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高考复习指导讲义 第七章 直线和平面
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3秒自动关闭窗口高三数学第二轮专题复习系列(9)—立体几何一、考纲要求 1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系(特别是平 行和垂直关系)以及它们所成的角与距离的概念. 2.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离. 3.能运用上述概念以及有关两条直线、 直线和平面、 两个平面的平行和垂直关系的性质 与判定，进行论证和解决有关问题. 4.会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形(特别是正三角形、正四边形、正五边形、 两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系. 5.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题. 二、知识结构 1.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.? 若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折 线. 若封闭的空间折线各线段彼此不相交， 则叫做这空间多边形平面， 平面是一个不定义的 概念，几何里的平面是无限伸展的. 平面通常用一个平行四边形来表示. 平面常用希腊字母 α 、β 、γ ?或拉丁字母 M、N、P 来表示，也可用表示平行四边形 的两个相对顶点字母表示，如平面 AC. 在立体几何中，大写字母 A，B，C，?表示点，小写字母，a,b,c,?l,m,n,?表示直线， 且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如： A∈l—点 A 在直线 l 上； A ? α —点 A 不在平面 α 内； l ? α —直线 l 在平面 α 内； a ? α —直线 a 不在平面 α 内； l∩m=A—直线 l 与直线 m 相交于 A 点； α ∩l=A—平面 α 与直线 l 交于 A 点； α ∩β =l—平面 α 与平面 β 相交于直线 l. 2.平面的基本性质 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面 内. 公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理 3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 3.证题方法 直接证法 证题方法 间接证法 同一法 反证法第 1 页 共 65 页4.空间线面的位置关系 平行—没有公共点 共面 (1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一个公共点 相交—有一条公共直线(无数个公共点) (3)平面与平面 平行—没有公共点 5.异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线， 与平面内不经过该点的直线是异面 直线”. 6.线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线 和交线平行，即若 a∥α ,a?β ，α ∩β =b,则 a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若 a∥b,b∥c,则 a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若 a⊥α ，b⊥α ，则 a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若 α ∥β ,α ∩γ ,β ∩γ =b, 则 a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行， 那么这条直线与这两个平面的交线平行， 即若 α ∩β =b,a∥α ,a∥β ，则 a∥b. (2)两直线垂直的判定 ①定义：若两直线成 90°角，则这两直线互相垂直. ②一条直线与两条平行直线中的一条垂直， 也必与另一条垂直.即若 b∥c,a⊥b,则 a⊥c ③一条直线垂直于一个平面， 则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若 a⊥α ,b ? α ， a⊥b.? ④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂 直，则它也和这条斜线垂直. ⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直 .即若 a∥α ,b⊥α ,则 a⊥b. ⑥ 三 个 两 两 垂 直 的 平 面 的 交 线 两 两 垂 直 ， 即 若 α ⊥β ,β ⊥γ ， γ ⊥α , 且 α ∩β =a,β ∩γ =b,γ ∩α =c，则 a⊥b,b⊥c,c⊥a. (3)直线与平面平行的判定 ①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即 若 a ? α ,b ? α ，a∥b,则 a∥α . ③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若 α ∥β ,l ? α ，则 l∥β .第 2 页 共 65 页④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面， 那么这条直线和这个平面平行. 即若 α ⊥β ,l⊥β ，l ? α ，则 l∥α . ⑤在一个平面同侧的两个点， 如果它们与这个平面的距离相等， 那么过这两个点的直线 与这个平面平行，即若 A ? α ，B ? α ，A、B 在 α 同侧，且 A、B 到 α 等距，则 AB∥α . ⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若 α ∥β ,a ? α ，a ? β ，a∥α ，则 α ∥β . ⑦如果一条直线与一个平面垂直， 则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行， 即若 a⊥α ,b ? α ，b⊥a，则 b∥α . ⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这 个平面内)，即若 a∥b,a∥α ,b∥α (或 b ? α ) (4)直线与平面垂直的判定 ①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 即若 m ? α ，n ? α ，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α . ③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若 l∥a,a⊥α ,则 l⊥α . ④ 一 条 直 线 垂 直 于 两 个平 行 平 面 中 的 一 个 平 面， 它 也 垂 直 于 另 一 个 平面 ， 即 若 α ∥β ,l⊥β ，则 l⊥α . ⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平 面，即若 α ⊥β ,a∩β =α ，l ? β ，l⊥a,则 l⊥α . ⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,且 a∩β =α ,则 a⊥γ . (5)两平面平行的判定 ①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点 ? α ∥β . ②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若 a,b ? α ，a∩b=P,a∥β ,b∥β ,则 α ∥β . ③垂直于同一直线的两平面平行.即若 α ⊥a,β ⊥a,则 α ∥β . ④平行于同一平面的两平面平行.即若 α ∥β ,β ∥γ ,则 α ∥γ . ⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行， 即若 a,b ? α ,c,d ? β ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则 α ∥β . (6)两平面垂直的判定 ①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即 二面角 α －a－β =90° ? α ⊥β . ② 如 果 一 个 平 面 经 过 另一 个 平 面 的 一 条 垂 线 ，那 么 这 两 个 平 面 互 相 垂直 ， 即 若 l⊥β ,l ? α ，则 α ⊥β . ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若 α ∥β ，α ⊥γ ，则 β ⊥γ . 7.直线在平面内的判定 (1)利用公理 1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内. (2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一 个平面内，即若 α ⊥β ,A∈α ，AB⊥β ，则 AB ? α . (3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内， 即若 A∈a,a⊥b，A∈α ,b⊥α ，则 a ? α . (4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若第 3 页 共 65 页P ? α ，P∈β ，β ∥α ，P∈a,a∥α ，则 a ? β . (5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在 这个平面内，即若 a∥α ,A∈α ，A∈b,b∥a,则 b ? α . 8.存在性和唯一性定理 (1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条； (2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条； (3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个； (4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条； (5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个； (6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个； (7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个； (8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个. 9.射影及有关性质 (1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的 射影还是点. (2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在 这平面上的射影. 和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线. (3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个 平面图形在该平面上的射影. 当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段； 当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形. (4)射影的有关性质 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： (i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； (ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； (iii)垂线段比任何一条斜线段都短. 10.空间中的各种角 等角定理及其推论 定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等. 推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角) 相等. 异面直线所成的角 (1)定义：a、b 是两条异面直线，经过空间任意一点 O，分别引直线 a′∥a,b′∥b,则 a′和 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角. (2)取值范围：0°＜θ ≤90°. (3)求解方法 ①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角 θ ； ②解含有 θ 的三角形，求出角 θ 的大小. 11.直线和平面所成的角 (1)定义 和平面所成的角有三种： (i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和 这个平面所成的角. (ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.第 4 页 共 65 页(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是 0°的角. (2)取值范围 0°≤θ ≤90° (3)求解方法 ①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角 θ . ②解含 θ 的三角形，求出其大小. ③最小角定理 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角， 亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角. 12.二面角及二面角的平面角 (1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面. (2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角 的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成. 若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角. 二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角 θ 的取值范围是 0°＜θ ≤180° (3)二面角的平面角 ①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组 成的角叫做二面角的平面角. 如图， ∠PCD 是二面角 α -AB-β 的平面角.平面角∠PCD 的大小与顶点 C 在棱 AB 上的位 置无关. ②二面角的平面角具有下列性质： (i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即 AB⊥平面 PCD. (ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线， 垂足必在平 面角的另一边(或其反向延长线)上. (iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面 PCD⊥α ，平面 PCD⊥β . ③找(或作)二面角的平面角的主要方法. (i)定义法 (ii)垂面法 (iii)三垂线法 (Ⅳ)根据特殊图形的性质 (4)求二面角大小的常见方法 ①先找(或作)出二面角的平面角 θ ，再通过解三角形求得 θ 的值. ②利用面积射影定理 S′=S·cosα 其中 S 为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形 的面积，α 为二面角的大小. ③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小. 13.空间的各种距离 点到平面的距离 (1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面 的距离. (2)求点面距离常用的方法： 1)直接利用定义求第 5 页 共 65 页①找到(或作出)表示距离的线段； ②抓住线段(所求距离)所在三角形解之. 2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面 交线的距离就是所求的点面距离. 3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥 的体积 V 和所取三点构成三角形的面积 S；③由 V=1 S·h，求出 h 即为所求.这种方法的优 3点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算. 4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求. 14.直线和平面的距离 (1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线 和平面的距离. (2)求线面距离常用的方法 ①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之. ②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之. ③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离. 15.平行平面的距离 (1)定义 个平行平面同时垂直的直线， 叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个 平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做 这两个平行平面的距离. (2)求平行平面距离常用的方法 ①直接利用定义求 证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之. ②把面面平行距离转化为线面平行距离， 再转化为线线平行距离， 最后转化为点线(面) 距离，通过解三角形或体积法求解之. 16.异面直线的距离 (1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的 公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段. (2)求两条异面直线的距离常用的方法 ①定义法 题目所给的条件， 找出(或作出)两条异面直线的公垂线段， 再根据有关定理、 性质求出公垂线段的长. 此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形. ②转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离 ③等体积法 ④最值法 ⑤射影法 ⑥公式法第 6 页 共 65 页直线与平面 【例题】 【例1】 正三棱锥 P-ABC 的高和底面边长都等于 a，EF 是 PA 与 BC 的公垂线，E、F 分 别是垂足。 （1）求证：侧棱 PA?截面 BEC 底面 ABC 所成二面角的大小 解：1）略 2）易知 F 为 BC 的中点，在 RtΔ PAO 中，AO= 所以 PA=2 3 a ，又易知 PA⊥BE， 3 a ，PO=a， 3A E（2）求截面 BEC 的面积； （3）求截面 BEC 与PC O B F13 a， 4 3 3 所以在直角三角形 EFB 中，求得 EF= a ，所以 S ?BEC ? a 4 8在等腰三角形 PAB 中，可求得 BE=3）∠EFA=300 【例2】 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中，A1C1=B1C1=2，D、D1 分别是 AB、A1B1 的中 点，平面 A1ABB1⊥ 平面 A1B1C1，异面直线 AB1 和 C1B 互相垂直. (1)求证：AB1⊥ 1D1； C (2)求证：AB1⊥ A1CD； 面 (3)若 AB1=3，求直线 AC 与平面 A1CD 所成的角.解：(1)证明：∵ 1C1=B1C1，D1 是 A1B1 的中点，∴ 1D1⊥ 1B1 于 D1， A C A 又∵ 平面 A1ABB1⊥ 平面 A1B1C1，∴ 1D1⊥ C 平面 A1B1BA， 而 AB1 ? 平面 A1ABB1，∴ 1⊥ 1D1. AB C (2)证明：连结 D1D，∵ 是 AB 中点，∴ 1 D DD CC1，∴ 1D1∥ C CD，由(1)得 CD⊥ 1， AB又∵ 1D1⊥ C 平面 A1ABB1，C1B⊥ 1，由三垂线定理得 BD1⊥ 1， AB AB 又∵ 1D∥ 1B，∴ 1⊥ 1D 而 CD∩A1D=D，∴ 1⊥ A D AB A AB 平面 A1CD. (3)解：由(2)AB1⊥ 平面 A1CD 于 O，连结 CO1 得∠ ACO 为直线 AC 与平面 A1CD 所成的第 7 页 共 65 页角，∵ 1=3，AC=A1C1=2，∴ AB AO=1，∴ sinOCA= ∴ OCA= ∠AO 1 ? ， AC 2? . 6且【例3】 两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB， AC， FB， M∈ N∈ AM=FN，求证：MN∥ 平面 BCE. 证法一：作 MP⊥ BC，NQ⊥ BE，P、Q 为垂足，则 MP∥ AB，NQ∥ AB. ∴ MP∥ NQ，又 AM=NF，AC=BF， ∴ MC=NB，∠ MCP=∠ NBQ=45° ∴ Rt△MCP≌ Rt△NBQ ∴ MP=NQ,故四边形 MPQN 为平行四边形 ∴ MN∥ PQ ∵ ? 平面 BCE，MN 在平面 BCE 外， PQ ∴ MN∥ 平面 BCE.证法二：如图过 M 作 MH⊥ 于 H，则 MH∥ AB BC， ∴AM AH ? AC AB FN AH ? BF AB连结 NH，由 BF=AC，FN=AM，得? NH // AF // BE ,由MH // BC ? ? ? 平面MNH // 平面BCE NH // BE ?∴ MN∥ 平面 BCE. 【例4】 在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面 BB1C1C⊥ 底 面 ABC. (1)若 D 是 BC 的中点，求证：AD⊥ 1； CC (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M，若 AM=MA1，求证：截面 MBC1⊥ 侧面 BB1C1C；第 8 页 共 65 页(3)AM=MA1 是截面 MBC1⊥ 平面 BB1C1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由. 解： (1)证明：∵ AB=AC，D 是 BC 的中点，∴ AD⊥ BC ∵ 底面 ABC⊥ 平面 BB1C1C，∴ AD⊥ 侧面 BB1C1C ∴ AD⊥ 1. CC (2)证明：延长 B1A1 与 BM 交于 N，连结 C1N ∵ AM=MA1，∴ 1=A1B1 NA ∵ 1B1=A1C1，∴ 1C1=A1N=A1B1 A A ∴ 1N⊥ 1B1 C C ∵ 底面 NB1C1⊥ 侧面 BB1C1C，∴ 1N⊥ C 侧面 BB1C1C ∴ 截面 C1NB⊥ 侧面 BB1C1C ∴ 截面 MBC1⊥ 侧面 BB1C1C. (3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性. 过 M 作 ME⊥ 1 于 E，∵ BC 截面 MBC1⊥ 侧面 BB1C1C ∴ ME⊥ 侧面 BB1C1C，又∵ AD⊥ 侧面 BB1C1C. ∴ ME∥ AD，∴ M、E、D、A 共面 ∵ AM∥ 侧面 BB1C1C，∴ AM∥ DE ∵ 1⊥ CC AM，∴ DE∥ 1 CC ∵ 是 BC 的中点，∴ 是 BC1 的中点 D E ∴ AM=DE= CC1 ?1 21 AA1，∴ AM=MA1. 2C' B' A'【例5】 已知斜三棱柱 ABC-A’B’C’的底面是直 角 三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α （0°& α &90°） ，B’在底面上的射影 D 落在 BC 上。 （1）求证：AC⊥面 BB’C’C。 （2）当α 为何值时，AB’⊥BC’，且使得 D 恰为 BCCA D的中点。 解： （1）∵ B’D⊥面 ABC，AC ? 面 ABC， ∴ B’D⊥AC， 又 AC⊥BC，BC∩ B’D=D， ∴ AC⊥面 BB’C’C。B第 9 页 共 65 页（2）由三垂线定理知道：要使 AB’⊥BC’，需且只需 AB’在面 BB’C’C 内的射影 B’C⊥BC’。 即四边形 BB’C’C 为菱形。此时，BC=BB’。 因为 B’D⊥面 ABC，所以， ?B' BD 就是侧棱 B’B 与底面 ABC 所成的角。 由 D 恰好落在 BC 上，且为 BC 的中点，所以，此时 ?B' BD = 60 ? 。 即当α = 60 ? 时，AB’⊥BC’，且使得 D 恰为 BC 的中点。 【例6】 如图：已知四棱锥 P ? ABCD 中， 底面四边形为正方形，侧面 PDC 为正三角形，且 平面 PDC⊥ 底面 ABCD，E 为 PC 中点。 （1）求证：平面 EDB⊥ 平面 PBC； （2）求二面角 B ? DE ? C 的平面角的正切D C B E P值。 解： （1）要证两个平面互相垂直，常规的想A法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。 首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面 PDC 为正三角形，所以， DE ? PC ， 那么我们自然想到：是否有 DE ? 面PBC ？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难 的事情。 ∵面 PDC⊥ 底面 ABCD，交线为 DC， ∴ 在平面 ABCD 内的射影就是 DC。 DE 在正方形 ABCD 中，DC⊥ CB， ∴ CB。 DE⊥ 又 PC ? BC ? C ， PC, BC ? 面PBC ， ∴ 面PBC 。 DE⊥ 又 DE ? 面 EDB， ∴平面 EDB⊥ 平面 PBC。面 （2）由（1）的证明可知：DE⊥ PBC 。所以， ?BEC 就是二面角 B ? DE ? C 的平面角。 ∵面 PDC⊥ 底面 ABCD，交线为 DC， 又平面 ABCD 内的直线 CB⊥ DC。第 10 页 共 65 页∴ 面 PDC。 CB⊥ 又 PC ? 面 PDC， ∴ PC。 CB⊥ 在 Rt ?ECB 中， tan ?BEC ?BC ? 2。 CES【例7】 如图： 在四棱锥 S ? ABCD中，SA ⊥平 面 ABCD ，∠ BAD ? ?ADC ?CD ? a ， E 为 SB 的中点。?2， AB ? AD ? 2a ，EA D（1）求证： CE // 平面 SAD ； （2）当点 E 到平面 SCD 的距离为多少时，平 面 SBC 与平面 SAD 所成的二面角为 45 ? ？BC解：题目中涉及到平面 SBC 与平面 SAD 所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交 线（即二面角的棱） 。另一方面，要证S HCE // 平面 SAD ，应该设法证明 CE 平行于面 SAD 内的一条直线， 充分利用中 点（中位线）的性质，不难发现，刚刚 做出的二面角的棱正好符合要求。 （1）延长 BC、AD 交于点 F。 在 ?FAB 中， BAD ? ?ADC ? ∠A ED CF?2，B所以， AB、 都与 AF 垂直， CD 所以， CD//AB， 所以，?CDF ∽ ?BAF 。 AB ? 2a ，CD ? a ， 又 所以，点 D、C 分别为线段 AF、BF 的中点。 又因为 E 为 SB 的中点，所以，EC 为 ?SBC 的中位线，所以，EC//SF。 又 EC ? 面SAD ， SF ? 面SAD ，所以， CE // 平面 SAD 。 （2）因为： SA ⊥平面 ABCD ，AB ? 平面 ABCD ，所以，AB ? SA 。又 AB ? AF，AF ? SA ? A ，所以，AB ? 面 SAF 。过 A 作 AH ? SF 于 H，连 BH，则 BH ? SF，所以， ? BHA 就是平面 SBC 与平面 SAD 所 成的二面角的平面角。 在 Rt ?BHA 中，要使 ? BHA = 45 ? ，需且只需 AH=AB= 2 a 。第 11 页 共 65 页此时，在 ? SAF 中， SA ?SF ? AH ? AFSA2 ? ?4a ?2 ? 2a 4 3 ，所以， SA ? a。 4a 3在三棱锥 S-ACD 中，设点 A 到面 SCD 的距离为 h，则S ? SA h= ?ACD ? S ?SCD AD ? DC ? SA AD ? SA 2 ? ? SD ? CD SD 2 AD ? SA SA ? AD2 2?14 a 4因为 AB//DC，所以，AB//面 SCD。所以，点 A、B 到面 SCD 的距离相等。又因为 E 为 SB 中点，所以，点 E 到平面 SCD 的距离就等于点 B 到面 SCD 距离的一半，即h 14 。 ? 2 8【例8】 如图，在三棱柱 ABC — A?B ?C ? 中，四边形 A?ABB? 是菱形,四边形 BC C ?B ? 是矩 形, C ?B?? AB 。 （1）求证：平面 CA?B? A?AB ； （2）若 C ?B ? ? 3，AB ? 4，?AB B ? ? 60 ? ， 求 AC＇与平面 BCC＇所成角的大小（用反三角函数表示） 解： （1）证明： ∵在三棱柱 ABC — A?B ?C ? 中， C ?B ? ∥ CB ∴CB⊥AB；又∵ C ?B?? AB ； ∴ CB ? 平面 A?AB∵CB ? 平面CA?B ∴平面CA?B ? 平面A?AB（2）解：由C ?B ? ? 平面A?AB，得平面A?AB ? 平面BCC ?过点 A 作 AH⊥平面 BC C ? ，H 为垂足， 则 H 在 B B? 上， 连结 C ?H，则?AC ?H为AC ?与平面BCC ?所成的角 连接 A B? ，可知 ?ABB?为等边三角形，而H为BB?中点，又AB? ? 4AH ? 2 3，于是在Rt?C ?B ?A中， AC ? ? 4 2 ? 3 2 ? 5，而在Rt?AHC ?中， sin ?AC ?H ? 2 3 5 2 3 5? ?AC ?H ? arcsin因此，AC＇与平面 BCC＇所成的角是 arcsin2 3 。 5第 12 页 共 65 页【例9】 在长方体 ABCD — A?B ?C ?D ? 中，AB=a， AD ? b ， AA? ? c ； ?a ? b ? c ? ，由顶点 A 沿着长方体的表面到顶点 C? 的最短距离是多少？ 解：如图所示? AC1 ? c 2 ? ?a ? b ?2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? AC 2 ??b ? c ?2 ? a 2 ?a ? c ?2 ? b 2? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? AC3 ?? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ac?a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2a(b ? c) ? 0 2ac ? 2bc ? 2c(a ? b) ? 0 ? 2ab ? 2ac ? 2bc ? 故AC2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc是所求最短距离【直线与平面练习】 一、选择题 1．在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 A1 到截面 AB1D1 的距离是( A. ) B.8 33 8C.4 3D.3 4)2．在直二面角 α—l—β 中，直线 a ? α,直线 b ? β,a、b 与 l 斜交，则( A.a 不和 b 垂直，但可能 a∥ b C.a 不和 b 垂直，a 也不和 b 平行 二、填空题B.a 可能和 b 垂直，也可能 a∥ b D.a 不和 b 平行，但可能 a⊥ b3．设 X、Y、Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥ 且 Y⊥ ? X∥ Z Z Y” 为真命题的是_________(填序号). ① X、Y、Z 是直线 ② 、Y 是直线，Z 是平面 ③ 是直线，X、Y 是平面 ④ 、Y、Z X Z X 是平面 4．设 a,b 是异面直线，下列命题正确的是_________. ① 过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a、b 都相交 ② 过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a、b 都垂直第 13 页 共 65 页③ a 一定可以作一个平面与 b 垂直 过 ④ a 一定可以作一个平面与 b 平行 过 三、解答题 5．如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 垂直于底面，E、F 分 别是 AB、PC 的中点. (1)求证：CD⊥ PD; (2)求证：EF∥ 平面 PAD; (3)当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大角时，直线 EF⊥ 平面 PCD？6．如图，在正三棱锥 A—BCD 中，∠ BAC=30° ，AB=a,平行于 AD、BC 的截面 EFGH 分别交 AB、BD、DC、CA 于点 E、F、G、H. (1)判定四边形 EFGH 的形状，并说明理由. (2)设 P 是棱 AD 上的点，当 AP 为何值时，平面 PBC⊥ 平面 EFGH，请给出证明.7．如图，正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都相等，D、E 分别是 CC1 和 AB1 的中点， 点 F 在 BC 上且满足 BF∶ FC=1∶ 3. (1)若 M 为 AB 中点，求证：BB1∥ 平面 EFM； (2)求证：EF⊥ BC； (3)求二面角 A1—B1D—C1 的大小.第 14 页 共 65 页8．如图，已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形且∠ 1CB= C ∠ 1CD=∠ C BCD=60° , (1)证明：C1C⊥ BD； (2)假定 CD=2，CC1= 余弦值； (3)当3 ，记面 C1BD 为 α,面 CBD 为 β,求二面角 α—BD—β 的平面角的 2CD 的值为多少时，可使 A1C⊥ C1BD？ 面 CC1参考答案 一、1.解析：如图，设 A1C1∩B1D1=O1，∵ 1D1⊥ 1O1，B1D1⊥ 1，∴ 1D1⊥ B A AA B 平面 AA1O1， 故平面 AA1O1⊥ 1D1，交线为 AO1，在面 AA1O1 内过 A1 作 A1H⊥ 1 于 H，则易知 A1H 长 AB AO 即是点 A1 到平面 AB1D1 的距离， Rt△A1O1A 中， 1O1= 2 ， 1=3 2 ， A1O1· 1A=h· 1, 在 A AO 由 A AO 可得 A1H=4 . 3答案：C? 2.解析：如图，在 l 上任取一点 P，过 P 分别在 α、β 内作 a′∥ a,b′∥ b,在 a′上任取一点 A， 过 A 作 AC⊥ 垂足为 C， AC⊥ l， 则 β,过 C 作 CB⊥ b′交 b′于 B， AB， 连 由三垂线定理知 AB⊥ b′，第 15 页 共 65 页∴ APB 为直角三角形,故∠ △ APB 为锐角. 答案：C 二、3.解析：① 是假命题，直线 X、Y、Z 位于正方体的三条共点棱时为反例，② 是真 ③ 命题，④ 是假命题，平面 X、Y、Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例. 答案：② ③ 4.④ 三、5.证明：(1)∵ PA⊥ 底面 ABCD，∴ 是 PD 在平面 ABCD 内的射影， AD ∵ ? 平面 ABCD 且 CD⊥ CD AD，∴ CD⊥ PD. (2)取 CD 中点 G，连 EG、FG， ∵ E、F 分别是 AB、PC 的中点，∴ EG∥ AD，FG∥ PD ∴ 平面 EFG∥ 平面 PAD，故 EF∥ 平面 PAD (3）解：当平面 PCD 与平面 ABCD 成 45° 角时，直线 EF⊥ PCD 面 证明：G 为 CD 中点，则 EG⊥ CD,由(1)知 FG⊥ CD，故∠ EGF 为平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角.即∠ EGF=45° ，从而得∠ ADP=45° ，AD=AP 由 Rt△PAE≌ Rt△CBE,得 PE=CE 又 F 是 PC 的中点，∴ EF⊥ PC，由 CD⊥ EG，CD⊥ FG，得 CD⊥ 平面 EFG，CD⊥ 即 EF EF⊥ CD，故 EF⊥ 平面 PCD. 6.(1)证明：同理 EF∥ FG，∴ EFGH 是平行四边形 ∵ A—BCD 是正三棱锥，∴ 在底面上的射影 O 是△BCD 的中心， A ∴ DO⊥ BC，∴ AD⊥ BC， ∴ HG⊥ EH，四边形 EFGH 是矩形.第 16 页 共 65 页(2)作 CP⊥ 于 P 点，连结 BP，∵ AD AD⊥ BC，∴ AD⊥ BCP 面 ∵ HG∥ AD，∴ HG⊥ BCP，HG ? 面 EFGH.面 BCP⊥ EFGH， 面 面 在 Rt△APC 中，∠ CAP=30° ，AC=a,∴ AP=3 a. 27.(1)证明：连结 EM、MF，∵ M、E 分别是正三棱柱的棱 AB 和 AB1 的中点， ∴ 1∥ BB ME，又 BB1 ? 平面 EFM，∴ 1∥ BB 平面 EFM. (2)证明：取 BC 的中点 N，连结 AN 由正三棱柱得：AN⊥ BC， 又 BF∶ FC=1∶ 3，∴ 是 BN 的中点，故 MF∥ F AN， ∴ MF⊥ BC，而 BC⊥ 1，BB1∥ BB ME. ∴ ME⊥ BC，由于 MF∩ME=M，∴ BC⊥ 平面 EFM， 又 EF? 平面 EFM，∴ BC⊥ EF. (3)解：取 B1C1 的中点 O，连结 A1O 知，A1O⊥ BCC1B1，由点 O 作 B1D 的垂线 OQ， 面 垂足为 Q，连结 A1Q，由三垂线定理，A1Q⊥ 1D，故∠ 1QD 为二面角 A1—B1D—C 的平面 B A 角，易得∠ 1QO=arctan 15 . A 8.(1)证明：连结 A1C1、AC，AC 和 BD 交于点 O，连结 C1O， ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥ BD，BC=CD 又∵ BCC1=∠ ∠ DCC1，C1C 是公共边，∴ C1BC≌ C1DC，∴ 1B=C1D △ △ C ∵ DO=OB，∴ 1O⊥ C BD，但 AC⊥ BD，AC∩C1O=O ∴ BD⊥ 平面 AC1，又 C1C ? 平面 AC1，∴ 1C⊥ C BD. (2)解：由(1)知 AC⊥ BD，C1O⊥ BD，∴ C1OC 是二面角 α—BD—β 的平面角. ∠3 3 3 13 ，∠ BCC1=60° C1B2=22+( )2－2× ，∴ 2× × cos60° = . 2 2 2 4 1 3 ∵ OCB=30° OB= ,BC=1,C1O= ,即 C1O=C1C. ∠ ,∴ 2 2 3 3 作 C1H⊥ OC，垂足为 H，则 H 是 OC 中点且 OH= ，∴ cosC1OC= 2 3在△C1BC 中，BC=2，C1C= (3)解：由(1)知 BD⊥ 平面 AC1，∵ 1O ? 平面 AC1，∴ A BD⊥ 1C，当 ACD =1 时，平行六 CC1面体的六个面是全等的菱形，同理可证 BC1⊥ 1C，又∵ A BD∩BC1=B，∴ 1C⊥ A 平面 C1BD. 空间的角 【复习要点】 空间角的计算步骤：一作、二证、三算第 17 页 共 65 页1.异面直线所成的角 范围：0° ＜θ≤90° 方法：① 平移法；② 补形法. 2.直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影. 3.二面角 方法：① 定义法；② 三垂线定理及其逆定理；③ 垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式 S′=Scosθ 来计算 【例题】 【例1】 如图，α—l—β 为 60° 的二面角，等腰直角三角形 MPN 的直角顶点 P 在 l 上， M∈ α,N∈ β,且 MP 与 β 所成的角等于 NP 与 α 所成的角. (1)求证：MN 分别与 α、β 所成角相等； (2)求 MN 与 β 所成角.解：(1)证明：作 NA⊥ 于 A，MB⊥ 于 B,连接 AP、PB、BN、AM，再作 AC⊥ 于 C， α β l BD⊥ 于 D，连接 NC、MD. l ∵ NA⊥ α,MB⊥ ∠ β,∴ MPB、 NPA 分别是 MP 与 β 所成角及 NP 与 α 所成角， MNB， NMA ∠ ∠ ∠ 分别是 MN 与 β,α 所成角，∴ MPB=∠ ∠ NPA. 在 Rt△MPB 与 Rt△NPA 中，PM=PN，∠ MPB=∠ NPA，∴ MPB≌ NPA，∴ △ △ MB=NA. 在 Rt△MNB 与 Rt△NMA 中， MB=NA， 是公共边， △ MN ∴ MNB≌ NMA， ∠ △ ∴ MNB=∠ NMA， 即(1)结论成立. (2) 解 ： 设 ∠ MNB=θ,MN=2a, 则PB=PN=a,MB=NA=2asinθ ，NB= 2 acosθ?, MB⊥ ∵ β,BD⊥ MD⊥ ∠ l,∴ l,∴ MDB 是二面角 α—l—β 的平面角， ∴ MDB=60° ∠ ，同理∠ NCA=60° , ∴ BD=AC=3 6 MB 2 MB ? asinθ,CN=DM= ? 6 asinθ, 3 3 6 sin 60? 3∵ MB⊥ β，MP⊥ PN，∴ BP⊥ PN第 18 页 共 65 页∵ BPN=90° DPB=∠ ∠ ,∠ CNP,∴ BPD∽ PNC,∴ △ △PC BD ? PN PB即a ? CN a22?DB BN 2 ? a 2a2 ? ( ,?2 6a sin? ) 2 6 sin? 3 ? a 3 ( 2a cos? ) 2 ? a 2整理得，16sin4θ－16sin2θ+3=01 3 2 3 1 3 解得 sin2θ= 或 ,sinθ= 或 ，当 sinθ= 时，CN= 6 asinθ= 4 4 3 2 2 22 a＞PN 不合理，舍去. ∴ sinθ=1 ,∴ MN 与 β 所成角为 30° . 2【例2】 在棱长为 a 的正方体 ABCD—A′B′C′D′中，E、F 分别是 BC、A′D′的中点.(1)求证：四边形 B′EDF 是菱形； (2)求直线 A′C 与 DE 所成的角； (3)求直线 AD 与平面 B′EDF 所成的角； (4)求面 B′EDF 与面 ABCD 所成的角. 解： (1)证明：如上图所示，由勾股定理，得 B′E=ED=DF=FB′= F 四点共面，取 AD 中点 G，连结 A′G、EG，由 EG ∴ B′E∥ A′G,又 A′F DG,∴ A′GDF 为平行四边形. AB5 a,下证 B′、E、D、 2A′B′知，B′EGA′是平行四边形.∴ A′G∥ FD，∴ B′、E、D、F 四点共面 故四边形 B′EDF 是菱形. (2)解：如图所示，在平面 ABCD 内，过 C 作 CP∥ DE，交直线 AD 于 P，第 19 页 共 65 页则∠ A′CP(或补角)为异面直线 A′C 与 DE 所成的角. 在△A′CP 中，易得 A′C= 3 a，CP=DE= 由余弦定理得 cosA′CP=5 13 a,A′P= a 2 215 15 15 . 15故 A′C 与 DE 所成角为 arccos(3)解： ∠ ∵ ADE=∠ ADF,∴ 在平面 B′EDF 内的射影在∠ AD EDF 的平分线上.如下图所示.又∵ B′EDF 为菱形，∴ DB′为∠ EDF 的平分线， 故直线 AD 与平面 B′EDF 所成的角为∠ ADB′ 在 Rt△B′AD 中，AD= 2 a，AB′= 2 a,B′D= 2 a 则 cosADB′=3 3 3 . 3故 AD 与平面 B′EDF 所成的角是 arccos(4)解：如图，连结 EF、B′D，交于 O 点，显然 O 为 B′D 的中点，从而 O 为正方形 ABCD—A′B′C′D 的中心.作 OH⊥ 平面 ABCD，则 H 为正方形 ABCD 的中心，第 20 页 共 65 页再作 HM⊥ DE，垂足为 M，连结 OM，则 OM⊥ DE， 故∠ OMH 为二面角 B′—DE′—A 的平面角.2 3 5 a,OD= a,斜边 DE= a, 2 2 2 OD ? OE 30 ? 则由面积关系得 OM= a DE 10 OH 30 ? 在 Rt△OHM 中，sinOMH= OM 6 30 故面 B′EDF 与面 ABCD 所成的角为 arcsin . 6在 Rt△DOE 中，OE= 【例3】 如下图，已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正 方形，侧棱 AA1 长为 b,且 AA1 与 AB、AD 的夹角都是 120° .求：(1)AC1 的长； (2)直线 BD1 与 AC 所成的角的余弦值.解 : (1) | AC1 |2 ? AC1 ? AC1 ? ( AA1 ? AC )( AA1 ? AC ) ? ( AA1 ? AB ? AD )( AA1 ? AB ? AD ) ?| AA1 |2 ? | AB |2 ? | AD |2 ?2 AA1 ? AB ? 2 AA1 ? AD ? 2 AB ? AD 由已知得 :| AA1 |2 ? b 2 , | AB |2 ?| AD |2 ? a 2 ? AA1 , AB ??? AA1 , AD ?? 120?, ? AB, AD ?? 90? 1 1 ? AA1 ? AB ? b ? a cos120? ? ? ab, AA1 ? AD ? b ? a cos120? ? ? ab, AB ? AD ? 0, 2 2 ?| AC1 |2 ? 2a 2 ? b 2 ? 2ab,?| AC1 |? 2a 2 ? b 2 ? 2ab . ( 2)依题意得, | AC |? 2a , AC ? AB ? AD BD1 ? AD ? BA ? AA1 ? AD ? AB ? AC ? BD1 ? ( AB ? AD )( AA1 ? AD ? AB ) ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 ? AB ? AD ? AD 2 ? AB 2 ? AB ? AD ? ? ab | BD1 |2 ? BD1 ? BD1 ? ( AA1 ? AD ? AB )( AA1 ? AD ? AB ) ?| AA1 |2 ? | AD |2 ? | AB |2 ?2 AA1 ? AD ? 2 AB ? AD ? 2 AA1 ? AB ? 2a 2 ? b 2? BD1 |? 2a 2 ? b2 |第 21 页 共 65 页cos ? BD1 , AC ??BD1 ? AC | BD1 || AC |??b 4a 2 ? 2b 2b 4a ? 2b 22∴ 1 与 AC 所成角的余弦值为 BD.D1 A1 B1 C1【例4】 长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中， ? BC ? 1 ， ABAA1 ? 2 ， E 是侧棱 BB1 中点．（1）求直线 AA 与平面 A1 D1 E 所成角的大小； 1 （2）求二面角 E ? AC1 ? B 的大小； （3）求三棱锥 A ? C1 D1 E 的体积． 解： （1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，A DE C B为此，我们应该先作出面 A1 D1 E 的一条垂线．不难发现， AE 正为所求． 由长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 知： D1 A1 ? 面ABB A1 ，又 AE ? 面ABB A1 ，所以， 1 1D1 A1 ? AE ．在矩形 ABB A1 中， E 为 BB1 中点且 AA1 ? 2 ， AB ? 1 ，所以， AE ? A1 E ? 1 以， ?A1 AE 为等腰直角三角形， EA1 ? AE ． 所以， AE ? 面 A1 D1 E ． 所以， ?A1 AE 就是直线 AA 与平面 A1 D1 E 所成的角，为 45 ? ． 1 （2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线， 则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出． 注 意 到2 ，所AB ? 面B1BCC1 ， 所 以 ， 面D1 A1 G E D A F C B B1 C1ABC1 ? 面B1 BCC1 ，所以，只需在 面B1 BCC1 内过点 E 作 EF ? BC1 于 F，则 EF ? 面 ABC1 ．过 F 作 FG ? AC1 于 G，连 EG，则 ?EGF 就是二 面角 E ? AC1 ? B 的平面角．第 22 页 共 65 页在 ?EBC1 中， EF ?2S ?EBC1 BC1?EB ? C1 B1 5 ? ， BC1 5所以， C1 F ? C1 E 2 ? EF 2 ?3 5 ． 5AB 30 ? ． AC1 10在 ?ABC1 中， FG ? C1 F ? sin ?FC1G ? C1 F ? 在 Rt?EFG 中， tan ?EGF ?EF 6 ． ? FG 3所以，二面角 E ? AC1 ? B 的平面角的大小为 arctan6 ． 3（3） 要求三棱锥 A ? C1 D1 E 的体积， 注意到 （2） 中已经求出了点 E 到平面 AC1 D1 的距离 EF．所以，1 1 1 V A?C1D1E ? VE ? AC1D1 ? S ?AC1D1 ? EF ? AD1 ? CD1 ? EF ? ． 3 6 6另一方面，也可以利用等积转化． 因为 AB // D1C1 ，所以， AB // 面C1 D1 E ．所以，点 A 到平 面C1 D1 E 的距离就等 于点 B 到平 面C1 D1 E 的距离．所以，1 1 1 V A?C1D1E ? VB?C1D1E ? VD1 ? EBC1 ? S ?EBC1 ? D1C1 ? EB ? C1 B1 ? D1C1 ? ． 3 6 6【例5】 如图，已知 PA ? 面 ABC， AD ? BC 于 D， BC ? CD ? AD ? 1 。 （1）令 PD? x ， ?BPC ? ? ，试把 tan ? 表示为 x 的函数，并求其最大值； （2）在直线 PA 上是否存在一点 Q，使得 ?BQC ? ?BAC ？ 解： （1）为寻求 tan ? 与 x 的关系，首先可以将 ? 转化为 ?PCD ? ?PBD 。 ∵ PA ? 面 ABC ， AD ? BC 于 D， ∴ PD ? BD 。 ∴ tan ?PCD ?PD PD x ? x, tan ?PBD ? ? 。 DC BD 2x?B C D A P∴ tan ?x 2 ? x 。 ? tan??PCD ? ?PBD? ? x x2 ? 2 1? x ? 2∵ AD 为 PD 在面 ABD 上的射影。 ∴ PD ? AD ? 1 ，即 x ? 1 。第 23 页 共 65 页∴ tan ? ?x x ?22?1 2 x? x?1 2 2?2 。 4即 tan ? 的最大值为2 ，等号当且仅当 x ? 2 时取得。 4（2）由正切函数的单调性可知：点 Q 的存在性等价于：是否存在点 Q 使得t an ?BQC ? tan?BAC 。tan ?BAC ? tan??ACD ? ?ABD? ? 1 。 3令 tan ? ?x x ?22?1 ，解得： 1 ? x ? 2 ，与 x ? 1 交集非空。 3∴ 满足条件的点 Q 存在。【例6】 如图所示：正四棱锥 P ? ABCD 中，侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的正切值 为6 。 （1）求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小； 2（2）若 E 是 PB 中点，求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值； （3）在侧面 PAD 上寻找一点 F，使得 EF ? 侧面 PBC。试确定点PF 的位置，并加以证明。 解： （1）连 AC, BD 交于点 O ，连 PO， 则 PO⊥面 ABCD， ∴ ∠PAO 就是 PA 与底面 ABCD 所成的角，A B D EC6 ∴ tan∠PAO= 。 2设 AB=1，则 PO=AO?tan∠PAO =3 。 2设 F 为 AD 中点， FO、 连 PO， OF⊥AD， 则 所以， PF⊥AD， 所以，?PFO 就是侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的平面角。 在 Rt ?PFO 中， tan ?PFO ? ∴ ?PFO ?PO ? 3， FO?3。即面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小为? 3（2）由（1）的作法可知：O 为 BD 中点，又因为 E 为 PD 中点，所以， EO // ∴ ?EOD 就是异面直线 PD 与 AE 所成的角。? 21PD 。第 24 页 共 65 页在 Rt ?PDO 中， PD ? OD2 ? PO2 ?5 ∴ EO ? 。 45 。 2P由 AO ? BD ， AO ? PO 可知： AO ? 面 PBD 。 所以， AO ? EO 。 在 Rt ?AOE 中， ?AEO ? tanAO 2 10 。 D ? EO 5F K O A B H EC G∴ 异 面 直 线 PD 与 AE 所 成 的 角 为2 10 。 arctan 5（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先 找到面 PBC 的一条垂线，然后再平移到点 E 即可。 为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现： 面PFO ? 面PBC 。 延长 FO 交 BC 于点 G ，连接 PG 。设 H 为 PG 中点，连接 EH, GH 。 ∵四棱锥 P ? ABCD 为正四棱锥且 F 为 AD 中点，所以， G 为 BC 中点， ∴ BC ? PG ， BC ? FG 。面 ∴ BC ? 面PFG 。∴面 PBC ⊥ PFG 。∵ PF ? PG ， ?PFO ??3，∴ ?PFG 为正三角形。∴ FH ? PG ，∴ FH ? 面PBC 。 取 AF 中点为 K，连 EK，则由 HE // FK 及 HE ? FK 得四边形 HEKF 为平行四边形， 所以， KE // FH 。KE ? 面PBC 。 ∴【例7】 RtΔ ABC 中，AC=BC=1，∠BCA=90°，现将Δ ABC 沿着平面 ABC 的法向量平移 到Δ A1B1C1 位置，已知 AA1=2，分别取 A1B1、A1A 的中点 P、Q， （1）求 BQ 的长； （2）求证：AB1⊥C1P； （3）求 cos＜ BQ ， CB1 ＞，cos＜ BA1 ， CB1 ＞， 并比较＜ BQ ， CB1 ＞与＜ BA1 ， CB1 ＞的大小.第 25 页 共 65 页解：以 C 为原点，建立如图空间直角坐标系 O-xyz， （1）∵ BQ =（1，-1，1） ， ∴ | BQ | = 12 ? (?1) 2 ? 12 ? 3 （2）∵ AB1 =（-1，1，3） C1 P =（ ， ∴ AB1 · C1 P =（-1）× ∴ AB1 ⊥ C1 P ， 即 AB1 ⊥ C1 P （3） CB1 =（0，1，2） AB1 =（1，-1，2） ， ， cos＜ BQ ， CB1 ＞=BQ ? CB1 BQ ? CB1 ? 1 3? 5 ? 15 ， 151 1 ， ，0） 2 21 1 +1× +2×0=0， 2 2同理，cos＜ BA1 ， CB1 ＞= ∵0＜π ） 230 10A1 C115 30 ＜ ＜1， BQ ，CB1 ＞， BA1 ，CB1 ＞∈ ＜ ＜ （0， 15 10B1∴＜ BQ ， CB1 ＞＞＜ BA1 ， CB1 ＞AE C D B【例8】 如图：直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中， AC ? BC ? AA1 ? 2 ，?ACB ? 90? 。 E 为 BB1 的中点， D 点在 AB 上且 DE ? 3 .（Ⅰ）求证： CD ? 面A1 ABB1 ； （Ⅱ）求二面角 C ? A1 E ? D 的大小. 解：1）证：依题意知 AB1 ? 2 3 ， DE ?1 AB1 且 2E 为 BB1 的中点，则 D 也为 AB 中点∴ CD ? AB 又∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱 ∴ CD ? A1 A 又 AA1 ? AB ? A 且 AA1 、 AB ? 平面A1 ABB1第 26 页 共 65 页故 CD ? 面A1 ABB1 . 2）解：由 1）知 CD ? 面A1 ABB ，在 ?ADE 中过 D 作 DF ? A1 E 交 AE 于 F ， 1 连 CF ，由三垂线定理有 ?DFC 为所求二面角得平面角 易知 CD ?2 ，在 ?A1 DE 中， A1 D ? 6 ， DE ? 3 ， A1 E ? 3DF ? A1 D ? DE ? 2 AECD ? DF 2 2 ?1故 ?A1 DE ? 90?在 Rt?CDE 中 tan ?DFC ?? . 4故所求二面角的大小为【例9】 如图，在多面体 ABCDE 中， AE ? 面 ABC ，DBD ∥ AE ，且 AC ? AB ? BC ? BD ? 2 ， AE ? 1 ， F 为CD 中点．（1）求证： EF ? 面 BCD ； （2）求多面体 ABCDE 的体积； （3）求面 CDE 与面 ABDE 所成的二面角的余弦值．E F A B C解： （1）取 BC 中点 G ，连 FG ， AG ． ∵ AE ? 面 ABC ， BD ∥ AE ，∴ BD ? 面 ABC ， 又 AG ? 面 ABC ，∴ BD ? AG ，又 AC ? AB ，G 是 BC 中点， AG ? 平面 BCD ，∵ 是 CD 的中点且 BD ? 2 ， F ∴ AG ? BC ，∴BD ∴ FG ∥ 且 FG ?1 FG ∥AE ， BD ? 1 ，∴ 2AE ? FG ，故四边形 AEFG 是平行四边形，从而 EF ∥ ， AG 又 AE ? 1 ，∴∴ EF ? 面 BCD ． （2）设 AB 中点为 H ，则由 AC ? AB ? BC ? 2 可得 CH ? AB 且 CH ? 3 ， 又∵ BD ∥ AE ，∴ BD 与 AE 共面，又 AE ? 面 ABC ，故平面 ABDE ? 平面 ABC ， ∴ CH ? 平面 ABDE ，即 CH 为四棱锥 C ? ABDE 的高． 故 VC ? ABDE ? S ABDE ·CH ? ? [ (1 ? 2) ? 2] ? 3 ? 3 ． （3）过 C 作 CK ? DE 于 K ,连接 KH ,由三垂线定理的逆定理得 KH ? DE ,1 31 3 1 2第 27 页 共 65 页∴ ?HKC 为二面角 C ? DE ? B 的平面角. 易知 EC ? 5 , DE ? 5 , CD ? 2 2 ,D G由 S ?BCE1 1 ? ? (2 2 ) ? 3 ? ? 5 ? CK , 2 2 2 30 ,在 Rt?CHK 中, 5E F A C H G6 ． 4可得 CK ?CH 10 6 ,故 cos?HKC ? , sin?HKC ? ? CK 4 4B∴面 CDE 与面 ABDE 所成的二面角的余弦值为【空间的角练习】 一、选择题 1．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 为 DD1 的中点，O 为底面 ABCD 的中心，P 为棱 A1B1 上任意一点，则直线 OP 与直线 AM 所成的角是( A. )?6B.?4C.?3D.?22．设△ABC 和△DBC 所在两平面互相垂直，且 AB=BC=BD=a,∠ CBA= ∠ CBD=120° AD 与平面 BCD 所成的角为( ,则 A.30° 二、填空题 3．已知∠ AOB=90° O 点引∠ ,过 AOB 所在平面的斜线 OC，与 OA、OB 分别成 45° 、60° ， 则以 OC 为棱的二面角 A—OC—B 的余弦值等于_________. 4． 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 2∶ 3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二 面角的度数为_________. 三、解答题 5 ， 已 知 四 边 形 ABCD 为 直 角 梯 形 ， AD∥ ， ∠ BC ABC=90° ,PA⊥平 面 AC ， 且 PA=AD=AB=1,BC=2 (1)求 PC 的长； (2)求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值的大小； (3)求证：二面角 B—PC—D 为直二面角. B.45° ) C.60° D.75°第 28 页 共 65 页6．设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且 AB=BC=BD，∠ ABC= ∠ DBC=120° 求：(1)直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小； (2)异面直线 AD 与 BC 所成的角； (3)二面角 A—BD—C 的大小. 7．一副三角板拼成一个四边形 ABCD，如图，然后将它沿 BC 折成直二面角.(1)求证：平面 ABD⊥ 平面 ACD； (2)求 AD 与 BC 所成的角； (3)求二面角 A—BD—C 的大小. 8．设 D 是△ABC 的 BC 边上一点，把△ACD 沿 AD 折起，使 C 点所处的新位置 C′在平 面 ABD 上的射影 H 恰好在 AB 上. (1)求证：直线 C′D 与平面 ABD 和平面 AHC′所成的两个角之和不可能超过 90° ； (2)若∠ BAC=90° ，二面角 C′—AD—H 为 60° ，求∠ BAD 的正切值.??? 参考答案 一、1.解析：(特殊位置法）将 P 点取为 A1，作 OE⊥ 于 E，连结 A1E，则 A1E 为 OA1 AD 的射影，又 AM⊥ 1E，∴ A AM⊥ 1，即 AM 与 OP 成 90° OA 角.第 29 页 共 65 页答案：D 2.解析：作 AO⊥ 的延长线，连 OD，则 OD 即为 AD 在平面 BCD 上的射影， CB ∵ AO=OD= 答案：B 二、3.解析：在 OC 上取一点 C，使 OC=1，过 C 分别作 CA⊥ 交 OA 于 A，CB⊥ OC OC 交 OB 于 B，则 AC=1， ，OA= 2 ，BC= 3 ，OB=2，Rt△AOB 中，AB2=6，△ABC 中，由余 弦定理，得 cosACB=－ 答案：－3 a,∴ ADO=45° ∠ . 23 . 33 34.解析：设一个侧面面积为 S1，底面面积为 S，则这个侧面在底面上射影的面积为S ， 31 S S1 2 S 1 由题设得 θ=60° . ? ,∴ ? ，设侧面与底面所成二面角为 θ,则 cosθ= 3 ? S1 3S1 2 S 3答案：60° 三 、 5.(1) 解 ： 因 为 PA⊥平 面 AC ， AB⊥ BC,∴ PB⊥ 即 ∠ BC, PBC=90°由 勾 股 定 理 得 , PB= PA2 ? AB 2 ? 2 .∴ PC= PB 2 ? PC 2 ? 6 .(2)解：如图，过点 C 作 CE∥ 交 AD 的延长线于 E，连结 PE，则 PC 与 BD 所成的角 BD 为∠ PCE 或它的补角. ∵ CE=BD= 2 ，且 PE= PA2 ? AE 2 ? 10PC 2 ? CE 2 ? PE 2 3 ?? 2 PC ? CE 6 3 ∴ 与 BD 所成角的余弦值为 PC . 6∴ 由余弦定理得 cosPCE=第 30 页 共 65 页(3）证明：设 PB、PC 中点分别为 G、F，连结 FG、AG、DF，则 GF∥ BC∥ AD，且 GF=1 BC=1=AD，从而四边形 ADFG 为平行四边形， 2又 AD⊥ 平面 PAB，∴ AD⊥ AG，即 ADFG 为矩形，DF⊥ FG. 在△PCD 中，PD= 2 ，CD= 2 ，F 为 BC 中点，∴ DF⊥ PC 从而 DF⊥ 平面 PBC，故平面 PDC⊥ 平面 PBC，即二面角 B—PC—D 为直二面角.? 6.解：(1)如图，在平面 ABC 内，过 A 作 AH⊥ BC，垂足为 H，则 AH⊥ 平面 DBC， ∴ ADH 即为直线 AD 与平面 BCD 所成的角.由题设知△AHB≌ AHD，则 DH⊥ ∠ △ BH，AH=DH，∴ ADH=45° ∠ (2)∵ BC⊥ DH，且 DH 为 AD 在平面 BCD 上的射影， ∴ BC⊥ AD，故 AD 与 BC 所成的角为 90° . (3)过 H 作 HR⊥ BD，垂足为 R，连结 AR，则由三垂线定理知，AR⊥ BD，故∠ ARH 为二 面角 A—BD—C 的平面角的补角.设 BC=a,则由题设知， AH=DH= HR=3 a a, BH ? ,在△HDB 中， 2 23 AH a，∴ tanARH= =2 4 HR故二面角 A—BD—C 大小为 π－arctan2. 7.(1)证明：取 BC 中点 E，连结 AE，∵ AB=AC，∴ AE⊥ BC ∵ 平面 ABC⊥ 平面 BCD，∴ AE⊥ 平面 BCD， ∵ BC⊥ CD，由三垂线定理知 AB⊥ CD. 又∵ AB⊥ AC，∴ AB⊥ 平面 BCD，∵ ? 平面 ABD. AB ∴ 平面 ABD⊥ 平面 ACD. (2)解：在面 BCD 内，过 D 作 DF∥ BC，过 E 作 EF⊥ DF，交 DF 于 F，由三垂线定理知AF⊥ DF，∠ ADF 为 AD 与 BC 所成的角.第 31 页 共 65 页设 AB=m，则 BC= 2 m，CE=DF=2 6 m,CD=EF= m 2 3? tan ADF ?AF ? DFAE 2 ? EF 2 21 21 ? ,? ?ADF ? arctan DF 3 321 3即 AD 与 BC 所成的角为 arctan(3)解：∵ AE⊥ BCD，过 E 作 EG⊥ 于 G，连结 AG，由三垂线定理知 AG⊥ 面 BD BD， ∴ AGE 为二面角 A—BD—C 的平面角 ∠2 2 m,∴ EG= m? 2 4 2 AE 又 AE= m,∴ tanAGE= =2,∴ AGE=arctan2. ∠ 2 GE∵ EBG=30° ∠ ，BE= 即二面角 A—BD—C 的大小为 arctan2. 8.(1)证明：连结 DH，∵ C′H⊥ 平面 ABD，∴ C′DH 为 C′D 与平面 ABD 所成的角且平面 ∠ C′HA⊥ 平面 ABD，过 D 作 DE⊥ AB，垂足为 E，则 DE⊥ 平面 C′HA. 故∠ DC′E 为 C′D 与平面 C′HA 所成的角 ∵ sinDC′E=DE DH ≤ =sinDC′H C ?D C ?D∴ DC′E≤∠ ∠ DC′H, ∴ DC′E+∠ ∠ C′DE≤∠ DC′H+∠ C′DE=90° (2)解：作 HG⊥ AD，垂足为 G，连结 C′G, 则 C′G⊥ AD，故∠ C′GH 是二面角 C′—AD—H 的平面角 即∠ C′GH=60° ，计算得 tanBAD=2 . 2第 32 页 共 65 页【练习 2】 1．下列命题中，正确的是( )A．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 B．如果一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行。 C．如果两条直线都平行于同一平面，那么这两条直线平行 D．如果一条直线上有两个点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面平行。 2．下面的四个命题：( )（1）若直线 a//平面 a，则平面 a 内的任何直线都与直线 a 平行 （2）若直线 a?平面 a，则平面 a 内的任何直线都与直线 a 垂直 （3）若平面 a//平面?，则平面?内的任何直线都与平面 a 平行 （4）若平面 a?平面?，则平面?内的任何直线都与平面 a 垂直； 其中正确的命题的个数是：( A．0 B．1 ) C．2 D．3 )3．已知平面 a 与平面?相交，直线 m?平面 a，则：(A．?内不一定存在直线与 m 平行，但必存在直线与 m 垂直 B．?内必存在直线与 m 平行，且必存在直线与 m 垂直 C．?内不一定存在直线与 m 平行，不一定存在直线与 m 垂直 D．?内必存在直线与 m 平行，不一定存在直线与 m 垂直 4．已知?、?、?表示不同的平面，a、b 表示不同的直线，下列命题中正确的是：( A．如果 a//a，a??，那么 a?? C．如果 a?a，a??，那么 a//? B．如果 a??，???，那么 a?? D．如果 a//b，b//a，那么 a//a )5．设?，?表示平面，L 表示不在 a 内也不在?内的直线，存在下列三个事实： （1）L?a； （2）a??； （3）L//?，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则可以构成三个命题，这 三个命题中，正确命题的个数是：( A．0 B．1 C．2 D．3 )6．设 a、b、c 是不同的直线，α ，?是不同的平面，下列三个命题： （1）若 a//b，则 a 与 c 所成的角和 b 与 c 所成的角相等 （2）若 a//b，则 a 与α 所成的解和 b 与α 所成的角相等 （3）若α //?，则 a 与α 所成的角和 a 与?所成的角相等 其中，正确命题的个数是：( )第 33 页 共 65 页A．0B．1C．2D．37．已知 m、n 是直线，?、?、?是平面，给出下列命题 （1）若???，???则?//? （2）若 u??，u??，则?//?（3）若?内不共线的三点到平面?的距离都相等，则?//? （4）若 n ? ?，m ? ?，且 n//?，m//?，则?//?； （5）若 m，n 为异面直线，且 n ? ?，n//?，m ? ?，m//?，则?//? 其中正确的两个命题是：( A． （1）与（2） D． （2）与（3） 8．已知直二面角 a—L—?，且 a ? ?，b ? ?， 且 a,b 与 L 均不垂直，则下列命题正确 的是；( ) B．a 和 b 不可能垂直，但可能平行 D．a 和 b 可能垂直，也可能平行 ) C． （2）与（5）B． （3）与（4）A．a 和 b 不可能垂直，也不可能平行 C．a 和 b 可能垂直，但不可能平行9．已知直线 l1，l2 与平面 a，有下面四个命题： （1）若 l1//a,l1//l2,则 l2//a （3）若 l1?a,l2?a,，则 l1//l2 其中真命题有：( A．0 个 B．1 个 ) C．2 个 D．3 个 ) （2）若 l1?a,l2?a=A,，则 l1,l2 异面 （4）若 l1?l2,l1?a，则 l2//a10．正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，直线 BD1 与直线 AC 所成的角是：( A．30? b．45? c．60? d．90?11．已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面于 A 点，边 PB、PC、PD、AC、BD，则互 相垂直的平面有：( A．5 对 B．6 对 ) C．7 对 D．8 对12．空间有 6 个点，任意四点都不共面，过其中任意两点均有一条直线，则成为异面直 线的对数为( A．15 ) B．30 C．45 D．6013．下面命题中 （1）两条异面直线 a，b 中，a//平面 a，则 b//a （2）若平面 a//平面?，a? ?，则 a//? （3）若 a??=a，直线 a?b，若使 b?a，则只须 b??，且 a??第 34 页 共 65 页（4）直线 a，b?a，直线 l?a=A 且 l?a，b?a，则 b 与 l 在 a 内的射影垂直( A． （2） （1） B． （3） （2） C． （2） （1） （3） D． （3） （2） （4）)14．直线 L 与△ABC 三边均不相交，L 上有四点 D、E、F、G 且这四点均不在直线 AB、 AC、BC 上，则 A、B、C、D、E、F、G 七个点可确定三角形的个数是；( A．35 B．33 C．31 D．29 )15．设 a、b 表示直线，?、?、?表示平面，给出下列命题： （1）若???，且???，则?//? （2）若?内有不共线的三个点到?的距离相等，则?//? （3）若 a ? ?,b ? ?,且?//?,b//?,则 a//? （4）若 a，b 是异面直线，a??,b??,且 a//?,b//a,则 a//? 其中正确命题的序号是 填上） 16．已知 a,b,c 是三条不重合的直线，?、?、?是三个不重合的平面，给出下面六个命 题： （1）若 a//c,b//c，则 a//b （3）若 a//c,?//c,，则 a//? （5）若 a//c,?//c，则 a//? 其中正确的命题的序号是： 17．已知 m，l 是异面直线，给出下列命题 （1）一定存在平面 a 过 m 且与 l 平行 （2）一定存在平面 a 与 m、l 都垂直 （3）一定存在平面 a 过 m 且与 l 垂直 （4）一定存在平面 a 与 m、l 的距离相等 其中不正确的命题的序号 18．设 a、b 表示直线，?、?、?表示平面，给出下列命题： （1）若???，且???，则?//? （2）若?内有不共线的三个点到?的距离相等，则?//? （3）若 a ? ?,b ? ?,且?//?,b//?,则 a//? （4）若 a，b 是异面直线，a??,b??,且 a//?,b//a,则 a//? 其中正确命题的序号是 。 （注，把你认为正确的命题的序号都填上） （2）若 a//?,b//?，则 a//b （4）若 a//?,?//?，则 a//? （6）若 a//?,?//?，则 a//? 。 。 （注， 把你认为正确的命题的序号都19．已知 a,b,c 是三条不重合的直线，?、?、?是三个不重合的平面，给出下面六个命 题：第 35 页 共 65 页（1）若 a//c,b//c，则 a//b （3）若 a//c,?//c,，则 a//? （5）若 a//c,?//c，则 a//? 其中正确的命题的序号是：（2）若 a//?,b//?，则 a//b （4）若 a//?,?//?，则 a//? （6）若 a//?,?//?，则 a//? 。20．已知 m，l 是异面直线，给出下列命题 （1）一定存在平面 a 过 m 且与 l 平行 （2）一定存在平面 a 与 m、l 都垂直 （3）一定存在平面 a 过 m 且与 l 垂直 （4）一定存在平面 a 与 m、l 的距离相等 其中不正确的命题的序号 。21． ?、? 是不重合的 2 个平面，在 ? 上任取 5 个点，在 ? 上任取 4 个点，由这些点所 确定的平面的个数最多是（ C A．42 个 ） C．72 个 D．84 个 ）B．70 个22．若平面 ? ⊥平面 ? ，又直线 m ? ? ，直线 l ? ? ，且 l ? m ，则（ D A． m ⊥ ? B． l ⊥ ? C． m ⊥ ? 且 l ⊥ ? D． m ⊥ ? 或 l ⊥ ?23．已知二面角 ? ? AB ? ? 是直二面角，P 为棱 AB 上一点，PQ、PR 分别在平面 ? 、 ? 内，且 ?QPB ? ?RPB ? 45? ，则 ?QPR 为（ B A．45? B．60? ） D．150?C．120?24．正方体的棱长为 a ，由它的互不相邻的四个顶点连线所构成的四面体的体积是 （ C A． ）a3 6B．a3 4C．a3 3D．a3 226 ． 平 行 六 面 体 的 棱 长 均 为 4 ， 由 同 一 顶 点 出 发 的 三 条 棱 上 分 别 取 PA ? 1 ，PB ? 2， ? 3 ，则三棱锥 P — ABC的体积与平行六面体的体积之比是（ PCA）A．1∶64B．2∶7C．7∶19D．3∶16 ）27．在正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中，二面角 D1 — A1C — B1 的度数是（ C A．45? B．60? C．120? D．135?28．正方形 ABCD被对角线 BD 和以 A 为圆心，AB 为半径的圆弧 BD 分成三部分，绕 AD 旋转，所得旋转体的体积 V1、V2、V3 之比是（ C A．2∶1∶1 B．1∶2∶1 ） D．2∶2∶1 D ） D．4 个C．1∶1∶129．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ A．1 个 B．2 个 C．3 个第 36 页 共 65 页空间的角 【复习要点】 空间角的计算步骤：一作、二证、三算 1.异面直线所成的角 范围：0° ＜θ≤90° 方法：① 平移法；② 补形法. 2.直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影. 3.二面角 方法：① 定义法；② 三垂线定理及其逆定理；③ 垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式 S′=Scosθ 来计算【例题】 【例10】 如图，α—l—β 为 60° 的二面角，等腰直角三角形 MPN 的直角顶点 P 在 l上，M∈ α,N∈ β,且 MP 与 β 所成的角等于 NP 与 α 所成的角. (1)求证：MN 分别与 α、β 所成角相等； (2)求 MN 与 β 所成角.解：(1)证明：作 NA⊥ 于 A，MB⊥ 于 B,连接 AP、PB、BN、AM，再作 AC⊥ 于 C， α β l BD⊥ 于 D，连接 NC、MD. l ∵ NA⊥ α,MB⊥ ∠ β,∴ MPB、 NPA 分别是 MP 与 β 所成角及 NP 与 α 所成角， MNB， NMA ∠ ∠ ∠ 分别是 MN 与 β,α 所成角，∴ MPB=∠ ∠ NPA. 在 Rt△MPB 与 Rt△NPA 中，PM=PN，∠ MPB=∠ NPA，∴ MPB≌ NPA，∴ △ △ MB=NA. 在 Rt△MNB 与 Rt△NMA 中， MB=NA， 是公共边， △ MN ∴ MNB≌ NMA， ∠ △ ∴ MNB=∠ NMA， 即(1)结论成立. (2) 解 ： 设 ∠ MNB=θ,MN=2a, 则PB=PN=a,MB=NA=2asinθ ，NB= 2 acosθ?, MB⊥ ∵ β,BD⊥ MD⊥ ∠ l,∴ l,∴ MDB 是二面角 α—l—β 的平面角，第 37 页 共 65 页∴ MDB=60° ∠ ，同理∠ NCA=60° , ∴ BD=AC=3 6 MB 2 MB ? asinθ,CN=DM= ? 6 asinθ, 3 3 6 sin 60? 3∵ MB⊥ β，MP⊥ PN，∴ BP⊥ PN ∵ BPN=90° DPB=∠ ∠ ,∠ CNP,∴ BPD∽ PNC,∴ △ △PC BD ? PN PBa 2 ? CN 2 即 ? aDB BN 2 ? a 2a2 ? ( ,?2 6a sin? ) 2 6 sin? 3 ? a 3 ( 2a cos? ) 2 ? a 2整理得，16sin4θ－16sin2θ+3=01 3 2 3 1 3 解得 sin2θ= 或 ,sinθ= 或 ，当 sinθ= 时，CN= 6 asinθ= 4 4 3 2 2 22 a＞PN 不合理，舍去. ∴ sinθ=1 ,∴ MN 与 β 所成角为 30° . 2【例11】在棱长为 a 的正方体 ABCD—A′B′C′D′中，E、F 分别是 BC、A′D′的中点.(1)求证：四边形 B′EDF 是菱形； (2)求直线 A′C 与 DE 所成的角； (3)求直线 AD 与平面 B′EDF 所成的角； (4)求面 B′EDF 与面 ABCD 所成的角. 解： (1)证明：如上图所示，由勾股定理，得 B′E=ED=DF=FB′= F 四点共面，取 AD 中点 G，连结 A′G、EG，由 EG ∴ B′E∥ A′G,又 A′F DG,∴ A′GDF 为平行四边形. AB5 a,下证 B′、E、D、 2A′B′知，B′EGA′是平行四边形.∴ A′G∥ FD，∴ B′、E、D、F 四点共面 故四边形 B′EDF 是菱形. (2)解：如图所示，在平面 ABCD 内，过 C 作 CP∥ DE，交直线 AD 于 P，第 38 页 共 65 页则∠ A′CP(或补角)为异面直线 A′C 与 DE 所成的角. 在△A′CP 中，易得 A′C= 3 a，CP=DE= 由余弦定理得 cosA′CP=5 13 a,A′P= a 2 215 15 15 . 15故 A′C 与 DE 所成角为 arccos(3)解： ∠ ∵ ADE=∠ ADF,∴ 在平面 B′EDF 内的射影在∠ AD EDF 的平分线上.如下图所示.又∵ B′EDF 为菱形，∴ DB′为∠ EDF 的平分线， 故直线 AD 与平面 B′EDF 所成的角为∠ ADB′ 在 Rt△B′AD 中，AD= 2 a，AB′= 2 a,B′D= 2 a 则 cosADB′=3 3 3 . 3故 AD 与平面 B′EDF 所成的角是 arccos(4)解：如图，连结 EF、B′D，交于 O 点，显然 O 为 B′D 的中点，从而 O 为正方形 ABCD—A′B′C′D 的中心.作 OH⊥ 平面 ABCD，则 H 为正方形 ABCD 的中心，第 39 页 共 65 页再作 HM⊥ DE，垂足为 M，连结 OM，则 OM⊥ DE， 故∠ OMH 为二面角 B′—DE′—A 的平面角.2 3 5 a,OD= a,斜边 DE= a, 2 2 2 OD ? OE 30 ? 则由面积关系得 OM= a DE 10 OH 30 ? 在 Rt△OHM 中，sinOMH= OM 6 30 故面 B′EDF 与面 ABCD 所成的角为 arcsin . 6在 Rt△DOE 中，OE= 【例12】 如下图，已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 a的正方形，侧棱 AA1 长为 b,且 AA1 与 AB、AD 的夹角都是 120° .求：(1)AC1 的长； (2)直线 BD1 与 AC 所成的角的余弦值.解 : (1) | AC1 |2 ? AC1 ? AC1 ? ( AA1 ? AC )( AA1 ? AC ) ? ( AA1 ? AB ? AD )( AA1 ? AB ? AD ) ?| AA1 |2 ? | AB |2 ? | AD |2 ?2 AA1 ? AB ? 2 AA1 ? AD ? 2 AB ? AD 由已知得 :| AA1 |2 ? b 2 , | AB |2 ?| AD |2 ? a 2 ? AA1 , AB ??? AA1 , AD ?? 120?, ? AB, AD ?? 90? 1 1 ? AA1 ? AB ? b ? a cos120? ? ? ab, AA1 ? AD ? b ? a cos120? ? ? ab, AB ? AD ? 0, 2 2 ?| AC1 |2 ? 2a 2 ? b 2 ? 2ab,?| AC1 |? 2a 2 ? b 2 ? 2ab . ( 2)依题意得, | AC |? 2a , AC ? AB ? AD BD1 ? AD ? BA ? AA1 ? AD ? AB ? AC ? BD1 ? ( AB ? AD )( AA1 ? AD ? AB ) ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 ? AB ? AD ? AD 2 ? AB 2 ? AB ? AD ? ? ab | BD1 |2 ? BD1 ? BD1 ? ( AA1 ? AD ? AB )( AA1 ? AD ? AB ) ?| AA1 |2 ? | AD |2 ? | AB |2 ?2 AA1 ? AD ? 2 AB ? AD ? 2 AA1 ? AB ? 2a 2 ? b 2? BD1 |? 2a 2 ? b2 |第 40 页 共 65 页cos ? BD1 , AC ??BD1 ? AC | BD1 || AC |??b 4a 2 ? 2b 2b 4a ? 2b 22∴ 1 与 AC 所成角的余弦值为 BD 【例13】AB ? BC ? 1 ，AA1 ? 2 ， E 是侧棱 BB1 中点．.D1 A1 B1 C1? 1B 长 方 体 A B C AD 1C1 D1 中 ，E D A C B（1）求直线 AA 与平面 A1 D1 E 所成角的大小； 1 （2）求二面角 E ? AC1 ? B 的大小； （3）求三棱锥 A ? C1 D1 E 的体积．解： （1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作出面 A1 D1 E 的 一条垂线．不难发现， AE 正为所求． 由长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 知： D1 A1 ? 面ABB A1 ，又 AE ? 面ABB A1 ，所以， 1 1D1 A1 ? AE ．在矩形 ABB A1 中， E 为 BB1 中点且 AA1 ? 2 ， AB ? 1 ，所以， AE ? A1 E ? 1 以， ?A1 AE 为等腰直角三角形， EA1 ? AE ． 所以， AE ? 面 A1 D1 E ． 所以， ?A1 AE 就是直线 AA 与平面 A1 D1 E 所成的角，为 45 ? ． 1 （2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线， 则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出． 注 意 到2 ，所AB ? 面B1BCC1 ， 所 以 ， 面D1 A1 G E D A F C B B1 C1ABC1 ? 面B1 BCC1 ，所以，只需在 面B1 BCC1 内过点 E 作 EF ? BC1 于 F，则 EF ? 面 ABC1 ．过 F 作 FG ? AC1 于 G，连 EG，则 ?EGF 就是二 面角 E ? AC1 ? B 的平面角．第 41 页 共 65 页在 ?EBC1 中， EF ?2S ?EBC1 BC1?EB ? C1 B1 5 ? ， BC1 5所以， C1 F ? C1 E 2 ? EF 2 ?3 5 ． 5AB 30 ? ． AC1 10在 ?ABC1 中， FG ? C1 F ? sin ?FC1G ? C1 F ? 在 Rt?EFG 中， tan ?EGF ?EF 6 ． ? FG 3所以，二面角 E ? AC1 ? B 的平面角的大小为 arctan6 ． 3（3） 要求三棱锥 A ? C1 D1 E 的体积， 注意到 （2） 中已经求出了点 E 到平面 AC1 D1 的距离 EF．所以，1 1 1 V A?C1D1E ? VE ? AC1D1 ? S ?AC1D1 ? EF ? AD1 ? CD1 ? EF ? ． 3 6 6另一方面，也可以利用等积转化． 因为 AB // D1C1 ，所以， AB // 面C1 D1 E ．所以，点 A 到平 面C1 D1 E 的距离就等 于点 B 到平 面C1 D1 E 的距离．所以，1 1 1 V A?C1D1E ? VB?C1D1E ? VD1 ? EBC1 ? S ?EBC1 ? D1C1 ? EB ? C1 B1 ? D1C1 ? ． 3 6 6【例14】如图，已知 PA ? 面 ABC， AD ? BC 于 D， BC ? CD ? AD ? 1 。（1）令 PD? x ， ?BPC ? ? ，试把 tan ? 表示为 x 的函数，并求其最大值； （2）在直线 PA 上是否存在一点 Q，使得 ?BQC ? ?BAC ？ 解： （1）为寻求 tan ? 与 x 的关系，首先可以将 ? 转化为 ?PCD ? ?PBD 。 ∵ PA ? 面 ABC ， AD ? BC 于 D， ∴ PD ? BD 。 ∴ tan ?PCD ?PD PD x ? x, tan ?PBD ? ? 。 DC BD 2x?B C D A P∴ tan ?x 2 ? x 。 ? tan??PCD ? ?PBD? ? x x2 ? 2 1? x ? 2∵ AD 为 PD 在面 ABD 上的射影。 ∴ PD ? AD ? 1 ，即 x ? 1 。第 42 页 共 65 页∴ tan ? ?x x ?22?1 2 x? x?1 2 2?2 。 4即 tan ? 的最大值为2 ，等号当且仅当 x ? 2 时取得。 4（2）由正切函数的单调性可知：点 Q 的存在性等价于：是否存在点 Q 使得t an ?BQC ? tan?BAC 。tan ?BAC ? tan??ACD ? ?ABD? ? 1 。 3令 tan ? ?x x ?22?1 ，解得： 1 ? x ? 2 ，与 x ? 1 交集非空。 3∴ 满足条件的点 Q 存在。【例15】 切值为如图所示：正四棱锥 P ? ABCD 中，侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的正6 。 （1）求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小； 2（2）若 E 是 PB 中点，求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值； （3）在侧面 PAD 上寻找一点 F，使得 EF ? 侧面 PBC。试确定点PF 的位置，并加以证明。 解： （1）连 AC, BD 交于点 O ，连 PO， 则 PO⊥面 ABCD， ∴ ∠PAO 就是 PA 与底面 ABCD 所成的角，A B D EC6 ∴ tan∠PAO= 。 2设 AB=1，则 PO=AO?tan∠PAO =3 。 2设 F 为 AD 中点， FO、 连 PO， OF⊥AD， 则 所以， PF⊥AD， 所以，?PFO 就是侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的平面角。 在 Rt ?PFO 中， tan ?PFO ? ∴ ?PFO ?PO ? 3， FO?3。即面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小为? 3（2）由（1）的作法可知：O 为 BD 中点，又因为 E 为 PD 中点，所以， EO // ∴ ?EOD 就是异面直线 PD 与 AE 所成的角。? 21PD 。第 43 页 共 65 页在 Rt ?PDO 中， PD ? OD2 ? PO2 ?5 ∴ EO ? 。 45 。 2P由 AO ? BD ， AO ? PO 可知： AO ? 面 PBD 。 所以， AO ? EO 。 在 Rt ?AOE 中， ?AEO ? tanAO 2 10 。 D ? EO 5F K O A B H EC G∴ 异 面 直 线 PD 与 AE 所 成 的 角 为2 10 。 arctan 5（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先 找到面 PBC 的一条垂线，然后再平移到点 E 即可。 为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现： 面PFO ? 面PBC 。 延长 FO 交 BC 于点 G ，连接 PG 。设 H 为 PG 中点，连接 EH, GH 。 ∵四棱锥 P ? ABCD 为正四棱锥且 F 为 AD 中点，所以， G 为 BC 中点， ∴ BC ? PG ， BC ? FG 。面 ∴ BC ? 面PFG 。∴面 PBC ⊥ PFG 。∵ PF ? PG ， ?PFO ??3，∴ ?PFG 为正三角形。∴ FH ? PG ，∴ FH ? 面PBC 。 取 AF 中点为 K，连 EK，则由 HE // FK 及 HE ? FK 得四边形 HEKF 为平行四边形， 所以， KE // FH 。KE ? 面PBC 。 ∴【例16】 RtΔ ABC 中，AC=BC=1，∠BCA=90°，现将Δ ABC 沿着平面 ABC 的法向量平移到Δ A1B1C1 位置，已知 AA1=2，分别取 A1B1、A1A 的中点 P、Q， （1）求 BQ 的长； （2）求证：AB1⊥C1P； （3）求 cos＜ BQ ， CB1 ＞，cos＜ BA1 ， CB1 ＞， 并比较＜ BQ ， CB1 ＞与＜ BA1 ， CB1 ＞的大小.第 44 页 共 65 页解：以 C 为原点，建立如图空间直角坐标系 O-xyz， （1）∵ BQ =（1，-1，1） ， ∴ | BQ | = 12 ? (?1) 2 ? 12 ? 3 （2）∵ AB1 =（-1，1，3） C1 P =（ ， ∴ AB1 · C1 P =（-1）× ∴ AB1 ⊥ C1 P ， 即 AB1 ⊥ C1 P （3） CB1 =（0，1，2） AB1 =（1，-1，2） ， ， cos＜ BQ ， CB1 ＞=BQ ? CB1 BQ ? CB1 ? 1 3? 5 ? 15 ， 151 1 ， ，0） 2 21 1 +1× +2×0=0， 2 2同理，cos＜ BA1 ， CB1 ＞= ∵0＜π ） 230 10A1 C115 30 ＜ ＜1， BQ ，CB1 ＞， BA1 ，CB1 ＞∈ ＜ ＜ （0， 15 10B1∴＜ BQ ， CB1 ＞＞＜ BA1 ， CB1 ＞AE C D B【例17】如 图 ： 直 三 棱 柱 ABC? A1 B1C1 中 ，AC ? BC ? AA ? 2 ， ?ACB ? 90? 。 E 为 BB1 的中点， D 点在 AB 上且 DE ? 3 . 1（Ⅰ）求证： CD ? 面A1 ABB1 ； （Ⅱ）求二面角 C ? A1 E ? D 的大小. 解：1）证：依题意知 AB1 ? 2 3 ， DE ?1 AB1 且 2E 为 BB1 的中点，则 D 也为 AB 中点∴ CD ? AB 又∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱 ∴ CD ? A1 A 又 AA1 ? AB ? A 且 AA1 、 AB ? 平面A1 ABB1第 45 页 共 65 页故 CD ? 面A1 ABB1 . 2）解：由 1）知 CD ? 面A1 ABB ，在 ?ADE 中过 D 作 DF ? A1 E 交 AE 于 F ， 1 连 CF ，由三垂线定理有 ?DFC 为所求二面角得平面角 易知 CD ?2 ，在 ?A1 DE 中， A1 D ? 6 ， DE ? 3 ， A1 E ? 3DF ? A1 D ? DE ? 2 AECD ? DF 2 2 ?1故 ?A1 DE ? 90?在 Rt?CDE 中 tan ?DFC ?? . 4故所求二面角的大小为 【例18】如图，在多面体 ABCDE 中， AE ? 面DABC ，BD ∥ AE ， AC ? AB ? BC ? BD ? 2 ，AE ? 1 ， 且F 为 CD 中点．（1）求证： EF ? 面 BCD ； （2）求多面体 ABCDE 的体积； （3）求面 CDE 与面 ABDE 所成的二面角的余弦值．C A E F B解： （1）取 BC 中点 G ，连 FG ， AG ． ∵ AE ? 面 ABC ， BD ∥ AE ，∴ BD ? 面 ABC ， 又 AG ? 面 ABC ，∴ BD ? AG ，又 AC ? AB ，G 是 BC 中点， AG ? 平面 BCD ，∵ 是 CD 的中点且 BD ? 2 ， F ∴ AG ? BC ，∴BD ∴ FG ∥ 且 FG ?1 FG ∥AE ， BD ? 1 ，∴ 2AE ? FG ，故四边形 AEFG 是平行四边形，从而 EF ∥ ， AG 又 AE ? 1 ，∴∴ EF ? 面 BCD ． （2）设 AB 中点为 H ，则由 AC ? AB ? BC ? 2 可得 CH ? AB 且 CH ? 3 ， 又∵ BD ∥ AE ，∴ BD 与 AE 共面，又 AE ? 面 ABC ，故平面 ABDE ? 平面 ABC ， ∴ CH ? 平面 ABDE ，即 CH 为四棱锥 C ? ABDE 的高． 故 VC ? ABDE ? S ABDE ·CH ? ? [ (1 ? 2) ? 2] ? 3 ? 3 ． （3）过 C 作 CK ? DE 于 K ,连接 KH ,由三垂线定理的逆定理得 KH ? DE ,1 31 3 1 2第 46 页 共 65 页∴ ?HKC 为二面角 C ? DE ? B 的平面角. 易知 EC ? 5 , DE ? 5 , CD ? 2 2 ,D G由 S ?BCE1 1 ? ? (2 2 ) ? 3 ? ? 5 ? CK , 2 2 2 30 ,在 Rt?CHK 中, 5E F A C H G6 ． 4可得 CK ?CH 10 6 ,故 cos?HKC ? , sin?HKC ? ? CK 4 4B∴面 CDE 与面 ABDE 所成的二面角的余弦值为【空间的角练习】 一、选择题 1．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 为 DD1 的中点，O 为底面 ABCD 的中心，P 为棱 A1B1 上任意一点，则直线 OP 与直线 AM 所成的角是( A. )?6B.?4C.?3D.?22．设△ABC 和△DBC 所在两平面互相垂直，且 AB=BC=BD=a,∠ CBA= ∠ CBD=120° AD 与平面 BCD 所成的角为( ,则 A.30° 二、填空题 3．已知∠ AOB=90° O 点引∠ ,过 AOB 所在平面的斜线 OC，与 OA、OB 分别成 45° 、60° ， 则以 OC 为棱的二面角 A—OC—B 的余弦值等于_________. 4． 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 2∶ 3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二 面角的度数为_________. 三、解答题 5 ， 已 知 四 边 形 ABCD 为 直 角 梯 形 ， AD∥ ， ∠ BC ABC=90° ,PA⊥平 面 AC ， 且 PA=AD=AB=1,BC=2 (1)求 PC 的长； (2)求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值的大小； (3)求证：二面角 B—PC—D 为直二面角. B.45° ) C.60° D.75°第 47 页 共 65 页6．设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且 AB=BC=BD，∠ ABC= ∠ DBC=120° 求：(1)直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小； (2)异面直线 AD 与 BC 所成的角； (3)二面角 A—BD—C 的大小. 7．一副三角板拼成一个四边形 ABCD，如图，然后将它沿 BC 折成直二面角.(1)求证：平面 ABD⊥ 平面 ACD； (2)求 AD 与 BC 所成的角； (3)求二面角 A—BD—C 的大小. 8．设 D 是△ABC 的 BC 边上一点，把△ACD 沿 AD 折起，使 C 点所处的新位置 C′在平 面 ABD 上的射影 H 恰好在 AB 上. (1)求证：直线 C′D 与平面 ABD 和平面 AHC′所成的两个角之和不可能超过 90° ； (2)若∠ BAC=90° ，二面角 C′—AD—H 为 60° ，求∠ BAD 的正切值.??? 参考答案 一、1.解析：(特殊位置法）将 P 点取为 A1，作 OE⊥ 于 E，连结 A1E，则 A1E 为 OA1 AD 的射影，又 AM⊥ 1E，∴ A AM⊥ 1，即 AM 与 OP 成 90° OA 角.第 48 页 共 65 页答案：D 2.解析：作 AO⊥ 的延长线，连 OD，则 OD 即为 AD 在平面 BCD 上的射影， CB ∵ AO=OD= 答案：B 二、3.解析：在 OC 上取一点 C，使 OC=1，过 C 分别作 CA⊥ 交 OA 于 A，CB⊥ OC OC 交 OB 于 B，则 AC=1， ，OA= 2 ，BC= 3 ，OB=2，Rt△AOB 中，AB2=6，△ABC 中，由余 弦定理，得 cosACB=－ 答案：－3 a,∴ ADO=45° ∠ . 23 . 33 34.解析：设一个侧面面积为 S1，底面面积为 S，则这个侧面在底面上射影的面积为S ， 31 S S1 2 S 1 由题设得 θ=60° . ? ,∴ ? ，设侧面与底面所成二面角为 θ,则 cosθ= 3 ? S1 3S1 2 S 3答案：60° 三 、 5.(1) 解 ： 因 为 PA⊥平 面 AC ， AB⊥ BC,∴ PB⊥ 即 ∠ BC, PBC=90°由 勾 股 定 理 得 , PB= PA2 ? AB 2 ? 2 .∴ PC= PB 2 ? PC 2 ? 6 .(2)解：如图，过点 C 作 CE∥ 交 AD 的延长线于 E，连结 PE，则 PC 与 BD 所成的角 BD 为∠ PCE 或它的补角. ∵ CE=BD= 2 ，且 PE= PA2 ? AE 2 ? 10PC 2 ? CE 2 ? PE 2 3 ?? 2 PC ? CE 6 3 ∴ 与 BD 所成角的余弦值为 PC . 6∴ 由余弦定理得 cosPCE=第 49 页 共 65 页(3）证明：设 PB、PC 中点分别为 G、F，连结 FG、AG、DF，则 GF∥ BC∥ AD，且 GF=1 BC=1=AD，从而四边形 ADFG 为平行四边形， 2又 AD⊥ 平面 PAB，∴ AD⊥ AG，即 ADFG 为矩形，DF⊥ FG. 在△PCD 中，PD= 2 ，CD= 2 ，F 为 BC 中点，∴ DF⊥ PC 从而 DF⊥ 平面 PBC，故平面 PDC⊥ 平面 PBC，即二面角 B—PC—D 为直二面角.? 6.解：(1)如图，在平面 ABC 内，过 A 作 AH⊥ BC，垂足为 H，则 AH⊥ 平面 DBC， ∴ ADH 即为直线 AD 与平面 BCD 所成的角.由题设知△AHB≌ AHD，则 DH⊥ ∠ △ BH，AH=DH，∴ ADH=45° ∠ (2)∵ BC⊥ DH，且 DH 为 AD 在平面 BCD 上的射影， ∴ BC⊥ AD，故 AD 与 BC 所成的角为 90° . (3)过 H 作 HR⊥ BD，垂足为 R，连结 AR，则由三垂线定理知，AR⊥ BD，故∠ ARH 为二 面角 A—BD—C 的平面角的补角.设 BC=a,则由题设知， AH=DH= HR=3 a a, BH ? ,在△HDB 中， 2 23 AH a，∴ tanARH= =2 4 HR故二面角 A—BD—C 大小为 π－arctan2. 7.(1)证明：取 BC 中点 E，连结 AE，∵ AB=AC，∴ AE⊥ BC ∵ 平面 ABC⊥ 平面 BCD，∴ AE⊥ 平面 BCD， ∵ BC⊥ CD，由三垂线定理知 AB⊥ CD. 又∵ AB⊥ AC，∴ AB⊥ 平面 BCD，∵ ? 平面 ABD. AB ∴ 平面 ABD⊥ 平面 ACD. (2)解：在面 BCD 内，过 D 作 DF∥ BC，过 E 作 EF⊥ DF，交 DF 于 F，由三垂线定理知AF⊥ DF，∠ ADF 为 AD 与 BC 所成的角.第 50 页 共 65 页设 AB=m，则 BC= 2 m，CE=DF=2 6 m,CD=EF= m 2 3? tan ADF ?AF ? DFAE 2 ? EF 2 21 21 ? ,? ?ADF ? arctan DF 3 321 3即 AD 与 BC 所成的角为 arctan(3)解：∵ AE⊥ BCD，过 E 作 EG⊥ 于 G，连结 AG，由三垂线定理知 AG⊥ 面 BD BD， ∴ AGE 为二面角 A—BD—C 的平面角 ∠2 2 m,∴ EG= m? 2 4 2 AE 又 AE= m,∴ tanAGE= =2,∴ AGE=arctan2. ∠ 2 GE∵ EBG=30° ∠ ，BE= 即二面角 A—BD—C 的大小为 arctan2. 8.(1)证明：连结 DH，∵ C′H⊥ 平面 ABD，∴ C′DH 为 C′D 与平面 ABD 所成的角且平面 ∠ C′HA⊥ 平面 ABD，过 D 作 DE⊥ AB，垂足为 E，则 DE⊥ 平面 C′HA. 故∠ DC′E 为 C′D 与平面 C′HA 所成的角 ∵ sinDC′E=DE DH ≤ =sinDC′H C ?D C ?D∴ DC′E≤∠ ∠ DC′H, ∴ DC′E+∠ ∠ C′DE≤∠ DC′H+∠ C′DE=90° (2)解：作 HG⊥ AD，垂足为 G，连结 C′G, 则 C′G⊥ AD，故∠ C′GH 是二面角 C′—AD—H 的平面角 即∠ C′GH=60° ，计算得 tanBAD=2 . 2空间的距离第 51 页 共 65 页【复习要点】 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基 础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. 空间中的距离主要指以下七种： (1)两点之间的距离. (2)点到直线的距离. (3)点到平面的距离. (4)两条平行线间的距离. (5)两条异面直线间的距离. (6)平面的平行直线与平面之间的距离. (7)两个平行平面之间的距离. 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间 有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线 面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离. 在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点. 求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成 求另一点到该平面的距离.(3)体积法. 求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3) 函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.【例题】 【例19】 的中点. 如图，已知 ABCD 是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥ 平面 ABCD，PA=2c,Q 是 PA求：(1)Q 到 BD 的距离； (2)P 到平面 BQD 的距离. 解：(1)在矩形 ABCD 中，作 AE⊥ BD，E 为垂足第 52 页 共 65 页连结 QE，∵ QA⊥ 平面 ABCD，由三垂线定理得 QE⊥ BE ∴ 的长为 Q 到 BD 的距离 QE 在矩形 ABCD 中，AB=a,AD=b, ∴ AE=ab a ? b22在 Rt△QAE 中，QA=a 2b 2 a2 ? b21 PA=c 2∴ QE= c 2 ?∴ 到 BD 距离为 c 2 ? Qa 2b 2 a2 ? b2.(2)解法一：∵ 平面 BQD 经过线段 PA 的中点， ∴ 到平面 BQD 的距离等于 A 到平面 BQD 的距离 P 在△AQE 中，作 AH⊥ QE，H 为垂足 ∵ BD⊥ AE,BD⊥ QE,∴ BD⊥ 平面 AQE ∴ BD⊥ AH ∴ AH⊥ 平面 BQE，即 AH 为 A 到平面 BQD 的距离. 在 Rt△AQE 中，∵ AQ=c,AE=abc ( a ? b 2 )c 2 ? a 2 b 22ab a ? b22∴ AH=∴ 到平面 BD 的距离为 Pabc ( a ? b 2 )c 2 ? a 2 b 22解法二：设点 A 到平面 QBD 的距离为 h，由 VA—BQD=VQ—ABD,得 h=1 1 S△ BQD· h= S△ABD· AQ 3 3S ?ABD ? AQ abc ??? S ?BQD ( a 2 ? b 2 )c 2 ? a 2 b 2【例20】把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成直二面角，点 E、F 分别是 AD、BC的中点，点 O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠ EOF 的大小.第 53 页 共 65 页解：如图，以 O 点为原点建立空间直角坐标系 O—xyz, 设正方形 ABCD 边长为 a, 则 A(0，－ D(0,0,2 2 a,0)，B( a,0,0)，C(0, 2 2 2 a,0)， 22 2 2 a)，E(0,－ a, a)，F( a, 2 4 42 a,0) 4(1) | EF | 2 ? ( (2)OE ? (0,?2 2 2 2 2 2 3 3 a ? 0) 2 ? ( a? a ) ? (0 ? a ) ? a,? EF ? a 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 a, a ), OF ? ( a, a ,0 ) 4 4 4 4 2 2 2 2 a2 a ? (? a )( a) ? a?0? ? 4 4 4 4 8OE ? OF ? 0 ? | OE |?a a OE ? OF 1 , | OF |? , cos ? OE, OF ?? ?? 2 2 2 | OE || OF |∴ EOF=120° ∠ 【例21】 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1，求异面直线 A1C1 与 AB1 间的距离.解法一：如图，连结 AC1，在正方体 AC1 中，∵ 1C1∥ A AC,∴ 1C1∥ A 平面 AB1C，∴ 1C1 与 A 平面 AB1C 间的距离等于异面直线 A1C1 与 AB1 间的距离.连结 B1D1、BD，设 B1D1∩A1C1=O1,BD∩AC=O ∵ AC⊥ BD，AC⊥ 1，∴ DD AC⊥ 平面 BB1D1D ∴ 平面 AB1C⊥ 平面 BB1D1D，连结 B1O，则平面 AB1C∩平面 BB1D1D=B1O 作 O1G⊥ 1O 于 G，则 O1G⊥ B 平面 AB1C ∴ 1G 为直线 A1C1 与平面 AB1C 间的距离，即为异面直线 A1C1 与 AB1 间的距离. O 在 Rt△OO1B1 中，∵ 1B1= O ∴ 1G= O2 ，OO1=1，∴ 1= OO12 ? O1 B12 = OB 26 23 O1O ? O1 B1 3 ? ，即异面直线 A1C1 与 AB1 间距离为 . OB1 3 3解法二：如图，在 A1C 上任取一点 M，作 MN⊥ 1 于 N，作 MR⊥ 1B1 于 R，连结 RN， AB A第 54 页 共 65 页∵ 平面 A1B1C1D1⊥ 平面 A1ABB1，∴ MR⊥ 平面 A1ABB1，MR⊥ 1 AB ∵ 1⊥ AB RN，设 A1R=x,则 RB1=1－x ∵ C1A1B1=∠ 1A1=45° ∠ AB ， ∴ MR=x,RN=NB1=2 (1 ? x ) 21 (1 ? x) 2 ? 2 3 1 1 ( x ? ) 2 ? (0＜x＜1 ) 2 3 3? MN ? MR 2 ? RN 2 ? x 2 ?∴ x= 当3 1 3 时，MN 有最小值 即异面直线 A1C1 与 AB1 距离为 . 3 3 3如 图 ， 在 直 三 棱 柱 ABC? A1 B1C1 中 ， 底 面 是 等 腰 直 角 三 角 形 ，【例22】?ACB ? 90? ，侧棱 AA1 ? 2 , D 、 E 分别是 CC1 与 A1 B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是 ?ABD 的的重心 G 。 （1） （2） 求 A1 B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ； 求点 A1 到平面 ABD 的距离。A1 D C1解： （1）连接 GB ， 则 ?EBG 即为 A1 B 与平面 ABD 所成的角， 设 AF ? BF ? CF ? x ， EF ? 1 ， 在 Rt?DEF 中， EF 2 ? FD ? FG 则1 2 x ?1 ， ? 3 1 x2 ?1 1B1E GCAFB∴ x ? 2 , FG ? 则 EG ?3 36 2 , EB ? 3,? ?EBD ? arcsin 3 3 2 。 3∴ A1 B 与平面 ABG所成角的大小为 arcsin （2） 、设点 A1 到平面 AED 的距离为 d ，第 55 页 共 65 页∵ AE ? 3, DE ? 2 , AD ? 5 ， ∴ ?AED是直角三角形 由 VA1 ? AED ? VD? A1 AE ，1 1 1 1 2 6 即 ? ( ? 3 ? 2 ) ? d ? ? ( ? 2 ? 2 ) ? 2 , 得d ? 。 3 2 3 2 3【例23】如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，四边形 A1ABB1 是菱形，四边形 BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A1AB=60°. （1）求证：平面 CA1B⊥平面 A1ABB1 （2）求直线 A1C 与平面 BCC1B1 所成角的正切 值； （3）求点 C1 到平面 A1CB 的距离. 证： Ⅰ） （ 因为四边形 BCC1B1 是矩形∴BC⊥BB1， 又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面 A1ABB1， ∵BC ? 平面 CA1B，∴平面 CA1B⊥平面 A1ABB1. 解（2）过 A1 作 A1D⊥B1B 于 D，连接 DC， ∵BC⊥平面 A1ABB1，∴BC⊥A1D ∴A1D⊥平面 BCC1B1，故∠A1CD 为直线 A1C 与平面 BCC1B1 所成的角. 在矩形 BCC1B1 中，DC= 13 ， 因为四边形 A1ABB1 是菱形，∠A1AB=60°，CB=3， AB=4，∴ A1 D ? 2 3 ，? tan?A1CD ? A1 D 2 3 2 39 ? ? CD 13 13（3）∵B1C1∥BC1， ∴B1C1∥平面 A1BC， ∴C1 到平面 A1BC 的距离即为 B1 到平面 A1BC 的距离. 连结 AB1 ，AB1 与 A1B 交于点 O，∵四边形 A1ABB1 是菱形，∴B1O⊥A1B. ∵平面 CA1B⊥平面 A1ABB1，∴ B1O⊥平面 A1BC ∵B1O 即为 C1 到平面 A1BC 的距离. ∵B1O= 2 3 ，第 56 页 共 65 页∴C1 到平面 A1BC 的距离为 2 3 . 【例24】 如图，四棱锥 P—ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，PA 与平面 ABCD 所成的角为 60°,在四边形 ABCD 中，∠D=∠DAB=90°，AB=4，CD=1，AD=2. （1）建立适当的坐标系，并写出点 B、P 的坐标；Pz（2）求异面直线 PA 与 BC 所成的角； （3）若 PB 的中点为 M，求证：平面 AMC⊥平面 PBC. 解（1）建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz, ∵∠D=∠D