【数学】一道多重积分高数题-学路网-学习路上 有我相伴
一道多重积分高数题
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一道多重积分高数题令x=ρcosa,y=ρsinaρ∈[1,2],a∈[0,2π]原式=∫[0,2π]∫[1,2]1/ρ*ρdρda=∫[0,2π]da∫[1,2]dρ=2π高数综合题,多重积分这是一道微分方程与二重积分结合的题积分区域是圆域,首先想到使用极坐标化简积分区域以及被积函数观察函数表达式发现有定积分,必定使用两侧同时积分的方法转化为微分...大一高数多重积分部分的题向左转|向右转高等数学,一道关于定积分的应用题,求解释所取厚度为dx的薄片水的微体积dV=πr²水的密度ρ=1g/cm³,重力加速度g=10³cm/s²,故该微体积的微重量dG=ρgπr²dx(达因);把该微重量...高等数学~多重积分。这道题,如果用z上-z下,但是怎么看谁是上...先算出来,再取绝对值。V=∫&0,1&dx∫&0,1-x&(x+y-xy)dy=∫&0,1&dx[xy+y^2/2-(1/2)xy^2]&y=0,y=1-x&=(1/2)∫&0,1&(1-x+x^2-x^3)dx=(...一道多重积分高数题(图8)一道多重积分高数题(图18)一道多重积分高数题(图26)一道多重积分高数题(图28)一道多重积分高数题(图30)这是用户提出的一个数学问题,具体问题为:一道多重积分高数题学路网 www.xue63.com 学路网 www.xue63.com 高等数学~多重积分。这道题,如果用z上-z下,但是怎么看谁是上...先算出来,再取绝对值。V=∫&0,1&dx∫&0,1-x&(x+y-xy)dy=∫&0,1&dx防抓取，学路网提供内容。我们通过互联网以及本网用户共同努力为此问题提供了相关答案,以便碰到此类问题的同学参考学习,请注意,我们不能保证答案的准确性,仅供参考,具体如下:高等数学,多重积分,证明类。化极坐标做原式=∫0~2πdθ∫0~1(e^(r^2)rdr面自做吧电脑弄数符号太难防抓取，学路网提供内容。用户都认为优质的答案:高等数学:多重积分的应用:质点这道题的关键是画出这个闭区域的图形,也就是把这两个圆的轨迹画出来,从你的疑问中...,因此这道题目关键在于极坐标与直角坐标的转换(对应大学高等数学第一章),由x=rcos防抓取，学路网提供内容。令x=ρcosa,y=ρsina高数二重积分和多重积分,求解法其次为上届。(如果先积X,积分的上下界就需要用y来表示,如果先积y,就需要用x来表示)然后这就出来一个积分了是吧,另外一个积分很简单,比如你先积X,然后积Y吧,Y这个积分防抓取，学路网提供内容。ρ∈[1,2],a∈[0,2π]高数多重积分。求大神解答圆柱坐标系下积分即可,下图供参考:防抓取，学路网提供内容。原式=∫[0,2π]∫[1,2] 1/ρ*ρdρda高等数学中的二重积分、三重积分和多重积分咋计算二重积分三重积分不都有公式么?二重积分,可以通过高斯公式化成一重的,也可以根据集合意义算三重积分不就是斯托克斯公式么多重的,可以按积分的性质,把被积函数分防抓取，学路网提供内容。=∫[0,2π]da∫[1,2] dρ100万元人民币的重量有多少？还有体积，大概是多大？答：以后人民币就按重量计:新钞一张是1.15克,长度是15.5CM,宽度是7.7cm,一万新钞0.9厘米厚。计算得约9310万元/立方,43480元防抓取，学路网提供内容。=2π高等数学,多重积分,证明类。化极坐标做原式=∫0~2πdθ∫0~1(e^(r^2)rdr面自做吧电脑弄数符号太难高等数学:多重积分的应用:质点这道题的关键是画出这个闭区域的图形,也就是把这两个圆的轨迹画出来,从你的疑问中...,因此这道题目关键在于极坐标与直角坐标的转换(对应大学高等数学第一章),由x=rcosθ...高数二重积分和多重积分,求解法其次为上届。(如果先积X,积分的上下界就需要用y来表示,如果先积y,就需要用x来表示)然后这就出来一个积分了是吧,另外一个积分很简单,比如你先积X,然后积Y吧,Y这个积分的...高数多重积分。求大神解答圆柱坐标系下积分即可,下图供参考:
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亲爱的小伙伴们，学习资料推送又来啦！
在上一期的高数干货中，16级会计学的学霸徐寅寅同学为我们讲解了多元函数的连续性、偏导存在性及可微性，多元复合函数求导，极值，方向导数及梯度等知识重点和相关例题，大家是否受益匪浅，又攻克了高数的一道难关呢？
本期推送的是有关重积分的高数知识。二重积分是历年必考题，出题角度很多；三重积分内容丰富，计算量大，难度不小。很多同学在学习这一章时感到吃力。
我们先来看一下重积分的基本框架和计算方法吧。
了解了这一块的知识体系后，正式进入高数干货分享时间。
本期的知识点及例题是由我们学习部自己整理，而学霸笔记仍是由徐寅寅分享哦。
本期内容:高数之重积分
SECTION_1 二重积分的概念和计算
化二重积分为累次积分的步骤是：
（1）作出积分区域的草图
（2）选择适当的坐标系
（3）选定积分次序，定出积分限
SECTION_2 三重积分的计算
（1）交换积分顺序
（2）利用对称性简化计算
（3）利用分块积分法、对称性消去被积函数绝对值符号
（4）被积函数为1时巧用其几何意义
SECTION_3 重积分的应用
掌握有关曲面面积、立体体积、物体重心、转动惯量的计算公式。（视频讲解）
接下来就是学霸笔记分享啦！
本期推送就到这里啦，我们下期不见不散哦。
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下期预告:曲线积分和曲面积分
编辑|奋进传媒中心新媒体部
来源|商学院学生会学习部
供稿人|王雯姝、董莉婷、孙叶凡
宣小编|韩凯利
责任编辑：
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9：00&22：00
高等数学重积分教学与学习
　　【摘要】二重积分是历年来考研的必考题，二重积分出题角度很多；三重积分内容丰富，计算量大，难度不小，区分度很高，难度大，所以作为初学者在这一块不知道如何学习，学习起来也比较吃力，也比较难理解.为了让学生更好地学好这门基础课程，很多著名学者早已开始了专门针对高校新生如何学习二重积分和三重积分的研究.本文主要针对教师如何教授重积分与学生如何学习重积分进行论述，希望能进一步提高高校学生对高数学习的积极性与教师对重积分教学方式的转变. 中国论文网 /9/view-4434757.htm　　【关键词】二重积分；三重积分；曲面积分；曲线积分；高等数学；教学方式 　　在说主题之前先说说二重积分与三重积分的重要性.二重积分与三重积分是历年考研中必考题，二重积分一般会考一个大题与一个小题，而三重积分，近年来以考4分小题为主，区分度很高，难度也不小.二重积分在计算过程中细节不少，出题角度也很多，命题人常在二重积分处出了不少精彩的题目. 　　总结一句话，二重积分在计算思路上不难，计算上就不容易了.而且高数作为理工科学生的必修基础课，是一门工具课，如果可以很好地学好高数，那么将来无论考研还是修专业课，都是很容易的.但是，笔者通过调查发现，很多高数初学者虽然拥有强烈学业成功的欲望，但是缺乏对高数的认识以及缺乏对重积分的学习方法，并且老师对这一块也不知道如何教授.那么到底初学者应该如何学习重积分，教学者如何教授重积分呢？笔者从两个方面论述. 　　一、转换授课方式 　　先从教学者的角度来看二重积分与三重积分.由于二重积分与三重积分抽象，再加上课堂上很少有老师用三维动画教学，只是干巴巴地在黑板上罗列课本上的知识与图解，结果是经常会出现教师在课堂上讲得热血沸腾，讲得很精彩，但学生们听得朦朦胧胧，一知半解. 　　由于高数课时短，课程量大，难度大，老师也很少有机会讲课后题去巩固学生学到的知识.如果是自觉性不高的学生，以后学曲线积分或者曲面积分必定出问题；如果是自觉性比较好的学生，上课认真听，就算没上课没听懂，课后复习，做练习题，不放过每一道题，二重积分、三重积分也会学得很不错的，以后无论学一类曲线积分、曲面积分，还是二类曲线积分、曲面积分，都可以游刃有余.但是这样的学生只会做题，而未能理解二重积分与三重积分概念定理. 　　而且人的记忆是不停地遗忘的，只会做题不会用在以后工作和别的学科是很可怕的.因为高数是一门工具课.而且这种学生在复习时经常是事倍功半，导致期末考试成绩也不是很理想.所以要重视课堂上学生对定理与基本概念的理解与学习，还有老师在教学过程中解释概念定理的技巧与方法.只有理解定理概念才能学习到重积分的精华、核心与思想.不是为了考试做题而学习而是为了学习一种思想. 　　如何可以把这种思想传递给学生呢？这就要考验老师创意教学到底如何了.比如实体模型或者3D视图.这样可以更直观地让学生学习与记忆. 　　再说定理概念理解后是很难遗忘的，只要让学生理解概念与定义，在以后生活或者别的学科中，都可以把问题转化为数学问题，将问题转化到例题中（例题是定理的体现），然后转化到概念定理，这样教学效果也许会更好. 　　二、学习者应该构建知识网架 　　现在来说说学习者如何学习二重积分与三重积分.无论学习哪一方面知识，在了解这类知识之前，不应该只是让学生从基础学，应该让学生看到这一块的知识体系，整个知识构架，然后一点点逐步深入地去学. 　　比如说学二重积分基础性计算分为直角坐标系与极坐标系.技术性计算用到对称性、心形公式与交换积分次序，然后引出格林公式.第二类曲线积分可以化为二重积分.然后通过第一类曲线积分与第二类曲线积分联系，将二重积分与曲线积分联系起来.这样对一个初学者来说效果也许会更好.建立好知识网架再去逐步学习，一定是事半功倍. 　　此两个公式将第一类曲面积分和第二类曲面积分与三重积分联系在一起.三重积分和二重积分最终化为一次积分.这就是高等数学积分这里学习方法与教学方法. 　　三、结 语 　　总而言之，高数学习是一个比较辛苦的过程，不是一蹴而就的，具体实施的时候我们需要考虑很多因素，但是这些因素中无不充满着对高数学习以及对重积分学习的阻碍.我相信，在社会各界的努力之下，我们的高数初学者一定会尽快科学建立起自己的高数学习规划，为自己更为祖国美好的未来贡献自己的力量. 　　【参考文献】 　　（1）（2）（3）（4）公式摘自《大学高等数学公式定理大全》
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高数重积分介绍.doc 20页
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二重积分的概念与性质
教学目的：理解二重积分，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。
教学重点：二重积分的定义。
教学难点：二重积分的定义的理解。
教学内容：
一、二重积分的概念
1( 曲顶柱体的体积
设有一立体( 它的底是面上的闭区域 它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面( 它的顶是曲面( 这里且在上连续( 这种立体叫做曲顶柱体( 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积(
首先( 用一组曲线网把分成个小区域
分别以这些小闭区域的边界曲线为准线( 作母线平行于轴的柱面( 这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体( 在每个中任取一点( 以为高而底为的平顶柱体的体积为
这个平顶柱体体积之和
可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值( 为求得曲顶柱体体积的精确值( 将分割加密( ( 即
其中是个小区域的直径中的最大值(
2( 平面薄片的质量(
设有一平面薄片占有面上的闭区域( 它在点处的面密度为( 这里且在上连续( 现在要计算该薄片的质量(
用一组曲线网把分成个小区域
把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量(
各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值(
将分割加细( ( 得到，其中是个小区域的直径中的最大值(
3.二重积分定义
定义：设是平面有界闭区域上有界函数，将闭域任意分成个小闭区域
其中表示第个小闭区域，也表示它的面积．在每一个上任取一点，作乘积，并作和，如果当各小区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存在（与分法及的取法均无关），则称此极限值为函数在闭区域上的二重积分，记作，即
其中叫被积函数( 叫被积表达式( 叫面积元素 (积分区域。
4．二重积分几何意义
　　当连续函数时，二重积分表示以为底，为顶，侧面是以的边界为准线，母线平行于轴的柱面的曲顶柱体的体积．一般情况，
=平面上方的曲顶柱体的体积减平面下方的曲顶柱体的体积．
二、二重积分的性质
　　设，在区域上可积，则
2．（其中为常数）．
3．，其中为区域的面积．
4．若区域被有限条曲线分为两个区域，则
5．在区域上若，则
6．（估值定理）若在区域上，表示区域的面积，则
7．（积分中值定理） 设函数在闭域上连续，表示区域的面积，则在上至少存在一点，使得
二重积分的计算法
教学目的：掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。
教学重点：二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；
教学难点：利用极坐标计算二重积分；
利用直角坐标计算二重积分
1. 型区域、型区域
型区域：用平行于轴的直线穿过的内部与的边界最多有两个交点。
型区域：用平行于轴的直线穿过的内部与的边界最多有两个交点。
直角坐标系下计算二重积分
命题1：若积分区域是型域，其不等式表示为
命题2：若积分区域是型域，其不等式表示为
例1( 计算( 其中是由直线及所围成的闭区域(
解( 画出区域
可把看成是((型区域( ( ( 于是
注( 积分还可以写成(
解法2( 也可把看成是(型区域(
例2( 计算( 其中是由直线及所围成的闭区域(
画出区域( 可把看成是((型区域(
也可看成是((型区域: ( 于是
例3 计算( 其中是由直线及抛物线所围成的闭区域(
解 积分区域可以表示为(
其中( ( 于是
积分区域也可以表示为：
例4 计算,D由，和围成。（）
交换积分次序
（2）交换二次积分次序
利用极坐标计算二重积分
有些二重积分( 积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便( 且被积函数用极坐标变量表达比较简单(
这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分(
按二重积分的定义(
下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式(
以从极点出发的一族射线及以极点为中心的一族同
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