§13-3 磁场中的高斯定理和安培环路定理一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem magnetic field)二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem) 1. 安培环路定理的表述ò ?Sr r B · dS = 0 表示不存在磁单极子微分形式恒电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的 积分等于此环路所包围的电流代数和的 m 0倍。 表达式v ?×B = 0ò ?徐 飞Lv v B × dl = m 0 ? I iiI n +1I2r r 注意：（1） ? ò B · dS = 0 r r （ 2） ò B · dSby对任意闭合曲面 而言 不一定为0符号规定：穿过回路 L 的电流方向与 L 的环绕方向服从右 手关系的，I 为正，否则为负。I n+ kI1Ii3教理例 如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过矩 v 形面积的磁通量. 解 先求 B ，对变磁场给 出 dΦ 后积分求 Φ v案1不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。2. 安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场 载流长直导线的磁感强 度为BI学d1d2大ov v mI B= 0 B // S 2π x m0I d Φ = B d S = ld x l 2π x v v m0 Il d dx Φ = òS B × dS = òd12 2π x m Il d x Φ = 0 ln 2 2π d1B=物ò ?Lv v B × dl =m0 I 2π RIoLv BRv dlò ?Lm0 I dl 2πR2v v m0 I B × d l = òL ò L dl ? 2πR ? 设闭合回路 L 为圆形 v v ò B × dl = m0 I 回路（ L 与 I 成右螺旋） ?L4ov dlLRv v m0 I 2 π B × d l = dj = - m0 I òL ? 2 π ò0对任意形状的回路dfILLrbyv dlv BI1I2案与 I 成右螺旋v v m0 I mI B × dl = rdj = 0 dj 2πr 2π v v ò B × dl = m0 I ?L? 安培环路定理5徐 飞I3Iv B若回路绕向化为逆时针时，则多电流情况ò ?Lv v v v B = B1 + B2 + B3 v v B × d l = m0 ( I 2 - I 3 )L以上结果 对任意形状 的闭合电流（ 伸向无限远 的电流）均成 立.ò ?Ln v v B × dl = m0 ? I i i =17教电流在回路之外L学Ir1r2物dfv B1v B2 v v dl 2 dl1大mI mI B1 = 0 ， B2 = 0 2π r1 2π r2 v v v v mI B1 × dl1 = -B2 × dl2 = - 0 df 2π v v v v B1 × dl1 + B2 × dl2 = 0 v v B ò ×d l = 0 ?安培环路定理理ò ?Ln v v B × dl = m0 ? I i i =1即在真空 的稳 恒磁场中，磁感应强度 B 沿任 一闭合路径的积分的值，等于 m 0 乘以该 闭合路径 所包围的 各电流的代数和. 注意 电流 I 正负的规定 ：I 与 为正；反之为负.vLI6L 成右螺旋时，8LI1 I1LI2 I 3 I1L的环路积分A . m0 ( I 1 + I 2 ) C . m0 ( I 1 - I 2 )= -m （ 0 I1 + I 2）by问 1） B 是否与回路 L 外电流有 关？案v v v 2）若 B × d l = 0 ，是 否回路 L上各处 B = 0？ òL 是否回路 L 内无电流穿过？r r B × dl = m 0v如图所 示 ，在 一圆形电流 I 的平 面 内，选取一个同心 圆形闭合回路L。 则由 安培环路定理 可知 （ B ）。A. B. C. D.9徐 飞ò ?Lv v ò B×dl = m0 (-I1 + I1 - I1 - I2 )如图所示 ，磁感应强度r r B × dl 等于（ C ）。r B 沿闭合曲线I1LI2I3B. m0 ( I1 + I 2 + I 3 )D . m0 ( I1 - I 2 - I 3 )L o Iò ? ò ? ò ? ò ?LB × dl = 0， 且 环路 上 任意 一点B =0； B × dl = 0， 且 环路 上 任意 一点B ? 0； B × dl ? 0， 且 环路 上 任意 一点B ? 0； B × dl ? 0， 且 环路 上 任意 一点B = 0；L L L11L(穿过L )?IiL不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B 有贡献；物r穿过 L的电流：对 B 和rò òr r B × dl 均有贡献理r B:与空间所有电流有关 r B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关教注意： ò关于安培环路定律说法正确的是（ C ） A．任何 恒定电流分布情况都可以用安培环路定律来 求解 稳 恒磁场 ； B．安培环路上 的磁感应强度只是由安培环路所包围 的电流 激发； C．安培环路上 的磁感应强度是由空间所 有的电流共 同激发产生的 ； D．安培环路只能是与电流 同轴 的圆形回路。A. 安培环路 B 完全是由公式中的 ? I i所产生； B. 如果 C. √学对Lr r B × dl下列对安培环路定理无贡献ò ?LB × dl = m0 ? Ii 的说法中，正确的是：L内L内大安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场）10?IL内i= 0 ，L上各点的一定 B = 0；如果在安培环路L上各点的B处处为零，一定有?IL内i=012静电场r r 1 E òS × dS = e 0 ?q内òLr r E × dl = 0利用高安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁场分布 的对称性，选取合适的闭合环路。电力线起于正电荷、 电场有保守性，它是 止于负电荷。 保守场，或有势场 静电场是有源场r r B ò × dS = 0SLbyr r B ò × dl = m 0稳恒 磁场i （穿过 L ）?I案磁力线闭合、无自 由磁荷，磁场是无 源场磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场（涡旋场）选取 环路原则 (1)环路要经过所研究的场 点。 (2)环路的长度 便 于 计算 r ； r B (3)要求环路上各点 大小相等， B 的方向与环路方向 一致 ， r r I 写成 B = m0 ? I 目的 是将: B × dl = m 013òL r 或 B 的方向与环路方向 垂直， r r r r B B ^ dl , cosq = 0 ò × dl = 0L徐 飞?v v ò B × d l = m0 Il比较高斯定理环路定理安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种方法。但 利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有高度的对称性 。ò dl15教三 .安培环路定理的应用——求解具有某些对称性的磁场分布★ 例1 无限长载流圆柱体的磁场 解 1）对 称性分 析 2）选取 回路I理安培环路定理 可以用来处理电流分布具有一定 荷分布具有一定对 称性 的静 电场问题一样。对称性的恒磁场 问题，就像用高斯定理来处理电r&RLR RròLr r B × dl = m 0学(穿过 L )?Ii适用条件：稳恒电流的磁场r r B × dl求解条件：电流分布（磁场分布）具有某些对称性， 以便可以找到恰当的安培环路 L ，使积分r B 便地 求解大能够计算 ，成为B与路径长度的乘积形式，从 而方14òLm0 I 2π rB = m0 I 2π r v v π r2 0 & r & R ò B × d l = m0 2 I l πR m0r 2 m Ir 2π rB = 2 I B= 0 2 R 2π RB=物v Bv dBI.dIv B16电荷均匀分布 长直线 长 直 圆 柱 面 内 外 内 外徐 飞E =v B 的方向与 I 成右螺旋 m 0 Ir B= 0 & r & R, 2π R 2 m I r & R, B= 0 2π rI电场、磁场中典型结论的比较电流均匀分布l 2 pe 0 rB =m0I 2p rE = 0B = 0Ro Rr17案长 直 圆 柱 体bym0I 2π RBl 2 pe 0 r lr E = 2 pe 0 R 2 l E = 2 pe 0 rE =m0I 2p r m 0 Ir B = 2p R 2 m I B = 0 2p rB =19教例2 无限长载流圆柱面的磁场 L1练习：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流I,v 求 B 的分布。理rR物IL2解m0 I 2π RB(1 ) r & R 2 , B = 0(2 ) R1 & r & R 2 , B = m0I 2prR2R1ro RrIr I学0 & r & R,r & R,l大v v B ò ×d l = m0Iv v ò B ×dl = 0l( 3 ) r & R1 , B = 0B=B=0 m0 I2πr18 202.长直载流螺线管的磁场分布已知：I、 n(单位长度导 线匝数) 分析 对称性???????????????3.环形载流螺线管的磁场分布r B已知：I 、 N、R1、 R2 N－导 线总匝 数 分析 对称性...............徐 飞. . . . . . . . . . . .内 外. . . .. . . . . . . +++ +++ .+ + + + + + ++ +管内磁力线平行于管轴I磁力线分布如图 作积分回路如图R1r+.管外靠近管壁处磁场为零案by..2 + + + +R + + +++ + + + +方向右手螺旋. . . . . . .. ... . . . .21I. . . .. . .. . . .+ + + + + + + ++ ++ +++ +23理物p + ò Bdl cos (p ) + ò Bdl cos = B × ab c d 2 r 利用安培环路定理求 B rd计算 环流 r r b B ò · dl = ò Bdl cos0 ?a教+ òb Bdl cosacp 2计算 环流 r r B ò gdl = ? ò Bdl = 2p rB ? r r B ò gdl = m0 NI ?r 利用安培环路定理求 Bì m 0 NI ? B = í 2p r ? ? 0.R12 + + +R +++r学r r B · d l = m 0 nabI ò............... Ba d..+ + + + + + + +..大ì m nI B=í 0 ? 0内 外???? ?????? ????? ???bcI无限长载流螺线 管内部 磁场 处处 相等 , 外部磁场为 零.22B R1、 R2 && R1 - R2 N n = B ? m 0 nI 2p R 1 O均匀场.. . . ....... . . . .R1R2r24导线 总匝 数 N = 1000 匝 外半径与内半径之比 R 2 高 h = 5 . 0 cm 求： 通过截面的磁通量 解： B · dS =R 1 = 1 .6+ òc Bdl cos 0 + ò d Bdl cosdR1= 8 ? 10 -6 wbbyò ?rvòR2m 0 NI m NIh R2 ln hdr = 0 2p r 2p R1= B × ab + B × cd = 2 B × ab r b a 利用安培环路定理求 B ......... r r ò Bgdl = m0 n × ab × I ? c d案B=1 m 0 nI 225徐 飞a练习：如图，螺绕环 截面为矩形I = 1.7 A计算 环流r r b B g dl = ò ò Bdl cos0 ?a+ òb Bdl coscp 2p 2板上下两侧为均匀磁场274.无限大载流导体薄板的磁场分布已知：导线中 电流强度 I 单位长度导线匝 数n 分析 对称性 磁力线如图 作积分回路如图 ab、 cd与导体板平行r dB教I讨论：如图，两块无限大载流导体薄板平行放置。 通有相反方向的电流。求磁场分布。 已知：导线中 电流强度I、单位长度导线匝数n 单个平板 ：B =理物1 m 0 nI 2??????????????学ba.........c d26ì 0 B=í ? m 0 nI两板外侧 两板之间.........大28小结： 1.熟悉典型问题结果 运动 点电荷， 无限长直电流， 圆电流轴线上， 长直载流螺 线管， 螺绕环 ... 2.总结出用安培环路定理求解磁场分布的思路 对称性分 析 — 选 环路 L并规定绕向. — 由r r B × d l = m 0 ? I内 ròL求 B 分布 .大学物理教案29by徐 飞文档分类：
大学物理电磁学部分14 磁场的高斯定理和安培环路定理.ppt
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文档介绍：
1磁通量磁场的高斯定理磁场的安培环路定理(第八章第 1、 3~4 节) 2 为形象的描绘磁场分布的而引入的一组有方向的空间曲线。?方向: 磁力线上某点的切线方向为该点磁场方向。?大小: 通过磁场中某点垂直于磁感应强度的单位面积的磁力线根数等于该点磁感应强度的大小。? dS ?? dS dB m?B ?磁感应强度大小为磁力线的面密度。 md?一、磁场的高斯定理一、磁场的高斯定理 1.磁力线 1.磁力线 1.规定A B AB ? BB ?可用磁力线的疏密程度表示磁感应强度的大小。 3 ?直线电流的磁力线分布 I I 2.磁力线形状 1.磁力线为闭合曲线或两头伸向无穷远; 2.磁力线密处 B 大;磁力线疏处 B 小; 3.闭合的磁力线和载流回路象锁链互套在一起; 4.磁力线和电流满足右手螺旋法则。 3.磁力线的性质?载流螺线管的磁力线分布 4 1.穿过一面元的磁通量 md?2.磁通量 2.磁通量磁通量:通过任一曲面的磁力线的条数。 SdBd m??????? S m md???? S BdS ? cos ??? SSdB ??S B ? md? dS 2.穿过某一曲面的磁通量单位: 韦伯, Wb 规定: 取闭合面外法线方向为正向。磁力线穿出闭合面为正通量, 磁力线穿入闭合面为负通量。?? S m md????? SSdB ??3.穿过闭合曲面的磁通量?? ne ? ne ? B ?B ?2 ??? 2 ???5 定理表述: 穿过任意闭合面的磁通量等于零。 0???? S mSdB ???磁场中的高斯定理阐明了磁场的性质: ?磁场是无源场,磁力线为闭合曲线。 3.磁场中的高斯定理 3.磁场中的高斯定理证明: 由于磁力线为闭合曲线,穿入穿出闭合面的磁力线根数相同,正负通量抵消。 6 磁感应强度沿闭合回路的线积分等于环路所包围的电流代数和乘以? 0。???? LIldB 0???二、安培环路定理二、安培环路定理 1.定理表述 1.定理表述数学表达式: (3) 环路定理只适用于闭合电流或无限电流.有限电流不适用环路定理,只能用毕奥—萨伐尔定律。(1) 电流正负规定: 电流方向与环路方向满足右手定则时电流 I取正;反之取负。 2.明确几点 2.明确几点(2) 为环路上一点的磁感应强度,不是任意点的,它与环路内外电流都有关。 B ?(4) 安培环路定理说明磁场性质—磁场是有旋场。 7 长直导线周围的 B 线为一系列的同心圆,选取路径方向与磁感应强度方向相同; 左边=?? L Bdl ? cos 由于环路上各点的磁感应强度大小相等;且 1 cos ,0???? I I ?? LldB ??左边=rr I dlB L???22 0?? I 0??右边=??II 00??推广到任意路径都成立,证毕。左边=右边定理成立。特例: 以无限长载流直导线为例。 ldB ??//B L ?8 3.选取环路原则 3.选取环路原则目的是将:或(1) 环路要经过所研究的场点。利用安培环路定理求磁感应强度的关健:根据磁场分布的对称性, 选取合适的闭合环路。安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有高度的对称性。(2) 环路的长度便于计算; (3) 要求环路上各点大小相等, 的方向与环路方向一致, B ?B ?的方向与环路方向垂直, B ????? LIldB 0???写成??? dl IB 0? 0 cos ,???ldB ????? LldB0 ??9 例1:密绕载流螺线管通有电流为 I,线圈密度为 n, 求管内一点的磁感应强度。............... ++ ++ + +++ + ++ ++ ++ 解: 理想密绕螺线管,管内的磁场是均匀的,管外的磁场为 0 ; 作闭合环路 abcda ,环路内的电流代数和为: abd c 0?外B ?I ab nI???????????????? ad dc cb baldBldBldBldBldB ??????????0??? dcldB ??螺线管外: ?????? baldBldB ???? nI B 0?? ab B? I ab n 0????I 0?,0?????? ad cbldBldB ????,l ???dB?0 cos ?? 0,?外B ? B ?10 I2d 1d h rr dr ??? S mSdBΦ???? 22 12dd Bhdr ?? 22 0 122 ddr dr hIN?? 2 1 0 ln2d dhIN???例2:一矩形截面的空心环形螺线管,尺寸如图所示, 其上均匀绕有 N匝线圈,线圈中通有电流 I。试求:( 1) 环内距轴线为 r 处的磁感应强度;( 2)通过螺线管截面的磁通量。解: 在管内作环路半径为 r的圆环,?? NI I 环路内电流代数和为: ???? LIldB 0???? NI rB 02??? r NI B??2 0??
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&&&关于大学物理中的“安培环路定理内容”教学的探讨
关于大学物理中的“安培环路定理内容”教学的探讨
Discussion on the Teaching of "Ampere Loop Theorem" in College Physics
本文是关于大学物理教学中涉及磁场中“安培环路定理”教学方法的一种探讨,充分利用磁力线的特点、毕奥—萨伐尔定律及简单的微积分知识,避免大多数教材中烦琐的数学推导,最终推导出安培定理的结论,使学生更容易理解和掌握.
摘要： 本文是关于大学物理教学中涉及磁场中“安培环路定理”教学方法的一种探讨,充分利用磁力线的特点、毕奥—萨伐尔定律及简单的微积分知识,避免大多数教材中烦琐的数学推导,最终推导出安培定理的结论,使学生更容易理解和掌握.&&
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