如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=12，BD=8，则点D到AB的距离是
B．_百度知道
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=12，BD=8，则点D到AB的距离是
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=12，BD=8，则点D到AB的距离是
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试题分析：若BC=12，BD=8；则DC=4；在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D；则点D到AC和AB的距离相等，所以点D到AB的距离= DC=4点评：本题考查角平分线，熟练角平分线的性质是解本题的关键，考生一定要掌握角平分线的性质
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。如图,在三角形ABC中,AD平分角BAC,AB+BD=AC,求角B:角C的值.
<img onerror="imgDelByClass('comimg_box');" class="piczoom mpic" alt="如图,在三角形AB
解：AC上取一点E，使AE=AB
∵AB+BD=AC AE+CE=AC∴BD=CE
∵AB=AE,∠BAD=∠EAD,AD=AD
∵△ABD≌△AED ∴BD=ED ∠B=∠AED
∴CE=ED 等腰△CED ∠C=∠EDC ∵∠AED为△CED的一个外角
∴∠C+∠EDC=∠AED ∴2∠C=∠AED∴2∠C=∠B
∴∠B:∠C=2:1
已知AB=AC，∠A=36°
所以，∠ABC=∠ACB=(180°-36°)/2=72°
又，CE平分∠ACB
所以，∠ACE=∠BCE=72°/2=36°
因为AD平分角BAC，所以角GAD=角EAD,
因为DE平行CA，所以角GAD=角ADE=角EAD,
所以AE=DE,
因为直角三角形ABD,所以AE=DE=B...
原图中,B、C调换:如图。在RT△ABC中,∠B=90°,∠A=40°,AC的垂直平分线MN与AB交于D点,AD:DB=9:2,AB=4.4BC=3.5(1)求...
(1)AD=DC=8,BD=2
EH:AH=1:4=EH:HF,FP=DH=AD-AH=8-AH=8-FH
所以S(EFPQ)=FP*x=(8-0.8x)x=0...
解答详见附件:需交流请传至wangsj629@
答: 1/5÷2/3=1/5×3/2=3/10小时
答: （38+41）x2.5=197.5千米
答: 连接OC;∵AB=4,O是AB中点,且△ABC是直角三角形,∴OC=2;∵∠A=30°,∴∠ABC=∠BOC=60°,即∠COy=30°;若△ABC逆时针...
铝属于两性金属，遇到酸性或碱性都会产生不同程度的腐蚀，尤其是铝合金铸件的孔隙较多，成分中还含有硅和几种重金属，其防腐蚀性能比其他铝合金更差，没有进行防护处理的铝铸件只要遇到稍带碱性或稍带酸性的水，甚至淋雨、水气、露水等就会受到腐蚀，产生白锈。
解决的办法。
铝铸件完成铸造后，在机械加工前，先要进行表面预处理，如预先对铸件进行喷砂，涂上一道底漆（如锌铬黄底漆），在此基础上再进行机械加工，以避免铸铝件在没有保护的情况下放久了被腐蚀。
要有经营场所，办理工商登记（办理卫生许可），如果觉得有必要还要到税务局买定额发票，不过奶茶店一般人家消费是不会要发票的巴，要买设备，要联系供应商备一些原料，就好啦，没啥难的，不过要赚钱的话就得选好开店地段。
办理手续的程序（申领个体执照）：
1、前往工商所申请办理
2、根据工商所通知（申请办理当场就会给你个小纸条）前往办理名称预核
3、拿到名称预核通知书，办理卫生许可证（前往所在地卫生监督所办理）
4、拿着名称预核通知书和卫生许可证前往工商所核发营业执照。
规模以上工业企业是指全部国有企业(在工商局的登记注册类型为"110"的企业)和当年产品销售收入500万元以上(含)的非国有工业企业。
这个问题有点不知所问了。
公务员并不由单位性质决定，行政单位行政编的是公务员，但并不是说行政单位的就是公务员，事业单位里面参照管理的也是公务员。
所以你的问题只能回答为：按公务员管理的是公务员。
考虑是由于天气比较干燥和身体上火导致的，建议不要吃香辣和煎炸的食物，多喝水，多吃点水果，不能吃牛肉和海鱼。可以服用（穿心莲片，维生素b2和b6）。也可以服用一些中药，如清热解毒的。
确实没有偿还能力的，应当与贷款机构进行协商，宽展还款期间或者分期归还； 如果贷款机构起诉到法院胜诉之后，在履行期未履行法院判决，会申请法院强制执行； 法院在受理强制执行时，会依法查询贷款人名下的房产、车辆、证券和存款；贷款人名下没有可供执行的财产而又拒绝履行法院的生效判决，则有逾期还款等负面信息记录在个人的信用报告中并被限制高消费及出入境，甚至有可能会被司法拘留。
第一步：教育引导
不同年龄阶段的孩子“吮指癖”的原因不尽相同，但于力认为，如果没有什么异常的症状，应该以教育引导为首要方式，并注意经常帮孩子洗手，以防细菌入侵引起胃肠道感染。
第二步：转移注意力
比起严厉指责、打骂，转移注意力是一种明智的做法。比如，多让孩子进行动手游戏，让他双手都不得闲，或者用其他的玩具吸引他，还可以多带孩子出去游玩，让他在五彩缤纷的世界里获得知识，增长见识，逐渐忘记原来的坏习惯。对于小婴儿，还可以做个小布手套，或者用纱布缠住手指，直接防止他吃手。但是，不主张给孩子手指上“涂味”，比如黄连水、辣椒水等，以免影响孩子的胃口，黄连有清热解毒的功效，吃多了还可导致腹泻、呕吐。
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楼主，龙德教育就挺好的，你可以去试试，我们家孩子一直在龙德教育补习的，我觉得还不错。
成人可以学爵士舞。不过对柔软度的拒绝比较大。 不论跳什么舞，如果要跳得美，身体的柔软度必须要好，否则无法充分发挥出理应的线条美感，爵士舞也不值得注意。在展开暖身的弯曲动作必须注意，不适合在身体肌肉未几乎和暖前用弹振形式来做弯曲，否则更容易弄巧反拙，骨折肌肉。用静态方式弯曲较安全，不过也较必须耐性。柔软度的锻炼动作之幅度更不该超过疼痛的地步，肌肉有向上的感觉即可，动作(角度)保持的时间可由10馀秒至30-40秒平均，时间愈长对肌肉及关节附近的联结的组织之负荷也愈高。
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三角形的三个顶点的外角平分线所在的直线两两相交，所围成的三角形一定是
wywr121的答复：
设I为△ABC内一点,AI所在直线交△ABC的外接圆于D.I为△ABC内心的充要三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点；三角形的外心到三顶点的距离。点A关于角C的平分线L1:y=-x的对称点A'，则A&在BC上 可得:A'(-4,-1) 点A关于角B的平分线L2:y=1/2x的对称点A&，则A&在BC上 过A做L2的垂线,垂足为D，则AD的斜率为-2 则AD的方程为 y-4=-2(x-1) 即y=-2x+6 (1) y=1/2x (2) 解方程组得D点坐标为(2.2) 则A&的坐标为(3.-1.6) 则BC的斜率为(-1-1.2)/(-4-3.8)=11/39 过点(-4，-1) BC边所在的直线方程为 y=11/39*(x+4)+1 不知有没有解错，你再对一下。分析:在AB上取一点E,使AE=AC,连结PE,所以AB-AC=AB-AE=BE,在 PEB中,AB-AC&PB-PE,而PE=PC可证,思路畅通. 证明:在ABC中, ∵AB&AC ∴可在AB上取一点E,使AE=AC ∴AB-AE=AB-AC=BE ∵AD平分BAC ∴EAP=CAP 在AEP和ACP中 ∴AEP≌ACP (SAS) ∴PE=PC ∵在BPE中 BE&BP-PE ∴AB-AC&PB-PC 注意:对于角平分线这一条件在添加辅助线时,常常采用翻折法的思想截长或补短. 第一种方法： 1)证明: 在ab上取一点c',使ac'=ac,bc'=ab-ac'=ab-ac 由于pa是角bac的角平分线==&c'ap=pc'=pc 在▲pc'b中: pbpb-pc'pb-pcpb'pb'-pcpb-pc当前位置： >>
2015年全国中考数学试卷解析分类汇编 专题26 图形的相似与位似(第一期)
图形的相似与位似[ 来源:@z~^#zstep.com%]一.选择题 1. （2015?淄博第 8 题,4 分）如图，在四边形 ABCD 中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=源:~中 教&%*网^][来AB，点 E、F 分别为 AB、AD 的中点，则△AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为（）A．B．C．D．考点： 相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理．. 专题： 压轴题． 分析： 根据三角形的中位线求出 EF= BD，EF∥BD，推出△AEF∽△ABD，得出 = ，求出 解答：== ，即可求出△AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比．解：连接 BD， ∵F、E 分别为 AD、AB 中点， ∴EF= BD，EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD，∴== ，∴△AEF 的面积：四边形 EFDB 的面积=1：3， ∵CD= AB，CB⊥DC，AB∥CD，第 1 页 共 82 页 ∴== ，∴△AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为 1： （3+2）=1：5， 故选 C． 点评： 本题考查了三角形的面积，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生运用性质 进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中． 2． （2015? 湖北省武汉市， 第 6 题 3 分） 如图， 在直角坐标系中， 有两点 A(6， 3)、 B(6， 0)． 以1 原点 O 为位似中心，相似比为 3 ，在第一象限内把线段 AB 缩小后得到线段 CD，则点 C 的坐标为（ A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 1.A）[ 来#源:中%& 教网*^]OD CD 1 ? ? AB 3 ，即 【解析】∵线段 CD 和线段 AB 关于原点位似，∴△ODC∽△OBA，∴ OB OD CD 1 ? ? 6 3 3 ，∴CD=1，OD=2，∴C（2,1）. x y 1 ? ? 一题多解―最优解： 设C （x,y） ,∵线段 CD 和线段 AB 关于原点位似， ∴ 6 3 3 ,∴x=2，y=1，∴C（2,1）. 备考指导： 每对对应点的连线所在的直线都相交于一点的相似图形叫做位似图形． 位似图形 对应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比） ；在平面直角坐标系中，如果位似图形是 以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标比等于相似比． 3．(2015?湖南株洲,第 7 题 3 分)如图，已知 AB、CD、EF 都与 BD 垂直，垂足分别是 B、D、 F，且 AB＝1，CD＝3，那么 EF 的长是 ( )1 A． 32 B． 33 C． 44 D． 5CA BE F第7题图D【试题分析】第 2 页 共 82 页 本题考点为：相似的三角形性质的运用：利用 AB∥EF∥CD 得到△ABE∽△DCE，得到EC DC 1 EF BE BE 1 ? ? ? ? ? BE AB 3 ，△BEF∽△BCD 得到 CD BC BE ? EC 4 ，故可知答案答案为：C[ 来源:#z~zs te&p.c%o*m]4．(2015?江苏南京,第 3 题 3 分)如图所示，△ABC 中，DE∥BC，若 中正确的是（ ），则下列结论A．B．[ 来源%:^ 中教网 ~#&]C．D．【答案】C． 【解析】 试题分析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴两相 似三角形的相似比为 1：3，∵周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴C 正 确．故选 C． 考点：相似三角形的判定与性质． 5． （2015?甘肃武威,第 9 题 3 分）如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、 BC 上的点，DE∥AC，若 S△BDE：S△CDE=1：3，则 S△DOE：S△AOC 的值为 （ ）[来源:^*中&%教网@]A ． 考点： 分析：B ．C ．D ．相似三角形的判定与性质．菁优网 证明 BE：EC=1：3，进而证明 BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC，得 到 = ，借助相似三角形的性质即可解决问题． 解：∵S△BDE：S△CDE=1：3， ∴BE：EC=1：3； ∴BE：BC=1：4； ∵DE∥AC， ∴△DOE∽△AOC，解答：第 3 页 共 82 页 ∴= ，∴S△DOE：S△AOC= 点评：=，故选 D． 本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是 灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．6.（2015 湖南岳阳第 8 题 3 分）如图，在△ABC 中，AB=CB，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D．过点 C 作 CF∥AB，在 CF 上取一点 E，使 DE=CD，连接 AE．对于下列结论：① AD=DC；②△CBA∽△CDE；③ 其中的选项是（ ）[ 来源:^&*中@ 教~网]=；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论全部包含A．①②B．①②③C．①④D．①②④考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．. 分析： 根据圆周角定理得∠ ADB=90° ，则 BD ⊥ AC ，于是根据等腰三角形的性质可判断 AD=DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠ 2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判 断；由于不能确定∠1 等于 45° ，则不能确定 与 相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE 可判断∠AEC=90° ，即 CE⊥AE，根据平行线的性质得到 AB⊥AE，然 后根据切线的判定定理得 AE 为⊙O 的切线，于是可对④进行判断． 解答： 解：∵AB 为直径， ∴∠ADB=90° ， ∴BD⊥AC， 而 AB=CB， ∴AD=DC，所以①正确； ∵AB=CB， ∴∠1=∠2， 而 CD=ED， ∴∠3=∠4， ∵CF∥AB， ∴∠1=∠3，第 4 页 共 82 页 ∴∠1=∠2=∠3=∠4， ∴△CBA∽△CDE，所以②正确； ∵△ABC 不能确定为直角三角形， ∴∠1 不能确定等于 45° ， ∴ 与 不能确定相等，所以③错误；∵DA=DC=DE， ∴点 E 在以 AC 为直径的圆上， ∴∠AEC=90° ， ∴CE⊥AE， 而 CF∥AB， ∴AB⊥AE， ∴AE 为⊙O 的切线，所以④正确． 故选 D．点评： 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考 查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定． 图形的相似与位似[中^国教#育出版~*&网] 7.（2015 湖北荆州第 6 题 3 分）如图，点 P 在△ABC 的边 AC 上，要判断△ABP∽△ACB， 添加一个条件，不正确的是（ ）[ 来源: 中& 国教育@^ 出#* 版网]A． ∠ABP=∠C B． ∠APB=∠ABC C． = D． = 考点： 相似三角形的判定． 分析： 分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 解答： 解：A、当∠ABP=∠C 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；[ 来& 源:中^ 国% 教育出* 版网#] 网][ 来源%:*中#国教 ~育@ 出 版B、当∠APB=∠ABC 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； C、当 = 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D．第 5 页 共 82 页 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键． 8． （2015?四川资阳,第 10 题 3 分）如图 6，在△ABC 中，∠ACB=90? ，AC=BC=1，E、F 为 线段 AB 上两动点，且∠ECF=45° ，过点 E、F 分别作 BC、AC 的垂线相交于 点 M， 垂足分别为 H、 G． 现有以下结论：①AB= 2 ；②当点 E 与点 B 重合时，1 1 2 MH= ；③AF+BE=EF；④MG?MH= 2 ，其中正确结论为A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 考点：相似形综合题．. 分析：①由题意知，△ABC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断； ②如图 1，当点 E 与点 B 重合时，点 H 与点 B 重合，可得 MG∥BC，四边形 MGCB 是矩 形，进一步得到 FG 是△ACB 的中位线，从而作出判断； ③如图 2 所示， SAS 可证△ECF≌△ECD， 根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；[ 来源~@#:* zzste&p.com]④根据 AA 可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得 AF?BF=AC?BC=1，由题意知 四 边 形 CHMG 是 矩 形 ， 再 根 据 平 行 线 的 性 质 和 等 量 代 换 得 到 MG?MH= AE× BF= AE?BF= AC?BC= ，依此即可作出判断． 解答：解：①由题意知，△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB= = ，故①正确；[ 来源:zz~s#&tep@.com^]②如图 1，当点 E 与点 B 重合时，点 H 与点 B 重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90° ， ∵MG⊥AC， ∴∠MGC=90° =∠C=∠MBC， ∴MG∥BC，四边形 MGCB 是矩形， ∴MH=MB=CG， ∵∠FCE=45° =∠ABC，∠A=∠ACF=45° ， ∴CE=AF=BF， ∴FG 是△ACB 的中位线，[ 来源:* 中国教 育~ 出版网@^%]∴GC= AC=MH，故②正确； ③如图 2 所示，第 6 页 共 82 页 ∵AC=BC，∠ACB=90° ， ∴∠A=∠5=45° ． 将△ACF 顺时针旋转 90° 至△BCD， 则 CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45° ；BD=AF； ∵∠2=45° ， ∴∠1+∠3=∠3+∠4=45° ， ∴∠DCE=∠2． 在△ECF 和△ECD 中，[ 来源:@~中^& 教*网]， ∴△ECF≌△ECD（SAS） ， ∴EF=DE． ∵∠5=45° ， ∴∠BDE=90° ， 2 2 ∴DE =BD +BE2，即 E2=AF2+BE2，故③错误； ④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45° =∠1+∠2=∠ACE， ∵∠A=∠5=45° ， ∴△ACE∽△BFC，[ 中~国%&*教育出^ 版 网] [ 中^ 国教~*育%& 出版网][ 中国教&^*育%@ 出版网]∴ = ， ∴AF?BF=AC?BC=1， 由题意知四边形 CHMG 是矩形， ∴MG∥BC，MH=CG， MG∥BC，MH∥AC， ∴ 即 = = ； ； = = ，[ 来源 :~中教&%*网^]， BF，∴MG=AE；MH= AE×[ 来源 :中%^ 教& 网@#]∴MG?MH=BF= AE?BF= AC?BC= ，[www%.zzs@t&e~p.co*m]第 7 页 共 82 页 故④正确． 故选：C． 点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判 定和性质， 矩形的判定和性质， 三角形中位线的性质， 全等三角形的判定和性质， 勾股定理， 相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．[ 来源:zzs%tep*&.co@m~]9. （2015?浙江嘉兴，第 5 题 4 分）如图，直线 l1// l2// l3，直线 AC 分别交 l1， l2， l3 于点 A， B， C； 直线 DF 分别交 l1， l2， l3 于点 D， E， F .AC 与 DF 相较于点 H， 且 AH=2， HB=1， BC=5，则 的值为（▲）（A） （B）2 （C） 考点：平行线分线段成比例．.[中&国教育出版@*~%网] 分析：根据 AH=2，HB=1 求出 AB 的长， 根据平行线分线段成比例定理得到 解答：解：∵AH=2，HB=1， ∴AB=3， ∵l1∥l2∥l3， = ，计算得到答案．（D）∴ = = ， 故选：D． 点评：本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解 题的关键． 10. （2015?四川省宜宾市，第 6 题，3 分）6. 如图，△OAB 与△OCD 是以点 O 为位似中心 的位似图形， 相似比为 l： 2， ∠OCD=90° ， CO=CD.若 B(1， 0)， 则点 C[中国^的坐标为( B )y C A xOBDA.(1,2)B.(1,1)C.( 2,2)D.(2,1)[ 来& 源:z* zstep.c@~om%]第 8 页 共 82 页 [ 来& 源:z^ zs%t@e*p.com]11. （2015?四川成都,第 5 题 3 分）如图，在 ?ABC 中， DE // BC ， AD ? 6 ， DB ? 3 ，AE ? 4 ,则 EC 的长为（A） 1 （C） 3 【答案】 ：B（B） 2 （D） 4[ 中^ 国教@ 育出版 ~*& 网]AD AE ? 【解析】 ： 根据平行线段的比例关系， DB EC ， 6 4 ? 即 3 EC ， EC ? 2 ，选 B。[ 来#源:~中 国% 教*育@ 出 版网]12. （2015?四川乐山,第 5 题 3 分）如图， ∥ ∥ ，两条直线与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和 D、E、F．已知，则的值为（ ）第 9 页 共 82 页 [中国%#教&育出^版网*]A．B．C．D．【答案】D． 【解析】[来源:%中国教@*育#出版网&]试题分析：∵ ∥ ∥ ， 考点：平行线分线段成比例．[ 中国教育出版*~% #@ 网]，∴===，故选 D．13. （2015?四川眉山，第 6 题 3 分）如图，AD∥BE∥CF，直线 l1、l2 这与三条平行线分别 交于点 A、B、C 和点 D、E、F．已知 AB=1，BC=3，DE=2，则 EF 的长为（ ）[中国^&%教育出@版~网] A．4 B．5 C ．6 D．8考点： 平行线分线段成比例．. 分析： 由 AD∥BE∥CF 可得 = 解答： 解：∵AD∥BE∥CF， ∴ = ， ∵AB=1，BC=3，DE=2，，代入可求得 EF．∴ = ， 解得 EF=6， 故选：C． 点评： 本题主要考查平行线分线段成比例的性质， 掌握平行线分线段可得对应线段成比例是 解题的关键． 14．(2015?黑龙江绥化，第 9 题 分)如图 ，在矩形 ABCD 中 ，AB=10 , BC=5 ． 若点 M、 N 分别是线段 ACAB 上的两个动点 ， 则 BM+MN 的最小值为（ ）第 10 页 共 82 页 [ 中~国^& 教育出 #*版网]A． 10B． 8C． 5 3D． 6考点：轴对称－最短路线问题． ．[w&^ww~．*zz@step．com] 分析：根据轴对称求最短路线的方法得出 M 点位置，进而利用勾股定理及面积法求出 CC′ 的值，然后再证明△BCD∽△C′NC 进而求出 C′N 的值，从而求出 MC+NM 的值．[中国*教 育#^出&版网%] 解答：解：如图所示：由题意可得出：作 C 点关于 BD 对称点 C′，交 BD 于点 E，连接 BC′， [来@源:中教网#&~%] 过点 C′作 C′N⊥BC 于点 N，交 BD 于点 M，连接 MC，此时 CM+NM=C′N 最小，[中~国&%教*育出^版网] ∵AB=10，BC=5， 在 Rt△BCD 中，由勾股定理得：BD= ∵S△BCD= ?BC?CD= ∴CE= = ∵CC′=2CE， ∴CC′=4 ，[ 来源:zz&step* ~.@^com]=5，BD?CE， =2 ，[来源:zz~*s#t%^ep．com]∵NC′⊥BC，DC⊥BC，CE⊥BD， ∴∠BNC′=∠BCD=∠BEC=∠BEC′=90°， ∴∠CC′N+∠NCC′=∠CBD+∠NCC′=90°，[来@源*:中教&%网^] ∴∠CC′N=∠CBD， ∴△BCD∽△C′NC，[ww@w.#zzs tep~.^com*]∴，[来源:*中@^~教网#]即，第 11 页 共 82 页 ∴NC′=8，[www．z@%#z&st*ep．com] 即 BM+MN 的最小值为 8． 故选 B． 点评： 此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及勾股定理的应用和相似三角形的应用， 利 用轴对称得出 M 点与 N 点的位置是解题的关键．15.（2015?山东东营,第 6 题 3 分）若，则的值为（）A．1 【答案】D 【解析】[ 来& 源%:中*^~教网]B．C．D．试题分析：∵，∴设 y=3k，x=4k，∴；故选 D. 考点：比例的应用. 16.（2015?山东东营,第 10 题 3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC．点 D 是 线段 AB 上的一点，连结 CD，过点 B 作 BG⊥CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连结 DF．给出以下四个结论：① ；②若点 D 是AB 的中点，则 AF= 则 A．①②AB；③当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF=DB；④若 ．其中正确的结论序号是（ B．③④ C．①②③ ） D．①②③④，【答案】C第 12 页 共 82 页 考点：１.相似三角形的判定和性质；２.圆周角定理；３.三角形全等的判定与性质.17. （2015?山东潍坊第 9 题 3 分）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，按如下步骤作 图： 第一步，分别以点 A、D 为圆心，以大于 AD 的长为半径在 AD 两侧作弧，交于两点 M、 N； 第二步，连接 MN 分别交 AB、AC 于点 E、F； 第三步，连接 DE、DF． 若 BD=6，AF=4，CD=3，则 BE 的长是（ ）A．2B．4C ．6D．8考点： 平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图―基本作图．. 分析： 根据已知得出 MN 是线段 AD 的垂直平分线，推出 AE=DE，AF=DF，求出 DE∥AC， DF∥AE，得出四边形 AEDF 是菱形，根据菱形的性质得出 AE=DE=DF=AF，根据平 行线分线段成比例定理得出 = ，代入求出即可． 解答： 解：∵根据作法可知：MN 是线段 AD 的垂直平分线，第 13 页 共 82 页 ∴AE=DE，AF=DF， ∴∠EAD=∠EDA， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠EDA=∠CAD， ∴DE∥AC， 同理 DF∥AE， ∴四边形 AEDF 是菱形， ∴AE=DE=DF=AF， ∵AF=4， ∴AE=DE=DF=AF=4， ∵DE∥AC， ∴ = ， ∵BD=6，AE=4，CD=3， ∴ = ， ∴BE=8， 故选 D． 点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等 腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形 AEDF 是菱形是解此题的关键，注意：一 组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例． ……依次顺延 18． （2015?甘肃兰州,第 5 题，4 分）如图，线段 CD 两个端点的坐标分别为 C（1，2） ，D（2， 0） ，以原点为位似中心，将线段 CD 放大得到线段 AB，若点 B 的坐标为（5，0） ，则点 A 的坐标为 A.（2，5） B.（2.5，5） C. （3，5） D.（3，6）【 答 案 】B 【考点解剖】本题考查了坐标和相似的有关知识 【思路点拔】根据题意：AO:CO=BO:DO=5:2，而位似中心恰好是坐标原点 O，所以点 A 的 横、纵坐标都是点 C 横、纵坐标的 2.5 倍，因此选 B。 【题目星级】★★★[来源:%&zz ~*s @tep.com]19． （2015?安徽省,第 9 题，4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4．点 E 在边 AB 上， 点 F 在边 CD 上， 点 G、 H 在对角线 AC 上． 若四边形 EGFH 是菱形， 则 AE 的长是（ [ ） ] A．2 5 B．3 5 C．5 D．6第 14 页 共 82 页 考点：菱形的性质；矩形的性质．. 分析：连接 EF 交 AC 于 O，由四边形 EGFH 是菱形，得到 EF⊥AC，OE=OF，由于四边形 ABCD 是矩形，得到∠B=∠D=90° ，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到 AO=CO，求出[ 来&~源:* zzs tep.co@m%]AO= AC=2 ，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果． 解答：解；连接 EF 交 AC 于 O， ∵四边形 EGFH 是菱形， ∴EF⊥AC，OE=OF，[中国教%育出版@#~&网] ∵四边形 ABCD 是矩形，[来#~&*源:中教^网] ∴∠B=∠D=90° ，AB∥CD， ∴∠ACD=∠CAB，[ 来源:#中^& 国教育*出版 ~网] [ 来源:中国教* #育^& 出版% 网]在△CFO 与△AOE 中， ∴△CFO≌△AOE， ∴AO=CO， ∵AC= =4 ，，∴AO= AC=2 ， ∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90° ， ∴△AOE∽△ABC，[www.%@z&zst*e#p.com]∴，∴ ∴AE=5． 故选 C．，[来源:中@教网*&^%][ 来源%@:中^ 教#* 网]点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练 运用定理是解题的关键． 20. （2015 山东济宁，10，3 分）将一副三角尺（在第 15 页 共 82 页中，∠ACB=，∠B=； 在中，∠EDF=，∠E=）如图摆放，点 D 为 AB 的中点，DE 交 AC 于点 P， ， 交 AC 于点 M，DF 经过点 C.将绕点 D 顺时针方向旋转角交 BC 于点 N，则的值为()A.B.C.D.[来源:~中%&国教育^出*版网] 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意知 D 为 Rt△ABC 的斜边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜[中国教&^~育 出#*版 网]边的一半，可得 CD=AD=BD=AB，再由∠B=60° 可知△BCD 是等边三角形，因此可得∠DCP=30° ， 且可求∠DPC=60° ， 因此 tan30° =.根据旋转变换的性质， 可知∠PDM=∠CDN，因此可知△PDM∽△CDN，再由相似三角形的性质可得，因此是一个定值.故选 C 考点：直角三角形斜边上的中线，相似三角形，旋转变换[来~源:中国教育出^版&%网#][ 中国^#教% 育出&*版 网]二.填空题b?c c b a ? ? ?0 1．(2015?贵州六盘水，第 14 题 4 分)已知 4 5 6 ，则 a 的值为网]．[ 中国教@ 育出版~%#&考点：比例的性质．. 分析：根据比例的性质，可用 a 表示 b、c，根据分式的性质，可得答案． 解答：解：由比例的性质，得[ 来源:中~^& 国@ 教育出版 网#]第 16 页 共 82 页 c= a，b= a．== = ．[来@源:%*中教^网~][ 来源~:&@ 中国 教育% 出* 版网]故答案为： ． 点评：本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出 a 表示 b、c 是解题关键，又利用了分 式的性质． 2． (2015?河南，第 10 题 3 分)如图，△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB，BC 上，DE//AC，A DB[中~国%&教*育出^版网] 若 DB=4，DA=2，BE=3，则 EC= .E 第 10 题CBD BE 3 ? 2 【解析】本题考查平行线分线段成比例定理.∵DE∥AC，∴ DA EC ， DA ? BE 2 ? 3 3 ? ? 4 2. ∴EC= BD3． （2015?广东梅州,第 14 题 5 分）已知：△ABC 中，点 E 是 AB 边的中点，点 F 在 AC 边 上，若以 A，E，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是 AF= AC 或 ∠AFE=∠ABC ． （写出一个即可）[www#.zz%st*ep.co@m~] [来*源:%@中~教^网] 考点： 相似三角形的判定．菁优网 专题： 开放型． 分析： 根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答； 由于 没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论． 解答： 解：分两种情况： ①∵△AEF∽△ABC， ∴AE：AB=AF：AC， 即 1：2=AF：AC， ∴AF= AC； ②∵△AFE∽△ACB， ∴∠AFE=∠ABC．第 17 页 共 82 页 ∴要使以 A、 E、 F 为顶点的三角形与△ABC 相似， 则 AF= AC 或∠AFE= ∠ABC． 故答案为：AF= AC 或∠AFE=∠ABC．点评：本题很简单， 考查了相似三角形的性质， 在解答此类题目时要找出对应的 角和边．4． （2015?广东佛山,第 13 题 3 分）如图，在 Rt△ABC 中，AB=BC，∠B=90° ，AC=10．四边形 BDEF 是△ABC 的内接正方形 （点 D、 E、 F 在三角形的边上） ． 则此正方形的面积是 25 ．考点： 分析： 解答：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网 由已知可得到△AFE∽△ABC， 根据相似三角形的边对应成比例即可求得 EF 的长，进而根据正方形的面积公式即可求得． 解：∵在 Rt△ABC 中，AB2+BC2=AC2， ∵AB=BC，AC=10 ．∴2AB2=200， ∴AB=BC=10， 设 EF=x，则 AF=10x ∵EF∥BC， ∴△AFE∽△ABC∴=，即=，∴x=5， ∴EF=5， ∴此正方形的面积为 5× 5=25． 故答案为 25． 点评：[ 来% 源#:中 教*^ 网&]主要考查了正方形基本性质和比例线段的运用．解题的关键是准确的找 到相似三角形并根据其相似比列方程求解．第 18 页 共 82 页 5． (2015?河南，第 22 题 10 分)如图 1，在 Rt△ABC 中，∠B=90° ，BC=2AB=8，点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点，连接 DE. 将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α. （1）问题发现[ 来% 源:中国教育&^ 出版网@#]AE ? __________ ___ ① 当 ? ? 0? 时， BD ； AE ? __________ . ② 当 ? ? 180 ? 时， BD（2）拓展探究AE 试判断：当 0°≤α＜360° 时， DB 的大小有无变化？请仅就图 2 的情况给出证明.（3）问题解决 当△EDC 旋转至 A、D、E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长.[ 中国教育*^ 出版网&%~][ 中国教@% 育*出版#网^][w~ww@.%zzstep.#*com] A[ 中% 国教*~ 育^ 出版 网@]A DEAE[来&源:#中教^%网~] [中@~国*^教育出&版网][中~%&国*教育出 B ^版网] B B D C C （1） 【分析】①根据题意可得 DE 是三角形 ABC 的中位线和 BD 的长，根据中位线的性质 （备用图） （图 1） （图 2） 和勾股定理求得 AE 的长即可求解；②根据旋转 180° 的特性，结合①，分别得到 AC、CE、 BC 和 CD 的长即可求解.[来源:zz~step.^c%&#om]C5 解：① 2 ；……………………………………………………（1 分）[中^国教*~育&%出版网]5 ② 2 .……………………………………………………（2 分）【解法提示】①当 α=0° ，如解图①，∵BC=2AB=8，∴AB=4，∵点 D，E 分别是边 BC，AC1 AB ? 1 2 2 的中点，∴DE= 2 ,AE=EC,，∵∠B=90° ，∴ AC ? 8 ? 4 ? 4 5 ,∴AE=CE= 2 5 ,AE 2 5 5 ? ? 4 2 ；②当 α=180 度，如解图②，由旋转性质可得 CE= 5 ,CD=2 ，∵ ∴ BDAE AC ? CE 4 5 ? 2 5 5 ? ? ? 2 5 8? 4 2 .[中国教*&^育%@出版网] AC= ，BC=8，∴ BD BC ? CD第 19 页 共 82 页 CE CD ? （2） 【分析】在由解图①中，由平行线分线段成比例得到 CA CB ，再观察图②中△EDC CE CD ? 绕点 C 的旋转过程，结合旋转的性质得到 CA CB 任然成立，从而求得△ACE∽△BCD，利用其性质，结合题干求得 AC 的长即可得到结论.[来源:%&z~z^][来^源:中国教育出 *~&版%网][w*ww.z#@zs&tep.c^om] 第 22 题解图③ (3) 【分析】4 5或解：[ 来&~源:* zzstep.c@om%]12 5 . 5 ………………………………………………………………………（10 分）第 20 页 共 82 页 【解法提示】当△EDC 在 BC 上方，且 A，D，E 三点共线时，四边形 ABCD 为矩形，[中^ 国教育~@出*版网#][ 来@ 源:z%zstep.&^co*m]∴BD=AC= 4 5 ；当△EDC 在 BC 下方，且 A，E，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形，5 12 5 AE 由勾股定理可求得 AD=8， ∴AE=6， 根据 BD = 2 可求得 BD = 5 .[中国教@育出&版%网#~]AADEF B E D C[来源#:*中国教%育出[ 来源*:中^ 教%B网@#]C图④图⑤[来#%源:^~中教网&][来@源%:中教&^ 第 22 题解图网*][ 来源:z# z@step.&co%m*]6．(2015?黑龙江绥化，第 21 题 分)在矩形 ABCD 中 ，AB=4 , BC=3 , 点 P 在 AB 上。若 将△DAP 沿 DP 折叠 ，使点 A 落在矩形对角线上的 A? 处 ，则 AP 的长为__________． 考点：翻折变换（折叠问题） ． ． 专题：分类讨论． 分析：分两种情况探讨：点 A 落在矩形对角线 BD 上，点 A 落在矩形对角线 AC 上，在直角 三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．[中^国教育*出&版~%网] 解答：[中%国教育@出版&#网*] 解：①点 A 落在矩形对角线 BD 上，如图 1，[中国教&^~育出#*版网] ∵AB=4，BC=3， ∴BD=5， 根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90° ，[ww@w．zzs%t^ep&．#com] ∴BA′=2， 设 AP=x，则 BP=4x， ∵BP2=BA′2+PA′2， ∴（4x）2=x2+22，[www．z&^zs#tep．c*o~m][ 中 国教育& 出^*@ 版 网#] [www.z#&zste^p~.co@m]解得：x= ， ∴AP= ； ②点 A 落在矩形对角线 AC 上，如图 2， 根据折叠的性质可知 DP⊥AC，第 21 页 共 82 页 ∴△DAP∽△ABC， ∴ ∴AP= ，[中国教^&%育*出版网@] = = ．故答案为： 或 ．[ 来源:zz@st%ep~.c*&om]点评： 本题考查了折叠问题、 勾股定理， 矩形的性质以及三角形相似的判定与性质； 解题中， 找准相等的量是正确解答题目的关键．[中&国教#育^@出*版网] 7. （2015?浙江金华，第 14 题 4 分）如图，直线 l1 , l2 , ???, l6 是一组等距离的平行线，过直 线 l1 上的点 A 作两条射线，分别与直线 l 3 ， l 6 相交于点 B，E，C，F. 若 BC=2，则 EF 的长 是 ▲【答案】5. 【考点】平行线分线段成比例的性质；相似三角形的判定和性质.[来@~源:%中国教育&出版 #网][ 中@ 国*教育%& 出版#网]AB 2 AB 2 ? ? l , l , ??? , l 6 是一组等距离的平行线，∴ BE 3 ，即 AE 5 . 【分析】∵直线 1 2 BC AB 2 ? ? l l ? ABC ∽ ? AEF 又∵ 3 ∥ 6 ，∴ . ∴ EF AE 5 . 2 2 ? ? EF ? 5 ∵BC=2，∴ EF 5 .[中^国教@育出版~*&8 . （2015?浙江湖州，第 16 题 4 分）已知正方形 ABC1D1 的边长为 1，延长 C1D1 到 A1，以 A1C1 为边向右作正方形 A1C1C2D2， 延长 C2D2 到 A2， 以 A2C2 为边向右作正方形 A2C2C3D3(如第 22 页 共 82 页 图所示)，以此类推…，若 A1C1=2，且点 A，D2， D3，…，D10 都在同一直线上，则正方形 A9C9C10D10 的边长是__________________________[ 中国教育出版网#* ~@%]【答案】.考点：正方形的性质；相似三角形的判定及性质；规律探究题. 9. （2015?浙江嘉兴，第 12 题 5 分）右图是百度地图的一部分（比例尺 1:4 000 000）.按图 可估测杭州在嘉兴的南偏西 ____▲____ 度方向上，到嘉兴的实际距离约为 ____▲____.[ 来 源:zz@st%ep~.c*&om] 考点：比例线段；方向角．. 分析：先根据方向角得到杭州在嘉兴的方位，再量出杭州到嘉兴的图上距离，再根据比例尺 的定义即可求解．解答： 解：测量可知杭州在嘉兴的南偏西 45 度方向上， 杭州到嘉兴的图上距离是 4cm， 4× 0 0000cm=160km． 故答案为：45，160km． 点评：考查了方向角和比例尺的定义，比例尺=图上距离：实际距离．[ 中& 国教育*% 出@#版网] [www.z^z# ~@ste%p.com] [w^ww~.z*z# step.com&]10. （2015?江苏泰州,第 14 题 3 分） 如图， △中， D 为 BC 上一点， ∠BAD=∠C,AB=6，第 23 页 共 82 页 BD=4，则 CD 的长为_________.【答案】5.考点：相似三角形的判定与性质. 11.（2015?山东临沂,第 18 题 3 分）如图，在△ABC 中，BD，CE 分别是边 AC，AB 上的中 线，BD 与 CE 相交于点 O，则 _________.[ 来@ 源~:中&#教 网%]（第 18 题图） 【答案】2 【解析】 试题分析：如图，连接 ED，由 BD，CE 分别是边 AC，AB 上的中线可知 BD 是△ABC 的[ 中国教%#& 育出版@ 网^]中位线，因此可得 ED=BC ， ED ∥ BC ，由平行线可证得△ OED ∽△ COD ，因此可得=2.[ 来源:zz# step&.%^~com]第 24 页 共 82 页 [ 来#源:*& 中^ 国教 育出@ 版网]考点：三角形的中位线，相似三角形的性质与判定 12.（2015 湖北荆州第 16 题 3 分）如图，矩形 ABCD 中，OA 在 x 轴上，OC 在 y 轴上，且 OA=2，AB=5，把△ABC 沿着 AC 对折得到△AB′C，AB′交 y 轴于 D 点，则 B′[w*ww.z~z# s%tep.co@m]点的坐标为 （，）．[ 来#@ 源%:中&^ 教网]考点： 翻折变换（折叠问题） ；坐标与图形性质． 分析： 作 B′E⊥x 轴，设 OD=x，在 Rt△AOD 中，根据勾股定理列方程，再由△ADO∽△ AB′E，求出 B′E 和 OE． 解答： 解：作 B′E⊥x 轴， 易证 AD=CD， 设 OD=x，AD=5x， 在 Rt△AOD 中，根据勾股定理列方程得：22+x2=（5x）2， 解得：x=2.1， ∴AD=2.9， ∵OD∥B′E， ∴△ADO∽△AB′E，[ 来#@& 源^:中教网~] [ 中*国教育^ 出%@ 版#网] [ 来#源~:中* 教% 网&]∴ ∴ 解得：B′E= AE= ∴OE= ∴B′（ ， 2= ， ，， ，[ 来源#*:中~教&% 网][ 来源^:z&zstep.c@~o%m]． ） ．故答案为： （，） ．[ 来#源%:@*中教网&]第 25 页 共 82 页 点评： 本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据勾股定理 列方程求出 OD 是解决问题的关键． 13． （2015?广东省,第 13 题，4 分）若两个相似三角形的周长比为 2：3，则它们的面积比是 ▲ . 【答案】4：9. 【考点】相似三角形的性质. 【分析】∵两个相似三角形的周长比为 2：3，∴这两个相似三角形的相似比 2：3. 又∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴这两个相似三角形的它们的面积比是 4：9.[ 来~源#:中 国教育& 出^ 版 网%](2015 山东青岛，第 12 题,3 分)如图，平面直角坐标系的原点 O 是正方形 ABCD 的中心，顶 点 A，B 的坐标分别为（1,1） 、 （-1,1） ， 把正方形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋转 45°得 到正方形 A′B′C′D′则正方形 ABCD 与 正方形 A′B′C′D′重叠部分形成的正八边形的边长为_____________________．[ 来源%:^*中国~ 教育# 出版网]【答案】2 2 －2 【解析】[ 来% 源:中教@~网^&]试题分析：如图所示：根据题意可得 A′D′，=AB=2，A′第 26 页 共 82 页 FD ' 2-1 FD′ MD′ = = ′ ′ 2 ， OD? ，即 2 0=OD′= 2 ，OM=1，根据△FMD′∽△A′OD′，则 A D则 FD′=2－ 2 ，则 A′E=FD′=2－ 2 ∴EF=2－(2－ 2 )－ (2－ 2 )=2 2 －2，即正八边形的边长为 2 2 －2. 考点：相似三角形的应用 14. （2015?四川凉山州,第 17 题 4 分）在?ABCD 中，M，N 是 AD 边上的三等分点，连接 BD，MC 相交于 O 点，则 S△MOD：S△COB= ．【答案】或．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．[ 来源&:中^*教@#网]15. （2015?四川成都,第 23 题 4 分）已知菱形 A1B1C1D1 的边长为 2，∠A1B1C1＝60° ，对角 线 A1C1，B1D1 相交于点 O．以点 O 为坐标原点，分别以 OA1，OB1 所在直线为 x 轴、y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 以 B1D1 为对角线作菱形 B1C2D1A2∽菱形 A1B1C1D1， 再以 A2C2 为对角线作菱形 A2B2C2D2∽菱形 B1C2D1A2，再以 B2B2 为对角线作菱形 B2C3D2A3∽菱形 A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在 x 轴的正半轴上得到点 A1，A2，A3，…，An，则点 An 的坐标为____________．y【答案】 ： （3 ，0） 【解析】 ：由题意，点 A1 的坐标为（1，0） ， 2－1 点 A2 的坐标为（3，0） ，即（3 ，0） － 点 A3 的坐标为（9，0） ，即（3 3 1，0） － 点 A4 的坐标为（27，0） ，即（3 4 1，0） ……… － ∴点 An 的坐标为（3 n 1，0）[ 来%^~& 源:中#教网]n－1B2[ 来@ 源&:中国*教育 出版网 ~#]B1 C3 C2 C1 OA1 A2 D1 D2 A3 x第 27 页 共 82 页 16、 （2015?四川自贡,第 14 题 4 分）一副三角板叠放如图，则△ AOB 与△ DOC 的面积之比 为 .[ 中国教育出版 网&*^@%]考点：直角三角形的性质、等腰三角形、相似三角形的性质和判定等. 分析：本题抓住一副三角板叠放的特点可知△ AOB 与△ DOC 是相似三角形，而 相似三角形的面积之比是其相似比的平方.抓住在直角三角板△ BCD 容易BC 求出 DC 的值，而直角三角板△ ABC 的 AB ? BC ,所以 △ AOB 与△ DOC AB 的相似比可以通过 DC 求得.[www%.zzs *te#p.c@om~]S V AOB ? AB ? ?? ? 略解：根据如图所示三角板叠放可知 AB P DC ∴△ AOB ∽△ DOC ∴ S VDOC ? DC ?tan 30 o ? 3 32o o 在 直 角 三 角 板 △ BCD 中 ?BCD ? 90 ，?B ? 30∵∴tan ?B ?BC 3 ? DC 32S V AOB ? 3 ? 1 AB 3 ?? ? ? ? ? ? 3 3 ∴ S VDOC ? 3 ? 又在直角三角板△ ABC 的 AB ? BC ∴ DC .故应填1:3.[ 来源:zzs#*t~e^&p.com]17 、 （2015?四川自贡,第 15 题 4 分）如图，将线段 AB 放在边长为 1 的小正方形网格，点 A B 点 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段 AB 上画出点 P ，AP ? 2 17 3 ,并保留作图痕迹.A使B15题考点：矩形、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定.2 分析： 本题根据勾股定理可求出在网格中的 AB ? 4 ? 1 ? 17 ， 由于网格线中的对边平行，所以找点较容易，只需连接一对角线与 AB 的交点 P 就满足AP ?2 17 3 （见图） ；根据的是2 2 17 AP AP 2 AP ? AB ? ?2 ? 3 3 . 平行线所截得相似三角形的对应边成比例 PB , 所以 AB 3 ，则A略解：见图作法.[ 来& 源:#中教*^ ~网][ 来*@ 源:中国教育 出版%#网&]P第 28 页 共 82 页B15题 18.（2015?浙江杭州,第 16 题 4 分） 如图， 在四边形纸片 ABCD 中， AB=BC， AD=CD， ∠A=∠C=90° ，∠B=150° ，将纸片先沿直线 BD 对折，再将对折后的图形沿从一 A 个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面 积为 2 的平行四边形，则 CD=_______________________________[ 来源:中国@#^*教育& 出版 网]BC【答案】 2 ? 3 或 4 ? 2 3 . 【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性 质；含 30 度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程 思想的应用. 【分析】∵四边形纸片 ABCD 中，∠A=∠C=90° ，∠B=150° ，∴∠C=30°. 如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平行四边形： 如答图 1，剪痕 BM、BN，过点 N 作 NH⊥BM 于点 H， 易证四边形 BMDN 是菱形，且∠MBN=∠C=30° .[ 来& 源:% 中国@ 教*育#出版 网]D第16题1 x 设 BN=DN= x ，则 NH= 2 . 1 x? x ? 2? x ? 2 根据题意，得 2 ，∴BN=DN=2， NH=1.易证四边形 BHNC 是矩形，∴BC=NH=1. ∴在 Rt ?BCN 中，CN= 3 . ∴CD= 2 ? 3 . 如答图 2，剪痕 AE、CE，过点 B 作 BH⊥CE 于点 H， 易证四边形 BAEC 是菱形，且∠BCH =30° .1 x x 设 BC=CE = ，则 BH= 2 . 1 x? x ? 2? x ? 2 根据题意，得 2 ，∴BC=CE =2， BH=1.在 Rt ?BCH 中，CH= 3 ，∴EH= 2 ? 3 .CD 2 CD BC ? ? 1 2? 3 . 易证 ?BCD∽?EHB ，∴ HB EH ，即CD ?∴2 2? 3? 2 ? 3 ?? 2 ? 3 ???? 4?2 3.综上所述，CD= 2 ? 3 或 4 ? 2 3 . 19． （2015?广东梅州,第 12 题，3 分）已知：△ABC 中，点 E 是 AB 边的中点，点 F 在 AC 边 上 ， 若 以 A ， E ， F 为 顶 点 的 三 角 形 与 △ABC 相 似 ， 则 需 要 增 加 的 一 个 条 件第 29 页 共 82 页 是 ． （写出一个即可）[来#源:*&中^国教育出@版网] 考点：相似三角形的判定．.[来&*@源:中国教育出%版#网] 专题：开放型． 分析： 根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答； 由于没有确定三 角形相似的对应角，故应分类讨论． 解答：解：分两种情况：[中国教@育出&版%网#~] ①∵△AEF∽△ABC， ∴AE：AB=AF：AC， 即 1：2=AF：AC，[ 来~@ 源*:& 中教#网]∴AF= AC； ②∵△AFE∽△ACB， ∴∠AFE=∠ABC． ∴要使以 A、E、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 AF= AC 或∠AFE=∠ABC．[中^国教 育出版&#网~@] 故答案为：AF= AC 或∠AFE=∠ABC．点评：本题很简单，考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边．a c e ? ? ?k b d f 20 ． （ 2015? 甘 肃 兰 州 , 第 17 题 ， 4 分 ） 如 果 （ b?d ? f ? 0 ） ，且a ? c ? e ? 3(b ? d ? f ) ，那么 k =_____【 答 案 】3 【考点解剖】本题考查比例的基本性质a c e a c e a?c?e ? ? ?k k? ? ? ? f b d f b?d ? f ， 【解答过程】因为 b d ，且 b ? d ? f ? 0 ，所以[ 来@ 源:中教^%#网 ~]a?c?e ?3 而 a ? c ? e ? 3(b ? d ? f ) ，即 b ? d ? f ，所以 k ? 3 。a c e ? ? ?k f 【一题多解】因为 b d ，所以 a ? bk ， c ? dk ， e ? fk ，而 a ? c ? e ? 3(b ? d ? f ) ，即 k (b ? d ? f ) ? 3(b ? d ? f ) ，第 30 页 共 82 页 因为 b ? d ? f ? 0 ，所以 k ? 3 。 【题目星级】★★★[ 来@ 源:中国&*教^ 育 出~ 版网] [中#@% 国教~育出 版& 网][ 中国教#& 育出*版网~@]21. （2015 山东省德州市，17，4 分）如图 1，四边形 ABCD 中，AB∥CD,AD=DC=CB=a， ∠A=60° .取 AB 的中点 A1，连接 A1C,再分别取 A1C,BC 的中点 D1，C1,连接 D1C1,得到四边形 A1BC1D1,如图 2; 同样方法操作得到四边形 A2BC2D2,如图 3;…，如此进行下去，则四边形 AnBCnDn 的面积为 .[ 来源 %: 中 @^ 国教育 ~ 出 版#网]【答案】[来源~:中*^教网&%]考点：是三角形的面积公式；三角形的中位线定理，相似三角形的判定及性质；三.解答题 1. （2015 山东省德州市，23，10 分） (1)问题 如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90° . 求证：AD? BC=AP? BP. (2)探究 如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ 时，上述结论是否 依然成立？说明理由.[w#~@ww&.zzste*p.com] [ 来源:zzs t@ep.co^&%#m] [ 来源&~:#% 中教网*] [w*ww.~z@ zstep.%co#m ]第 31 页 共 82 页 (3)应用[来&源:中教^网%@~] 请利用(1)(2)获得的经验解决问题： 如图 3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿 边 AB 向点 B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点 P 的运动时间为 t（秒） ，当以 D 为圆心，以 DC 为半径的圆与 AB 相切，求 t 的值. [中&国教育*%出@~版网][ 来^% 源:中教网#~*]【答案】 （1）见解析； （2）t 的值为 1 秒或 5 秒.第 32 页 共 82 页 考点：相似三角形的判定及性质；切线的性质及判定；圆的有关性质 2． （2015?安徽省,第 23 题，14 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、CD第 33 页 共 82 页 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，过点 F 作 CD 的垂线，两垂线交于点 G，连接 AG、BG、CG、 DG，且∠AGD＝∠BGC． (1)求证：AD＝BC； (2)求证：△AGD∽△EGF； (3)如图 2，若 AD、BC 所在直线互相垂直，求 G C D A[ 中^ 国教*~ 育&% 出版网]AD 的值． EFFE第 23 题图 1BG[ 来源:~ 中@ 国% 教#育^ 出版网]C FD [来*源:zzs@tep.^&~com] 考点：相似形综合题．. A E B 分析： （1）由线段垂直平分线的性质得出 GA= 第 23 题图 2GB，GD=GC，由 SAS 证明△AGD≌△BGC， 得出对应边相等即可； （2）先证出∠AGB=∠DGC，由 ，证出△AGB∽△DGC，得出比例式 ，再证 出∠AGD=∠EGF，即可得出△AGD∽△EGF； （3）延长 AD 交 GB 于点 M，交 BC 的延长线于点 H，则 AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，得 出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGE=∠AHB=90° ，得出∠AGE= ∠AGB=45° ，求出 由△AGD∽△EGF，即可得出 的值． 解答： （1）证明：∵GE 是 AB 的垂直平分线，[来^&源:中教网@~%] ∴GA=GB，[来@源#:^中国教育出&版~网] 同理：GD=GC，[来源:中国教~^育出版&网*#] 在△AGD 和△BGC 中，[ 来源:z^ zste@p.co~m*#]，[www.z#zste&*p~.co@m]， ∴△AGD≌△BGC（SAS） ，[www*.@z~z#st^ep.com] ∴AD=BC； （2）证明：∵∠AGD=∠BGC， ∴∠AGB=∠DGC，[ 来*源:^ 中教%@ 网#] [ 中%& 国教*育^ 出版 ~网]在△AGB 和△DGC 中， ∴△AGB∽△DGC，，第 34 页 共 82 页 ∴ ， 又∵∠AGE=∠DGF， ∴∠AGD=∠EGF， ∴△AGD∽△EGF；[来源:@~中^&教*网] （3）解：延长 AD 交 GB 于点 M，交 BC 的延长线于点 H，如图所示： 则 AH⊥BH， ∵△AGD≌△BGC， ∴∠GAD=∠GBC， 在△GAM 和△HBM 中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，[中国教@^育*出版网#%] ∴∠AGE=∠AHB=90° ，[ 来源:%^ 中教网~#&] [ 来#源:~% 中教^ 网*]∴∠AGE= ∠AGB=45° ， ∴ ， 又∵△AGD∽△EGF， ∴ = =[w~^%ww#.zz* step.com]．[中^国教*~育&%出版网][来源#~:%zzs@te^p.com][ 来源*: 中国教& 育出^ 版 @ 网~]点评：本题是相似形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、 相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中， 需要通过作辅助线综合运用（1） （2）的结论和三角函数才能得出结果． www.czsx.com.cn 3． （2015?山东威海，第 22 题 9 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E． （1）求证：BE=CE； （2）若 BD=2，BE=3，求 AC 的长．[www.z%# z&step^@.com]考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．. 专题： 证明题． 分析： （1）连结 AE，如图，根据圆周角定理，由 AC 为⊙O 的直径得到∠AEC=90° ，然后 利用等腰三角形的性质即可得到 BE=CE； （2）连结 DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出 AB 的长，从第 35 页 共 82 页 而得到 AC 的长． 解答： （1）证明：连结 AE，如图， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠AEC=90° ， ∴AE⊥BC， 而 AB=AC， ∴BE=CE； （2）连结 DE，如图， ∵BE=CE=3， ∴BC=6， ∵∠BED=∠BAC， 而∠DBE=∠CBA， ∴△BED∽△BAC， ∴ = ，即 ∴BA=9， ∴AC=BA=9． = ，点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中 已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的 一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理． 4． （2015?四川广安，第 25 题 9 分）如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过 B 作 OP 的垂 线 BA，垂足为 C，交⊙O 于点 A，连接 PA、AO，并延长 AO 交⊙O 于点 E，与 PB 的延长 线交于点 D． （1）求证：PA 是⊙O 的切线；[ 来源@:zzstep^.co%&m*]（2）若= ，且 OC=4，求 PA 的长和 tanD 的值．考点： 切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．. 分析： （1）连接 OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP 是线段 AB 的垂直平分 线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根 据切线的性质可得∠PBO=90° ， 进而可得： ∠PAO=90° ， 进而可证： PA 是⊙O 的切线；第 36 页 共 82 页 （2）连接 BE，由 = ，且 OC=4，可求 AC，OA 的值，然后根据射影定理可求 PC 的值，从而可求 OP 的值，然后根据勾股定理可求 AP 的值；由 AC=BC，AO=OE， 可得 OC 是△ABE 的中位线，进而可得 BE∥OP，BE=2OC=8，进而可证△DBE∽△ DPO，进而可得： ，从而求出 BD 的值，进而即可求出 tanD 的值． 解答： （1）证明：连接 OB，则 OA=OB，∵OP⊥AB， ∴AC=BC， ∴OP 是 AB 的垂直平分线， ∴PA=PB， 在△PAO 和△PBO 中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS） ∴∠PBO=∠PAO，PB=PA， ∵PB 为⊙O 的切线，B 为切点， ∴∠PBO=90° ， ∴∠PAO=90° ， 即 PA⊥OA， ∴PA 是⊙O 的切线； （2）连接 BE，∵ = ，且 OC=4， ∴AC=6， ∴AB=12， 在 Rt△ACO 中，第 37 页 共 82 页 由勾股定理得：AO= ∴AE=2OA=4 ，OB=OA=2=2 ，，在 Rt△APO 中， ∵AC⊥OP， ∴AC2=OC?PC， 解得：PC=9， ∴OP=PC+OC=13， 在 Rt△APO 中，由勾股定理得：AP= ∴PB=PA=3 ， =3 ，∵AC=BC，OA=OE， ∴OC= BE，OC∥BE， ∴BE=2OC=8，BE∥OP， ∴△DBE∽△DPO， ∴ 即 ， ，解得：BD= ， 在 Rt△OBD 中，tanD= = = ． 点评： 本题考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定和性质； 能够通过作辅助线将所 求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．要证某线是圆的切线，对于 切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可． 6． (2015? 黑龙江绥化， 第 28 题 分)如图 1， 在正方形 ABCD 中， 延长 BC 至 M ,使 BM=DN , 连接 MN 交 BD 延长线于点 E． (1)求证：BD+2DE= 2 BM ． (2)如图 2 ，连接 BN 交 AD 于点 F ，连接 MF 交 BD 于点 G．若 AF:FD=1:2 ,且 CM=2，则 线段 DG=_______．[ 来 源 #*: 中 出 ~& 版网 ][ 来国%教育源:zzs ~t#*ep.@com^]第 38 页 共 82 页 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质． ． 分析： （1） 过点 M 作 MP⊥BC 交 BD 的延长线于点 P， 首先证明△DEN≌△PEM， 得到 DE=PE， 由△BMP 是等腰直角三角形可知 BP= BM，即可得到结论；（2）由 AF：FD=1：2，可知 DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出 BC=2，再由△DFG ∽△BMG 即可求出 DG 的长．[来源:%^中教网~@&] 解答： （1）证明：过点 M 作 MP⊥BC 交 BD 的延长线于点 P， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90° ，∠DBC=∠BDC=45° ， ∴PM∥CN， ∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45° ， ∴BM=PM， ∵BM=DN， ∴DN=MP， 在△DEN 和△PEM 中[w*ww.~z@zstep.%co#m]， ∴△DEN≌△PEM， ∴DE=EP， ∵△BMP 是等腰直角三角形 ∴BP= BM， BM．∴BD+2DE=（2）解：∵AF：FD=1：2， ∴DF：BC=2：3， ∵△BCN∽△FDN，[w*ww.z@%z~step.c^om]∴ 设正方形边长为 a，又知 CM=2， ∴BM=DN=a+2，CN=2a+2 ∴ ， 解得：a=2， ∴DF= ，BM=4，BD=2 ， 又∵△DFG∽△BMG，[来源:zzs%tep#．&@com^][ 来^ 源:z#zstep%&.~c om]∴，第 39 页 共 82 页 ∴ ∴DG= ．，故答案为：．点评：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、 相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用， 运用三角形相似求出正方形的边长是解 决第 2 小题的关键． 7． （2015?山东潍坊第 21 题 10 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F，连接 DE． （1）求证：直线 DF 与⊙O 相切； （2）若 AE=7，BC=6，求 AC 的长．考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．. 分析： （1）连接 OD，利用 AB=AC，OD=OC，证得 OD∥AD，易证 DF⊥OD，故 DF 为⊙ O 的切线； （2）证得△BED∽△BCA，求得 BE，利用 AC=AB=AE+BE 求得答案即可． 解答： （1）证明：如图，第 40 页 共 82 页 连接 OD． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠C， ∴∠ODC=∠B， ∴OD∥AB， ∵DF⊥AB， ∴OD⊥DF， ∵点 D 在⊙O 上， ∴直线 DF 与⊙O 相切； （2）解：∵四边形 ACDE 是⊙O 的内接四边形， ∴∠AED+∠ACD=180° ， ∵∠AED+∠BED=180° ， ∴∠BED=∠ACD， ∵∠B=∠B， ∴△BED∽△BCA， ∴ = ， ∵OD∥AB，AO=CO， ∴BD=CD= BC=3， 又∵AE=7， ∴ = ， ∴BE=2， ∴AC=AB=AE+BE=7+2=9． 点评： 此题考查切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过 圆上某点，连接圆心和这点（即为半径） ，再证垂直即可． 8． （2015?山东威海，第 23 题 10 分） （1）如图 1，已知∠ACB=∠DCE=90° ，AC=BC=6， CD=CE，AE=3，∠CAE=45° ，求 AD 的长． （2）如图 2，已知∠ACB=∠DCE=90° ，∠ABC=∠CED=∠CAE=30° ，AC=3，AE=8，求 AD 的长．第 41 页 共 82 页 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．. 分析： （1） 连接 BE， 证明△ACD≌△BCE， 得到 AD=BE， 在 Rt△BAE 中， AB=6 求出 BE，得到答案；， AE=3，（2）连接 BE，证明△ACD∽△BCE，得到 = = ，求出 BE 的长，得到 AD 的 长． 解答： 解： （1）如图 1，连接 BE， ∵∠ACB=∠DCE=90° ， ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵AC=BC，DC=EC， 在△ACD 和△BCE 中，， ∴△ACD≌△BCE， ∴AD=BE， ∵ACBC=6， ∴AB=6 ，∵∠BAC=∠CAE=45° ， ∴∠BAE=90° ， 在 Rt△BAE 中，AB=6 ，AE=3，∴BE=9， ∴AD=9； （2）如图 2，连接 BE， 在 Rt△ACB 中，∠ABC=∠CED=30° ， tan30° = = ， ∵∠ACB=∠DCE=90° ， ∴∠BCE=∠ACD， ∴△ACD∽△BCE，第 42 页 共 82 页 ∴ = = ， ∵∠BAC=60° ，∠CAE=30° ， ∴∠BAE=90° ，又 AB=6，AE=8， ∴BE=10， ∴AD= ．点评： 本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握性质定理和 判定定理是解题的关键，正确作出辅助线是重点． 9.（2015?江苏徐州,第 25 题 8 分）如图，平面直角坐标系中，将含 30° 的三角尺的直角顶点 C 落在第二象限．其斜边两端点 A、B 分别落在 x 轴、y 轴上，且 AB=12cm （1）若 OB=6cm． ①求点 C 的坐标；[来源:中@教^网*&%] ②若点 A 向右滑动的距离与点 B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； （2）点 C 与点 O 的距离的最大值= 12 cm．[中国教&~育 出#*% 版 网 ] [ 来源 :中# 国教^ 育@ 出 版*网%]考点： 相似形综合题．. 分析： （1）①过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，利用含 30° 角的直角三角形的性质解答即 可； ②设点 A 向右滑动的距离为 x，得点 B 向上滑动的距离也为 x，利用三角函数和勾股 定理进行解答； （2）过 C 作 CE⊥x 轴，CD⊥y 轴，垂足分别为 E，D，证明△ACE 与△BCD 相似， 再利用相似三角形的性质解答． 解答： 解： （1）①过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，如图 1：第 43 页 共 82 页 在 Rt△AOB 中，AB=12，OB=6，则 BC=6， ∴∠BAO=30° ，∠ABO=60° ， 又∵∠CBA=60° ， ∴∠CBD=60° ，∠BCD=30° ， ∴BD=3，CD=3 ， ，9） ；所以点 C 的坐标为（3②设点 A 向右滑动的距离为 x，根据题意得点 B 向上滑动的距离也为 x，如图 2：AO=12× cos∠BAO=12× cos30° =6 ∴A'O=6．x，B'O=6+x，A'B'=AB=12在△A'O B'中，由勾股定理得， （6 x）2+（6+x）2=122， 1） ， 1） ；解得：x=6（∴滑动的距离为 6（（2）设点 C 的坐标为（x，y） ，过 C 作 CE⊥x 轴，CD⊥y 轴，垂足分别为 E，D，如 图 3：第 44 页 共 82 页 则 OE=x，OD=y， ∵∠ACE+∠BCE=90° ，∠DCB+∠BCE=90° ， ∴∠ACE=∠DCB， 又∵∠AEC=∠BDC=90° ， ∴△ACE∽△BCD， ∴ ∴y= ，即 x， x）2=4x2， ，OC2=x2+y2=x2+（∴当|x|取最大值时，即 C 到 y 轴距离最大时，OC2 有最大值，即 OC 取最大值，如图， 即当 C'B'旋转到与 y 轴垂直时 ．此时 OC=12， 故答案为：12． 点评： 此题考查相似三角形的综合题， 关键是根据相似三角形的性质和勾股定理以及三角函 数进行分析解答． 10.（2015?江苏徐州,第 26 题 8 分）如图，在矩形 OABC 中，OA=3，OC=5，分别以 OA、 OC 所在直线为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D 是边 CB 上的一个动点（不与 C、B 重 合） ，反比例函数 y= （k＞0）的图象经过点 D 且与边 BA 交于点 E，连接 DE．[来源:*~中 国教育出版网@^%] （1）连接 OE，若△EOA 的面积为 2，则 k= 4 ； （2）连接 CA、DE 与 CA 是否平行？请说明理由； （3）是否存在点 D，使得点 B 关于 DE 的对称点在 OC 上？若存在，求出点 D 的坐标；若 不存在，请说明理由．[ 中*@ 国& 教% 育出版 ~网]第 45 页 共 82 页 [来源:zzst&~ep.co#m^%] 考点： 反比例函数综合题．. 分析： （1）连接 OE，根据反比例函数 k 的几何意义，即可求出 k 的值； （2）连接 AC，设 D（x，5） ，E（3， 从而求出 DE∥AC． ） ，则 BD=3x，BE=5 ，得到 ，（3）假设存在点 D 满足条件．设 D（x，5） ，E（3，
，AE=） ，则 CD=x，BD=3x，BE=5．作 EF⊥OC，垂足为 F，易得，△B′CD∽△EFB′，然后根据对称性求出 B′E、B′D 的表达式，列出 ，即 = 2 2 2 +x =（3x） ，即可求出 x 值，从而得到 D 点坐标． 解答： 解： （1）连接 OE，如，图 1， ∵Rt△AOE 的面积为 2， ∴k=2× 2=4． （2）连接 AC，如图 1，设 D（x，5） ，E（3，，从而求出（5）） ，则 BD=3x，BE=5，= ， ∴ ∴DE∥AC． （3）假设存在点 D 满足条件．设 D（x，5） ，E（3， BD=3x，BE=5 ，AE= ． 作 EF⊥OC，垂足为 F，如图 2， 易证△B′CD∽△EFB′， ） ，则 CD=x，第 46 页 共 82 页 ∴ ∴B′F= ，，即=，∴OB′=B′F+OF=B′F+AE= ∴CB′=OCOB′=5 ，+=，在 Rt△B′CD 中，CB′=5 ，CD=x，B′D=BD=3x， 2 2 由勾股定理得，CB′ +CD =B′D2， （5 ）2+x2=（3x）2， 解这个方程得，x1=1.5（舍去） ，x2=0.96， ∴满足条件的点 D 存在，D 的坐标为 D（0.96，5） ． 故答案为 4．点评： 本题考查了反比例函数综合题，涉及反比例函数 k 的几何意义、平行线分线段成比例 定理、轴对称的性质、相似三角形的性质等知识，值得关注． 11.（2015?山东东营,第 21 题 8 分）(本题满分 8 分)已知在△ABC 中，∠B=90o，以 AB 上的 一点 O 为圆心，以 OA 为半径的圆交 AC 于点 D，交 AB 于点 E． （1）求证：AC?AD=AB?AE； （2）如果 BD 是⊙O 的切线，D 是切点，E 是 OB 的中点，当 BC=2 时，求 AC 的长．第 47 页 共 82 页 【答案】 （1）证明见解析； （2）AC=4.[ 来& 源:中^ 国%@ 教育出版 ~网]考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.30°的直角三角形的性 质. 12. （2015?绵阳第 25 题，14 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，G 是 AD 延长线时 的一点，且 DG=AD，动点 M 从 A 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 A→C→G 的路线向 G 点匀速运动（M 不与 A，G 重合） ，设运动时间为 t 秒，连接 BM 并延长 AG 于 N． （1）是否存在点 M，使△ABM 为等腰三角形？若存在，分析点 M 的位置；若不存在，请 说明理由； （2）当点 N 在 AD 边上时，若 BN⊥HN，NH 交∠CDG 的平分线于 H，求证：BN=HN；[ 来源:#& 中教@^% 网]（3）过点 M 分别作 AB，AD 的垂线，垂足分别为 E，F，矩形 AEMF 与△ACG 重叠部分的 面积为 S，求 S 的最大值．[ 来源:@^zz&st*ep# .com]考点： 四边形综合题．. 分析： （1） 四种情况： 当点 M 为 AC 的中点时， AM=BM； 当点 M 与点 C 重合时， AB=BM； 当点 M 在 AC 上， 且 AM=2 时， AM=AB； 当点 M 为 CG 的中点时， AM=BM； △ABM 为等腰三角形；第 48 页 共 82 页 （2）在 AB 上截取 AK=AN，连接 KN；由正方形的性质得出∠ADC=90° ，AB=AD， ∠CDG=90° ， 得出 BK=DN， 先证出∠BKN=∠NDH， 再证出∠ABN=∠DNH， 由 ASA 证明△BNK≌△NHD，得出 BN=NH 即可； （ 3 ）①当 M 在 AC 上时，即 0 ＜ t≤2 t，求出 S= AF?FM= t2；当 t=2 ＜t＜4 时， △AMF 为等腰直角三角形，得出AF=FM=时，即可求出 S 的最大值；②当 M 在 CG 上时，即 2时，先证明△ACD≌△GCD，得出∠ACD=∠GCD=45° ，求出∠ACM=90° ，证出△MFG 为等腰直角三角形，得出 FG=MG?cos45°=4
t，得出 S=S△ACGS△CMJS△FMG，S 为 t 的二次函数，即可求出结果． 解答： （1）解：存在；当点 M 为 AC 的中点时，AM=BM，则△ABM 为等腰三角形； 当点 M 与点 C 重合时，AB=BM，则△ABM 为等腰三角形； 当点 M 在 AC 上，且 AM=2 时，AM=AB，则△ABM 为等腰三角形； 当点 M 为 CG 的中点时，AM=BM，则△ABM 为等腰三角形； （2）证明：在 AB 上截取 AK=AN，连接 KN；如图 1 所示： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADC=90° ，AB=AD， ∴∠CDG=90° ， ∵BK=ABAK，ND=ADAN， ∴BK=DN， ∵DH 平分∠CDG， ∴∠CDH=45° ， ∴∠NDH=90° +45° =135° ， ∴∠BKN=180° ∠AKN=135° ， ∴∠BKN=∠NDH， 在 Rt△ABN 中，∠ABN+∠ANB=90° ， 又∵BN⊥NH， 即∠BNH=90° ， ∴∠ANB+∠DNH=180° ∠BNH=90° ， ∴∠ABN=∠DNH， 在△BNK 和△NHD 中，， ∴△BNK≌△NHD（ASA） ， ∴BN=NH；（3）解：①当 M 在 AC 上时，即 0＜t≤2 ∵AM=t，时，△AMF 为等腰直角三角形，第 49 页 共 82 页 ∴AF=FM=t， t× t= t2； ）2=2； 时，如图 2 所示：∴S= AF?FM= × 当 t=2时，S 的最大值= × （2 ＜t＜4②当 M 在 CG 上时，即 2 CM=tAC=t2 ，MG=4t，在△ACD 和△GCD 中，， ∴△ACD≌△GCD（SAS） ， ∴∠ACD=∠GCD=45° ， ∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90° ， ∴∠G=90° ∠GCD=45° ， ∴△MFG 为等腰直角三角形， ∴FG=MG?cos45°=（4 t）? =4 t，∴S=S△ACGS△CMJS△FMG= × 4× 2 × CM× CM × FG× FG =4 （t2 = （t ∴当 t= ）2 （4 ）2+ ， 时，S 的最大值为 ． ）2= +4 t8第 50 页 共 82 页 点评： 本题是相似形综合题目，考查了等腰三角形的判定、正方形的性质、全等三角形的判 定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数以及三角形面积的计算等知识； 本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形全 等和等腰直角三角形才能得出结果．[ww#&%w.@zz~step.com]13. （2015?浙江省绍兴市，第 24 题，14 分） 在平面直角坐标系中， O 为原点， 四边形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上， OA=4， OC=2， 点 P，点 Q 分别是边 BC，边 AB 上的点，连结 AC，PQ，点 B1 是点 B 关于 PQ 的对称点。 （1）若四边形 OABC 为矩形，如图 1， ①求点 B 的坐标； ②若 BQ:BP=1:2，且点 B1 落在 OA 上，求点 B1 的坐标；[ 来源#^:中国% 教育 出~* 版网]（2）若四边形 OABC 为平行四边形，如图 2，且 OC⊥AC，过点 B1 作 B1F∥ x 轴，与对角 线 AC、边 OC 分别交于点 E、点 F。若 B1E: B1F=1:3，点 B1 的横坐标为 m ，求点 B1 的纵坐 标，并直接写出 m 的取值范围。[www.z#z%&step^@.com]考点：四边形综合题．. 分析： （1）①根据 OA=4，OC=2，可得点 B 的坐标；②利用相似三角形的判定和性质得出 点的坐标； （2） 根据平行四边形的性质， 且分点在线段 EF 的延长线和线段上两种情况进行分析解答．[ 来源:zzs t*^ep#@.c~om] [ 来^@ 源&:% 中~教网] [中 国#教&% 育出版^* 网]解答：解： （1）∵OA=4，OC=2，[来~#源^:中国教@*育出版网] ∴点 B 的坐标为（4，2） ；[来源:zzs@tep.c^&%o#m] ②如图 1，过点 P 作 PD⊥OA，垂足为点 D，[ 来^@ 源~:中国 教育出 版*& 网]∵BQ：BP=1：2，点 B 关于 PQ 的对称点为 B1， ∴B1Q：B1P=1：2， ∵∠PDB1=∠PB1Q=∠B1AQ=90° ， ∴∠PB1D=∠B1QA， ∴△PB1D∽△B1QA，[ 来% 源:@~z&zs tep#.com]∴，第 51 页 共 82 页 ∴B1A=1， ∴OB1=3，即点 B1（3，0） ； （2）∵四边形 OABC 为平行四边形，OA=4，OC=2，且 OC⊥AC， ∴∠OAC=30° ， ∴点 C（1， ） ，∵B1E：B1F=1：3， ∴点 B1 不与点 E，F 重合，也不在线段 EF 的延长线上， ① 当点 B1 在线段 FE 的延长线上时，如图 2，延长 B1F 与 y 轴交于点 G，点 B1 的横坐标为 m，B1F∥x 轴，[www^.%zzste~p*.c@om][ 来源:^% 中国教育& 出 ~版# 网]B1E：B1F=1：3， ∴B1G=m， 设 OG=a， 则 GF= ∴CF= ∴EF= ，OF= ， ，B1E= ，[来源:中&^国教育出%版网~@] ，[ 来源:zzs ~tep.^c%&#om]∴B1G=B1E+EF+FG= ∴a= ，即 B1 的纵坐标为 ，，[来&#源@:^中*教网]m 的取值范围是 ； ②当点 B1 在线段 EF（除点 E，F）上时，如图 3，延长 B1F 与 y 轴交于点 G，点 B1 的横坐 标为 m，F∥x[来~源:中国教育出版%&网^#] 轴，B1E：B1F=1：3， ∴B1G=m，第 52 页 共 82 页 设 OG=a， 则 GF= ∴CF= ∴FE= ，OF= ， ，B1F= ， ， ，即点 B1 的纵坐标为 ， ，[w@ww.zzstep.%~com*&][ 来@& 源:中教*% 网^]∴B1G=B1FFG= ∴a=故 m 的取值范围是 ． 点评：此题考查四边形的综合题，关键是利用平行四边形的性质，分点在线段 EF 的延长线 和线段上两种情况进行分析．[ 中国教育* 出&@%^ 版网]14.（2015?山东聊城,第 25 题 12 分）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB 的直角顶点 A 在 x 轴上，OA=4，AB=3．动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度，沿 AO 向终点 O 移动；同时点 N 从点 O 出发，以每秒 1.25 个单位长度的速度，沿 OB 向终点 B 移动．当两 个动点运动了 x 秒（0＜x＜4）时，解答下列问题： （1）求点 N 的坐标（用含 x 的代数式表示） ； （2）设△OMN 的面积是 S，求 S 与 x 之间的函数表达式；当 x 为何值时，S 有最大值？最 大值是多少？ （3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形？若存在，求 出 x 的值；若不存在，请说明理由．[ 来@ 源:z% zstep.&^co*m] [ 来源*:中% 教#网 ~@][ 中国教^#育 出~& 版网%]考点： 相似形综合题．. 分析： （1）由勾股定理求出 OB，作 NP⊥OA 于 P，则 NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得 出比例式 ，求出 OP、PN，即可得出点 N 的坐标； （2）由三角形的面积公式得出 S 是 x 的二次函数，即可得出 S 的最大值； （3）分两种情况：①若∠OMN=90° ，则 MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB， 得出比例式，即可求出 x 的值； ②若∠ONM=90° ，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出 x 的值即可． 解答： 解： （1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，第 53 页 共 82 页 在 Rt△OAB 中，由勾股定理得：OB= 作 NP⊥OA 于 P，如图 1 所示： 则 NP∥AB， ∴△OPN∽△OAB， ∴ 即 ， ， ， ） ；==5，解得：OP=x，PN=∴点 N 的坐标是（x，（2）在△OMN 中，OM=4x，OM 边上的高 PN= ∴S= OM?PN= （4x）? = x2+ x，，∴S 与 x 之间的函数表达式为 S= x2+ x（0＜x＜4） ， 配方得：S= （x2）2+ ， ∵ ＜0， ∴S 有最大值， 当 x=2 时，S 有最大值，最大值是 ； （3）存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形，理由如下： 分两种情况：①若∠OMN=90° ，如图 2 所示： 则 MN∥AB， 此时 OM=4x，ON=1.25x， ∵MN∥AB， ∴△OMN∽△OAB， ∴ ，即，解得：x=2； ②若∠ONM=90° ，如图 3 所示： 则∠ONM=∠OAB， 此时 OM=4x，ON=1.25x， ∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA， ∴△OMN∽△OBA，第 54 页 共 82 页 ∴，即，解得：x=； 秒．综上所述：x 的值是 2 秒或点评： 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特 征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识； 本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相 似才能得出结果． 15. （2015?四川成都,第 27 题 10 分）, EC 已知 AC 分别为四边形 ABCD 和 EFCG 的 对 角 线 ， 点 E 在 ?ABC 内 ， ?CAE ? ?CBE ? 90? 。（1）如图①，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时，连接 BF 。 1)求证： ?CAE ∽ ?CBF ；2）若 BE ? 1, AE ? 2 ，求 CE 的长。第 55 页 共 82 页 AB EF ? ?k （ 2 ） 如 图 ② ， 当 四 边 形 ABCD 和 EFCG 均 为 矩 形 ， 且 BC FC 时，若BE ? 1, AE ? 2, CE ? 3 ，求 k 的值；? （3）如图③，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为菱形，且 ?DAB ? ?GEF ? 45 时，设 BE ? m, AE ? n, CE ? p ，试探究 m, n, p 三者之间满足的等量关系。 （直接写出结果， 不必写出解答过程）10 2 2 2 【答案】 ： （1）1）见解析，2） 6 ； （2） 4 ； （3） p ? n ? (2 ? 2)m? ?ACE ? ?ECB ? 45? ? AC CE ? ?ACE ? ?BCF ? ? ? 2 ?? ?BCF ? ?ECB ? 45 ? ? 【解析】 ： （1）1) ，又 BC CF ，? ?CAE ∽ ?CBF 。AE ? 2 2） BF ，? BF ? 2 ，由 ?CAE ∽ ?CBF 可得 ?CAE ? ?CBF ， ?? ? ? 又 ?CAE ? ?CBE ? 90 ，? ?CBF ? ?CBE ? 90 ，即 ?EBF ? 90由 CE ? 2EF ? 2( BE ? BF ) ? 6 ，解得 CE ?2 2 2 26。AB EF ? ?k （2）连接 BF ，同理可得 ?EBF ? 90 ，由 BC FC ，?可得 BC : AB : AC ? 1: k : k ?1,2CF : EF : EC ? 1: k : k 2 ?1? AC AE BF ? ? ? k 2 ?1 BC BF ，所以AE k 2 ?1 ，BF 2 ?AE 2 k 2 ?1 。? CE 2 ?k 2 ?1 k 2 ?1 2 ? EF ? ( BE 2 ? BF 2 ) 2 2 k k? 32 ?k 2 ?1 2 22 10 (1 ? ) k? 2 2 k k ? 1 ，解得 4 。[ 来源:中@ 国& 教育^ 出# 版网~]? （3）连接 BF ，同理可得 ?EBF ? 90 ，过 C 作 CH ? AB 延长线于 H ，第 56 页 共 82 页 可解得 AB : BC : AC ? 1:1: (2 ? 2) ， EF : FC : EC ? 1:1: (2 ? 2) ，2 2 2 2 2 2? p 2 ? (2 ? 2) EF 2 ? (2 ? 2)( BE 2 ? BF 2 ) ? (2 ? 2)(m2 ?? p2 ? n2 ? (2 ? 2)m2 。 C Dn2 ) ? (2 ? 2)m2 ? n2 2? 2D G FC D G F n E E p m B图③G[ 来源:@ 中%#& 教网^] [ 来~源: 中^ 教&*网@]CF HE A图①BA图②BA16. （2015?四川乐山,第 23 题 10 分） 如图 1， 四边形 ABCD 中， ∠B=∠D=90° ， AB=3， BC=2，tanA=．（1）求 CD 边的长； （2）如图 2，将直线 CD 边沿箭头方向平移，交 DA 于点 P，交 CB 于点 Q （点 Q 运动到 点 B 停止） ， 设 DP=x， 四边形 PQCD 的面积为 的取值范围．[ 中国教@^*% 育出#版网]， 求与 的函数关系式， 并求出自变量【答案】 （1）； （2）（） ．【解析】 试题分析： （1）分别延长 AD、BC 相交于点 E，在 Rt△ABE 中，解直角三角形可得 BE，EC，AE 的长， 又∠E+∠A=90° ， ∠E+∠ECD=90° ， 得到∠A=∠ECD， 由 tanA=， 得到 cosA= cos第 57 页 共 82 页 ∠ECD =，从而得到 CD 的长；[ 中国^@% 教育& 出~版网]（2）由（1）可知 tan∠ECD=，∴ED=，如图 2，由 PQ∥DC，可知△EDC∽△EPQ，∴，∴，即 PQ=，∵，∴，即=，∴当Q 点到达 B 点时，点 P 在 M 点处，由 EC=BC，DC∥PQ，∴DM=ED=，∴自变量 x 的取值范围为：．第 58 页 共 82 页 考点：1．四边形综合题；2．二次函数综合题． 17. （2015?浙江湖州，第 23 题 10 分）问题背景：已知在△ABC 中，AB 边上的动点 D 由 A 向 B 运动(与 A，B 不重合)，点 E 与点 D 同时出发，由点 C 沿 BC 的延长线方向运动(E 不与 C 重合)，连结 DE 交 AC 于点 F，点 H 是线段 AF 上一点 (1)初步尝试：如图 1，若△ABC 是等边三角形，DH⊥AC，且点 D，E 的运动速度相等，求 证：HF=AH+CF 小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题： 思路一：过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，先证 GH=AH，再证 GF=CF，从而证得结论成 立.[www.z@zs^te%#p.com~] 思路二：过点 E 作 EM⊥AC，交 AC 的延长线于点 M，先证 CM=AH，再证 HF=MF，从而 证得结论成立. 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评 分) (2)类比探究：如图 2，若在△ABC 中，∠ABC=90° ，∠ADH=∠BAC=30° ，且点 D，E 的运动[ 来^&*源:中教% 网~]速度之比是：1，求的值.(3)延伸拓展：如图 3，若在△ABC 中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36° ，记=m，且点 D、E 的运动速度相等，试用含 m 的代数式表示(直接写出结果，不必写解答过程).[来%源:&~中教^网#]第 59 页 共 82 页 【答案】 （1）详见解析； （2）[ 来源:*中国教育 ~出版 网@^%]=2 ；(3).【解析】 试题分析： （1） （选择思路一） ：过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，如图 1，易证△ADG 是 等边三角形，根据等边三角形的性质可得 GD=AD=CE，GH=AH,再由平行线的性质可得∠ GDF=∠CEF, ∠DGF=∠ECF,又因 GD=AD=CE,根据“ASA”可证△GDF≌△CEF， 由全等三角 形的对应边相等可得 GF=CF，所以 GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF. （选择思路二） ：过点 E 作 EM⊥AC，交 AC 的延长线于点 M，如图 1，先证△ADH≌△CEM，由全等三角形的对 应边相等可得 AH=CM,DH=EM, 又因∠DHF=∠EMF=90° , ∠DFH=∠EFM,所以△DFH≌△ EFM,即可得 HF=MF=CM+CF=AH+CF.（2）)过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，如图 2, 可 证 AD= GD, 由题意可知，AD= CE,所以 GD=CE,再证△GDF≌△CEF，由全等三角形的对应边相等可得 GF=CF,所以 GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF,即可得=2. （3） 过点 D作 DG ∥ BC ， 交 AC 于 点 G ， 如 图 3, 可 得 AD=AG,DH=DG,AD=EC, 所 以， 又 因 DG ∥ BC ， 可 得，所以由 比 例 的 性 质 可 得， 即,所以 试题解析：(1)证明：方法一（选择思路一） ， 过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，如图 1， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ADG=∠B=60° , ∠A=60° ,[来源:z^zstep.co#~m%&] ∴△ADG 是等边三角形， ∴GD=AD=CE, ∵DH⊥AC,GH=AH, ∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF, ∠DGF=∠ECF, ∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF, ∴GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF..[ 来源:zzs t%^ep#*.c~om]第 60 页 共 82 页 (2)过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，如图 2, 则∠ADG=∠B=90° , ∵∠BAC=∠ADH=30° ,[来源@&:zz#st~ep.*com] ∴∠HGD=∠HDG=60° , ∴AH=GH=GD,AD= 由题意可知，AD=[ 中国%&*教育^ 出版网 ~]GD,[中~国#教育出&版^网%] CE,[ 来~源: 中国教 育出版&% 网^#]∴GD=CE,[www&.@^zzst%#ep.com] ∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF, ∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF, ∴GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF,[中国^教育&#*~出版网]∴=2.(3).考点：等边三角形的判定及性质；全等三角形的判定及性质；平行线的性质；比例的性质.[ 来*源:&@#^ 中教网]第 61 页 共 82 页 18. （2015?浙江丽水，第 23 题 10 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 BE 上的一点，连结 CF 并延长交 AB 于点 M，MN⊥CM 交射线 AD 于点 N. （1）当 F 为 BE 中点时，求证：AM=CE； （2） 若错误!不能通过编辑域代码创建对象。 ， 求错误!不能通过编辑域代码创建对象。 的值； （3）若错误!不能通过编辑域代码创建对象。 ，当错误!不能通过编辑域代码创建对象。为何 值时，MN∥BE？[ 来% 源&~:*zzstep.co@m]【答案】解： （1）证明：∵F 为 BE 中点，∴BF=EF. ∵AB∥CD，∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF. ∴△BMF≌△ECF（AAS）.∴MB=CE. ∵AB=CD，CE=DE，∴MB=AM. ∴AM=CE. （2）设 MB= a ，[ 中^ 国教育出版&~网#@]EF CE ? ∵AB∥CD，∴△BMF∽△ECF. ∴ BF MB . EF CE ?2 ?2 ∵ BF ，∴ MB .∴ CE ? 2a .∴ AB ? CD ? 2CE ? 4a, AM ? AB ? MB ? 3a .AB ?2 ∵ BC ，∴ BC ? AD ? 2a .∵MN⊥MC，∠A=∠ABC=90° ，∴△AMN∽△BCM.3 3 1 AN AM AN 3a ? ? AN ? a, ND ? 2a ? a ? a 2 2 2 . 2 a .∴ ∴ MB BC ，即 a3 a AN 2 ? ?3 ND 1 a 2 ∴ . （3）设 MB= a ，AB EF ? ?n ∵ BC BF ，∴由（2）可得 BC ? 2a, CE ? na .当 MN∥BE 时，CM⊥BE.第 62 页 共 82 页 a 2a MB BC ? ? 可证△MBC∽△BCE. ∴ BC CE ，即 2a na .∴n ? 4. ∴当 n ? 4 时，MN∥BE.【考点】探究型问题；矩形的性质；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质. 【分析】 （1）应用 AAS 证明△BMF≌△ECF 即可易得结论. （2）证明△BMF∽△ECF 和△AMN∽△BCM，应用相似三角形对应边成比例的性质即可得 出结果. （3）应用（2）的一结结果，证明△MBC∽△BCE 即可求得结果. 19. （2015?四川眉山，第 25 题 9 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩形 ABCD，使 B 点落在点 P 处，折痕为 EC，连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点， （1）求证：四边形 AECF 为平行四边形； （2）若△AEP 是等边三角形，连结 BP，求证：△APB≌△EPC； （3）若矩形 ABCD 的边 AB=6，BC=4，求△CPF 的面积．[www.%z@&zste*#p.com] [ 来源:中国教*^& 育@% 出版 网][ 来@&*源:^ 中教~ 网]考点： 四边形综合题．. 专题： 综合题． 分析： （1）由折叠的性质得到 BE=PE，EC 与 PB 垂直，根据 E 为 AB 中点，得到 AE=PE， 利用等角对等边得到两对角相等，由∠AEP 为三角形 EBP 的外角，利用外角性质得 到∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，表示出∠APE，由∠APE+∠EPB 得到 ∠APB 为 90° ，进而得到 AF 与 EC 平行，再由 AE 与 FC 平行，利用两对边平行的四 边形为平行四边形即可得证；第 63 页 共 82 页 （2）根据三角形 AEP 为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性 质及邻补角定义得到一对角相等， 根据同角的余角相等得到一对角相等， 再由 AP=EB， 利用 AAS 即可得证； （3）过 P 作 PM⊥CD，在直角三角形 EBC 中，利用勾股定理求出 EC 的长，利用面 积法求出 BQ 的长，根据 BP=2BQ 求出 BP 的长，在直角三角形 ABP 中，利用勾股定 理求出 AP 的长，根据 AFAP 求出 PF 的长，由 PM 与 AD 平行，得到三角形 PMF 与三角形 ADF 相似，由相似得比例求出 PM 的长，再由 FC=AE=3，求出三角形 CPF 面积即可． 解答： （1）证明：由折叠得到 BE=PE，EC⊥PB， ∵E 为 AB 的中点， ∴AE=EB，即 AE=PE， ∴∠EBP=∠EPB，∠EAP=∠EPA， ∵∠AEP 为△EBP 的外角， ∴∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，∠APE==90° x，∴∠APB=∠APE+∠EPB=x+90° x=90° ，即 BP⊥AF， ∴AF∥EC， ∵AE∥FC， ∴四边形 AECF 为平行四边形； （2）∵△AEP 为等边三角形， ∴∠BAP=∠AEP=60° ，AP=AE=EP=EB， ∵∠PEC=∠BEC， ∴∠PEC=∠BEC=60° ， ∵∠BAP+∠ABP=90° ，∠ABP+∠BEQ=90° ， ∴∠BAP=∠BEQ， 在△ABP 和△EBC 中，， ∴△ABP≌△EBC（AAS） ， ∵△EBC≌△EPC， ∴△ABP≌△EPC； （3）过 P 作 PM⊥DC，交 DC 于点 M， 在 Rt△EBC 中，EB=3，BC=4， 根据勾股定理得：EC= ∵S△EBC= EB?BC= EC?BQ， ∴BQ= = ， =5，第 64 页 共 82 页 由折叠得：BP=2BQ=， ， = ，在 Rt△ABP 中，AB=6，BP=根据勾股定理得：AP= ∵四边形 AECF 为平行四边形， ∴AF=EC=5，FC=AE=3， ∴PF=5 = ， ∵PM∥AD，∴=，即 = ，，解得：PM=则 S△PFC= FC?PM= × 3×=．点评： 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，折叠的性质，等 边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积求法，相似三角形的判定与性质，熟练掌 握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 20． （2015?湖南省益阳市，第 20 题 12 分）已知点 P 是线段 AB 上与点 A 不重合的一点， 且 AP＜PB．AP 绕点 A 逆时针旋转角 α（0° ＜α≤90°）得到 AP1，BP 绕点 B 顺时针也旋转角 α 得 到 BP2 ， 连 接 PP1 、PP2． （1）如图 1，当 α=90° 时，求∠P1PP2 的度数； （2）如图 2，当点 P2 在 AP1 的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；[来源:中教网#*@~%]国教%@ 育~^ 出 *版网][中第 65 页 共 82 页 （3）如图 3，过 BP 的中点 E 作 l1⊥BP，过 BP2 的中点 F 作 l2⊥BP2，l1 与 l2 交于点 Q，连 接 PQ，求证：P1P⊥PQ． 考点： 几何变换综合题． 分析： （1）利用旋转的性质以及等腰直角三角形得出∠APP1=∠BPP2=45° ，进而得出答案； （2）根据题意得出△PAP1 和△PBP2 均为顶角为 α 的等腰三角形，进而得出∠P1PP2= ∠PAP2=α，求出△P2P1P∽△P2PA； （3）首先连结 QB，得出 Rt△QBE≌Rt△QBF，利用∠P1PQ=180° ∠APP1∠QPB 求出即可． 解答： （1）解：由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2． ∵α=90° ， ∴△PAP1 和△PBP2 均为等腰直角三角形， ∴∠APP1=∠BPP2=45° ， ∴∠P1PP2=180° ∠APP1∠BPP2=90° ； （2）证明：由旋转的性质可知△PAP1 和△PBP2 均为顶角为 α 的等腰三角形， ∴∠APP1=∠BPP2=90°
， ）=α，∴∠P1PP2=180° （∠APP1+∠BPP2）=180° 2（90° 在△PP2P1 和△P2PA 中，∠P1PP2=∠PAP2=α， 又∵∠PP2P1=∠AP2P， ∴△P2P1P∽△P2PA． （3）证明：如图，连接 QB． ∵l1，l2 分别为 PB，P2B 的中垂线， ∴EB= BP，FB= BP2． 又 BP=BP2， ∴EB=FB． 在 Rt△QBE 和 Rt△QBF 中，， ∴Rt△QBE≌Rt△QBF， ∴∠QBE=∠QBF= ∠PBP2= 由中垂线性质得：QP=QB， ∴∠QPB=∠QBE= ，
