五分钟概率论-Beta 分布
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五分钟概率论-Beta 分布
Beta分布是一种非常接近直觉的分布，这篇文章主要介绍Beta分布和说明为什么我们需要Beta分布。对于贝叶斯主义者，从贝叶斯的角度去看伯努利过程，会得到一些重要而且有意思的结果。数学公式说明，需要在段中显示数学公式，用的是标准Latex语法，_表示角标，{}表示整体缩写说明，pdf：函数密度函数文章结构伯努利过程第一个抛硬币试验Beta分布形状贝叶斯推断第二个抛硬币试验淘宝商家例子伯努利过程伯努利过程是一系列离散的独立同分布随机试验，当我们具体看伯努利过程的一些分布函数的时候，会发现这一类分布有着相似的结构。二项分布（抛n次硬币，正面出现k次的概率）几何分布（抛硬币，第一次抛出正面所需次数的概率）帕斯卡分布（抛硬币，第k次出现正面所需次数的概率）找到一个统一的公式去描述这些分布，那就是 Beta分布 了：其中 B(a,b) 是标准化函数，他的作用是使总概率为1，a 和 b 是形状参数，不同的参数选择不但可以表示常见的二项分布，几何分布等，它更有一个好处，那就是你跟本不用去管某个试验服从什么分布。用形状参数 a,b 可以调出任意你想使用的分布图像。 抛个硬币吧写概率论的文章总是一言不合就抛硬币，这就像是达芬奇画鸡蛋，基础的掌握也是思维的形成。抛硬币的试验可以从几何学角度来直观了解Beta分布的工作原理。先撇开Beta分布，来看下简单的变体，没有了-1的次方项，也没有了用于归一化的常数。如果抛硬币，抛出7次正面，3次反面，如何判断这个硬币的概率分布。注意我们都是贝叶斯主义者，硬币的概率是个随机变量，不要用频率主义去把概率当作一个定值。思考最简单的伯努利过程，7次正面，3次反面，概率分布是关于x的函数（随机变量），那么这个类似 Beta分布的函数就是：这幅图是很直观的表达，当某次试验出现正面7次，背面3次的情况下，函数图像在0.7附近得到最大值。也就是说，现在的概率极有可能是0.7，当然也有可能是其他的情况，比如说0.5，只是概率更小罢了。这就是我们不知道服从某种特定分布的参数分布曲线。更笼统的说，形状参数 a,b 决定了分布的形状。Beta 分布形状当形状参数a，b 取不同的值时，Beta分布会随之变化。其中有几种特殊情况。首先是 a = b 的情况。分别使用动画和3D来演示。当 a = b 时， beta分布都是对称的，如果小于1，分布是u形，这时的pdf也叫做反正弦分布（arcsin distribution），反正弦分布的CDF是反正弦函数。如果形状参数大于1，分布呈山峰状凸起，特别注意，当 a = b = 1 时，分布为[0,1]均匀分布。当 a = b = 2 时，pdf为抛物线。3D 图像显示了a取不同值时，概率密度函数分布的变化。当 a 不等于 b 时, Beta 概率密度函数呈较大值一方倾斜，a 越大，pdf峰值向1偏移，b 越大，pdf峰值向0偏移。可以看到Beta分布的另一个特点，当形状参数越大时，分布图像越陡，越对称，越接近正态分布。贝叶斯推断 （Bayesian inference）Beta分布在概率统计中非常好用。因为在贝叶斯推断下，Beta分布有个非常棒的特点。那么先来看看贝叶斯推断。在统计模型中，我们往往关心的是模型的参数，比如说抛出硬币的正面概率是多少，一个射击运动员平均射击环数。在贝叶斯主义看来，这些参数并不是一个明确的数，而是一个概率分布，在某些地方值大一些，就说明参数更有可能分布在这些地方。这个参数，被定义为随机变量 Theta。随机变量 Theta 中某一个值 theta 可能就是模型的真值，在这个真值下，我们有做了一些观察，即同理这些观察也都是随机变量，更进一步，他们是在某参数下的条件概率，也即联合分布。 可以表示为 p_{X|\Theta} 或者 f_{X|\Theta}。现在有了参数的分布 p_{\Theta} 或者 f_{\Theta}, 也有了观察量，根据条件概率公式，我们就得到了贝叶斯角度的贝叶斯推断：这里只给出了离散模型，各部分都可替换成各自的连续模型。等式右边的部分我们都有了，分母部分是用来归一化的，p_{\Theta} 也被称作先验概率，p_{X|\Theta}也是似然函数，等式左边的部分即为在先验存在下，通过一些观察，更新的参数分布概率，也被称作后验概率。既然提到贝叶斯，可不是让他白来的，Beta 分布的一些特性，让贝叶斯推断发挥出了巨大作用。共轭先验 Conjugate prior暂时先回到抛硬币的例子中，如果观察到了某次试验结果k，选择使用Beta分布，不考虑分母常数，也不进行精确计算：根据前面所讲，我们不论假设先验分布是均匀分布，二项分布，几何分布还是其他伯努利过程中的分布情况，后验概率都可以得到一个统一的形式：其中 B(a,b) 是 Beta 函数，发现新的Beta分布，新的 a = a+k，新的 b = n-k+b，当 a = b = 1 时，形状参数为k+1和n-k+1，如果我们认为 a 是抛出正面的次数，b 是抛出反面的次数，这不就是我们抛硬币的例子的Beta分布吗？这种特性就是共轭先验。有着这种特性的函数并不多，另一个有共轭先验特性的分布就是正态分布。后验分布与先验分布是同种类型的分布。这又什么用呢？首先，可以迭代了。先验分布通过新的观察结果可以更新后验分布，新的后验分布又可以做为先验分布进行下一次的更新。其次，给贝叶斯推断提供了理论依据，为什么可以用Beta分布做为观察模型的先验分布，每次观察试验不会改变分布模型，改变的只是分布形状。归根结底，共轭先验让计算变简单了。Beta分布的众数，期望和方差分别为：免去了计算指数，阶乘的复杂运算，只用形状参数就足够了，是不是很方便呢？又要抛硬币了这次抛硬币是对开始那个例子的完善。我们说观察一枚硬币，观察前有人告诉我以前有人抛过这枚硬币，出现了7次正面，3次反面。我们估计这个硬币是服从Beta分布的，即 X～Beta(8,4)，开始观察5次抛掷结果以后，发现出现了2次正面，3次反面，那我们可以直接计算了：在新的观察下，概率分布的峰值从0.7移动向0.6。从整个计算过程中，有没有发现，我们根本不用去考虑以前的结果，只要在先验的基础上变更形状参数就行了。一个更加实际的例子逛淘宝的时候，想买一双鞋子，同一双鞋子发现了两个不同的商家，商家A有10条评论，9个好评1个差评。商家B有500条评论，400条好评100个差评。那么应该去买哪个商家的鞋子。鞋子的质量是商家的参数，商家一定存在反应鞋子质量的真值，但是我们不知道。但是，根据大数定理，大量的样本会让结果更趋近于真值。商家A可以使用 a = 10,b = 2 的Beta分布，商家B可以使用 a = 401, b = 101 的Beta分布，商家的质量在[0,1]内表示。得到结果：取一个95%的置信区间，也就是说，真值有95%的概率在这个区间内。商家A[0.58,0.98]，商家B[0.76,0.84]。商家A的均值更高，但是方差更大。这里就有两个不同的策略，如果考虑的是产品质量的稳定性，就选择B商家，因为商家B的质量标准底线比商家A更高。另一方面，如果你愿意看脸，商家A的商品有很大机率高达0.98的质量标准。这就是Beta分布在生活中直观的表现。Beta分布的应用不止于此，当其进化为更加抽象的狄利克雷分布时，就是无监督贝叶斯模型的基础了。
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概率论 正态分布X-N（μ,σ2）,则P{μ-kσ
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由X～N（μ,σ2）,知(X-μ)/σ N(0,1)有P{μ-kσ
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考研数学：解析概率论之正态分布
10:56:53 来源：新东方在线整理
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正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在、物理及工程等领域都非常重要的分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为。若X服从一个为μ、为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其为正态分布的μ决定了其位置，其σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是。
正态分布历史发展
正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说。
其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差” 之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差（近似地）服从正态分布。拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须这二者之一（算术平均的优良性，误差的正态性） 为出发点。但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义。
正态分布定理
由于一般的正态总体其图像不一定关于y，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。
服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）
正态分布定义
正态分布一维正态分布
服从一个位置参数为
、尺度参数为
的概率分布，且其为
则这个就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作
服从正态分布。
μ维随机具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
本词条的正态分布是一维正态分布，此外多维正态分布参见“”。
正态分布标准正态分布
时，正态分布就成为标准正态分布
正态分布性质
正态分布的一些性质：
且a与b是，那么
(参见和)。
是统计独立的正态，那么：
它们的和也满足正态分布
它们的差也满足正态分布
U与V两者是相互独立的。（要求X与Y的方差相等）
是独立常态随机变量，那么：
它们的积XY服从概率密度函数为p的分布
是修正贝塞尔函数（modified Bessel function）
它们的比符合，满足
为独立标准常态随机变量，那么
服从自由度为n的。
正态分布分布曲线
正态分布图形特征
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
曲线与横轴间的面积总等于1，相当于的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。
关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
正态分布参数含义
正态分布有两个参数，即期望（均数）μ和标准差σ，σ2为方差。
正态分布公式
正态分布具有两个参数μ和σ^2的的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的，第二个参数σ^2是此随机变量的，所以正态分布记作N(μ,σ2)。
μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的位置。概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小。正态分布以X=μ为，左右完全对称。正态分布的期望、、、众数相同，均等于μ。
σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。
1．实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。
⒉正态曲线下，区间(μ-σ,μ+σ)内的面积为68.268949%。
P{|X-μ|&σ}=2Φ(1)-1=0.6826
横轴区间(μ-1.96σ,μ+1.96σ)内的面积为95.449974%。
P{|X-μ|&2σ}=2Φ(2)-1=0.9544
横轴区间(μ-2.58σ,μ+2.58σ)内的面积为99.730020%。
P{|X-μ|&3σ}=2Φ(3)-1=0.9974
由于“小概率事件”和的基本思想 “小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。由此可见X落在(μ-3σ,μ+3σ)以外的概率小于千分之三，在实际问题中常认为相应的事件是不会发生的，基本上可以把区间(μ-3σ,μ+3σ)看作是随机变量X实际可能的取值区间，这称之为正态分布的“3σ”原则。
正态分布研究过程
概念及特征：
一、正态分布的概念
由一般分布的频数表资料所绘制的直方图，图⑴可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。我们
正态分布研究图1
设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图⑶。这条曲线称为曲线或，近似于数学上的正态分布（normal distribution）。由于频率的总和为100%或1，故该曲线下上的面积为100%或1。
为了应用方便，常对正态分布变量X作变量变换。
该变换使原来的正态分布为(standard normal distribution），亦称u分布。u被称为标准或标准正态（standard normal deviate）。
正态分布研究图2
正态分布研究图3
实际工作中，常需要了解正态曲线下上某一区间的面积占总面积的，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（）或观察值落在该区间的概率。正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。对于正态或近似正态分布的资料，已知和标准差，就可对其频数分布作出概约估计。
查附表1应注意：①表中曲线下面积为-∞到u的左侧累计面积；②当已知μ、σ和X时先按式u=(X-μ）/σ求得u值，再查表，当μ、σ未知且样本含量n足够大时，可用样本均数X1和标准差S分别代替μ和σ，按u=(X-X1）/S式求得u值，再查表；③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（-∞，-1.96）与区间（1.96，∞）的面积相等，④曲线下横轴上的总面积为100%或1。
图2 正态曲线与标准正态曲线的面积分布
正态分布的应用某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量、胆固醇等，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些资料虽为偏态分布，但经数据变换后可成为正态或近似正态分布，故可按正态分布规律处理。
正态分布面积图1
正态分布面积图2
一般正态分布与标准正态分布的区别与联系
正态分布也叫常态分布，是连续随机变量概率分布的一种，自然界、人类社会、心理和教育中大量现象均按正态形式分布，例如能力的高低，学生成绩的好坏等都属于正态分布。它随随机变量的平均数、标准差的大小与单位不同而有不同的分布形态。标准正态分布是正态分布的一种，其平均数和标准差都是固定的，平均数为0，标准差为1。
正态分布曲线应用
正态分布综述
⒈ 估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。
⒉ 制定参考值范围
⑴正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
⑵百分位数法 常用于偏态分布的指标。表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
⒊ 质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以 作为上、下警戒值，以 作为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。
⒋ 正态分布是许多统计方法的理论基础。检验、、相关和等多种均要求分析的指标服从正态分布。许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些方法也是以正态分布为理论基础的。
正态分布频数分布
例1.10 某地1993年抽样调查了100名18岁男大学生身高（cm），其均数=172.70cm，标准差s=4.01cm，①估计该地18岁男大学生身高在168cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数；②分别求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s范围内18岁男大学生占该地18岁男大学生总数的实际百分数，并与理论百分数比较。
本例，μ、σ未知但样本含量n较大，按式（3.1）用样本均数X和S分别代替μ和σ，求得u值，u=（168-172.70）/4.01=-1.17。查附表标准正态曲线下的面积，在表的左侧找到-1.1，表的上方找到0.07，两者相交处为0.%。该地18岁男大学生身高在168cm以下者，约占总数12.10%。其它计算结果见表3。
表3 100名18岁男大学生身高的实际分布与理论分布
身高范围（cm）
百分数（%）
理论分布（%）
168.69～176.71
164.84～180.56
162.35～183.05
正态分布综合素质研究
统计规律表明，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布。因而正常的考试成绩分布应基本服从正态分布。考试分析要求绘制出学生成绩分布的直方图，以“中间高、两头低”来衡量成绩符合正态分布的程度。其评价标准认为：考生成绩分布情况直方图，基本呈正态曲线状，属于好，如果略呈正（负）态状，属于中等，如果呈严重偏态或无规律，就是差的。
从概率统计规律看，“正常的考试成绩分布应基本服从正态分布”是正确的。但是必须考虑人与物的本质不同，以及教育的有所作为可以使“随机”受到干预，用曲线或直方图的形状来评价考试成绩就有失偏颇。许多教育专家（如上海顾泠沅、美国布鲁姆等）已经通过实践论证，教育是可以大有作为的，可以做到大多数学生及格，而且多数学生可以得高分，考试成绩曲线是偏正态分布的。但是长期受到“中间高、两头低”标准的影响，限制了教师的作为，抑制了多数学生能够学好的信心。这是很大的误会。通常正态曲线有一条对称轴。当某个分数（或分数段）的考生人数最多时，对应曲线的最高点，是曲线的顶点。该在上的对应点与顶点连接的就是该正态曲线的。考生人数最多的值是峰值。我们注意到，成绩曲线或直方图实际上很少对称的，称之为峰线更合适。
正态分布医学参考值
某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理。其中经对数转换后服从正态分布的指标，被称为服从对数正态分布。
医学参考值范围亦称医学正常值范围。它是指所谓“正常人”的解剖、生理、生化等指标的波动范围。制定正常值范围时，首先要确定一批样本含量足够大的“正常人”，所谓“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群；其次需根据研究目的和使用要求选定适当的百分界值，如80%，90%，95%和99%，常用95%；根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值，如计数过高过低皆属不正常须确定双侧界值，又如肝功中转氨酶过高属不正常须确定单侧上界，肺活量过低属不正常须确定单侧下界。另外，还要根据资料的分布特点，选用恰当的计算方法。常用方法有：
⑴正态分布法：适用于正态或近似正态分布的资料。
双侧界值：X+-u(u)S单侧上界：X+u(u)S，或单侧下界：X-u(u)S
⑵对数正态分布法：适用于对数正态分布资料。
双侧界值：lg-1[X(lgx)+-u(u)S(lgx)]；单侧上界：lg-1[X(lgx)+u(u)S(lgx)]，或单侧下界：lg-1[X(lgx)-u(u)S(lgx)]。
常用u值可根据要求由表4查出。
⑶百分位数法：常用于偏态分布资料以及资料中一端或两端无确切数值的资料。
双侧界值：P2.5和P97.5；单侧上界：P95，或单侧下界：P5。
表4常用u值表
参考值范围（%)
统计的理论基础
如t分布、F分布、分布都是在正态分布的基础上推导出来的，u检验也是以正态分布为基础的。此外，t分布、、Poisson分布的极限为正态分布，在一定条件下，可以按正态分布原理来处理。
概率论中最重要的分布
正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如、、F分布等。
在联系自然、社会和思维的实践背景下，我们以正态分布的本质为基础，以正态分布曲线及面积分布图为表征（以后谈及正态分布及正态分布论就要浮现此图），进行抽象与提升，抓住其中的主要哲学内涵，归纳正态分布论（正态哲学）的主要内涵如下：
正态分布启示我们，要用整体的观点来看事物。“系统的整体观念或总体观念是系统概念的精髓。” 正态分布曲线及面积分布图由、负区、正区三个区组成，各区比重不一样。用整体来看事物才能看清楚事物的本来面貌，才能得出事物的根本特性。不能只见树木不见森林，也不能以偏概全。此外整体大于部分之和，在分析各部分、各层次的基础上，还要从整体看事物，这是因为整体有不同于各部分的特点。用整体观来看世界，就是要立足在基区，放眼负区和正区。要看到主要方面，还要看到次要方面，既要看到积极的方面还要看到事物消极的一面，看到事物前进的一面还要看到落后的一面。片面看事物必然看到的是或者是变态的事物，不是真实的事物本身。
正态分布曲线及面积分布图非常清晰的展示了重点，那就是基区占68.27%，是主体，要重点抓，此外95%，99%则展示了正态的全面性。认识世界和改造世界一定要住住重点，因为重点就是事物的主要矛盾，它对事物的发展起主要的、支配性的作用。抓住了重点才能一举其纲，万目皆张。事物和现象纷繁复杂，在千头万绪中不抓住主要矛盾，就会陷入无限琐碎之中。由于我们时间和精力的相对有限性，出于效率的追求，我们更应该抓住重点。在正态分布中，基区占了主体和重点。如果我们结合，我们更可以大胆的把正区也可以看做是重点。
联系和发展是事物发展变化的基本规律。任何事物都有其产生、发展和灭亡的历史，如果我们把正态分布看做是任何一个系统或者事物的发展过程的话，我们明显的看到这个过程经历着从负区到基区再到正区的过程。无论是自然、社会还是人类的思维都明显的遵循这这样一个过程。准确的把握事物或者事件所处的历史过程和阶段极大的有助于掌握我们对事物、事件的特征和性质，是我们分析问题，采取对策和解决问题的重要基础和依据。发展的阶段不同，性质和特征也不同，分析和解决问题的办法要与此相适应，这就是，也是解放思想、实事求是、与时俱乐进的精髓。正态发展的特点还启示我们，事物发展大都是渐进的和累积的，走渐进发展的道路是事物发展的常态。例如，遗传是常态，变异是非常态。
总之，正态分布论是科学的世界观，也是科学的方法论，是我们认识和改造世界的最重要和最根本的工具之一，对我们的理论和实践有重要的指导意义。以正态哲学认识世界，能更好的认识和把握世界的本质和规律，以正态哲学来改造世界，能更好的在尊重和利用客观规律，更有效的改造世界。
弗朗西斯·高尔顿 [Francis Galton －]，英国探险家、优生学家、心理学家，差异心理学之父，也是心理测量学上生理计量法的创始人。
高而顿对心理学的贡献，大概可以归纳未差异心理学、心理测量的量化和实验心理学三方面：
心理学研究之量化，始自高尔顿。他发明了许多感官和运动的测试，并以数量代表所测得的心理特质之差异。他认为人的所有特质，不管是物质的还是精神的，最终都可以定量叙述，这是实现人类科学的必要条件，故最先应用统计法处理心理学研究资料，重视数据的平均数与高中差数。他收集了大量资料证明人的心理特质在人口中的分布如同身高、体重那样符合正态分布曲线。他在论及遗传对个体差异的影响时，为的概念作了初步提示。如他研究了“居间亲”和其成年子女的身高关系，发现居间亲和其子女的身高有正相关，即父母的身材较高，其子女的身材也有较高的趋势。反之，父母的身材较低，其子女也有较矮的趋势。同时发现子女的身高常与其父母略有差别，而呈现“回中”趋势，即离开其父母的身高数，而回到一般人身高的。
智力、能力
理查德·赫恩斯坦 [（Richard J. Herrnstein －），美国比较心理学家]和默瑞（Charles Murray）合著《正态曲线》一书而闻名，在该书中他们指出人们的智力呈正态分布。智力主要是遗传的并因种族的不同而不同，犹太人、东亚人的智商最高，其次为白人，表现最差的是黑人、西班牙裔人。他们检讨了数十年来心理计量学与政策学的研究成果，发现美国社会轻忽了智商的影响愈变愈大的趋势。他们力图证明，美国现行的偏向于以非洲裔和南美裔为主的低收入阶层的社会政策，如职业培训、大学教育等，完全是在浪费资源。他们利用应募入伍者的测试结果证明，黑人青年的智力低于白人和；而且，这些人的智力已经定型，对他们进行培训收效甚微。因此，政府应该放弃对这部分人的教育，把钱用于包括所有种族在内的启蒙教育，因为孩子的智力尚未定型，开发潜力大。由于此书涉及黑人的智力问题，一经出版便受到来自四面八方的围攻。
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同济大学数学科学学院
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