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STOLZ定理的证明及其在极限求解中的应用
&&极限求解
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求极限的若干方法论文
求极限的若干方法林芳数学科学学院 数学与应用数学专业 2010级汉（1）班指导教师
要 极限理论是微积分的基础,是整个数学分析的有力的工具.对数学的发展产生了极大的推动作用,因此,求极限自然就成了学习数学分析的最根本最重要的问题.本文总结了求数列与函数的极限的若干方法,并通过例题加以说明. 关键词 极限;数列;函数;方法.极限理论和极限方法在数学分析这门课中占有极其重要的地位,因此求数列和函数的极限是数学分析中的基本运算.在本文总结了:1只能用于求数列极限的方法:利用数列极限的存在性求极限;通过写出数列通项求极限;经过变量替换与变形求极限;利用Stolz公式求极限;利用数列与子列的关系求极限;利用数列的上下极限求极限;利用数列的单调有界准则求极限;利用积分的定义求极限;利用级数的性质(收敛级数通项趋于零;收敛级数余项趋于零;级数?xn?xn?1的敛散性;幂级数的展开式)求极限;利用初等变形求极限.2只用于求函数极限的方法:利用函数的连续的性质求极限;利用等价无穷小代换求极限;利用函数的左右极限求极限;利用Taylor公式求极限;利用Lagrange中值定理求极限;利用微分中值定理求极限;利用积分中值定理求极限;利用Hospital法则求极限.3数列与函数公用的求极限的方法:利用极限的四则运算求极限;利用重要极限求极限;利用无穷小的性质求极限;利用两边法则极其其推广形式求极限;利用变量替换法求极限.4数列与函数之间的联系(海涅定理).每种方法又附有例题来说明1只用于求数列极限的方法n?1?1.1利用存在性求极限假若用某种方法证明了递推数列的极限存在,则在递推形式里取极限,便可得A应满足的方程,解此方程,可求极限值A[1].11,求limxn. 例1[1] 设x1?1,x2?,xn?1?n??21?xn11?x1?x,F(x)?f(f(x))?,F?(x)?(f(f(x)))??()?? 解:设f(x)?1?x2?x2?x1?0,xn?1?F(xn?1).x2n?3?x2n?1?F?(?)(x2n?1?x2n?1)(?在x2n?1与x2n?1之间2(2?x)).此式表明(x2n?3?x2n?1)与(x2n?1?x2n?1)同号(n?1,2,?).又因2x3?F(x1)??x1?1.因此递推知{x2n?1}↘,又明显有下界0,故{x2n?1}收敛.同3理可知{x2n}↗,明显有上界1,故{x2n}也收敛.所以{x2n}收敛.在递推里取极限,得极限A?1,A?0.618?(负数不符合题意). 1?A1.2利用写出数列通项求极限对递推数列,有时可以通过递推关系写出数列的通项表达式,从而可以应用其他方法求极限[1]. 例2[1]设x0?0,x1?1,xn?1?xn?xn?1,求limxn.n??2解:虽然可以证明此数列是收敛的,但在递推公式里取极限,无法求出极限值,所以需要写出数列的通项,再求极限.x?xn?1(x?xn?1)xn?1?xn?n?xn??n.反复应用此结果,221n(?1)nxn?1?xn?(?)(x1?x0)?n(n?1,2,?). 于是22xn?1?(xn?1?xn)?(xn?xn?1)???(x1?x0)?x011?(?)n?(?)n?1???12211?(?)n?12
??(n??).131?(?)21.3利用替换与变形求极限对递推形式的数列,同样可以进行变量替换与变形,使变成已知极限,或易于计算的极限[1].例3[1]设{an}为Fibonacci数列,即a1?1,a2?1,an?2?an?1?an(n?1,2,?).记求axn?n?1,求limxn.n??anaa11解:由已知条件知n?2?1?n,即xn?1?1?.令yn?,此即xnxnan?1an?111a1yn?1?.且y1???1.这就是例1.故limyn?0.618?,n??1?ynx1a21limxn?lim?lim(1?yn)?1.618?. n??n??yn??n11例4[1] 证明数列2,2?,2?,?收敛,并求其极限.122?21解:从数列特征可以看出,相邻两项的关系是xn?1?2?.
(1)xn1因此,设{xn}收敛,则极限A满足方程A?2?,考虑到xn?0,所以A?1?2.A令
xn?A??n?1?2??n.
(2)将(2)代入(1)得?n?1?(1?2)?n1?2??n.
(3)至此,我们已将满足(1)的数列{xn}?A的问题,化为满足(3)的数列{?n}?0的11问题.事实上,?1?x1?A?1?2,1?,由(3)应用数学归纳法,易证?n?n.22故
limxn?lim(1?2??n)?1?2.n??n??1.4利用Stolz公式求极限Stolz公式是指,设数列{Yn}单调递增趋向于??,limn??xn?1?xn?A(可以为无yn?1?ynxnx??A.在求解x?x2??xn,求极限lim?n. 例5[2] 设limxn?a,?n?1n??n??n穷)则lim解:由Stolz公式x?x2??xnlim?n?lim1 n??n??n(x?x2???xn)?(x1?x2???xn?1)?lim1?limxn?a.n??n??n?(n?1)1.5利用数列与子列的关系求极限数列与子列有如下的极限关系:xn?A(n??)??子列{xnk}有xnk?A(k??)例6[1].作为充分条件都可以减弱.如xn?A(n??)?x2n?A(n??),x2n?1?A(n??)[1].设{xn}是一个无界数列,但非无穷大量,证明:存在两个子列,一个是无穷小量,另一个是收敛的子列.证:由无界性,?xn1:xn1?1,进而?xn2:xn2?max{2,xn1},反复使用无界性,如此得{xnk} xnk?max{k,xnk?1},k?2,3?,
则{xnk为无穷大量.又因{xn}非无穷大量,故?M?0,?Nk?0,?nk?Nk,使得xn1?M.于是对k?1,?n1?1,使得xn1?M.对N2?max{2,n1},?n2?N2,使得xn2?M,?,如此下去可得一有界子列{xnk}.从而由致密性原理知{xnk}中存在收敛子列{xnk}.r1.6利用数列的上下极限求极限任一数列{xn}收敛的充要条件是xn?limxn,且此时n??n??lixmmn?xn?xmn.n??[1]n??n??例7[1]设xn?0(n?1,2,?)试证:若limxn?1?l(有限数),则limxn?l.n??n??xn证:???0(??l),由limxn?1?l,?N?0,当k?N时有n??xnl???xk?1?l??(k?N,N?1,?). xkn?Nnn?Nn设n?N.将k?N,N?1,?,n?1各式相乘,并开n次方,得xN(l??)?xn?xN(l??).在此式中令n???取上下极限,注意xN?1,得l???xn?limxn?l??.n??n??因??0的任意性,可知,xn?limxn?l,故limxn?l.n??n??n??1.7利用单调有界准则求极限这种方法通常首先要证明数列是单调有界的,从而确定极限的存在性,在讨论过程中有界性的确定往往是个难点,可借助单调递增数列的极限是它的上确界,单调递减数列的极限是它的下确界的性质确定数列的界,最后找出数列xn?1与xn的递推公式,设数列的极限是A.在xn?1与xn的递推公式两边取极限,得到关于A的方程,从而求出A[3].例8[3]求数列xn?3?3??(n重根式)的极限.解:显然xn?1>xn,故数列{xn}单调增加.显然0?x1??3.假设0?xn?3,则0?xn?1?3?xn?3?3?3.故{xn}有界.从而{xn}极限存在.设limxn?A,由n??xn?1?3?xn,易得xn?1?3?xn.两边求得极限得A2?A?3,解得A?A?1?1?(舍去).故limxn?.n??2221?或21.8利用定积分定义求极限根据变量的特征,借助定积分的几何意义,获得简捷的解题方法.设函数b?anb?af(x)在[a,b]上连续,把区间[a,b]分为n等分,作和式f(a?k),取?nk?1nbb?anb?an??,则由定积分定义有lim?f(a?kn)??af(x)dx,若上述积分值容n??nk?1易算出,便可用作求和式的极限[2]. 例9[4]求limn??n!. n1n!lnnn112n(ln?ln???ln)nnnnn!n!?limn?lime?lime
解:limn??n??n??n??nn111????). 例10[4] 求极限lim(n??n?1n?2n?n111????)
解:lim(n??n?1n?2n?n?e?lnn?nn??limi?1ni1lnxdx?e?0?e?1.11111?lim(????)?n??n1?1?1?nnnn11?
?lim?n??ni?11?n11dx?ln2.
??01?x1.9利用级数求解极限 1.9.1利用收敛级数通项趋于零5n?n!例11 求极限limxn,其中xn?. nn??(2n)[1]xn?15n?1?(n?1)!(2n)n5nn解:因为??() n?1nxn(2n?2)?5n!2n?1515??1(n??).
?122e(1?)nn故正项级数?xn收敛,从而通项xn?0(n??).n?1?1.9.2利用收敛级数余项趋于零111例12[1] 求lim[2????]. 22n??n(n?1)(n?n)?11解:因级数?2收敛,因此其余项Rn??2?0(n??).k?n?1kk?1k1110?2?????Rn?1?0(n??).故原极限为零. 22n(n?1)(2n)?1.9.3利用级数?xn?xn?1的敛散性n?1?因为:若??xn?1?n?xn?1收敛,则?(xn?1?n?xn?1)也收敛,因此xn??(xn?xn?1)?x1极限存在(n??)[1].n?1例13[1] 设xn?1?证:xn?xn?1?11????lnn,证明数列{xn}收敛. 2n1?[lnn?ln(n?1)],对lnn?ln(n?1)利用lagrange中值公式, nn??n11lnn?ln(n?1)?,其中n?1??n?n.因此有xn?xn?1??,而 2?nn??n(n?1)???1收敛,故?xn?xn?1,从而xn??(xn?xn?1)?x1也收敛. ?2n?1n?1n?1(n?1)1.9.4利用幂级数的展开式求极限常用的幂级数展开式如下:?x2x3xnxnx(1)e?1?x?????????2!3!n!n?0n!?x3x5x7x2n?1x2n?1nn(2)sinx?x??????(?1)????(?1)3!5!7!(2n?1)!(2n?1)!n?02n2n?x2x4x6nxnx (3)cosx?1??????(?1)????(?1)2!4!6!(2n)!(2n)!n?0nn?x2x3x4n?1xn?1x (4)ln(1?x)?x??????(?1)????(?1)234nnn?1?(??1)2?(??1)?(??n?1)n(5)(1?x)??1??x?x???x??2!n!111例14 求limxn,xn?1?????.n??1!2!n!nx2x3xnxnx??????,所以limxn?lim?
解:已知e?1?x??e(x?1).n??n??2!3!n!n!n?01.10利用初等变形求极限用初等数学的方法将xn变形,然后求极限.xxxx例15[1] 求limxn,xn?coscos2cos3?cosn.n??2222x2n?sinn,得x?cosxcosxcosx?cosx 解:用xn乘以nx222232nn2?sinn2xsinxsinx2nsinx????(n??)(x?0).xxxxn2sinnsinn222只用于求函数的极限的方法2.1利用函数的连续的性质求极限函数f(x)在点x0处连续的定义是limf(x)?f(x0),所以f(x)当在点x0处连x?x0续时,求limf(x)就等于求函数值f(x0).常用的有下列几种形式:x?x0(1)设f(x)在x?a处连续,若limxn?a,则limf(xn)?f(limxn)?f(a);n??n??n??(2)设x?af(x)在x?ay?b处连续,且y?g(x),有limg(x)?b,x?a则limf[g(x)]?f[limg(x)]?f(b);(3)设limU(x)?A?0,limV(x)?B,则limU(x)V(x)?limeV(x)lnU(x)?eBlnA?AB.x?ax?a[2]x?ax?a例16[2]x2?2x?3ln(1?x2)求极限lim[?].x?0x?22cos3xx2?2x?3ln(1?x2)解:由于x?0属于函数f(x)?[?]的定义域,故由函数x?22cos3x连续的定义x2?2x?3ln(1?x2)3,有[?]?f(0)?.x?22cos3x2例17[1]求limsin2(?n2?n).n??解:sin2(?n2?n)?sin2(?n2?n?n?)n??sin2()?sin2n2?n?n由于初等函数在有定义的地方皆连续,
原极限?sin2(limn????1?1n.??1?1n)?sin2?2?1.2.2利用等价无穷小代换求极限掌握一些常见的等价无穷小,利用等价无穷小代换,可以对函数进行化简,作无穷小代换时,只能对无穷小是因式积的形式代换,无穷小是代数和的形式则不能轻易作打代换,必须化为因式积的形式,一些常见的等价无穷小如下:当x?0时x2xxx~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?x)~e?1,1?cosx~,??1~xln?,2xx(1?x)u?1~ux(u?R)[4],?x?1~,?x?1~.2n1n32(1?cos2)n 例18[1] 求limn??n2?1?n解:?lim2?1,n???cos)n??)242?lim?lim?1.
?lim2n??n??n??111n?1?n?2?2?12nntanx?sinx. 例19[4] 求lim2x?0xln(1?x)n32(1?cosx2x?tanx?sinxtanx(1?cosx)1?lim2?lim22??. 解:lim2x?0xln(x?0x?(?x)21?x)x?0x?ln(1?x)sinmx. 例20[4] 求limx??sinnx解:x??时,sinnx?0,sinmx?0,但x不是无穷小,因此sinnx与nx不是等价无穷小,sinmx与mx也不是等价无穷小,令x???t,则x??时,t?0,故sinmxsinm(??t)?limx??sinnxt?0sinn(??t)?cosm??sinmt?limt?0?cosn??sinntmtm?(?1)m?n.
?(?1)m?nlimt?0ntnsinmt~mt,sinnt~nt.故lim2.3利用函数的左右极限求极限对于求分段函数在分段点处的极限时,通常要分别讨论它的左右极限,当左右极限存在且相等时,函数的极限等于这个值,当左右极限不等或至少有一个不存在时,原极限不存在[4].?x2?1,x?1?例21[4] 求函数f(x)??x?1在分段点x?1处的极限.?x2?2,x?1?x2?1f(x)?lim?lim(x?1)?2, 解:limx?1?x?1?x?1x?1?f(x)?lim(x2?2)?3,
lim??x?1x?1f(x)?limf(x),故limf(x)不存在. 因为lim??x?1x?1x?12.4利用Taylor公式求极限如果函数f(x)在含x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n?1)阶导数,即f?Dn?1(a,b),那么对于x?(a,b),有11f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)(x?x0)2???f(n)(x0)(x?x0)n??((x?x0)n).2!n! 这就是Taylor公式.利用Taylor公式求 为有些此类不定式运用Hospital法则需要连续几次应用,但用此法较为方便[2]. 常用的Taylor展开式如下:2nx2x4x6nx(1)cosx?1??????(?1)??(x2n); 2!4!6!(2n)!x3x5x7x2n?1n(2)sinx?x??????(?1)??(x2n?1);3!5!7!(2n?1)!nx2x3x4n?1x(3)ln(1?x)?x??????(?1)??(xn); 234n?(??1)2?(??1)?(??n?1)n(4)(1?x)??1??x?x???x??(xn).2!n!x2?1??x2. 例22[1] 求limx22x?0(cosx?e)sinxx2?1??x2解:lim x22x?0(cosx?e)sinx14x??(x4)1
???.311412[?x2?x??(x4)](x2??(x4))224ex?1?x[1]例23 求lim.x?0?x?cosxex?1?x解:limx?0?x?cosx12x??(x2)
???3. 112?(?)x??(x2)8242.5利用中值定理求极限2.5.1利用Lagrange中值定理求极限f(b)?f(a)f(b)?f(a)对于型或可化为型的极限,可利用Lagrange中值定b?ab?a理求极限.这里必须注意两点:(1)在极限变化过程中,中值点?应趋于固定值(含?);(2)f?(?)?A?0[5].例24[5]esinx?ex.
求极限limx???sinx?x解:设f(x)?ex,由Lagrange中值定理,存在介于sinx与x之间的?,使得 esinx?exesinx?ex???1. ?e,且当x?0时,??0,f?(?)?e?1?0.因此,limx???sinx?xsinx?x2.5.2利用微分中值定理求极限f(b(x))?f(a(x))?f?[a(x)??(b(x)?a(x))]于,是若f(x)连续,那么b(x)?a(x)f(b(x))?f(a(x))lim?limf?[a(x)??(b(x)?a(x))]?f?(a0),其中0???1, x?x0x?x0b(x)?a(x)x?x0lima(x)?limb(x)?a0.x?x0[2][2]例25ex?esinx.
求极限limx?x0x?sinx解:设f(x)?ex,则ex?esinx?f(x)?f(sinx)?(x?sinx)f?[sinx??(x?sinx)]
?(x?sinx)esinx??(x?sinx)(0???1).ex?esinx(x?sinx)esinx??(x?sinx)0.?lime?1. 所以limx?x0x?sinxx?x0x?sinx2.5.3利用积分中值定理求极限b设f(x)在[a,b]上连续,则???[a,b],使得?f(x)dx?f(?)(b?a).积分中值a定理的推广形式是,设f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上不变号,则???[a,b],使得?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx[2].aabb例26[2]求极限lim?xn2?xdx.x??011x??0x?? 1解:lim?xn2?xdx.?lim2???xndx
?lim2?x??1?0(0???1). n?12.6利用Hospital法则求极限Hospital法则是用来求不定式0?型和型的极限,但在运用Hospital法则时0?,必须注意以下几点:0?型和型不定式,如果不是,则不0?ex?cosxex?sinx??.如果不经检验,盲目的继?lim能使用法则.例如:limx?0x?0sinx?xcosxxsinx续使用Hospital法则,必将出现错误的结果:法则前,必须检验是否属于(1)使用Hospitalex?sinxex?cosx2lim?lim??1[6]. x?0sinx?xcosxx?0cosx?cosx?xsinx2(2)Hospital法则使用的条件是充分条件,而非必要条件,若limf?(x)不存在时则g?(x)不能断定limf(x)不存在[6]. g(x)(3)如果Hospital法则在使用的条件满足,却无法求出极限,不能说原函数的极限不存在,此时需要使用其他的方法.例如:x?cosxlim?lim(1?sinx),则右边的极限不存在,但此时不能下结论,说原函数x??x??x的极限不存在,而应用其他的方法解决此题:x?cosx11lim?lim(1?cosx)?1?limcosx?1[6]. x??x??x??xxx(4)Hospital法则不是万能的.例如:ex?e?xex?e?xex?e?xlim?limx?limx.利用Hospital法则则出现了循环情形x???ex?e?xx???e?e?xx???e?e?x.此时应用别的方法解决[5].(5)如果数列极限也属于不定式的极限问题,需先将起转化为函数极限,然后使用Hospital法则,从而求出数列极限.例如:lnsinaxacosaxsinbxcosbxlim?lim?lim?1[6]. x?0lnsinbxx?0bcosbxsinaxx?0cosax(6)利用Hospital法则求极限要注意与极限运算法则、等价无穷小、重要极限公式等知识综合使用[5].(7)对于非标准的不定式,通常需要如下变形:??00(a)0????或0????;11?00?110?00(b)???????;000?00(c)00?e0ln0?e0??;(d)?0?e0ln??e0??;(e)1??e?ln1?e0??. 例27[6] 求limx2lnx.x?0[5]11x22解:limxlnx?lim?lnx?lim??lim?0.x?0x?01x?0x?022?3x2xx1?). 例28[6] 求lim(x?1x?1lnxxlnx?x?11?lnx?1lnx1?lim?lim?lim?.x?1(x?1)lnxx?1x?1x?1x?11112?lnx1??lnx?xxx2x例29[6] 求limxx.解:原式?limx?0x?01xlim解:limx?limex?0x?0xxlnx1lnx?ex?0limxlnx?elnxx?e1lim1x?0?2x?e0?1.(cotx)例30[6] 求lim?x?0.lncotx. lnx解:设y?(cotx)lnx,两边取对数lny?1(?csc2x)lncotx?xx1?limlny?lim?lim?lim??lim???1.x?0?x?0?x?0?x?0?cosxsinxx?0?sinxcosx1lnxx?原式?e?1. 例31[6] 求limxx?111?x.1lnx1?x解:limxx?111?x?limex?1?elnxlimx?11?x?e1limx?1?1?e?1.3函数与数列共用的求极限的方法3.1利用极限的四则运算求极限利用该法求极限,方法简单也易于掌握,但多数情况下是不能直接用法则的,还应掌握一些变形的技巧. 例32[7] 求极限limx?52x?6?4解:原式?limx?5x?2?(2x?6?4)(x?2?3)(2x?6?4). 2 (x?2?3x?2?32x?6?4)? ?limx?52(x?5)(x?2?)(x?5)(2x?6?4)n. 例33 求极限limn??n?1nn?11n?11?lim(?)?lim?lim?1?0?1.
解:limn??n?1n??n?1n?1n??n?1n??n?13.2利用重要极限求极限sinx1?1;
(2)lim(1?)x?e.
重要极限为(1)limx?0x??xx此法主要利用类似于两个重要极限中的函数形式的特点来求极限的,其结构特为sin?1lim?1;lim(1?)??e.在每一个极限中?处变量形式是一致的[7]. ??0?????sin4x. 例34[7] 求极限limx?0?x?1sin4x(?x?1)sin4x?lim[4(?x?1)]?8.x?0x?0x?0x4x?x?11例35[7] 求极限lim(1?)x.x???x1x(1?)11x1xex)(1?)?lim??1.
解:lim(1?)x?lim(1?x???x???x???1?exxx(1?)x例36[1] 若数列xn(n?1,2,?)收敛,且xn?0,则limx1x2?xn?limxn.解:limsin4x?limn??n??解:limx1x2?xn?limen??n??1(lnx1?lnx2???lnxn)n?en??n1lim(lnx1?lnx2???lnxn) ?en??limlnxn?eln(limxn)n???limxn.n??3.3利用无穷小的性质求极限无穷小量的性质是有界量与无穷小的积仍为无穷小,利用这一性质时,关键是合理选择谁是无穷小量谁是有界变量,并掌握一定量的缩放方法和技巧[4]. 例37[4] 求lim(sin?x?sinx).x???解:lim(sin?x?sinx)?2limcosx???x????x?x?x?x,其中 sin222cos?x?x?x?x?2是有界量,而2sin?22?x?x?212(?x?x)x???.由于lim12(?x?x)x????0,所以limsinx????x?x?0, 2故lim(sin?x?sinx)?0. 例38 求limsinn.n??n1?0,即为无穷小量,所以 n??n解:显然sinn是一个有界变量,并且limlimsinn?0.n??n3.4利用高阶无穷小求极限y(x)?0,则称y(x)关于z(x)是高阶无穷小量.同样,设n??时,An,Bn若z(x)A为无穷大量,若用An??Bn表示无穷大量Bn的阶高于An的阶,即limn?0.通n???Bn常lnlnn??lnn??n???nk??an??n!??nn(n??)(a?1,0???1,k?N).n!例39 求limn.n??nn!解:因为n!是nn的高阶无穷小,所以limn?0.n??nlnx例40 求limx.x??elnx解:因为lnx是ex的高阶无穷小,所以limx?0.x??e3.5利用两边夹法则及其其推广形式求极限 3.5.1利用两边夹法则求极限定理:若limx?limy?A,而x?z?y,则limz?A.当极限不易直接求出时,可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小,使放大和缩小所得的新变量易于求极限,且二者的极限值相同,则原极限存在,且等于此公共值[1].12n????).n??n2?n?1n2?n?2n2?n?n1?2???n12n1?2???n?2?2???2?
解:因为2n?n?nn?n?1n?n?2n?n?nn2?n?1n(n?1)n?111?2???n?lim?lim?而limn??n??n2?2nn??2(n?2)2n2?n?n例41[7] 求极限lim(n(n?1)1?2???nn(n?1)1lim2?lim2?lim?. n??n??n?n?1n??2(n2?n?1)2n?n?112n1?2???2)?. 所以,由两边夹法则得,lim(2n??n?n?12n?n?2n?n?n1例42[1] 求limx[].x?0x111解:??1?[]?(x?0)xxx1?当x?0时,
1?x?x[]?1,x1当x?0时,1?x?x[]?1,x1故
limx[]?1.x?0x3.5.2利用两边夹法则的推广形式求极限当使用两边夹法则时,若放大与缩小所得到的量的极限值不相等,但二者只相差一个任意小量,则两边夹法则仍然有效[1]. 例43[1]设f(x)?0,在区间[0,1]上连续,试证limn??nin1(f())?maxf(x). ?nn0?x?1i?1n证:记M?maxf(x).则xn?0?x?1in1(f())?M
(1) ?nni?1剩下的问题是将xn缩小,使缩小所得到的量以M为极限或者虽然不等于M,但跟M只相差一个任意小量.因f(x)连续,据闭区间连续函数的性质,?x0?[0,1],使得f(x0)?M.于是???0,???0,当x?x0??,x?[0,1]时,有M???f(x)?M??.ii1i当n充分大时有??(即分点的间距??),?i0,使得0?x0??,f(0)?M??.nnnni0n1in11(f())?(f())?(M??).
(2) ?nnnnni?11(2),有（M???xn?M.左端极限为M??,右端极限为M,由??0总结(1)、n的任意性,知limxn?M.n故xn?n??3.6利用变量替换法求极限为了将未知的极限化简,或转化为已知的极限,可根据极限式的特点,适当引进新变量,以替换原有的变量,使原来的极限过程转化为新的极限过程[1].1例44 求极限lim(1?)x.x??x1111解:令x??t,则有lim(1?)x?lim(1?)?t?[lim(1?)t]?1?e?1?.x??t??t??xttexy?x2yn?1???xny1?ab. 例45[1] 若limxn?a,limyn?b,试证lim1nn??n??n??n解:令xn?a??n,yn?b??n,则n??时,?n,?n?0.于是 x1yn?x2yn?1???xny1 n(a??1)(b??n)?(a??2)(b??n?1)???(a??n)(b??1)?n???2????n???2????n?1?n??2?n?1????n?1?ab?a1?b1?
(1)nnn当n??时第二、三项趋于零.事实上,因?n?0(n??),故{?n}有界,即?M?0,使得n?M(?n?N).故?n??n?1????1????2?n?1????n?10?1n?0. ?Mnn从而(1)式以ab为极限.4数列与函数之间的联系数列与函数之间是靠海涅定理联系起来的,海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁,根据海涅定理求函数极限则可化为求数列极限,同样求数列极限也可转化为求函数极限,海涅定理如下:limf(x)?A??{xn},xn?a(n??),则f(xn)?A(n??).x?a例46[1]设函数f(x)在点x0的邻域I(点x0可能例外)内有定义.试证:如果对于任意的点列{xn},这里xn?I,xn?x0(n??),0?xn?1?x0?xn?x0,都有limf(xn)?A,那么limf(x)?A.n??x?x0证:若limf(x)?A,即??0?0,???0,?x0?I,虽然0?x??x0??,但x?x0f(x?)?A??0.如此,若令?1?1,则?x1?I,0?x1?x0??,f(x1)?A??0;若令1?2?min{,x1?x0?x2?I,0?x2?x0??2,f(x2)?A??0;令21?3?min{,x2?x0?如此无限进行下去,可得一点列{xn},3xn?I,xn?x0(n??),0?xn?1?x0?xn?x0,但f(xn)?A??0与已知条件矛盾.参考文献:[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.高等教育出版社,2010.,1(20):16?20. [2]赵红海,李艳.极限的几种特殊求法.张家口职业技术学院学报,):86?92. [3]唐燕武.极限的几种求解方法.安庆师范学院学报,):327?335. [4]何向荣.极限的多种求法.科技信息,2007,3(26):133?135. [5]程鹏,张洪瑞,李占现.求函数极限的方法.河南科技学院学报,2008,17(131):175?176. [6]王梅.对洛必达法则的进一步思考.科技信息,2007[7]张有珍,闫运生.求极限方法种种.科技信息,):98?100.百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆
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推荐： 　　　怎样用Stolz求这个极限？ - 知乎57被浏览<strong class="NumberBoard-itemValue" title="分享邀请回答maths.nju.edu.cn/~meijq/calculus/math1.pdf注：Stolz 公式相当于 L'Hospital 法则的离散形式。可以考虑使用 Stolz 公式求极限的题目类型：1、数列极限相关如果题目中给出了与的递推关系，而所要求的极限中仅与有关，这时可以考虑使用 Stolz 公式(注意要满足 Stolz 公式的条件)，因为这样能在所求的极限中产生,这时候再利用递推关系往往就比较容易求得结果。如这道题中求就是这样的思想。比如还有这道2、含有和式的极限这种情况使用 Stolz 公式能消去和式，从而使极限易求。如再如都属于这种情况。以上例子截图均来自南大梅加强老师《数学分析》P.53~P.54电子版：暂时想到这些，欢迎大家补充讨论~9216 条评论分享收藏感谢收起热门搜索：
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关于数列极限的计算
关于数列极限的计算1关于数列极限的计算李川嘉应学院数学学院081班指导老师黄志华摘要本文研究数列极限的计算问题数列极限理论是数学分析的基础,而数列极限的计算又是极限理论的重要组成部分,有着广泛的应用本文给出几种类型的数列极限求法,讨论的内容涉及数列知识、两边夹法则、STOLZ定理、定积分理论、级数和对数理论求极限法则等,最后,给出几个例子来说明本文方法的有效性关键词数列极限、STOLZ定理、级数THECALCULATIONOFSEQUENCELIMABSTRACTTHESEQUENCELIMITTHEORYISTHEBASISOFMATHEMATICALANALYSIS,ANDTHECALCULATIONOFSEQUENCELIMITISTHEMAINCONSTITUENTOFTHELIMITTHEORY,HASAWIDEAPPLICATIONTHISPAPERSUMMARIZESSEVERALTYPESOFSEQUENCELIMITMETHOD,DISCUSSESTHECONTENTRELATEDTOTHESERIES,BOTHSIDESGRIPRULEKNOWLEDGE,DEFINITEINTEGRALTHEOREM,THEORY,ANDTHEORYOFLOGARITHMICSERIESEXTREMERULESANDSOON,TOTHELIMITOFASEQUENCEOFCALCULATIONSAREDONEINASUMMARYKEYWORDSTHELIMITOFASEQUENCE,STOLZTHEOREM,SERIES一前言两千多年前古希腊数学家阿基米德计算曲边图形面积用的“穷竭法”思想,我国春秋战国时期庄子天下篇中截杖问题“一尺之锤,日取其半,万世不竭”等等无不闪现出极限思想的光辉如庄子天下篇中的截杖问题,为什么会“万世不竭”呢每天剩留量是多少呢由此得出无穷数列1,212，,12N,,经过N天后,还剩下12N,当N是足够大的数时,12N非常接近于0,微观上确实客观存在,当然会“万世不竭”,当N是无限变大的数时,12N越来越趋近于0,即N,有102N定义1设NA为数列，A为定数，若对任给的正数，总存在正整数N，使得当NN关于数列极限的计算2时有NAA，则称数列NA收敛于A，定数A称为数列NA的极限,并记作LIMNNAA，或NAAN，读作“当N趋于无穷大时，NA的极限等于A或NA趋于A定义1’任给0，若在UA之外数列NA中的项至多只有有限个，则称数列NA收敛于极限A定义2压缩变差数列若数列NA满足条件112NNNNXXRXX,3,401NR则称NA为压缩变差数列（简称压缩数列）STOLZ定理11（型）设数列NY单调递增趋于,且LIMNNX,若11LIMNNNNNXXAYY（可以为无穷）则LIMNNNXAYSTOLZ定理12（00型）设数列NY单调下降趋于0,且LIM0NNX,若11LIMNNNNNXXAYY（可以为无穷）则LIMNNNXAY二主要结论21利用两边夹法则求数列极限定理若存在自然数N,当NN时,总有NNNABC,且LIMLIMNNNNACL,则LIMNNBL例1求222111LIM12NNNNN关于数列极限的计算3解因为2NNNNNNNNNN且2LIM1NNNN222111LIM12NNNNN122已知数列递推关系,求极限1先判断数列极限存在,再求极限2压缩映像法（任意压缩数列一定收敛）例2设01C,12CA,2122NNACA,证明NA收敛,并求其极限证明先用数学归纳法可证01NA1,2,3N再用数学归纳法证明1NNAA1,2,3N显然21AA,归纳假设1KKAA,则KKKKKKKKAAAAAAAA故1NNAA1,2,3N成立综上所述,知NA单调递增有上界LIMNNAL（存在）222CLL,注意到1L,LIM11NNALC例3设21XFXX,数列NA由如下递推公式定义01X,1NNXFX,0,1,2N求证LIM2NNX证明由01X,关于数列极限的计算NNNNXXXX,0,1,2,N21121FXX当1X111112NNNNNNNNXXFXFXFXXXX则NA为压缩数列,LIMNNXL（存在）,则由121NNNXXX得21LLL,即22L2L或2L（舍去）此即LIM2NNX23利用洛必达法则及STOLZ定理求数列极限洛必达法则及STOLZ定理是数学分析中处理“”型及“00”型极限的两个重要工具例4设LIMNNXA,12NNXXXN,求证LIMNXA证明由STOLZ公式LIMNX12LIMNXXXXN12121LIM1NNNXXXXXXNNLIMNNXA24利用函数的极限等值性将数列中自然数N换成连续变量X,求出形式相同的函数的极限,则得到数列的极限例5求LIM1NNNN解LIM1XXXX1121LIMXXXX（00型）1LN121LIMXXXEX（利用无穷小极限）关于数列极限的计算5121LNLIMXXXXLNLIMXXX（型）1LIM12XXX2LIM0XXLIM10NNNN25利用两个重要极限求数列极限0SINLIM1XXX1LIM1XXEX例6求11LIM1NNN解因1LIM1XXEX,11LIM1NNN11LIM1LIM1NNNNNE例7当0X时,求LIMCOSCOSCOS242NNXXX解LIMCOSCOSCOS242NNXXXCOSCOSCOSSIN2422LIMSIN2NNNNXXXXX11COSCOSCOSSIN2422LIM2SIN2NNNNXXXXX222COSCOSCOSSIN2422LIM2SIN2NNNNXXXXXSINLIM2SIN2NNNXX关于数列极限的计算6SIN2LIMSIN2NNNXXXXSINXX26利用数项级数收敛法求数列极限给出一个数列NA,对应一个级数1NNA如果能判定此级数是收敛的,则有LIMNNA0虽然这一方法只能判定以零为极限的数列，但是由于判断级数的收敛性方法较多,因此在某些场合使用这种方法任是十分有效的例8求3LIM3NNNN解令3NNNNAN,作级数1NNA,因111131LIMLIMLIM11333NNNNNNNNNNANNENANN级数1NNA收敛3LIM3NNNNLIMNNA027利用定积分的定义计算数列极限计算项数无限增大的无穷小量之和,有时可设法把问题转化为某一函数在某一区间上的积分和的极限问题,从而利用定积分计算求解例9求111LIM12NNNNN解11NNNNNNNNN1111NKKNN关于数列极限的计算7令11FXX,01X,则由定积分定义知101111LIM11NNKDXKXNN又101LN21DXX综上得111LIMLN212NNNNN28利用对数求数列极限例10设01,2NXN,且LIMNNXA,证明12LIMNNNXXXA证明12LIMNNNXXX12LNLIMNNXXXNE121LNLNLNLIMNXXXNNELNAEA三小结数列极限是辨证思维逻辑中飞跃式思维形成的良好实践,它既让人们看到数列NA变化的“永无休止”,也看到无限变化过程中的飞越式“终结”当然数列极限的计算是十分重要的内容,我们上面所讨论的内容不但有数列知识,还涉及到“N”语言、两边夹法则、定积分理论、STOLZ公式等内容,所以说数列极限贯穿于整个数学分析的范畴里,对学好数学分析来说是十分重要的参考文献1华东师范大学数学系数学分析（上）M上海高等教育出版社,20012钱吉林主编数学分析解题精粹武汉崇文书局,20093孙本旺,汪浩数学分析中的典型题和解题方法M长沙湖南科学技术出版社,19854陈克东高等数学复习指导M北京科学出版社,20005裴礼文数学分析中的典型问题与方法M高等教育出版社,19936同济大学应用数学系高等数学（上）M北京高等教育出版社,2002
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