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概率论：正态分布
第 四 章 正 态 分 布第一节 第二节 第三节 第四节 第五节正态分布的密度函数 正态分布的数字特征 正态分布的线性性质 二维正态分布 中心极限定理PLAY第一节正态分布的密度函数正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究 最多的分布之一,它在概率统计中占有特别重要的地 位.比如,考察一群人的身高,个体的身高作为一个随 机变量,其取值特点是:在平均身高附近的人较多,特 别高和特别矮的人较少.一个班的一次考试成绩、测 量误差等均有类似的特征.高斯在研究误差理论时曾 用它来刻画误差,因此很多文献中亦称之为高斯分布. 进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量 独立的因素的影响(无主导因素),则它一般服从正态 分布,这是中心极限定理探讨的问题.一. 一般正态分布1. 定义 若随机变量X的密度函数为? 1 2? 2 f ( x) ? e 2? ? 其中 ? ? ? x ? ?? ( x ? ? )2f (x)0?x式中 ?为实数, ?>0 .则称X服从参数为? ,?2的正态分 布,亦称高斯分布.记为N(?, ?2).可表为X～N(?, ?2). 图象见右上角正态分布有两个特性： (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=?对称1 f(?)＝maxf(x)＝ 2? ?f (x )1 2? ?(2) ?的大小直接影响概率的分布 ?越大,曲线越平坦; ?越小，曲线越陡峻. 正态分布也称为 高斯(Gauss)分布?2f (x )0?N ( 4,3 / 5)N ( 4,1)xN ( 4,7 / 5)02?46 x二. 标准正态分布参数?＝0，?2＝1的正态分布称为标准正态 分布，记作X~N(0, 1)。 ? (x) 其密度函数为1 ? (x) ? 2? ( ?? ? x ? ?? )x2 ? e 2?4 ?2 024x分布函数为(1) ?(0)=0.5? ( x ) ? P { X ? x}?t2 ? x 1 e 2 2 ? ?? ?(2) ?(+∞)＝1；dt , ?? ? x ? ??f (x)f ( x) ? 1 e 2?? x2 2(3) ?(x)＝1－ ?(－x). 一般的概率统计教科书均附有 标准正态分布表供读者查阅 ?(x)的值.(P328附表1)如,若 X~N（0,1),?(0.5)=0.6915, P{1.320x正态分布的数字特征 (一) 一般正态分布N(?, ?2)( x??)2 2? 21 ? X ~ f (x) ? e 2? ?, ??? x ? ?E( X ) ?t?? ? ??? xf ( x)dx ? ???? ?t ?? ? ? ?? ? ( xx???? 2?t2 ? ?2 e ?dt 2x ? e 2? ???( x?? )2 2? 2dxD( X ) ?? ? ) f ( x )dx ? ?2(二)标准正态分布N(0, 1)X ~ f ( x) ?E( X ) ?? ?? ?1 2?x2 ? e 2, ??? x ??x 2?x2 ? e 2 dxxf ( x ) dx ?? ?? ?? 0(奇函数 )2D( X ) ? E{[ X ? E ( X )] } ?? 2 ??? ? x2? ?? ? [ x? E ( X )] f ( x)dx1 2?x2 ? e 2 dx?1三. 一般正态分布概率的计算 若X～N(?,?2),?>0,则有f (x )F ( x ) ? P { X ? x} ?x ?? ? ? 1 e 2? ? (t ? ? ) 2 2? 2dt? x?? }0F ( x) ? P{X ? x} ? P{ ? P{Z ? ??( x?? ).X ???? (x )x?x??}? ? ( x ? ? ) / ? ?? ?? t2 ? 1 e 2 dt 2?x???? 一般地,有0例1 设随机变量 X ~ N (1, 2 ) , 求 P{?1.6 ? X ? 2.4} 解 P{?1.6 ? X ? 2.4} ? P{?1.6 ? 1 ? X ? 1 ? 2.4 ? 1} ? P{?2.6 ? X ? 1 ? 1.4} ? P{?2.6 / 2 ? ( X ? 1) / 2 ? 1.4 / 2} ? P{?1.3 ? ( X ? 1) / 2 ? 0.7} ? ? (0.7) ? ?(?1.3)? ?(0.7) ? [1 ? ?(1.3)] ? 0.7580 ? [1 ? 0.9032] ? 0.6612 .P{a ? X ? b} ? P{a ? ? ? X ? ? ? b ? ?} a?? b?? a?? X ?? b?? ? P{ ? ? } ? P{ ?Z ? } ? ? ? ? ? b?? a?? ? P{Z ? } ? P{Z ? } ? ? Z ~ N (0,1) b?? a?? ??( ) ?? ( ) ? ? 2例2. 设 X?N(?,?2),求P{?-3?解 P{? ? 3? ? X ? ? ? 3? } ? P{(? ? 3? ) ? ? ? X ? ? ? (? ? 3? ) ? ?} ? P{?3? ? X ? ? ? 3? } ?P{? 3? ? X ? ? ? 3? } ? ? ? ? P{?3 ? ( X ? ? ) / ? ? 3} ? ? (3) ? ? ( ?3)? ? (3) ? [1 ? ? (3)] ? 2? (3) ? 1 ? 0.9973本题结果称为3?原则.在工程应用中,通常认为 P{|X|≤3} ≈1，忽略{|X|>3}的值.如在质量控制中, 常用标准指标值±3?作两条线,当生产过程的指标观察 值落在两线之外时发出警报,表明生产出现异常.例 3 设随机变量 X ~ N ( 2,? 2 ) , 且 P{2 ? X ? 4} ? 0 .3, 求 P{ X ? 0}. 随机变量 解 P{2 ? X ? 4} ? P{0 ? ( X ? 2) / ? ? 2 / ? } 标准化? ?(2 / ? ) ? ?(0) ? 0.3, ? ?(2 / ? ) ? 0.3 ? ?(0) ? 0.8P{ X ? 0} ? P{( X ? 2) / ? ? ?2 / ? } ? ?(?2 / ? ) ? 1 ? ?(2 / ? ) ? 1 ? 0.8 ? 0.2 例 4 设随机变量 X ~ N ( 3, 4 ) , 且 常数 C 满足 P{ X ? C } ? P{ X ? C }, 求 常数 C . 解 由P{ X ? C} ? P{ X ? C}, 即 1 ? P{ X ? C} ? P{ X ? C} 所以 P{ X ? C} ? 0.5 X ?3 C ?3 C ?3 另一方面 , P{ X ? C} ? P{ ? } ? ?( ) ? 0.5 2 2 2 C ?3 ? ?0 , ? C ?3. 2例 4(2004年) ( A) ? ?2设 X ~ N (0 , 1), 对于给定的? ? (0,1), 数 ?? ( B)满足 P{ X ? ?? } ? ? . 若 P{ X ? x} ? ? , 则 x 等于?1??2(C ) ?1??2( D) ? 1??? ( x)解 P { X ? x} ? ? ? P { ? x ? X ? x} ? ? ?1?? P{ X ? x} ? 2 故 x ? ? 1??2???xx1?? 2?1?? 2例5一种电子元件的使用寿命Ｘ(小时)服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件,三个元件 损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无 一元件损坏的概率. 解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,则Y~B(3,p)90 ? 100 ) ? ? (?0.67) ? 0.2514 其中 p ? P{ X ? 90} ? ? ( 15P{Y ? 0} ? (1 ? p ) 3 ? 0.4195 故2 (2006年) 设随机变量X ~ N ( ?1 , ? 12 ), Y ~ N ( ? 2 , ? 2 ),且 P{ X ? ?1 ? 1} ? P{ Y ? ? 2 ? 1}, 则必有 ( A) ? 1 ? ? 2 . ( B ) ? 1 ? ? 2 . (C ) ?1 ? ? 2 . ( B) ?1 ? ? 2 .第二节 正态分布的数字特征 一. 一般正态分布N(?, ?2)( x??)2 2? 21 ? X ~ f (x) ? e 2? ?, ??? x ? ?E( X ) ?t?? ? ??? xf ( x)dx ? ???? ?t ?? ? ? ?? ? ( xx???? 2?t2 ? ?2 e ?dt 2x ? e 2? ???( x?? )2 2? 2dxD( X ) ?? ? ) f ( x )dx ? ?2二.标准正态分布N(0, 1)X ~ f ( x) ?E( X ) ?? ?? ?1 2?x2 ? e 2, ??? x ??x 2?x2 ? e 2 dxxf ( x ) dx ?? ?? ?? 0(奇函数 )2D( X ) ? E{[ X ? E ( X )] } ?? 2 ??? ? x2? ?? ? [ x? E ( X )] f ( x)dx1 2?x2 ? e 2 dx?1例1 已知随机变量X的密度函数为 1 ? x 2 ? 2 x ?1 f ( x) ? e , ? ? ? x ? ?? 求 E ( X )、D ( X ) .?解f ( x) ?1?e? x ?2 x ?121 ? e 2? ? (1/ 2)?( x ?1) 2 2(1/ 2 ) 21 故 ? ? 1, ? ? 22例2 设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3)1 解 f (x) ? e 2? x2 x2 ? 2 ?? ?? E ( X 2 ) ? ??? x 2 f ( x)dx ???? e dx 2? 2 2?? ? ????x2 ? 2x 2?x ? de 2x ?? 2?x ? 2 ?? e ???? ? ???E( X ) ?3?? 3 ?? ? xf ( x) dx ?x2 x3 ? 2 ?? e dx ?? ?1 2?x2 ? e 2 dx ? 12??02009年(数一) 设随机变量X的分布函数为F ( x) ? 0.3? ( x) ? 0.7? ( 其中? ( x)为标准正态分布函数, 则EX ? ( A)0. ( B )0.3. (C )0.7. ( D)1.x ?1 ), 2分析 : EX ? ? xf ( x )dx ,因此先求随机变量 X的概率密度函数 f ( x ).????解 f ( x ) ? F ?( x ) ? [ 0 . 3 ? ( x ) ? 0 . 7 ? (0 .7 x ?1 ? 0 . 3? ( x ) ? ?( ) 2 2于是 EX ? ??? ??x ?1 ) ]? 2xf ( x ) dx ? ????? ??x[0.3? ( x ) ?0 .7 x ? 1 ?( )]dx 2 20.7 ? ? x ?1 ? 0.3? x? ( x)dx ? x? ( )dx ? ?? ?? 2 21 ? 0 .3 ? x ? e ?? 2???x2 ? 20 .7 ? ? dx ? ? ?? x 21 x ?1 2 ? ( ) 2 21 x ?1 2 ? ( ) 1 2 2 e dx 2?? 0?0 .7 1 x ? ?? 2? e 2??1 x ?1 2 ) ? ( 0 .7 ? ? 1 2 2 dx dx ? ? ?? x 2? e 2x ?1 令 ? t , 则dx ? 2dt , x ? 2t ? 1. 代入上式得 20 .7 1 ? ?? x 2? e 2?? 1 x ?1 2 ) ? ( 2 20 .7 1 dx ? ? ?? (2t ? 1) 2? e 2???t2 2? 2 dt?1 0 .7 2t ? e ? ?? 2 2????t2 2? 2 dt ?0 .7 1 ? ?? 2? e 2???t2 2? 2 dt0. 7 ? ? 1? 0? ? ?? 2? e 2t2 ? 2? 2dt ? 0.7 ? ????1 e 2??t2 2? dt ? 0.7.2009 年设随机变量 X与 Y相互独立 , 且 X服从标准正态分布 ,1 Y的概率分布为 P{Y ? 0} ? P{Y ? 1} ? .记 FZ ( z )为随机变量 2 Z ? XY的分布函数 , 则函数 FZ ( z )的间断点个数为 ( A) 0 . ( B )1. (C ) 2 . ( D )3 .解 FZ (z) ? P{Z ? z}? P{XY ? z}? P{Y ? 0}P{XY ? z | Y ? 0} ? P{Y ? 1}P{XY ? z | Y ? 1}1 ? [ P{ XY ? z | Y ? 0} ? P{ XY ? z | Y ? 1}] 2 1 ? [ P{ X ? 0 ? z | Y ? 0} ? P{ X ?1 ? z | Y ? 1}] 2 为什么? 1 ? [ P { X ? 0 ? z } ? P { X ? z }] 21 (1)当z ? 0时, FZ ( z ) ? [ P{ X ? 0 ? z} ? P{ X ? z}] 21 1 ? [ P(? ) ? P{ X ? z}] ? [0 ? P{ X ? z}] 2 21 1 ? P{ X ? z} ? ? ( z ) 2 2 1 (2)当z ? 0时, FZ ( z ) ? [ P{ X ? 0 ? z ? P{ X ? z}] 21 1 ? [ P(?) ? P{ X ? z}] ? [1 ? P{ X ? z}] 2 2所以 , z ? 0为函数 FZ ( z )的间断点 . ( B )正确 .1 ? [1 ? ? ( z )] 2例 3 某地抽样调查结果表明 , 考生的外语成绩 (百分制) 近似服从正态分布 , 平均成绩为 72 分, 而 96以上的考 生占总数的 2.3%, 求考生的外语成绩在 60 分至 84 分 之间的概率 . 解 设 X — 考生的外语成绩, 依题设知X ~ N ( ? ,? 2 ), 其中? ? 72, 下求方差? 2 X ? ? 96 ? ? 由题设 P{ X ? 96} ? 0.023 ? P{ ? } ? 0.023 ? ? X ? ? 96 ? ? 96 ? ? 1 ? P{ ? } ? 0.023, 即 1 ? ? ( ) ? 0.023?? (96 ? ?????) ? 0.977,96 ? ? 96 ? 72 ? 2, ? ? ? ? ? 12 2 2查表得 ,96 ? ??于是 , P{60 ? X ? 84 } ? P{60 ? ???X ????84 ? ??}60 ? 72 X ? ? 84 ? 72 X ?? ? 1} ? P{ ? ? } ? P{?1 ? 12 12 ? ?? ? (1) ? ?(?1) ? ? (1) ? [1 ? ? (1)]? 2? (1) ? 1 ? 2 ? 0.841 ? 1 ? 0.682例 4 假设测量的随机误差 X ~ N ( 0,10 2 ).试求在 100 次 独立重复测量中 , 至少有三次测量的绝对 值大于 19 .6 的概率 ? ,并利用泊松分布求出 ? 的近似值 . 解 先求每次测量误差的绝对值大于19.6的概率 p p ? P{ X ? 19.6} ? 1 ? P{ X ? 19.6} ? 1 ? P{?19.6 ? X ? 19.6}? 1 ? P{ ? 19.6 ? ?? ? ? ? 19.6 ? 0 X ? ? 19.6 ? 0 ? ? } ? 1 ? P{ 10 10 ? X ?? ? 1 ? P{?1.96 ? ? 1.96} ? 1 ? [? (1.96) ? ? (?1.96)] ?? 1 ? [? (1.96) ? ? (?1.96)] ? 1 ? ? (1.96) ? [1 ? ? (1.96)]? 2 ? 2? (1.96) ? 2 ? 2 ? 0.975 ? 2 ? 1.95 ? 0.05?X ???19.6 ? ?}设 Y — 100次测量中绝对值大于19.6, 则Y ~ B (100,0.05)于是所求的概率为 ? ? P{Y ? 3} ? 1 ? P{Y ? 0} ? P{Y ? 1} ? P{Y ? 2}0 1 ? 1 ? C100 (0.05) 0 (0.95)100 ? C100 (0.05)1 (0.95)99 2 ? C100 (0.05) 2 (0.95)98? ? np ? 100 ? 0 .05 ? 5, 故由泊松分布得? ? 1??00!e????11!e????22!e??52 ? 1 ? e ?? (1 ? ? ? ) ? 1 ? e ?5 (1 ? 5 ? ) ? 0.87 2 2?2习作题 1.设随机变量X??N(0,1)，Y?U(0,1)，Z?B(5,0.5),且 X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学 期望 答:27 E (U ) ? E (2 X ? 3Y ) E (4 Z ? 1) ? 22 设随机变量 X 1 ,..., X n 相互独立,且均服从 N ( ? , ? 2 )1 n 分布,求随机变量 X ? X i 的数学期望 ? n i ?1 1 n 答: E ( X ) ? ? E ( X i ) ?? n i ?1作业题1. 设随机变量X?B（12,0.5),Y ?N(0,1), COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y 的方差与协方差. 2. 某单位招聘2500人,按考试成绩从高分到低分依 次录用,共有10000人报名.假定报名者的考试成绩X 服从正态分布 N ( ? ,? 2 ), 现已知90分以上有359人, 60分以下的有1151人,求被录用者中的最低分数.第三节 正态分布的线性性质 一. 线性性质 例1 设随机变量X服从标准正态分布,求随机变量 Y ? a X ? b ~ N (b, a2 ) Y=aX+b的密度函数,且有y ?b 解： Y=ax+b关于x严单,反函数为 h( y ) ? ay ?b fY ( y) ? f X ( ) h?( y) ? 1 a 2?E (Y ) ??? ? ??? y ?b ? ? ? a ? ?? 2 e21 ? a1 2? ae?( y ?b ) 2 2a2y ? e 2? a( y ?b ) 2 2a 2?? dy ? ? ? ?ax ? b 2?x2 ? e 2 dx?b?? D (Y ) ? E{[Y ? E (Y )]2 } ? ? ? ? [ y ? E (Y ) ]2 f ( y ) dy( y ? b)2 ? 2 a 2 ?? 2 ? ? ?? e dy ? a 2? a 直接由Y的密度函数,可观察到Y的数学期望与方差? 1 2a 2 , 由 f ( y) ? e 2? a 可知随机变量Y服从正态分布, ( y ?b) 2( y ?b)2而且 E (Y ) ? b , D (Y ) ? a 2定理1 设随机变量X 服从正态分布N(?, ?2),则X的线性 函数 Y ? a ? b X 也服从正态分布,且有 Y ? a ? bX ~ N ( a ? b? , a 2? 2 )例2已知X?N(?,?2),求 Y?X ??解 Y ? X ? ? 关于x严格单调,反函数为 h( y) ? ? y ? ? ? 故 fY ( y) ? f X [h( y)] | h?( y) |? f X (?y ? ? )??的概率密度?1 e 2??? y ? ? ? ? ?2 ?2?2?1 e 2?y2 ? 2你能用正态分布的线性性质求解吗?二. 正态分布的可加性定理2 设随机变量X1,X2 相互独立且Xi 服从正态分布N(?i ,?i2),i=1,2, 则 2 2 2 2 a1 X 1 ? a2 X 2 ~ N (a1?1 ? a2 ? 2 , a1 ? 1 ? a2? 2 ) 定理3 设随机变量X1, X2，..., Xn独立且Xi 服从正态分布N(?i ,?i2),i=1,...,n, 则?ni ?1a i X i ~ N ( ? a i ? i , ? a i2? i2 )i ?1 i ?1nn例1. 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态 分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布.解 依题设 X ~ N ( 0,1) , Y ~ N ( 0,1) ; 故有E ( X ) ? 0 , D ( X ) ? 1 , E (Y ) ? 0 , D (Y )? 1于是由定理 2可知 X ? Y服从正态分布 , 且有E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y ) ? 0 ? 0 ? 0D ( X ? Y ) ? D ( X ) ? D (Y ) ? 1 ? 1 ? 2,即 X ? Y ~ N (0 , 2 )例2. 设随机变量X与Y独立,且X~ N(1,2),Y~N(0,1). 求证:(1)Z=2X-Y+3的密度函数;(2)P{2D ( Z ) ? D ( 2 X ? Y ? 3) ? 4 D ( X ) ? E (Y ) ? 8 ? 1 ? 9Z ? 2 X ? Y ? 3 ~ N (5,9) 2? ? Z ? ? 8? ? Z ?? (2) P{2 ? Z ? 8} ? P{ ? ? }? P{?1 ? ? 1} ? ? ? ? ? ? (1) ? ? (?1) ? ? (1) ? [1 ? ? (1)] 即? 2? (1) ? 1 ? 2 ? 0.8413 ? 1 ? 0.6826第四节二维正态分布一. 密度函数 若随机变量(X,Y)的密度函数为f ( x, y ) ?1 2??1?2 1 ? ?2e1 ( x ??1 ) 2 ( x ??1 )( y ?? 2 ) ( y ?? 2 ) 2 [ ] ? ? ? 2? 2 2 2 ?1?2 2( 1?? ) ?2 ?1,其中，?1、?2为实数，?1>0、 ?2>0、| ? |( X , Y ) ~ N ( ?1 , ? 2 , ? , ? , ? )2 1 2 2二、边缘密度函数 ? 2 设(X, Y)~f(x,y),(x,y)?R ,则称 f X ( x) ? ? f ( x, y )dy ?? 为(X,Y)关于X的边缘密度函数； ? 同理,称 fY ( y ) ? ? f ( x, y )dx??为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。 易知N(?1,?2,?12,?22,?)的边缘密度函数fX(x)是 N(?1, ?12)的密度函数,而fX(x)是N(?2, ?22)的密度函 数, 且 ? XY ? ? . 即 二维正态分布的边缘分布也是正态分布. 可见,若（X,，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立 的充分必要条件是X与Y不相关。例 设(X,Y)服从N(1, 0, 32, 42, -0.5)分布， Z=X/3+Y/2 1)求E(Z) , D(Z) ;2)求X与Z的相关系数 3)问X与Z是否相互独立？为什么？解 (1) 由( X , Y ) ~ N (1, 0 , 32 , 4 2 , ? 0.5), 得 E ( X ) ? 1 , D ( X ) ? 32 , E (Y ) ? 0 , D (Y ) ? 4 2 , ? XY ? ?0.5故 Cov ( X , Y ) ? D ( X ) D (Y ) ? XY ? 3 ? 4 ? (?0.5) ? ?6于是 E ( Z ) ? E ( X / 3 ? Y / 2) ? E ( X ) / 3 ? E (Y ) / 2 ? 1/ 3 ? 0 / 2 ? 1/ 3 D ( Z ) ? D ( X / 3 ? Y / 2) ? D ( X ) / 9 ? D (Y ) / 4 ? C 0v( X , Y ) / 6? 3 2 / 9 ? 4 2 / 4 ? ( ?6 ) / 6 ? 42) Cov( X , Z ) ? Cov( X , X / 3 ? Y / 2)? Cov( X , X / 3) ? Cov( X , Y / 2) 1 1 ? Cov ( X , X ) ? Cov ( X , Y ) 2 31 1 ? D ( X ) ? Cov ( X , Y ) 3 21 1 2 ? ? 3 ? ? (?6) ? 0 3 2 故 X 与 Z 不相关 . X Y ? (3) 因 X 与 Y不独立 ,而 Z ? 3 2 故 X 与 Z 不独立 .(2007年) 设随机变量( X , Y )服从二维正态分布, 且X与Y不相关, f X ( x), fY ( y )分别表示X , Y的概率密度, 则在Y ? y的条件下, X的 条件密度函数f X |Y ( x | y )为 ( A) f X ( x) (C ) f X ( x) fY ( y ) ( B) fY ( y ) f X ( x) ( D) fY ( y )( 2003年) 设随机变量 X和Y都服从正态分布 , 且它们不相关 , 则 ( A) X与Y一定独立. (C ) X与Y未必独立. ( B ) ( X , Y )服从二维正态分布 . ( B ) X ? Y服从一维正态分布 .第五节 中心极限定理一. 依分布收敛设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的 连续点，有 lim Fn ( x ) ? F ( x ),n??则称{Xn}依分布收敛于X. 可记为 X n ? w ?? X .现令Yn ? ? X k , 若Yn的标准化r.v.Yn* k ?1 则称{ X n }满足中心极限定理.n? ? ~ N (0, 1), ??w二.几个常用的中心极限定理1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若 EXk=?P{ ? X i ? x} ? P{i ?1 n i ?1? X i ? n? n?nx ? n? x ? n? ? } ? ?( ) n? n?或者P{ i ?1? X i ? n? n?n? x} ? ? ( x)例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 500的概率是多少？ 解:设 Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 X1,…,X100独立同分布.1 6 2 49 35 7 E ( X 1 ) ? , D( X 1 ) ? ? k ? ? 6 i ?1 4 12 2由中心极限定理? 7? ? 500 ? 100 ? ? 100 2? P{ ? X i ? 500 } ? 1 ? ? ? ? ? 35 i ?1 ? ? 10 12 ? ? ? 1 ? ? (8.78) ? 0例2 设X 1 , X 2 ,?, X n ,? 为独立同分布的随机变量序列, 且均 服从参数为? (? ? 1)的指数分布, 记? ( x)为标准正态分布, 则( A) lim P{i ?1n??? X i ? n?n? nn? x} ? ?( x). (B) lim P{i ?1n?? n? X i ? n? n? n? ? Xi ? ?n? x} ? ?( x) ? x} ? ?( x)(C) lim P{n???? Xi ? ni ?1n 解 E ( X i ) ? 1 / ? , D ( X i ) ? 1 / ?2n? x} ? ?( x).(D) lim P{i?1n??i ?1? X i ? E (? X i )i ?1nD (? X i )i ?1n?i ?1? X i ? ? E( X i )i ?1 i ?1nn? D( X i )n?i ?1? Xi ? n / ? n / ?2n??? Xi ? ni ?1nn于是 lim P{n ???? Xi ? ni ?1nn? x} ? ? ( x) (2005年)2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace)设随机变量?n(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0?n ? npnpq? ? ~ N (0, 1). ??w证明:设 则?1 第i次试验事件A发生 Xi ? ? ?0 第i次试验事件A不发生n i ?1E ( X i ) ? p, D( X i ) ? p (1 ? p ),?n ? ? X i由中心极限定理,结论得证例3 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险,每 人每年付12元保险费.在一年内一个人死亡的概率为 0.6%,死亡时其家属可向保险公司领得1000元,问: (1)保险公司亏本的概率有多大? (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于 60000元,赔偿金至多可设为多少? 解 设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n, p), 其中n= 10000,p=0.6%,设Y表示保险公司一年的利 润, Y=0X 于是由中心极限定理 (1)P{Y例4.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从 N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最 多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.解: 设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则n?Xi ?1i~ N (50n,2.5 n) 令 P{? X i ? 2000} ? 0.052n2000 ? 50 n 故 P{ ? X i ? 2000 } ? 1 ? ? ( ) ? 0.05 2 .5 n i ?1 查 2000 ? 50n 2000 ? 50 n 即? ( ) ? 0.95 表 ? 1.645 2.5 n 2 .5 n 得 ? n ? 39ni ?1百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆
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cosx/(1-tanx) + sinx/(1-cotx)=cosx/(1-sinx/cosx)+sinx/(1-cosx
已知△ABC中,sinA(sinB+√3cosB)=√3sinC）1.求角A的大小
sinA(sinB+√3cosB)=√3sinC sinA(sinB+√3cosB)=√3sin(180-
9分之1+18分之1=6分之1 8分之1+24分之1=6分之1 10分之
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