 0.2t时的加速度。2（单位：秒，米）。求: t ? 1sds 解： v ? ? 20 ? 0.4t dtdv a? ? ? ?0.4m / s 2 dtvt ?1s ? 19.6m / sv 2 19.62 an ? ? ? 1.9m / s 2 R 200? ? ? ? ? 2 a ? a? i ? an n ? ?0.4i ?1.9n(m / s )72例12一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0， 以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，求经过t秒后 质点的速度和运动的距离。dv 解： a ? a0 ? ? t ? a ? dt ? dv ? adt a a v ? ? adt ? ? (a0 ? 0 t )dt ? a0t ? 0 t 2 ? c1 ? 2? a0 2 dx ? t ? 0时v ? 0 ? c1 ? 0 v ? a0t ? t v? 2? dt a0 2 a0 2 a0 3 ? x ? ? vdt ? ? (a0t ? t )dt ? t ? t ? c2 2? 2 6? a0dx ? vdt? t ? 0时x ? 0 ? c2 ? 0a0 2 a0 3 x? t ? t 2 6?73例13: 质点以初速 v0 沿半径为R 的圆周运动, 其加速度方向与速度方向夹角?为恒量, 求质点 速率与时间的关系。解：质点的切向加速度和法向加速度分别为：at ? dv dt , an ? v2 R? tan? ?an atv?v2dtR dv2分离变量dv v2?dt R tan?积分?v 0tdv v??0tdt R tan ?得1 v?1 v0?R tan?74这就是所要求的速率与时间的关系。五、相对运动? v? v? v? v(a) 车做匀速运动时车 上的人观察到石子做直 线运动。(b) 车做匀速直线运动时， 地面上的人观察到石子做 抛物线运动。75yS? r? r0y?? r?S?x?? vx两边求导? ? ? dr dr0 dr ? ? ? dt dt dt? ? ? r ? r0 ? r ?76? ? dr 绝对速度：v ? dt物体相对与 S 系的速度? ? dr0 牵连速度： v0 ? S?系相对与 S 系的速度 dt ? ? dr ? 相对速度： v? ? 物体相对与 S?系的速度 dt速度变换式：? ? ? v ? v0 ? v?77例15 一观察者A坐在平板车上，车以10 m/s的速率沿 水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈 60°角向上 斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者B看到石块 沿铅垂线向上运动。求石块上升的高度。 y y? 解： 按题意作矢量图 ? v0 x? ? ? ? v ? v0 ? v? xv ? v0 tan 60? ? 10 tan 60?m ? s?1? v? 17.3 m ? s2?12? v?? v078v 17.3 H? ? ? 15.3 m 2 g 2 ? 9.80例7 某人骑自行车以速率v0向东行驶。今有风以同 样的速率由北偏西30°方向吹来。问：人感到风是 从那个方向吹来？ 解：? ? ? v? ? v ? v0北偏西30°? v0? v? v?79补例2设某一质点以初速度 线运动，其加速度为 在停止前运动的路程有多长？解：做直 。问：质点dv dv a? ? ?10v ? ?10dt dt v v dv t v 两边积分： ? ? ?10? dt , ln ? ?10t v0 v 0 v0v ? v0 e?10tdx ?10t v? , dx ? vdt ? v0e dt dt80两边积分：?x0dx ? v0 ? e0t?10tdt? 1 ?10t ? x ? v0 ? ? e ?1 ? ? 10 ???x ? 10(1 ? ex0 ? 10(1 ? e?10?0 ?10??10t)) ? 10(1 ? 1) ? 0 ) ? 10(1 ? 0) m ? 10 mx? ? 10(1 ? e?x ? x? ? x0 ? 10 m81
更多搜索：
All rights reserved Powered by
文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。