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大学电路原理第五版经典课件第七章——一阶电路和二阶电路的时域分析 ,,,电路基础,本章重点,一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解,重点,一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解,1.动态电路方程的建立及初始条件的确定,返 回,含有动态元件电容和电感的电路称为动态电路。,1. 动态电路,7-1 动态电路的方程及其初始条件,,当动态电路状态发生改变时(换路)，需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,下 页,上 页,特点,返 回,下 页,上 页,返 回,500kV断路器,过渡期为零,电阻电路,下 页,上 页,返 回,电容电路,下 页,上 页,返 回,i = 0 , uC= US,i = 0 , uC = 0,S接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：,S未动作前，电路处于稳定状态：,,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,,?,,有一过渡期,uL= 0, i=US /R,i = 0 , uL = 0,S接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：,S未动作前，电路处于稳定状态：,,电感电路,下 页,上 页,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,,?,,有一过渡期,返 回,下 页,上 页,S未动作前，电路处于稳定状态：,uL= 0, i=US /R,S断开瞬间,i = 0 , uL =∞,工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。,注意,,返 回,过渡过程产生的原因,电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,电路结构、状态发生变化,换路,,,下 页,上 页,返 回,,应用KVL和电容的VCR得,若以电流为变量,,2. 动态电路的方程,下 页,上 页,,RC电路,返 回,,应用KVL和电感的VCR得,若以电感电压为变量,,下 页,上 页,RL电路,,返 回,一阶电路,下 页,上 页,结论,含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称为一阶电路。,返 回,,二阶电路,下 页,上 页,RLC电路,应用KVL和元件的VCR得,,含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称为二阶电路。,返 回,一阶电路,一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。,,描述动态电路的电路方程为微分方程。,动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。,二阶电路,,二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。,下 页,上 页,结论,返 回,高阶电路,电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。,,动态电路的分析方法,根据KVL、KCL和VCR建立微分方程。,下 页,上 页,返 回,复频域分析法,时域分析法,求解微分方程。,,本章采用,工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。,下 页,上 页,返 回,稳态分析和动态分析的区别,稳态,动态,下 页,上 页,直流时,返 回,t = 0＋与t = 0－的概念,认为换路在t=0时刻进行,0－ 换路前一瞬间,0＋ 换路后一瞬间,3.电路的初始条件,初始条件为 t = 0＋时，u 、i 及其各阶导数的值。,下 页,上 页,注意,,0－,0＋,,t,返 回,图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo，求开关闭合后电容电压随时间的变化。,例1-1,解,,特征根方程：,,通解：,,代入初始条件得：,在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。,下 页,上 页,明确,返 回,t = 0+ 时刻,电容的初始条件,下 页,上 页,当i(?)为有限值时,返 回,q (0+) = q (0－),uC (0+) = uC (0－),换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前、后保持不变。,电荷守恒,下 页,上 页,结论,返 回,电感的初始条件,t = 0+时刻,下 页,上 页,当uL为有限值时,返 回,?L (0＋)= ?L (0－),iL(0＋)= iL(0－),磁链守恒,换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前、后保持不变。,下 页,上 页,结论,返 回,换路定律,电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前、后保持不变。,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前、后保持不变。,换路定律反映了能量不能跃变。,下 页,上 页,注意,返 回,电路初始值的确定,(2)由换路定律,uC (0+) = uC (0－)=8V,(1) 由0－电路求 uC(0－),uC(0－)=8V,(3) 由0+等效电路求 iC(0+),例1-2,求 iC(0+)。,电容开路,下 页,上 页,电容用电压源替代,注意,返 回,iL(0+)= iL(0－) =2A,例1- 3,t = 0时闭合开关S ,求 uL(0+)。,先求,应用换路定律:,电感用电流源替代,解,电感短路,下 页,上 页,由0+等效电路求 uL(0+),注意,返 回,求初始值的步骤:,1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)。,2.由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。,3.画0+等效电路。,4.由0+电路求所需各变量的0+值。,(2)电容（电感）用电压源（电流源）替代。,(1)换路后的电路;,（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。,,下 页,上 页,小结,返 回,iL(0+) = iL(0－) = iS,uC(0+) = uC(0－) = RiS,uL(0+)= - RiS,求 iC(0+) , uL(0+)。,例1-4,解,由0－电路得,下 页,上 页,由0+电路得,返 回,例1-5,求S闭合瞬间各支路电流和电感电压。,解,下 页,上 页,由0－电路得,由0+电路得,返 回,求S闭合瞬间流过它的电流值。,解,确定0－值,给出0＋等效电路,下 页,上 页,例1-6,返 回,7-2 一阶电路的零输入响应,换路后外加激励为零，仅有动态元件初始储能产生的电压和电流。,1.RC电路的零输入响应,已知 uC (0－)=U0,零输入响应,,下 页,上 页,返 回,,特征根,则,下 页,上 页,代入初始值 uC (0+)=uC(0－)=U0,,A=U0,返 回,下 页,上 页,或,返 回,令 ? =RC , 称? 为一阶电路的时间常数。,电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数。,连续函数,跃变,响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关。,下 页,上 页,表明,返 回,时间常数? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,? = RC,? 大——过渡过程时间长,? 小——过渡过程时间短,电压初值一定：,R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小,C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大,物理含义,,下 页,上 页,返 回,? :电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认为, 经过 3? ?5? , 过渡过程结束。,U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0,U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5,下 页,上 页,注意,返 回,? ＝ t2－ t1,t1时刻曲线的斜率等于,,次切距的长度,,下 页,上 页,,返 回,时间常数? 的几何意义：,能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕。,设 uC(0+)=U0,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,,,,下 页,上 页,返 回,例2-1,图示电路中的电容原充有24V电压，求S闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。,解,这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有,下 页,上 页,返 回,分流得,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,例2-2,求:(1)图示电路S闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律;(2）电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。,解,这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有,u (0+)=u(0－)=-20V,返 回,,下 页,上 页,,,,,,u,S,4?F,,+,+,-,-,i,-20V,,250k?,,,返 回,下 页,上 页,初始储能,最终储能,电阻耗能,返 回,?J,?J,2. RL电路的零输入响应,特征方程 Lp+R=0,特征根,代入初始值,A= iL(0+)= I0,,下 页,上 页,,返 回,连续函数,跃变,电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数。,下 页,上 页,表明,返 回,响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关。,下 页,上 页,时间常数? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。,L大 W=LiL2/2 初始能量大R小 p=Ri2 放电过程消耗能量小,? 大——过渡过程时间长,? 小——过渡过程时间短,物理含义,,电流初始值iL(0)一定：,返 回,能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕。,设 iL(0+)=I0,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,,,,下 页,上 页,返 回,iL (0+) = iL(0－) = 1 A,例2-3,t=0时,打开开关S，求uV,。电压表量程：50V。,解,下 页,上 页,返 回,例2-4,t=0时,开关S由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。,解,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,,下 页,上 页,小结,返 回,一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。,衰减快慢取决于时间常数?。,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,,下 页,上 页,小结,? = R C,? = L/R,R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,RC电路,RL电路,返 回,动态元件初始能量为零，由t >0时刻电路中外加激励作用所产生的响应。,方程：,7-3 一阶电路的零状态响应,解答形式为：,1.RC电路的零状态响应,零状态响应,,非齐次方程特解,齐次方程通解,下 页,上 页,非齐次线性常微分方程,返 回,与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解。,变化规律由电路参数和结构决定。,的通解,,,的特解,下 页,上 页,返 回,全解,uC (0+)=A+US= 0,A= － US,由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A,,下 页,上 页,从以上式子可以得出,返 回,电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：,连续函数,跃变,稳态分量（强制分量）,瞬态分量（自由分量）,下 页,上 页,表明,+,返 回,响应变化的快慢，由时间常数?＝RC决定；? 大，充电慢，? 小充电就快。,响应与外加激励成线性关系。,能量关系：,电容储存能量,电源提供能量,电阻消耗能量,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。,下 页,上 页,表明,返 回,例3-1,t=0时,开关S闭合，已知 uC(0－)=0，求(1)电容电压和电流；(2) uC＝80V时的充电时间t 。,解,(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：,(2)设经过t1秒，uC＝80V,下 页,上 页,返 回,2. RL电路的零状态响应,已知iL(0－)=0，电路方程为,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,例3-2,t=0时,开关S打开，求t >0后iL、uL的变化规律。,解,这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有,下 页,上 页,返 回,例3-3,t=0开关S打开，求t >0后iL、uL及电流源的电压。,解,这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有,下 页,上 页,返 回,7-4 一阶电路的全响应,电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。,以RC电路为例，电路微分方程：,
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一阶电路的全响应和三要素法
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作者：佚名日 11:14
[导读] 一阶电路的全响应和三要素法
由外加激励和非零初始状态的储能元件的初始储能共同引起的响应，称为全响应，全响应就是微分方程的全解
一阶电路的全响应和三要素法
由外加激励和非零初始状态的储能元件的初始储能共同引起的响应，称为全响应，全响应就是微分方程的全解，是方程的特解与其齐次方程的通解之和。
如图8-6-1所示电路，开关S闭合前，电容两端已有初始电压，在时刻，开关S闭合，后，列写电路的KVL方程：
&&& （式8-6-1）
（式8-6-1）与上一节的（式8-5-1）一样，同理可得：
&& （式8-6-2）
根据换路定则：
由（式8-6-2）得：
最终得到全响应：
&& （式8-6-3）
现对（式8-6-3）作一个变形，即：
&& （式8-6-4）
回顾用经典法求解一阶电路过渡过程的步骤，发现一阶电路的全响应总等于对应的一阶线性常系数微分方程的全解，记为，总有：
&&& （式8-6-5）
式中代表方程特解，代表齐次方程的通解，而总为指数形式，则：
&& &（式8-6-6）
取时刻的值：
于是得到：
&& （式8-6-7）
（式8-6-7）就是著名的三要素公式。它是求解一阶动态电路的简便有效的工具。在（式8-6-7）中包含了一阶动态电路的三个要素：
：是一阶线性常系数微分方程的特解，是一阶动态电路在激励作用下的强制分量。当激励是直流或正弦交流电源时，强制分量即是稳态分量，这时候，可按直流电路、正弦交流稳态电路的求解方法求得，；
：是响应在换路后瞬间的初始值，按§8-3节中介绍的方法求解：
：是时间常数，一个一阶电路只有一个时间常数。或，是电路储能元件两端的端口等效电阻。
例8-6-1 如图8-6-2所示电路，，原来打开，C上无电荷。时闭合，求；当时，又闭合，求。
图8-6-2例8-6-1附图
解：由题意知：
根据换路定则：
此处激励为直流，当时，闭合，的稳态值为，即有：
时间常数：
利用三要素公式（式8-6-11）得到：
当，闭合，有：
在的换路时刻，仍满足换路定则：
在的换路时刻，仍满足换路定则：
的稳态值仍为，则：
时间常数：
又因为换路在进行，延迟了，故而根据三要素公式得到：
&& &（V），
例8-6-2& 在图8-6-3所示电路中，，电路已达稳态。时，开关S闭合，求开关S中的过渡电流？
图8-6-3例8-6-2附图
解： ，电路已达稳态，可利用相量计算。由KVL得：
根据换路定则：
画出时刻的等效电路（图略），即可求得：
当后，即是稳态开关电流，此时串联支路被S短接，电容C两端的电荷已放电完毕，故：
时间常数：
根据三要素公式：
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一阶RC电路的阶跃响应的问题一阶RC电路的阶跃响应实验中,时间常数t＝RC对响应的波形有什么影响啊?
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会影响响应动作的快慢,RC越大,则响应趋于稳态越慢,变化的时间越长
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在图9-1电路中，设电容器上的初始电压为零，当开关S向“2”闭合瞬间，由于电容电压不能跃变，电路中的电流为最大，，此后，电容电压随时间逐渐升高，直至= Us；电流随时间逐渐减小，最后；充电过程结束，充电过程中的电压和电流均随时间按指数规律变化。和的数学表达式为：
式9-1为其电路方程，是一微分方程。用一阶微分方程描述的电路，为一阶电路。
上述的暂态过程为电容充电过程，充电曲线如图9-2所示。
理论上要无限长的时间电容器充电才能完成，实际上当t = 5RC时，已达到99.3% Us，充电过程已近似结束。
一阶RC电路
RC充电时电压和电流的变化曲线
RC电路的放电过程
在图9-1电路中，若电容C已充有电压Us，将开关S向“1”闭合，电容器立即对电阻R进行放电，放电开始时的电流为，放电电流的实际方向与充电时相反，放电时的电流i与电容电压uc随时间均按指数规律衰减为零，电流和电压的数学表达式为：
式中，Us为电容器的初始电压。这一暂态过程为电容放电过程，放电曲线如图9-3所示。
RC电路的时间常数
RC电路的时间常数用τ表示，τ=RC，τ的大小决定了电路充放电时间的快慢。对充电而言，时间常数τ是电容电压从零增长到63.2% Us所需的时间；对放电而言，τ是电容电压从Us下降到36.8%Us所需的时间。如图9-2，图9-3所示。
RC放电时电压和电流的变化曲线
RC充放电电路
RC充放电电路中电流和电容电压的波形图
在图9-4中，将周期性方波电压加于RC电路，当方波电压的幅度上升为U时，相相当于一个直流电压源U对电容C充电，当方波电压下降为零时，相当于电容C通过过电阻R放电，图9-5(a)和(b)示出方波电压与电容电压的波形图，图9-5(c)示出电流i的波形图，它与电阻电压的波形相似。
微分电路和积分电路
图9-4的RC充放电电路中，当电源方波电压的周期T >>τ时，电容器充放电速很快，若 >> ，≈，在电阻两端的电压= ≈≈，这就是说电阻两端的输出电压与输入电压的微分近似成正比，此电路即称为微分电路，波形如图9-5(d)所示。
当电源方波电压的周期T>>τ时，电容器充放电速度很慢，又若 << ，≈，在电阻两端的电压= = ≈，这就是说电容两端的输出电压与输入电压的积分近似成正比，此电路称为积分电路，波形如图9-5(e)所示。
1．直流稳压电源
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