当前位置： >>
金融经济学课件1+1
《金融经济学》之导论理解金融经济学武汉大学经济与管理学院 潘敏 Email:mpan@whu.edu.cn学习目的? ? ? ? 了解金融经济学研究的对象和内容 把握现代金融经济学理论发展的历史和脉络 掌握金融经济学与其他学科的区别和联系 构建课程学习的框架体系本讲内容概览一、金融与金融系统 二、金融经济学的研究对象 三、金融经济学的历史演进 四、金融经济学与其他学科的关联 五、教材及参考书目一、金融及金融系统（一）如何理解金融？ 金融是人们在不确定性环境中进行资源的时间配 置 决策的行为。金融决策的成本和收益是在时间上分 布 的，而且决策者和任何其他人无法预先明确知道结 果。这是这种决策行为区别于其他资源配置决策的 典 型特征。 这种资源的时间配置决策涉及四个问题：一、金融及金融系统（1）决策的主体、目标和内容是什么？ （2）如何决策？ （3）决策的结果是什么？ （4）决策的结果会对资源的配置产生何种影响？一、金融及金融系统1.金融决策的主体、内容及目标 （1）主体之一：家庭（Household） 其面临四个基本的决策： 消费和储蓄决策：将多少当前的财产用于消费，将收 入 的多大比例储蓄起来，以备日后之需？ 投资决策：对储蓄资金如何投资？ 融资决策：何时及如何利用市场资金资源来完成消费 和 投资计划？一、金融及金融系统风险管理决策：如何减少投资和融资中的风险？ 家庭金融决策的目标： 满足其消费偏好（这里的偏好是给定的）或消费的 效 用最大化（跨期消费效用的最大化）。一、金融及金融系统（2）主体之二：企业（Enterprise） 企业在其日常运营中面临三个方面的财务决策： 资本预算：投资项目的评估与决策 资本结构：融资决策 营运资本管理：日常的资金管理一、金融及金融系统企业决策的目标： 成本一定下的收益最大或收益一定下的成本最小。 在金融学中，企业的决策目标是从影响家庭福利的 角 度来探讨的。因为，企业的目标是股东财富的最大化。一、金融及金融系统2.金融决策 （1）金融决策的三大支柱 货币的时间价值：当前所持有的一定量货币比未来获 得的等量货币具有更高的价值。 原因：①货币可用于投资，获得利息，从而在将来拥 有 更多的货币量； ②货币的购买力会因通货膨胀的影响而随时间改变； ③一般来说，未来的预期收入具有不确定性。一、金融及金融系统资产评估：即资产价值的测算过程。在进行多数财 务 决策时，资产评估是核心内容。 进行资产评估的关键内容是测算资产的价值。在此 过 程中，须使用已知的一个或多个可比较资产的市场价格； 根据一价定律，所有相同资产的价格应相等。一、金融及金融系统一价定律：在竞争性的市场上，如果两个资产是等 值 的，那么它们的市场价格应倾向于一致。一价定律的体 现 是市场上套利的结果。一、金融及金融系统风险管理：即风险与收益的权衡。 在竞争性的证券市场中，较多的预期收益只有付出 代 价才能获得，即需要承担更大的投资风险。风险与回报 的替代，是一种“没有免费的午餐”的思想。一、金融及金融系统（2）金融决策环境―金融系统分配过程不确定性Financial MarketHousehold 消费/投资资本货币 衍生市场Financial IntermediariesEnterprise资产（股票、债券） 资本预算、 资本结构、 营运资本管理商业银行 保险公司等 时间 金融过程一、金融及金融系统①金融系统 金融决策必须借助于金融系统，金融系统为金融决 策 提供了市场环境，但也会限制金融决策。 金融系统可以看作是市场及其他用于订立金融合 约和交换资产及风险的机构的集合；包括市场、中 介、服务公司和其他用于实现家庭、企业及政府的 金融决策的机构一、金融及金融系统②金融系统的功能 机构观vs功能观： 金融职能比金融机构更为稳定，即在不同时期、 不同国家，金融职能的变化比较小； 金融机构的形式随职能而变化，机构之间的创新 和竞争最终会导致金融系统执行各项职能的效率提高。六大功能： C 清算和支付结算的功能 C 聚集和分散资源的功能 C 在时间和空间上转移资源的功能 C 风险管理 C 提供信息 C 解决激励问题3.金融决策的结果 金融市场上的市场均衡及资产价格和衍生金融产品 价 格的决定 4.金融决策结果的影响 资源配置及其效率二、金融经济学的研究对象（一）金融经济学研究的三个核心问题 1.不确定性条件下经济主体跨期资源配置的行为决策； 2.作为经济主体跨期资源配置行为决策结果的金融市 场整体行为，即资产定价和衍生金融资产定价； 3.金融资产价格对经济主体资源配置的影响，即金融 市场的作用和效率。二、金融经济学的研究对象（二）金融经济学的基础理论体系 1.理论基础：不确定性经济学 不确定性条件下经济主体行为决策的理论 （1）期望效用理论 Bernoulli Paradox（贝努利悖论） Von.Neuman C Morgenstern的期望效用函数； Allais Paradox（阿莱斯悖论）二、金融经济学的研究对象（2）个体偏好与风险厌恶 ①个体的风险态度 ②风险厌恶系数（Arrow-Pratt的绝对风险厌恶系 数和相对风险厌恶系数） ③个体的风险容忍系数 （3）常用的效用函数 LRT（linear risk tolerance）线性风险容忍系数效 用函数，也称双曲线绝对风险厌恶函数（Hyperbolic absolute risk aversion,HARA）二、金融经济学的研究对象2.三大基础理论体系 （1）个体的投资决策及资产组合理论： 证券组合理 论 （2）公司融资决策理论：MM定理 （3）资本市场理论：EMH二、金融经济学的研究对象3.资本市场均衡机制及定价法则 （1）均衡机制：竞争均衡机制和无套利均衡机制 （2）定价法则（机制）： ①均衡定价法则： 在给定交换经济、初始财富、经济主体的偏好和财 富 约束下的期望效用最大、市场完全竞争等条件下，当每 个 投资者预期效用最大化、没有动力通过买卖证券增加自 己 的效用时，市场达到均衡，此时的证券价格是均衡价格。二、金融经济学的研究对象②套利定价法则 通过市场上其它资产的价格来推断某一资产的价格， 其前提条件是完美的证券市场不存在套利机会。 如果两种期限相同的证券能够在未来给投资者提供同 样 的收益，那么在到期之前的任何时间，两种证券的价格 一 定相等，即所谓的“一价原则”。 复制是套利定价的核心分析技术。 套利定价的经典模型：OPT APT MM定理二、金融经济学的研究对象4.金融经济学中的金融市场与金融资产 （1）金融市场：对未来资源的要求权进行交易的场所。 在一个纯交换经济中，经济主体消费的时间偏好由 两 个决策过程构成：消费决策和投资决策。 消费决策决定经济主体对现货市场的消费商品的需求。 投资决策决定经济主体将当期储蓄部分转化为用于未 来 时期商品市场消费的需求。二、金融经济学的研究对象因此，作为两种决策的结果：经济中需要一个将当 期 储蓄通过经济行为主体的投资决策来和未来的商品消费 相 联系的，在当期可以进行交易的，对未来时期的消费商 品具有要求权的要求权证市场，这就是证券市场，要求 权 证就是证券。因此，证券市场是对未来消费需求派生的 结 果。 （2）金融资产 对未来消费品需求具有要求权的要求权证。可分为： 货币资产和金融资产，两者的区别在于，证券的收益 中是否包含风险补偿或风险溢价。二、金融经济学的研究对象无风险资产：货币证券以及由货币证券构成的资产组 合 风险资产：其价值在未来面临不确性风险的资产 经济主体投资决策的主要问题：在当期储蓄财富（初 期 禀赋）中决定风险资产和无风险资产的投资比例三、金融经济学的历史演进（一）20世纪50年代以前：金融经济学的启蒙时期 Crammer（1728）、Bernoulli （1738）对不 确定性下的行为决策研究 Bachelier（1900）对股票价格随机过程的研究， 其结论是：股票价格变化是一个呈现出布朗运动特 征的随机游走过程，买者和卖者在交易股票时对 股票价格变化的数学期望值都为零 Fisher（1930）的分离定理：企业的投资决策与企 业家的偏好无关；企业的投资决策与融资决策无 关Keynes（1936）的投资理论：选美比赛 Von Neumann-Morgenstern （1944）： 《博弈论与经济行为》中建立了不确定性下经济主 体 决策的期望效用理论，奠定了不确定环境下经济主 体 的偏好及效用函数的基本理论体系。三、金融经济学的历史演进（二）20世纪50―60年代：金融经济学的奠基时代1. Markowitz（1952）的证券组合理论首次将个体投 资决策中面临的收益与风险决策简化为均值和方差 这两个具体的数学概念，并给出了风险―收益平面 上的投资组合前沿。 2.Arrow and Debreu(1954)一般经济均衡存在定理的 证明对一般经济均衡问题给出了富有经济含义的数 学模型。 3. Tobin(1958)的两基金分离定理（每一种有效证券 组合都是一种无风险资产与另一特殊的风险资产的 组合）为CAPM模型的建立奠定了基础。三、金融经济学的历史演进4. Sharpe(1964)、Lintner(1965）、Mossin（1966） 的CAPM的提出为现代资产定价理论奠定了基础。 5. Modigliani and Miller(1958)首次应用无套利假设探 讨了“公司的财务政策是否会影响公司价值的问 题”，提出了著名的MM定理，开创了现代公司金融 理论的先河，并奠定了资本市场套利均衡和套利定 价分析方法的基础。 6. Debreu(1959)、Arrow(1964）将一般均衡模型推广 至不确定性经济中，为金融理论的发展提供了灵活 而统一的分析框架。三、金融经济学的历史演进7. Samuelson（1965）、 Fama（1965）EMH理论的 提出；三、金融经济学的历史演进（三）20世纪70年代：快速发展和形成时期 1.Black-Scholes（1973）、Merton（1973）的期权 定价理论奠定了现代衍生金融工具和公司债券定价 的基础。 2.Ross(1976)的APT理论克服了CAPM中的模型检验 的局限性。 3.Black（1972）的“零―βCAPM‖、Rubinstein （）、Kraus and Litzenberger （1978）的离散时间CAPM。三、金融经济学的历史演进4. Merton（，1973）的连续时间CAPM （ICAPM）等极大的发展了CAPM理论。 5.Harrison and Kreps（1979）发展的证券定价鞅理 论对EMH的检验产生了深刻的影响。 6.Grossman and Stiglitz（1980）提出的关于EMH的 “悖论”将信息不对称问题引入经典金融理论的分 析框架之中。 7.Jensen and Meckling（1976）、Mayers （1984）、Ross（1977）、Leland and Pyle （1977）等在代理理论和信息经济学框架下发展了公司 金融理论。三、金融经济学的历史演进（四）80―90年代：现代金融理论的“百花齐放”时期 1.利率的期限结构理论及其发展 2.金融契约理论和证券设计理论； 3.金融中介理论（Bodies的中介职能观；信息生产职 能；流动性提供与风险管理职能；降低经济主体市场参 与 成本的职能) 4.资本市场理论（探讨EMH有效性的各种证券市场异 象 （Anomalies)的解释理论）； 5.行为金融理论； 6.法与金融 7.证券市场的微观结构理论四、金融经济学与其他学科的关联（一）经济学与金融学的演化 1.经济学的演化：从微观到宏观 ：新古典经济学的黄金时代（微观经济学） 特点：研究资源配置的效率，强调市场机制的作用
： 凯恩斯革命及宏观经济学的建立 特点：研究资源配置中的市场失灵，强调国家干预四、金融经济学与其他学科的关联2.金融学的演化：从宏观到微观 ：新古典经济学中的金融学 特点：研究价格水平（货币数量论）、利率决定（利 率理论）、资本积累、货币需求与供给等总量金融 指标。 1970― 市场的资源配置机制：资产定价四、金融经济学与其他学科的关联3.微观经济学与金融经济学 相似点：分析框架、前提条件、分析目标 相异点： （1）市场环境 微观经济学：单期、确定性环境 金融经济学：跨期（时间因素）、不确定性环境 （2）市场均衡与定价机制 微观经济学：一般均衡机制、均衡定价 金融经济学：一般均衡机制与套利均衡机制 均衡定价、套利定价四、金融经济学与其他学科的关联（二）货币经济学与金融经济学 1.研究对象 货币经济学：货币的功能、形式、货币制度、货币供 给与 需求 金融经济学：经济主体的跨期资源配置：金融资产特 性、 金融资产的供给与需求四、金融经济学与其他学科的关联2.解决的核心问题 货币经济学：货币资产的价格：利率、汇率决定机制 及定价 金融经济学：金融资产的价格：资产定价机制及其定 价 3.分析方法 货币经济学：基于宏观经济总量运行结果的市场均衡 分析 金融经济学：基于微观经济主体决策行为结果的市场 均衡分析四、金融经济学与其他学科的关联4.联系及发展趋势 金融经济学的研究为货币经济学理论的发展提供了 可 靠的微观理论基础； 货币经济学的发展为金融经济学的研究提供了可供 参 照的市场环境和定价基准； 货币经济学的研究日益微观化。五、教材及参考书目（一）教材 王江：《金融经济学》，中国人民大学出版社，2006年版。 （二）参考书目 邵宇：《微观金融学及其数学基础》，清华大学出版社，2003 年 版。 陆家骝：《现代金融经济学》，东北财经大学出版社，2004年 版 史树中：《金融经济学十讲》，上海人民出版社，2004年版五、教材及参考书目汪昌云：《金融经济学〉人民大学出版社，2006 Bodie Z. and R. C. Merton（2000）:Finance，New Jersey: Prentice-Hall,（中译本《金融学》，中国人民大学出版社， 2000年版。 Huang, Chi-fu and R. H.Litzenberger（1988）,Foundations for Financial Economics. N.J. : Prentice-Hall. Hull,J.C.（2003），Options, Futures, and other Derivatives. 5th ed. New Jersey: Prentice-Hall。 LeRoy, S.F. and J. Werner(2001),Principles of Financial Economics. Cambridge:Cambridge University Press.《金融经济学》之一期望效用理论武汉大学经济与管理学院 潘敏一、个体行为决策准则（一）偏好关系 效用是一种纯主观的心理感受，因人因地因时而异。 偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的。 偏好关系（preference relation)是指消费者对不 同商品或商品组合偏好的顺序。它可以用一种两维（或 二 元）关系（binary relation）表述出来。1.偏好关系的表述 令C 为商品（或者消费）集合，C 中有M 种可供选 择的商品。它是M 维实数空间 中的一个非负子集， R 它 总是被假定为闭集和凸集。x、y、z……是它的子集， 或者称之为商品束（commodity bundle）或者消费束 （consume boundle）。我们可以在消费束的集合上 建立如下的偏好关系（preference relation）或者偏 好顺序（preference ordering）：M（1） x ? 弱偏好于x，x 至少与y 一样好。 y （2） x ? y 强偏好于x ； x? y ? x? y 但， y ? x 不成立。 （3） x ～ y 无差异于x 、y；即： y? x x～ y ? x ? y 和2.偏好应满足的基本公理（Axiom）条件： （1）完备性（completeness）:?x, y ? Cx? yy? xx～ y中有一种关系成立。 完备性假定保证了消者具备选别判断的能力。（2）自返性（reflexivity）： ，则有?x ? Cx? x自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的 一 贯性。（3）传递性：? x, y, z ? Cifx ? y , y ? x ? x ? z传递性保证了消费者在不同商品之间选好 的首尾一贯性。抽钱棒问题（money pump problem） 同理：? x, y, z ? C ,ifx ? y , y ? z ? x ? z（4）连续性（continunity） 对于任意的X、y，集合 ? x x ? y ? ? x x ? y是闭集， 和 ? 则 x ? ? x 和 y? x x ? y? ? 是开集。 即如果x是一组至少与y一样好的消费束， 而 且它趋近于另一消费束z，则z与y至少同样好。 这 样就可以得到一条连续的无差异曲线。（4）单调性（monotonicity）， ?x, y ? Cifx ? y ? x ? y单调性说明增加一点商品至少与原来的情 况同样好。只要商品是有益的，单调性就必然 成立。 强单调性说明同样的物品，如果其中有些种 类 的数量严格多于原来的物品，消费者则必定严格 偏好于他们。x? y x则y ? （5）局部非饱和性（local non-satiation） ，总存在 y ? C , x ? y ＜ ? 使得 ? x ? C和 ? ＞ 0?x, y ? Cx? yifx ?且 y在技术上，局部非饱和性和单调性保证了无 差异曲线具有一个负的斜率。（6）凸性（convexity）? x , y , z ? C , ifx ? z , y ? z ? ? x ? (1 ? ? ) y ? z严格凸性（strictly convexity）：? x , y , z ? C , ifx ? z , y ? z , x ? y ? ? x ? (1 ? ? ) y ? z凸性可理解为边际替代率递减。（二）确定性环境下的效用函数 1.基数效用与序数效用 基数效用：19 世纪的一些经济学家如英国 的 杰文斯、奥地利的门格尔等认为，人的福利或满 意可以用他从享用或消费过程中所获得的效用来 度量。对满意程度的这种度量叫做基数效用.序数效用：20 世纪意大利的经济学家帕累托 等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全 可以建立在序数效用的基础上。所谓序数效用是 以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而 效用值的大小本身并没有任何意义.有 x ? y ? u ( x) ? u ( y) 和 x～ y ? u ( x )～ u ( y ) 成立，则函数关系u : C ? R是一个代表了偏 好关系的效用函数。2.效用函数定义 如果对于 ? x , y ? C定理1：一个效用函数可以通过正单调变换而获得另一 个 效用函数与原来的效用函数具有同样的偏好关 系： ? f [ u ( x )] u(x) f (.) 且 是单调递增函数，则有：?u (x) ? u ( y) ? u ( x) ? u( y)??定理2： 如果消费者在消费集C 上的偏好关系具有 完备性、自返性，传递性和连续性，则存在一 个能够代表偏好顺序的连续效用函数u :C→R。（三）消费者效用最大化问题m ax u (.)令s .tW M q ? ( q1 , ? , q m , ? , q M ) ? R则最大化问题为：m ax u (.)s .t . z ? ? C ? R ? : q c ? WM?上述约束式为瓦尔拉斯（walrasian budget set）预算集。最优解：?Z ?C ? ?u ?C ? ?q ? 0?Z ??? W ? qC ? 0?u / ?C i ?u / ?C j qi qj? M R S i, j ??（三）不确定性环境下的行为选择 1.关于风险与不确定性 奈特（Knight.F）《风险、不确定性和利润〉 中关于确定性、风险和不确定性的解释：确定性：是指自然状态如何出现已知，并替换 行动所产生的结果已知。它排除了任何随机事件 发生的可能性。风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随 机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对 于未来可能发生的所有事件，以及每一事件发生的 概率有准确的认识。但对于哪一种事件会发生却事 先一无所知。 不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即 那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的 事件，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策 结果的一类问题。即知道未来世界的可能状态（结 果），但对于每一种状态发生的概率不清楚。由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中 常常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未 来的结果发生的可能性，因此学术界常常把具有主 观概率或设定概率分布的不同结果的事件和具有客 观概率的不同结果的事件同时视为风险。即风险与 不确定性有区别，但在操作上，我们引入主观概率 或设定概率分布的概念，其二者的界线就模糊了， 几乎成为一个等同概念。2.不确定性下的偏好选择 （1）不确定性下选择的表述方法 自然状态：特定的会影响个体行为的所有外部环境 因素。 通常我们用S表示自然状态的集合：S={1，…，S}。 自然状态的特征： 自然状态集合是完全的、相互排斥的（即有且只有一 种状态发生）自然状态的信念（belief）：个体会对每一种状态 的 出现赋予一个主观的判断，即某一特定状态s出现的概 率P ? p(s) ? 1 （s）满足： 0≤p（s）≤1， 这里的概率p（s）就是一个主观概率，也成为个体对 自然的信念。不同个体可能会对自然状态持有不同 的信念，但我们通常假定所有的个体的信念相同， 这样特定状态出现的概率就是唯一的。s? S①状态依存结果的优序选择（状态偏好） 用彼此排斥和详尽无遗的自然状态组成的集合，而 不 是用概率来反映个人所面临的随机性。 假定：X:不确定环境下可选择行为的集合; S:可能的状态集合 C:可选择行为的结果的集合 f (.) 行为x?X和s ? S结合产生的结果c?C 函数 把行为、状态和结果对应起来：(s, x) ? c ? f (s, x)当经济主体在可行的行为之间进行选择时，他们以 被 选行为产生的结果为基础进行选择。但是行为对于决定 特 别的结果来说，常常是不充足的。其他因素会与选择的 行 为相互作用产生一个特别的结果。这些其他因素，超越 了 经济行为人的控制，被称为自然状态。 大量的自然状态的存在使得目前所采取的任何行为 的将来结果是不确定的。在决定行为的过程中，主体对自然状态是不确定的， 这些状态将共同确定被选行为的结果。选择行为x就为 每 f (s, x) 一自然状态决定了一个结果c= ， 对X中行为的选 取从而被视为对依赖状态（或偶然状态）结果的选取。通过观察函数f可以容易区分确定条件下和不确定条 件下的决策。 若c关于自然状态是不变的，即自然状态不会影响产 生 的结果，则可以认为是确定条件下的决策。 若不同的状态导致不同的结果，则可以认为是不确 定 条件下的决策②行为结果的概率分布选择 既然在行为、现实的状态和结果之间的关系通过函 数 f : S ? X ? C 来描述， 在S上定一个概率测度： 对任意x ?X，存在一个C上的概率分布：Fx ? P ? s ? S : x ( s ) ? c??c ? C这个概率表述表明，在一个行为既定的情况下，特 定结果出现的概率等于导致这个特定结果出现的可 能性状况的概率。由于某个特定行为结果发生的概 率取决于经济主体选择的行为，因此，我们可以等 价地认为，对于行为结果的选择等同于对某个特定结果的概率分布的选择。 因此，不确定性条件下的行为选择可以理解为行为 主 体在不同的概率分布中进行选择。这意味着，行为主体 表 x(s) ? C , ?s ? S , x ? X 现自己偏好关系的可行行为集合X必须具备如下性质： 在这种情况下，我们可以用定义在C上的一个函数P （.）来表示行为x，其中，p（c）是使选择x的结果等 于c的概率。因此，对于所有的c∈C， p（c）≥0 且?p (c ) ? 1c? C（2）不确定性下的理性决策原则 A.数学期望最大化原则 数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各 种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。这 一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确 的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确 定情形下的推广。 问题：是否数学期望最大化准则是一最优的不确定性 下 的行为决策准则？典型案例：圣彼德堡悖论（Saint Petersbury Paradox） 考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结果，可 以 得到1元，第一次反面，第二次正面得 2 元，前两次反 面，第三次正面得 4 元，??如果前 n-1 次都是反面， 第 n 次出现正面得 元。问：游戏的参加应先付 n ?1 多 2 少钱，才能使这场赌博是“公平”的？该游戏的数学期望值：E (.) ? 1 2 ?1 ? 1 4 ?2? 1 8 ? 4 ?? ? 1 2n?2n ?1?? ? ?但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游戏愿 意 支付的成本（门票）仅为2-3元。 圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌博，为 何 人们只愿意支付有限的价格？B.期望效用原则 Daniel Bernoulli （）是出生于瑞 士名门著名数学家，年期间一直在圣彼德堡 科学院研究投币游戏。其在1738 年发表《对机遇性赌 博的 分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理 论”。指出人们在投资决策时不是用“钱的数学期望” 来作为决策准则，而是用“道德期望”来行动的。 而道德期望并不与得利多少成正比，而与初始财富 有关。穷人与富人对于财富增加的边际效用是不一 样的。即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量， 而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用） 是 递减的。 伯努利选择的道德期望函数为对数函数，即对投币游 戏 ? 1 n ?1 E (.) ? ? n ? lo g 2 ? 1 .3 9 ? 的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算：n ?12其中， 为一个确定值。 ?＞ 0 另外， Crammer（1728）采用幂函数的形式的效用 函数对这一问题进行了分析。假定：u (x) ?则E [ u ( x )] ?x??p ( x )u ( x ) ?x ?1??1 2x2x ?1?1 2? 2x ?1因此，期望收益最大化准则在不确定情形下可能导 2 致 x ? { E [ u ( x )]} ? 2.914 不可接受的结果。而贝努力提出的用期望效用取代期望 收益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选 择问题提供最终的解决方案。 根据期望效用，20%的收益不一定和2倍的10%的 收益一样好；20%的损失也不一定与2倍的10%损失一 样糟 。C.后期望效用理论： 由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理论， 如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、非线性 的期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对 期望效用的新的解释。二、VNM期望效用函数期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价 值 判断标准。期望效用函数作为对不确定性条件下经济主 体 决策者偏好结构的刻画，具有广泛的用途。 （一）效用函数的表述和定义 不确定性下的选择问题是其效用最大化的决定不仅 对自己行动的选择，也取决于自然状态本身的选择 或随机变化。 因此不确定下的选择对象被人们称为彩票（Lottery） 或未定商品（contingent commodity）设想消费者参加一次抽奖（lottery），所有可能产生 的结果为C，假定C的结果是有限的，我们用N=1，…， N来标示这些结果，每一结果发生的概率为 i ) i? N ，这 (p 样，我们可将该简单抽奖（simple lottery）记为：L ? ( p 1， ， p N ； C 1， ， C N )， C i ? C ， p i ≥ 0, ? p i ? 1 ? ?N比简单抽奖更为复杂的是复合抽奖（compound lottery），其抽奖结果是众多的简单抽奖。复合抽奖记 为：i ?1(? 1 , ? , ? K ; L1 , ? L K ), (? i ) i? K ≥ 0, ? ? i ? 1LK 其中， ? ( p1 , ? , p N ), k ? K是一个简单抽奖。对于每 一个复合抽奖，我们可以计算出一个引至抽奖 （reduced lottery）。它将复合抽奖简化为简单抽奖。 ( 任何复合抽奖? 1 , ? , ? K ; L1 , ? L K )的引至抽奖，可以通 过下面的向量加法获得： 1 K pn ? ? 1 pn ? ? ? ? K pn , n ? Nk kni ?1期望效用表述（expected utility representing）： 对一件抽奖商品的期望效用表示为对抽奖结果的效用 函 ? 数的数学期望: Nu(L) ??p i u (C i )-i ?1u : C ? R是 普 通 序 数 效 用 函 数 ， 而 u : C ? R其中，VNM效用函数。 更一般地，我们可以表述为：是u ( x ) ? E [ u ( x )] ????Npiu ( xi )i ?1u 其中， ( x ) 是一个随机变量。其含义为：一种未定商 品 的效用等于该未定商品所涉及的确定商品的效用的均值。（二）期望效用函数的公理化陈述 1.不确定性下的偏好关系表述 个体所有可选择抽奖的集合称为抽奖空间，记为：L ? ( x, y )同样地，假设个体在抽奖空间上存在一个偏好关系， 即 可以根据自己的标准为所有抽奖排出一个优劣顺序。L1 ? L 2 ? 个 体 认 为 L1不 必 L 2 差L1～ L 2 ? 个 体 认 为 两 种 抽 奖 无 差 别2.基本公理公理1：[1; x , y ]～ x[ x , y ]～ [1 ? y , x ][ p1 ;[ p 2 ; x , y ], y ]～ [ p1 p 2 ; x , y ]第一式说明，抽奖的概念同样适合于确定性财富。 某 人确定的拥有x，相当于抽奖的中签率为100%，其价值 为x.因此，确定商品空间是未定商品空间的一个子集。 第二式则表明，同样一张抽奖有两种表示形式； 第三式是复合抽奖原理的体现，它说明经济主体只关 心 抽奖结果最终的概率分布，而不在乎抽奖（彩票）的构 成 形式。L 公理2：连续性（continuity）：对于任意的 , L , L ? L' &下面的集合为闭集：{? ? [0,1] : ? L ? (1 ? ? ) L ? L } ? [0,1]' &和{? ? [0,1] : L ? ? L ? (1 ? ? ) L } ? [0,1]& '连续性假设将保证概率的微小变化不会改变原有的两 个 抽奖商品之间的偏好顺序。 如：如果消费者对“快乐和安全的开车旅行”的偏 好 强于“待在家中”，那么，他对于一个“快乐与安全的 开 车旅行”与一个具有充分小、但不为0的正概率的“发 生 车祸导致死亡”的混合结果的偏好，仍然要强于“待在 家 中”。公理3：独立性（indenpence）：对于任意的 ' & L, L , L ? L 和 ? ? [0,1] ，要求有：L ? L ? ? L ? (1 ? ? ) L ? ? L ? (1 ? ? ) L' & ' &这意味着：如果将两个抽奖与第三个抽奖放在一起 考 虑，则前两者的偏好顺序独立于特定的第三个抽奖。 独立性公理是不确定性环境下决策理论的核心，它 提供了把不确定性嵌入决策模型的基本结构。通过 该假设，消费者将复杂的概率决策行为，分为相同 和不同的两个独立部分，整个决策行为仅由其不同 的部分来决定。如果定义在抽奖空间L上的个体偏好满足完备性、 自 返性、传递性和连续性、独立性，则下式成立：L ? L'???Npiu ( xi ) ?i ?1? P 'u ( x )i i i ?1N且存在VNM效用函数u(.)，满足：u ( x ) ? E [ u ( x )] ??Npiu ( xi )i ?1而且，除了u(.)的仿射变换 v (.) ? A u (.) ? B , A ? 0, U(.)是唯一的。思考题： 1953年，阿莱斯（Allias）曾做过一组心理试验，要 求受验者在如下两组彩票组合种进行选择： 第一组： A=（500，0；100，1；0，0） B=（500，0.1；100，0.89；0，0.01） 第二组： C=（500，0；100，0.11；0，0.89） D=（500，0.1；100，0；0，0.90）其中，每一数对中的第一个数字表示彩票的收益，第 二 个为概率大小。单位：万美元。 试验结果发现大多数人在第一组中会选择A，而在第 二 组中会选择D。 试根据上述条件，通过计算说明为何这一实验结果与 独 立性公理相冲突？金融经济学之二 个体的风险态度及其度量武汉大学经济与管理学院 潘敏本章教学目的和要求1.了解和掌握如何界定不确定条件下不同经济 行为主体风险态度的类型； 2.掌握三种不同风险态度的经济行为主体效用 函数的性质； 3.掌握确定性等价和风险溢价的含义及其计算 方法； 4.从定义和性质等各方面区分绝对风险厌恶度 量和相对风险厌恶度量； 5.掌握具有线性风险容忍系数的几个效用函数 的形式及其性质； 6.了解不同随机占优的假设及其充分必要条件。一、风险态度1.问题的提出现实观察：经济行为主体对待风险的态度是 存在差异的。热衷冒险的人会在等待不确定性结 果中获得刺激而兴奋不已；大多数的行为主体则 认为风险是一种折磨，尽可能地回避风险；而另 一些人对风险可能采取一种无所谓的态度。 如何通过效用函数描述不同经济主体对待风 险 的态度？通常可以从两个方面来刻画： （1）观察经济行为主体面对公平博彩时的行 为 选择，即是愿意确定性地接受一个公平博彩的期 望价值还是宁愿接受这个博彩本身及其不确定性 的结果。 （2）经济行为主体愿意付出多少价值来避免 蕴 含在这个博彩中的风险。或者说，让经济行为主 体参与这个博彩行为需要多少风险溢价补偿。2.公平博彩（Fair Game） 公平博彩是指不改变个体当前期望收益的 ? 赌 ? 局，如一个博彩的随机收益为 ，其期望收益 E (? ) ? 0 为 ，我们就称其为公平博彩。 当然，既然是博彩，通常隐含地假设其收益 的方差大于零，即其收益不会是确定值零。 或者公平博彩是指一个博彩结果的预期收益 只应当和入局费相等的博彩。?我们将满足下式的博彩 ( p : x1 , x 2 ，称为一个 ) 公平博彩：p x1 ? (1 ? p ) x 2 ? 0, 0 ? p ? 13.风险态度的描述 公平博彩不改变个体原来的期望收益，但它 提供了个体增加或减少原来收入的机会。 风险厌恶者：如果经济主体拒绝接受公平博 彩，这说明该个体在确定性收益和博彩之间更偏 好确定性收益，我们称该主体为风险厌恶者。 风险偏好者：如果一个经济主体在任何时候都 愿意接受公平博彩，则称该主体为风险偏好者。定义：u是经济主体的VNM效用函数，W ? E (? 为个体的初始禀赋，如果对于任何满足) ? 0 V a r (? ) ? 0 的随机变量 ? ，有??u (W ) ? E [ u (W ? ? )]?则称个体是（严格）风险厌恶（risk aversion）；如果上述不等号方向相反，则称 个 体是风险偏好（risk loving）；如果两边相等， 则称个体是风险中性（neutral）。对于一个具有效用函数为U和初始禀赋为W 的经济主体，如果他不参加博彩，则其效用为U （W）。如果他愿意参加博彩，则他有p的概率 消费 W ? x，1-p的概率获得 W ? x 2 ，因此，他的 1 期望效用为 pu (W ? x1 ) ? (1 ? p ) u (W ? x 2 ) 根据我们对风险厌恶者的定义，对于一个风 险厌恶的经济主体而言，我们有：u (W ) ? pu (W ? x1 ) ? (1 ? p ) u (W ? x 2 )由于W ? p (W ? x1 ) ? (1 ? p )(W ? x 2 )所以，上述不等式可改写为：u ( p (W ? x1 ) ? (1 ? p )(W ? x 2 )) ? pu (W ? x1 ) ? (1 ? p ) u (W ? x 2 )即：u ( px1 ? (1 ? p ) x 2 ) ? pu ( x1 ) ? (1 ? p ) u ( x 2 )这表明，风险厌恶的经济主体偏好未来收益 分布的期望值，而不是未来收益分布本身。即对 于风险厌恶的经济主体而言，确定性收益（数学 期望值）的效用大于效用的期望值。 基于这一性质，我们认为，风险厌恶者的效 用函数为凹函数。U(x) BC A x 风险厌恶者的效用函数同样地，我们可以得到风险偏好者和风险 中性 者的效用函数的特征。 对于风险偏好者而言，我们有：u ( px1 ? (1 ? p ) x 2 ) ? pu ( x1 ) ? (1 ? p ) u ( x 2 )且其效用函数为凸函数。U(x)BC A x 风险偏好者的效用函数对于风险中性者而言，我们有u ( px1 ? (1 ? p ) x 2 ) ? pu ( x1 ) ? (1 ? p ) u ( x 2 )其效用函数为线性效用函数。U(x)x4.效用函数的凸凹性的局部性质 经济行为主体效用函数的凸凹性实际上是 一种局部性质。即一个经济主体可以在某些 情 况下是风险厌恶者，在另一种情况下是风险 偏好者。 弗里德曼-萨维奇（1948）解释了这种现 象。他们认为，效用函数是几个不同的部分 组成。在人们财富较少时，部分投资者是 风险厌恶的；随着财富的增加，投资者对风险有些漠 不关心；而在较高财富水平阶段，投资者则显示 出风险偏好。二、风险厌恶的度量1.确定性等价值与风险溢价 确定性等价值（certainty equivalence） 是指经济行为主体对于某一博彩行为的支付意 愿。即与某一博彩行为的期望效用所对应的数学 期望值（财富价值）。 风险溢价（risk premium）是指风险厌恶者 为避免承担风险而愿意放弃的投资收益。或让一 个风险厌恶的投资者参与一项博彩所必需获得的 风险补偿。即如果个体为回避一项公平博彩而愿意放弃 的收益为ρ，则我们有：E ( u (W ? ? )) ? u (W ? ? )?这里，ε为公平博彩的随机收益（即报酬的微 小增量）， W为初始禀赋，ρ被称之为马科维兹 风险溢价。其值越大表明经济主体风险厌恶的程 度越高。而W-ρ为确定性等价收益。2.风险厌恶系数对于风险很小的公平博彩行为，也即预期收益为0且 预期收益的方差很小的博彩行为，如果效用函数是二次 连 续可微的，我们可对上述等式的两边在W做泰勒级数展 开。 1E [ u (W ) ? u '(W ) ? ? u &(W ) ? ? R e] ? u (W ) ? u '(W ) ? ? R e22这里，Re为高阶余项，由于是风险很小的公平博彩， 所以，Re可省略。由此，我们可以得到u (W ) ?1 2u &(W )V a r ( ? ) ? u (W ) ? u '(W ) ?由风险溢价的定义可得：? ??1 u &(W ) 2 u '(W ) V a r (? )u 上式的右边由两个部分构成：&(W ) / u '(W ) 是体现个 体偏好的因素，而Var(ε)则是公平博彩随机收益的方 差，体现不确定性风险。将随具体博彩的ε因素除去， 留下仅反映个体主观因素的部分，我们可以得到一个比 风险 溢价更为一般的风险厌恶侧度指标：R A (W ) ? ? u &(W ) u '(W )经济学家普拉特（Pratt,1964）和阿罗 （Arrow,1970）分别证明了在一定的假设条件下， u &(W ) ? 反映经济主体的效用函数特征的 可以用来度量 u '(W ) 经济 主体的风险厌恶程度。因此，我们将称为经济主体的阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数（Arrow-Pratt absolute aversion） R A (W ) 在金融理论中，我们时常需要相对测度量，如证券投 资者关心的一般不是以多大的概率获得多少绝对收 益，而是以多大概率获得百分之几的收益。相应地， 我们可以推导出个体的相对风险测度。事实上，要 得到相对意义上的风险溢价，只需要将绝对风险厌 恶系数的两边除以个体的初 始禀赋即可：?W? ?1 u &(W )W 2 u '(W )Var (?W)Var（ε/W）是公平博彩相对收益的方差，另 一部分R R (W ) ? ? u &(W )W u '(W )称为个体的阿罗-普拉特相对风险厌恶系数 （Arrow-pratt relative aversion）。同样地，我们定义阿罗-普拉特绝对风险厌恶系 数的倒数为个体的风险容忍系数（risk tolerance）， 即T (W ) ? 1 R A (W ) ? ? u '(W ) u &(W )T（W）越大表示个体能够容忍的风险越大，反之则 反。三、风险厌恶度量的性质绝对风险厌恶系数主要考察在初始财富相同的条件 下，具有不同风险厌恶程度的经济主体的对风险资产投 资 行为的特点。而相对风险厌恶系数，则主要考察经济行 为 主体随个人财富或消费收益的变化，对风险资产投资行 为 的变化。1.相同财富水平下的经济主体风险厌恶的度量 对于具有相同财富水平的经济主体，我们可以用三 种 不同的方法来比较两者之间的风险厌恶程度： （1）绝对风险厌恶度量 对于任意给定的初始财富水平W，如果下式成立， 则表明经济主体i比经济主体j更加厌恶风险：RA ? RAi j（2）风险溢价度量 对于任意给定的初始财富水平W，为避免相同的风险， 如果经济主体i比经济主体j需要更多的风险溢价补偿， 则 经济主体i比经济主体j更厌恶风险：（3）效用函数的曲率 ? i (W ) ? ? j (W ) 从几何上看，绝对风险厌恶系数代表了效用函数的曲 率（弯曲程度），如果经济主体i较经济主体更加厌 恶风险，则表明，经济主体i有比经济行为主体j更加凹的效用函 数。 更确切地讲，经济行为主体i的效用函数 u (W ) 是经济行为主体j的效用函数 u j (W ) 的一个凹变换，即存 在 一个递增的、严格凹的函数G(? )，使得iu i (W ) ? G ( u j (W ))对于任意的W都成立。（4）普拉特定理 ) 假设 u i (W ) 和 u j (W 是两个二次可微、严格单调递增的 i j 效 RA ? RA 用函数，则以下三种表述是等价的： G 对所有的W，有 u i (W ) ?； ( u j (W )) 存在一个严格单调递增和严格凹的二阶可微函数 G(? )，使得 ； ? i (W ) ? ? j (W ) 任何公平博彩ε对经济主体i的风险溢价较经济主体 j的风险溢价高，即2.风险厌恶与财富水平在经济主体的财富水平发生变化时，仅仅区别投资者 的 风险态度是不够的，还需要考察经济行为主体随个人初 始 财富水平的变化而对风险资产投资数量的变化。即考察 投 资者是将风险资产看着是正常品还是劣等品。（1）定义 R 如果经济主体的绝对风险厌恶系数 ( ?) 是严格递减 的 d R A (W ) 函数，即 d W ? 0, ? W，则这类经济行为主体是递减Ad R A (W ) dW? 0, ? Wd R A (W )? 0, ? 绝对风险厌恶的；类似地，如果 ，则W dW 称这类经济主体为递增绝对风险厌恶的。如果 则称这类经济行为主体是常数绝对风险厌恶的。（2）阿罗-普拉特定理 对于递减绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富 的增加，其对风险资产的投资逐渐增加，即他视风 险资产为正常品；对于递增绝对风险厌恶的经济主 体，随着初始财富的增加，他对风险资产的投资减 少，即他视风险资产为劣等品；对于常数绝对风险 厌恶的经济行为主体，他对风险资产的需求与其初 始财富的变化无关。（3）相对风险厌恶的性质定理 对于递增相对风险厌恶的经济主体，其风险资产的 财富需求弹性小于1（即随着财富的增加，投资于风 险资产的财富相对于总财富增加的比例下降）；对 于递减相对风险厌恶的经济行为主体，风险资产的 财富需求弹性大于1；对于常数风险厌恶的经济行为 主体，风险资产的需求弹性等于1。 d?W 对于在时期0具有初始财富W的经济主体，设为他的 ? ? 风险资产需求弹性，则有： dW ?如果 如果 如果d R R (W ) dW d R R (W ) dW d R R (W ) dW? 0 ? ? ? 1; ? 0 ? ? ? 1; ? 0?? ?1四、几种常用的效用函数金融经济学理论有时需要对个体的偏好做出某种假 设。其中，常用的一个假设是个体具有线性的风险容忍 系 数（linear risk tolerance），满足这一假设的VNM 效用函数具有LRT形式：u (W ) ? 1? ??(?W1? ?? ? ) , ? ? 0, ? ? 1, ? ? 1?在这种形式下，容易验证个体的风险容忍系数为其初 始 财富的线性函数。u '(W ) ? ? (?W1? ?2??)? ?1u &(W ) ? ? ? ( T (W ) ? 1?W1? ? ?(??) 1 1??? ?2)W ?? ?R A (W )从上式可以看出，个体的风险容忍系数与初始财富 呈 现性关系。 在上式中，当γ＞1时，个体的风险容忍系数随财富的 增加而减少；当＜1时，个体的风险容忍系数随财富的 增 加而增加。 R ? ( W ? ? ) ? 1 A 1? ? ? 另外，由于该函数的绝对风险厌恶系数为为一条双曲线，所以，这一效用函数也成为双曲线绝 对 风险厌恶效用函数（hyperbolic absolute risk aversion，HARA)。LRT效用函数是一个函数族，在不同的参数下，将呈 现 出不同的形式： （1） ? ? 1 ? 线 性 函 数 ：u (W ) ? a ? b W , b ? 0（2）? ? 2 ? 二次函数u (W ) ? W ? b 2 W ,b ? 02（3） ?? 1, ? ? ? ? ? 负 指 数 函 数??Wu (W ) ? ? e（4）? ? 0, ? ? 1 ? 幂 函 数u (W ) ? W??（5）? ? 1, ? ? 0, ? ? 0 ? 对 数 函 数u (W ) ? ln W不同函数的性质 （1）二次效用函数 拥有这种效用函数的个体在投资风险资产时只考虑 资 产的期望收益和方差，依此为基础资本资产定价模型得 到 了风险资产定价的线性表达式。 但二次函数作为效用函数存在局限性：超过一定的财 富 u '(W ) ? 1 ? bW , u &(W ) ? ? b 水平后，个体收入的边际效用为负值。 对前述（2）中的二次函数中的财富W求导：因此，只有W在[0，1/b]时，个体的边际效用才会 大于零。 该函数的A-P绝对风险厌恶系数为：R A (W ) ? b 1 ? bW对W求导，R A '(W ) ?b2 2(1 ? b W )?0这表明，二次效用函数个体的绝对风险厌恶系数是 其 财富的单调递增函数，财富越多，个体的风险厌恶越强。 （2）负指数效用函数 如果个体的效用函数为负指数效用函数，则他对风 险 的厌恶程度与收入无关。因为，其绝对风险厌恶系数为 常数：R A (W ) ? ?这种个体在风险资产上的投资量不受其收入水平的 影响。（3）幂函数效用函数的性质 幂函数效用函数的相对风险厌恶系数为常数。 （4）对数函数效用函数的性质 对数效用函数的个体的相对风险厌恶系数也为常数， 且 等于1。（具体计算，各人自己完成）五、随机占优1.问题的提出 设 X为我们考虑的消费计划集合，消费计划? X x 是一个随机变量。同样地，我们可以设J是我们 考 虑的证券市场上的风险证券的集合，证券j∈J有 一个随机未来收益。 在人们所拥有的信息只是知道经济行为主体非 饱和或风险厌恶的情况下，人们在什么样的条件 下可以确定地认为，某一经济行为主体偏好某一??消费计划而放弃另一种消费计划，或者偏好某一 风险证券而放弃另一风险证券？ 随机占优（stochastic dominance）可 以用于比较消费计划集合中或者证券市场上风险 证券集合中任意两个元素的风险程度。但是，这 个概念并不同于我们比较任何两种消费计划或任 何两个风险证券本身，因为它在消费计划集合或 风险证券集合中并没有定义一个完全的顺序关系。2.一阶随机占优（A first degree stochastic dominates） 假设存在这样的一群经济行为主体，他们对于 财富或消费的效用函数是连续的增函数，如果所 有这些行为主体对于风险资产A和B的选择都是 选 择A而放弃B或者觉得A与B无差异，那么，我们 可以认为，风险资产A一阶随机占优于风险资产 B. 我们用 A F?D B 来表示A一阶随机占优于B。 S即对于任何给定的收益率水平，风险资产A 的收益率大于这个给定水平的概率至少要同风 险资产B的收益率超过同样水平的概率一样 大。这样，任何非饱和的经济行为主体将会选 择A而非B。 假定风险资产A和B的未来收益率落在区间[0， 1]中。令 F ( ?) 和 F ( ?)分别代表风险资产A和风A B险资产B的收益率的累积分布函数。如果F A ( x ) ? F B ( x ), ? ? [0,1]成立，则风险资产A一阶随机占优风险资产B。 即对于任意一个给定的收益率x，风险资产A的 收益率小于等于x的概率比风险资产B的概率 小。或者说，风险资产A的收益率大于x的概 率比风险资产B的收益率大于x的概率大。 设u()为任意的一个连续的递增效用函数，同 时不失一般性，假设经济主体有一个单位的 初始财富。如果经济主体在风险证券A和B上 投资，则上述不等式意味着：E [ u (1 ? rA )] ? E [ u (1 ? r B )] 或者? ??[ 0， 1]u (1 + x ) d F A ( x ) ??[ 0 ,1]u ( 1 + x ) d FB ( x )成立。一阶随机占优的另一个特点是，如果风险资 产 A在未来收益率的分布上等于风险资产B的未来 收 益分布加上一个正值的随机变量α，那么，所有 具有增效用函数的经济主体将会选择A而放弃B， ? ? ? ? E [ u (1 ? r A )] ? E [ u (1 ? r B ? ? 因为，对于所有增函数的u(?)] ? E [ u (1 ? r B )] )存在着? 即：如果A F?D B，那么，就存在一个正的随机变 S ? 量 使得： ? d ? ? ? r A ? rB ? ? ,其中， ? 0 ?成立。其中 ? d 表示等式左边在分布上等于右边。 也即，等式左边的随机变量与等式右边定义的 随机 变量取相同值的概率是相同的。所以，一阶随机占优反映的是两个风险资产 收 益率，特别是期望收益的占优。其收益率分布满 足的条件为下列叙述是等价的：(1) A ? BFSD（ 2 ） F A ( x )≤ F B ( x ), ? x （ 3 ） A ? d rB ? ? , 其 中 ， ≥ 0 r ?? ? ? ?3.二阶随机占优（A second degree stochastic dominates） 对于风险厌恶的经济行为主体，如果他对风 险资产A和风险资产B的选择是选择A而放弃B或 者觉得A和B无差异，那么，我们就认为，资产 A 二阶随机占优于证券B。我们用A ? B 表示。其充 分必要条件是SSDE [ rA ] ? E [ rB ]x??S (x) ?? ?? [F0 ?A( x ) ? F B ( x )] d x ? 0, ? x ? [0,1]? ?rB ? d rA ? ? , 其 中 E [ ? rA ] ? 0条件三意味着，风险资产B的未来收益在分布上 等 于风险资产A的未来收益加上一个随机干扰项。 上述分析表明，二阶随机占优是相对于两个期 望收益率相等的风险资产的风险比较。4.二阶单调随机占优 如果所有非饱和的风险厌恶经济主体都选 择 A? M B 风险证券A而放弃风险证券B，则我们称风险 SSD 证券 A二阶单调随机占优风险证券B，我们用 表示。 E[r ] ? E[r ] 其充分必要条件为：S ( x ) ? ? [ F ( x ) ? F ( x )]d x ? 0, ? x ? [0,1]? ? A B x A B 0rA ? d rB ? ? , 其 中 E [ ? rA ] ? 0?????金融经济学之三： 资产组合理论武汉大学经济与管理学院 潘敏本章教学目的和要求1.掌握两资产模型下的最优资产组合的推导过程； 2.掌握风险资产风险溢价及其对经济主体资产组 合中风险资产投资量的影响； 3.掌握两资产模型下经济主体最优资产组合的性 质：即经济主体财富水平、无风险资产收益 率、风险资产预期收益率和风险程度等因素 变化对最优资产组合的影响； 4.了解多资产模型下的最优资产组合的基本性质。教学重点：1.两资产模型下的最优资产组合的推导；2.两资产模型下最优资产组合的比较静态分析；一、两资产模型下的最优资产组合选择在本节，我们探讨经济主体为风险厌恶和初期禀赋 一 定的条件下，其对无风险资产和风险资产组合的最优选 择问题。 1.基本假设 经济主体效用函数为单调递增和二阶可导的VNM效用 Rf W0 函数，其初始禀赋为 。经济中存在一项收益率为 的 R 无风险资产和随机收益为 的风险资产（这里的风险资 产可以看着是多个风险资产的组合，为分析的方便， 在此我们仅将其一个资产）。经济主体将其初期禀 赋全部投资于这两个资产。其中，在风险资产的投 资为α，则无风险资产的?投资为W 0 ? ? 。 经济主体的投资收益为： ? ?W ? (W 0 ? ? ) R f ? ? R ? W 0 R f ? ? ( R ? R f )?2.投资组合选择问题 在上述假设条件下，经济主体的面临的组合选择问 题 M ?a x E [ u (W )] 为：?s .t .W ? W0R f ? ? (R ? R f ) ? 0??作为最优解的经济主体最优资产组合满足一阶条件：? E [ u (W )] ? 0?即??E [ u '(W )( R ? R f )] ? 0??令 ? ? E ( R ) 则 约束条件可改写为W ? W0R f ? ? (R ? ? ) ? ? (? ? R f )? ??R 这里， ? ? 为一公平博彩，而? ? R 则是个体承担风 ? 险 R? ? 所获得的补偿，我们称其为风险资产的风险溢价 （risk premium）。这里定义的风险溢价与前述的风 险溢价的区别在于： （1）这里的风险溢价是投资者选择风险资产时获 得的补偿，而前述的风险溢价是个体为回避风险而 愿意支付的保险费； （2）个体在支付ρ后与他承受风险的场合处于同一 效用水平，而这里个体在接受风险资产和风险溢价 补偿后，将比他只投资无风险资产获得更高的效用。f?上述最优投资组合的一阶条件可改写为：E { u '[W 0 R f ? ? ( R ? R f )]( R ? R f )} ? 0? ?如果风险 E [( R ? R f ) 2较小，在等式左边 W 0 R 附近按泰勒展 ] f 开式展开：0 ? E { u '[W 0 R f ? ? ( R ? R f )]( R ? R f )} ? E { [ u '(W 0 R f ) ? ? u &(W 0 R f )( R ? R f )]( R ? R f ) ? u '(W 0 R f ) E ( R ? R f ) ? ? u &(W 0 R f ) E [( R ? R f ) ]2 ? ? ? ? ? ??在此方程中求出α：? ?l R A (W 0 R f ) E [( R ? R f ) ]2 ?RAl ? 这里， E ( R ? R f )是风险资产的风险溢价，而 (W R )是个体的绝对风险厌恶系数。0 f?二、最优资产组合的性质―比较静态分析从上述推导出的最优解―经济主体的最优投资组合 中可以看出，经济主体风险资产的选择取决于三个 要素：风险资产的风险溢价水平、经济主体的风险 厌恶程度和风险程度。 1.风险溢价与最优资产组合选择 定理：如果一个经济主体是严格风险厌恶的，在风 险厌恶程度和风险资产的风险不变的情况下，其投 资于风险资产的最优数量是正值、零或负值的充分 必要条件是风险资产的风险溢价是正值、零或负值。即：当 且 仅 当 E (R ) ? R f 时 ?＞ 0; 当 且 仅 当 E( R ) ? R f 时 ? ? 0 当 且 仅 当 E (R) ? R f时 ? ? 0? ? ?2.财富水平与最优资产组合选择 定理：如果经济主体是严格风险厌恶的，且风险资产 的 风险溢价为正值，那么，当经济主体的绝对风险厌恶系 数 是其财富水平的单调递减（递增）函数时，随着财富水 平 的增加，经济主体最优资产组合中对风险资产的投资增 加 （减少）。如果个体的绝对风险厌恶系数与财富水平无 关，则个体的风险投资与财富水平无关。 证明：定理：如果经济主体是严格风险厌恶的，且风 险资产的风险溢价为正值，那么，当经济主 体的相对风险厌恶系数是其财富水平的单调 递减（递增）函数时，随着财富水平的增加， 经济主体最优资产组合中对风险资产投资额 的比例将增加（降低）。 证明：3.资产收益率与最优资产组合选择（1）无风险资产收益率与最优资产组合选择 定理：如果经济主体是风险厌恶的，且其绝对风险 厌恶系数是递增的；如果这个经济主体的最优资产 组合对于风险资产的投资为正值且风险溢价为正， 那么，他对风险资产的投资对无风险资产的收益率 变动是严格递减的。 证明：（2）风险资产的预期收益率与最优资产组合选择 定理：如果经济主体是严格风险厌恶，其绝对风险厌 恶系数是递减的，且风险资产的风险溢价为正值， 那么，最优证券组合中关于风险资产投资的数量与 风险资产预期收益率的变化成正相关关系。但如果 经济主体的绝对风险厌恶系数是递增的，那么，最 优资产组合中对风险资产的投资与风险资产预期收 益率的变化是不确定的。 证明从略。4.风险程度与最优投资组合的选择一般而言，在经济主体的效用函数为二次型效用函数 的情况下，风险厌恶的经济主体对风险资产的投资 在预期收益率不变而风险程度增大时会相应减少。 但这仅对二次型效用函数有效。3.多资产模型的最优资产组合的性质当经济中存在多种风险资产时，上述两资产模型推 导出最优资产组合的静态比较结果大多数并不能适 用于经济中含有多种资产的情况。这里，直接给出 一些结果。 定理3.1: 当经济中含有多种资产时，一个严格风险厌恶的经 济主体的最优投资组合中包含风险资产的充分必要条件 是，经济中风险资产的预期收益率大于无风险资产的收 益率。或最优资产组合的预期收益率大于无风险资 产的收益率。如果R是一个风险厌恶的经济主体的最优证券组合 的收益率，且R是比另一资产组合的收益率r更有风 险，则 E[R]≥E[r]定理3.2: 如果某一资产的收益率可以由市场中其他资产构成 的一个资产组合的收益率加上一个均值独立项来表 示，那么，严格风险厌恶的经济主体对该资产的最 优投资的符号就同这个均值独立项的符号一样。 即如果资产K的收益率满足Rk ???j?kjRj ? ?k其中， ? ? 1, 且 ? 是对资产K之外所有其他资产 ? 的收益 率均值独立的均值独立项。即j k j?kE [ ? k R1 , ? , R k ? 1 , R k ? 1 , ? , R j ] ? E [ ? k ]那么，对于严格风险厌恶的经济主体而言， 其对风险资产的最优投资是正、负或零取决 于 E [? ] 是正、是负还是零。k定理3.3 如果经济主体的风险容忍系数是线性的，则经济主 体的 最优组合中对每一风险资产的投资与他的财富 状况有线性关系。 说明：4.课堂作业1.在两资产模型中，风险资产的风险溢价对 严格风险 厌恶的经济主体投资组合中风险资产投资的数量 会产生什么影响？请证明之。 2.在两资产模型中，风险厌恶的经济主体的财 富水平、无风险资产收益率和风险资产预期 收益率的变化会对最优 资产组合的选择产生何种影响？金融经济学之四（1）：均值-方差偏好下的投资组合选择武汉大学经济与管理学院 潘敏本章教学目的和要求1.了解和掌握投资组合理论中的均值―方差分析 的假设条件及其与期望效用理论的兼容性； 2.掌握投资组合收益与风险度量的基本方法及其 计算； 3.掌握均值－方差模型描述的构建最优投资组合 的技术路径的规范数理模型； 4.掌握两基金分离定理的内容及其经济学含义。教学重点1.均值―方差分析方法的合理性及其含义； 2.选择最优投资组合的数理方法及其中蕴涵的 多元化投资、风险、收益间关系； 3.掌握两基金分离定理的内容及其经济学含义。一、均值―方差分析的假设条件（一）问题的提出 1.前章对最优投资组合的分析是建立在一般期望效用 理论基础之上的。在这种分析中，我们对经济主体的 效用函数和资产的收益分布只做了一般性的规定。其 结论的应用范围难以确定，也限制了期望效用理论在 资产定价中的应用。 2.Markowitz(1952)发展了一个在不确定条件下严 格陈述的可操作的资产组合选择理论：均值-方差方法 Mean-Variance methodology.这一理论的问世，使金融学开始摆脱了纯粹的描述 性研究和单凭经验操作的状态， 标志着数量化方法 进入金融领域。 马科维茨的工作所开始的数量化分 析和MM理论中的无套利均衡思想相结合，酝酿了一 系列金融学理论的重大突破。正因为如此，马科维茨 获得了1990年诺贝尔经济学奖。马科维茨投资组合选择理论的基本思想为： 投资组合是一个风险与收益的trade-off问题， 此外投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部 分风险。 ――Dnothing ventured, nothing gained‖ ――&for a given level of return to minimize the risk, and for a given level of risk to maximize the return” ――“Don’t put all eggs into one basket”3.马科维茨均值-方差组合理论的基本内容： 在禁止融券和没有无风险借贷的假设下，以资产 组合中个别资产收益率的均值和方差找出投资组合的 有效前沿(Efficient Frontier)，即一定收益率水平下 方差最小的投资组合，并导出投资者只在有效组合前 沿上选择投资组合。 欲使投资组合风险最小，除了多样化投资于不同的 资产之外，还应挑选相关系数较低的资产。4.均值-方差组合选择的实现方法： （1）收益――证券组合的期望报酬 （2）风险――证券组合的方差 （3）风险和收益的权衡――求解二次规划 首先，投资组合的两个相关特征是：（1）它的期望 回报率（均值）（2）可能的回报率围绕其期望偏离 程度的某种度量，其中方差作为一种度量在分析上是 最易于处理的。其次，理性的投资者将选择并持有有效率投资组合， 即那些在给定的风险水平下的期望回报最大化的投资 组合，或者那些在给定期望回报率水平上使风险最小 化的投资组合。 再次，通过对某种资产的期望回报率、回报率的方 差和某一资产与其它资产之间回报率的相互关系（用 协方差度量）这三类信息的适当分析，辨识出有效投 资组合在理论上是可行的。最后，通过求解二次规划，可以算出有效投资组 合的集合，计算结果指明各种资产在投资者的投资中 所占份额，以便实现投资组合的有效性――即对给定 的风险使期望回报率最大化，或对于给定的期望回报 使风险最小化。5.马科维茨均值-方差组合理论的假设条件： （1）单期投资 单期投资是指投资者在期初投资，在期末获得回报。 单期模型是对现实的一种近似描述，如对零息债券、 欧式期权等的投资。虽然许多问题不是单期模型，但 作为一种简化，对单期模型的分析成为我们对多期模 型分析的基础。 （2）投资者事先知道资产收益率的概率分布，并且 收益率满足正态分布的条件。（3）经济主体的效用函数是二次的，即 ) ? W ? b W 2 。 u (W 2 （4）经济主体以期望收益率（亦称收益率均值）来衡 量未来实际收益率的总体水平，以收益率的方差（或 标准差）来衡量收益率的不确定性（风险），因而经 济主体在决策中只关心资产的期望收益率和方差。 （5）经济主体都是非饱和的和厌恶风险的，遵循占优 原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证 券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。6.问题：为何在马科维茨的均值-方差分析中需要对效 用函数和资产收益率的分布作出限制？（二）均值-方差分析的局限性M-V模型以资产回报的均值和方差作为选择对象， 但是一般而言，资产回报的均值和方差不能完全包含 个体资产选择时的所有个人期望效用函数信息。 对于任意的效用函数和资产的收益分布，期望效用并 不能仅仅用预期收益和方差这两个元素来描述。例1: 假设有两个博彩L1和L2，其中： L1=[0.75；10，100]， L2=[0.99；22.727，1000] E（R1）=32.5 E（R2）=32.5 Var（R1）=1518.75 Var（R2）=9455.11 显然，L2的风险比L1大。考虑一个效用函数为 ，显然，该个体为风险 u (W ) ? W 厌 恶者，其在两个博彩中的期望效用分别为： Eu(R1)=4.872 Eu(R2)=5.036 即该风险厌恶者在预期收益相等的两个博彩中，方差 较 大的博彩获得的期望效用较高。一般地，假设经济主体在未来的全部收益或财富是一 ? 个 W 随机变量 ，关于这个未来财富变量的效用函数可以 通 过泰勒展开式在经济行为主体对于这个随机变量的预期 值 周围展开。即u (W ) ? u ( E [W ]) ? u '( E [W ])(W ? E [W ]) ? 其中， R3 ?? ? ? ? ?1 2!u &( E [W ])(W ? E [W ]) ? R 32?????n?3u n!1(n)( E [W ])(W ? E [W ])???n两边取期望值后得到：? )] ? u ( E [W ]) ? 1 u ''( E [W ])? (W ) 2 ? E [ R ] ? ? ? E [ u (W 3 2!E [ R3 ] ???1 n!u(n)~ ~ ~ ( E [W ]) E (W ? E [W ])nn?3显然，对于具有严格凹的递增效用函数的经济主体 而言，其评价风险资产的效用不能仅仅只考虑其期 望收益率和方差，因为三阶以上的中心矩E（R3） 也影响其期望收益。但是，如果财富的高阶矩为0或者财富的高阶矩可用 财富的期望和方差来表示，则期望效用函数就仅仅是 财富的期望和方差的函数。（三）均值―方差分析的基本假设 定理一：在经济主体的未来收益或财富为任意分布的 情况下，如果经济主体的效用函数为二次效用函数u (W ) ? W ? b 2 W2那么，期望效用仅仅是财富的期望和方差的函数。证明：定理二：在经济主体的偏好为任意偏好的情况下，如 果资 产收益的分布服从正态分布，则期望效用函数仅仅是 财富 的期望和方差的函数。 在收益分布为正态分布的情况下，上述展开式中， 三阶以上的中心矩中，奇数项为零，偶数阶的中心 矩可写成均值和方差的函数。? 0 ~ ~ ~ j ? j! [Var (W )] 1 / 2 ? E [W ? E [W ]] ? ? 1/ 2 j 2 ? ( )! ? 2 ? j 为奇数 j 为偶数（三）二次效用函数与收益正态分布假设的局限性 1.二次效用函数的局限性 二次效用函数具有递增的绝对风险厌恶和满足性两个 性质。满足性意味着在满足点以上，财富的增加使效 用减少，递增的绝对风险厌恶意味着风险资产是劣质 品。这与那些偏好更多的财富和将风险视为正常商品 的投资者不符。所以在二次效用函数中，我们需要对 参数b的取值范围加以限制。2.收益正态分布的局限性 （1）资产收益的正态分布假设与现实中资产收益往往 偏向正值相矛盾。收益的正态分布意味着资产收益率 可取负值，但这与有限责任的经济原则相悖（如股票 的价格不能为负）。 （2）对于密度函数的分布而言，均值-方差分析没有 考虑其偏斜度。概率论中用三阶矩表示偏斜度，它描 述分布的对称性和相对于均值而言随机变量落在其左 或其右的大致趋势。显然，正态分布下的均值-方差 分析不能做到这一点。（3）用均值-方差无法刻画函数分布中的峭度。概率论 中用四阶矩表示峭度。但这一点在正态分布中不能表达。 实际的经验统计表明，资产回报往往具有“尖峰”“胖 尾”的特征。这显然不符合正态分布。尽管均值-方差分析存在缺陷，且只有在严格的假设 条件下才能够与期望效用函数的分析兼容，但由于其 分析上的灵活性，相对便利的实证检验以及简洁的预 测功能，使其成为广泛运用的金融和财务分析手段。二、资产组合收益与风险的度量及分散化 效应（一）先行案例 A公司的股票价值对糖的价格很敏感。多年以来， 当当地糖的产量下降时，糖的价格便猛涨，而A公 司便会遭受巨大的损失。该公司股票收益率在不同 状况下的情况如下：糖生产的正常年份 股市的牛市 股市的熊市异常年份 糖的生产 危机概率 收益率%0.5250.3100.2-25假定某投资者考虑下列几种可供选择的资产，一种 是 持有A公司的股票，一种是购买无风险资产，还有一种 是持有糖业公司B的股票。 现已知投资者持有50%A公司的股票，另外的50%在 无风险资产和持有糖业公司股票之间进行选择。无风险 资 产的收益率为5%。糖业公司B的股票收益率变化如下：糖生产的正常年份异常年份股市的牛市 股市的熊市 糖的生产 危机概率收益率%0.510.3-50.235投资者不同投资策略下期望收益与标准差：资产组合 全部投资在于A 公司股票 A公司股票和无 风险资产各投资 50% A公司和B公司 股票各投资50% 预期收益率% 10.5 7.7 标准差(%) 18.90 9.458.254.83（二）资产的期望收益（均值）（1）单一资产的期望收益 在任何情况下，资产的均值或期望收益是其收益的 概率 加权平均值。Pr(s)表示s状态下的概率，r(s)为该状态 下的收益率，则期望收益E(r)为E (r ) ?? P r( s ) r ( s )s在上例中，我们可以算出投资于A公司股票的期望 收益率为10.5%。2.资产组合的期望收益（均值） 资产组合的期望收益是构成组合的每一资产收益率 的加权平均，以构成比例为权重.每一资产对组合的 预期收益率的贡献依赖于它的预期收益率，以及它在 组合初始价值中所占份额，而与其他一切无关。 上例中第一种投资组合的收益率为7.75%，第二种投 资组合的收益率为8.25%.假定市场上有资产1，2，?，N。资产i的期望收益率 为 ，方差为?i，资产i与资产j的协方差为?ij（或 相 E ( rr ) 关系数为?ij）（i=1，2，?，n，j=1，2，?，m）投 资者的投资组合为：投资于资产i的比例为 ，i=1，2， Wi ?，N， 则资产组合的期望收益为E ( rp ) ?? w E (r )i i i ?1n?nwi ? 1i ?1（三）资产的方差 1.单一资产的方差 资产收益的方差是期望收益偏差的平方的期望值：?2??sP r( s )[ r ( s ) ? E ( r )]2在上例中，A公司股票收益的方差为357.25，标准 差为18.9%。B公司股票收益率的标准差为14.75%.2.资产组合的方差 （1）两资产组合收益率的方差 方差分别为? 1 与 2 的两个资产以W1与W2的权重构 ? 成一个资产组合 的方差为，?2 2 2 22 p2? P ? w1 ? 1 ? w 2 ? 2 ? 2 w1 w 2 C o v ( r1 , r2 )如果一个无风险资产与一个风险资产构成组合，则 该组合的标准差等于风险资产的标准差乘以该组合 投资于这部分风险资产的比例。在上例中投资组合1的标准差为9.45%，投资组合2 的方差为23.3%，标准差为4.83%。（2）多资产组合的方差?2 p?? ?i ?1nnw i w j? ijj ?12 其中 ? ii ? σ i（四）资产的协方差协方差是两个随机变量相互关系的一种统计测度， 即它测度两个随机变量，如资产A和B的收益率之间 的互动性。?AB? co v( rA , rB ) ??np r ( s )( rA ? E ( rA ))( rB ? E ( rB ))s ?1（五）相关系数 与协方差密切相关的另一个统计测量度是相关系数。 事实上，两个随机变量间的协方差等于这两个随机变量 之 间的相关系数乘以它们各自的标准差的积。 资产A和资产B相关系数为ρ ? σ σA ABABσB测量两种股票收益共同变动的趋势:C o rr ( R A , R B ) 或 ? A B-1.0 ? ? ? +1.0 完全正相关: +1.0 完全负相关: -1.0 在 -1.0 和 +1.0 之间的相关性可减少风险 但不是全部在上例中，投资组合2中两公司股票收益的协方差为 -240.5，其相关系数为-0.86。（六）多个资产的方差-协方差矩阵?2 p???ww?i j i ?1 j ?1nnij? w QwT? ? 11 ? ? ? 21 Q ?? ? ? ? ? ? ?? N1? 12 ? 22? ?? ? ?? 1 N ?1? N ?12?? NN ? 1? 1N ? ? ? 2 N ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? NN ?（七）资产组合的风险分散效应 资产组合的方差不仅取决于单个资产的方差，而且 还取决于各种资产间的协方差。 随着组合中资产数目的增加，在决定组合方差时， 协方差的作用越来越大，而方差的作用越来越小。例 如，在一个由30种证券组成的组合中，有30个方差 和870个协方差。若一个组合进一步扩大到包括所有 的证券，则协方差几乎就成了组合标准差的决定性因 素。风险的分散化原理被认为是现代金融学中唯一“白 吃 的午餐”。将多项有风险资产组合到一起，可以对冲掉 部分风险而不降低平均的预期收益率。假定资产1在组合中的比重是w，则资产2的 比 重就是1-w。它们的预期收益率和收益率的方 差 分别记为E(r1)和E(r2)，?21和?22，组合的预期 收益率和收益率的方差则记为E(r)和? 2 。那么，E ( r ) ? w E ( r1 ) ? (1 ? w ) E ( r2 )?2? w ? 1 ? (1 ? w ) ? 2 ? 2 w (1 ? w ) ? 1 2? 1? 22 2 2 2因为-1≤?≤+1，所以有 [w?1-(1-w) ?2]2≤?2≤[w?1+(1-w) ?2]2 这表明，组合的标准差不会大于标准差的组合。事实 上，只要?&1，就有， O?O&Ow?1+(1-w) ?2O, 即资产组合的标准差就会小于单个资产标准差的加权 平均数，这意味着只要资产的变动不完全一致，单个 有高风险的资产就能组成单个有中低风险的资产组合， 这就是投资分散化的原理。构造一个投资每种资产等权重的组合来看分散化的力 1 2 N ?1 量： 2 ?P ? ?j ? ??2 j??NN?N2 jNN;其中，? jk ?j ?1??N? jkN ( N ? 1); j? kj ?1 k ?1随着组合中资产数目的增加，组合收益的方 差将越来越依赖于协方差。若这个组合中的 所有资产不相关，即当随证券数目增加，这 个组合的方差将为零（保险原则）。相关结论： 1.资产组合的方差是以协方差矩阵各元素与投 资比例为权重相乘的加权平均总值。它除与各 资产的方差有关外，还与各资产间的协方差和 相关系数有关。2.资产组合的预期收益可以通过对各种单项资产加权 平均得到，但风险却不能通过各项资产风险的标准差 的加权平均得到(这只是组合中成分资产间的相关系 数为一且成分资产方差相等，权重相等时的特例情 况)。3.在资产方差或标准差给定下，组合的每对资产的相 关系数越高，组合的方差越高。只要每两种资产的收 益间的相关系数小于一，组合的标准差一定小于组合 中各种证券的标准差的加权平均数。如果每对资产的 相关系数为完全负相关即为－1且成分证券方差和权 重相等时，则可得到一个零方差的投资组合。但由于 系统性风险不能消除，所以这种情况在实际中是不存 在的。金融经济学之四（2） 均值-方差偏好下的投资组合选 择武汉大学经济与管理学院 潘敏三、两资产模型下的有效组合前沿（一）先行案例 某投资者持有的投资组合由两个风险资产构成，两 资 产的期望收益率和方差如下： 资产 期望收（%） 标准差（%）A B8 1312 20以下为设想的投资者在两种资产中投资比例及 资 产相关系数不同时的投资组合的期望收益和方差：α 0.0 0.3 0.5 0.7 0.9 1.01-α 1.0 0.7 0.5 0.3 0.1 0.0E(r)σ(ρ=-1)σ (ρ=0) 20.0 14.46 11.66 10.32 10.98 12.0σ (ρ=0.3) 20.0 15.47 13.11 11.70 11.56 12.0σ (ρ=1) 20.0 17.60 16.00 14.40 12.80 12.013.0 20.0 11.5 10.4 10.5 4.0 9.5 8.5 8.0 2.4 8.8 12.0期望收益 ρ=-1 Ρ=1标准差（二）相关概念 1.投资者均值-方差无差异曲线 对一个特定的投资者而言，任意给定一个证券组合， 根据他对期望收益率和风险的偏好态度，按照期望收 益率对风险补偿的要求，可以得到一系列满意程度相 同的（无差异）证券组合。所有这些组合在均值方差 （或标准差）坐标系中形成一条曲线，这条曲线就称 为该投资者的均值-方差无差异曲线。期望收益方差 投资者的均方无差异曲线同一条无差异曲线上的组合满意程度相同；无差异 曲线 位置越高，该曲线上的组合的满意程度越高。 无差异曲线满足下列特征： (1)无差异曲线向右上方倾斜。 (2)无差异曲线是下凸的。 (3)同一投资者有无数条无差异曲线。 (4)同一投资者在同一时间、同一时点的任何两条无差 异 曲线都不相交。2.可行集 可行集也称资产组合的机会集合。它表示在收益和 风险平面上，由多种资产所形成的所有期望收益率和 方差的组合的集合。 可行集包括了现实生活中所有可能的组合，即所有 可能的证券投资组合将位于可行集的内部或边界上。 一般说来，N种资产的可行集的形状像伞形：期望收益标准差3.有效集或有效前沿（边界） 可行集中有无穷多个组合，对于非饱和且风险厌恶 的理性投资者而言，他们都是厌恶风险而偏好收益的。 对于同样的风险水平，他们将会选择能提供最大预 期收益率的组合；对于同样的预期收益率，他们将会 选择风险最小的组合。能同时满足这两个条件的投资 组合的集合被称为有效集（Efficient Set）或有效 边界（Efficient Frontier)。 有效集描绘了投资组合的风险与收益的最优配置。因为投资者是非饱和且厌恶风险的，即风险一定时追 求收益最大，收益一定时追求风险最小。所以，同时 满足在各种风险水平下，提供最大预期收益和在各种 预期收益下能提供最小风险这两个条件就称为有效边 界。即双曲线的上半部。上面各点所代表的投资组合 一定是通过充分分散化而消除了非系统性风险的组合。有效集的形状：有效边界 期望收益 全局最小方差 资产组合个人资产最小方差边界标准差有效集曲线的形状具有如下特点： （1）有效集是一条向右上方倾斜的曲线，它反映了 “高收益、高风险”的原则； （2）有效集是一条向左凸的曲线。有效集上的任意两 点所代表的两个组合再组合起来得到的新的点（代表 一个新的组合）一定落在原来两个点的连线的左侧， 这是因为新的组合能进一步起到分散风险的作用。 （3）有效集曲线上不可能有凹陷的地方。有效集的导出： 资产组合的所有可能的点 ( r p , ? p ) 构成了 ( r p , ? p ) 平面上可行区域，对于给定的 r p ，使组合的方差 n n 越小越好，即 2 m in ? p ? ? ? w i w j ? iji ?1 j ?1求解下列二次规划：ns .t . E ( r p ) ??w i E ( ri )?nwi ? 1i ?1i ?1（三）两资产模型下的资产组合前沿 1.相关假设 2.有效组合前沿 3.不同相关系数下的组合前沿 4.结论（四）两资产模型下的最优资产组合选择 在确定了有效资产组合前沿后，投资者可根据自己 的风险偏好，选择最优资产组合。投资者的风险偏好 以均值-方差无差异曲线表示。 在投资者众多的无差异曲线族中，无差异曲线与有效 组合前沿相切的切点代表的资产组合为最优资产组合。 该最优组合代表在投资者风险偏好给定条件下，风险 一定情况下的收益最大或收益一定情况下的风险最小 组合。 （见图）四、加入无风险资产的有效组合前沿及组 合选择（一）基本假设 1.资产组合由一个无风险资产和两个风险资产构成。 2.无风险资产的收益率为r，风险资产的随机收益分别 为 x1 和 x 2 ， 3.不允许卖空（也可以允许卖空） （二）有效组合前沿 （三）最优投资组合（二）分离定理 在存在无风险资产与多个风险资产的情况下，投资者 在有关多个风险资产构成的资产组合的决策（投资决 策）与无风险资产与风险资产构成的资产组合比例的 决策（金融决策）是分离的。 多个风险资产构成的资产组合的最优选择依赖于所 有资产的期望收益、方差、协方差和无风险资产的收 益率，与投资者的风险态度无关；而在无风险资产与 风险资产的投资组合决策方面，两者投资比例的选择 依赖于投资者的风险态度。如果所有的投资者对各风险资产收益率的分布具有 相同的知识，且都为风险厌恶者，则所有投资者选择 的最优风险资产组合相同。投资者在最优投资组合选 择时只需决定无风险资产和合成的风险资产之间的最 优投资比例。四、N种资产的一般模型（一）模型的基本假定 1.市场上存在n&2种风险资产，w代表投资到n种资产上 的投资比例，w为一个n维列向量。记为：wT? ( w1 , ? , w n ), ? w i ? 1i ?1n同时，允许w&0，即卖空不受限制。 ? 2.? i为i资产的期望收益率， p 为风险资产组合的期望收 益，同时，令所有n种资产的期望收益率组成的向量 T 为 e ? ( ? ,? , ? )1 n3.假设n种资产的收益率是非共线性的，即其中任何 一 种风险资产的随机收益都不能表示为其他资产随即收 益的 n 线性组合。则组合的期望收益为： T?p ??w?i i ?1i? w e4.组合的方差、协方差矩阵为：? ? 11 ? ? ? 21 ? ?? ? ? ? ? ?? ? N1? 12? ?? ? ?? 1N ?1? 1N ? ? 2 N ?1? ? ? ? ? ? ? ? ?? 22? N ?1 2?? N N ?1? NN由于我们假定组合中资产的随机收益是非共线性的， 所 以，该矩阵是非奇异（nonsingular）的。此外，由于 组合的方差是非负的，所以，组合的方差必须是一个正 ? ?? ? 0 T w ?w ， 定矩阵，即对于任何非0的向量 a ，都有 因此，整个组合的方差为T（二）N种风险资产组合的组合前沿 1.定义 给定收益率水平μ，如果一个资产组合收益率的方 差是所有期望收益率为μ的组合中最小的，则称它为 一个边界组合（frontier portfolio），所有边界组合 构成的集合为组合边界。 用数学语言描述为：p是一个前沿资产组合当且仅当 它的资产组合权重是二次规划问题P的解。m in1 2Tw ?wT? s .t . w e ? E [ r p ] ? ? w 1?1T通过上述二次规划问题的求解，我们可以得到组合边 界 方程，它是均值-方差平面上的一条抛物线，这条抛物 线称 为最小方差曲线（minimum variance curve,MVC） 抛物线的顶点对应于一个在所有组合中方差最小的 组 合，称为最小方差组合（minimum variance portfolio,MVP）。均值组合边界mvp方差（三）有效组合前沿 期望收益率严格高于最小方差组合期望收益率的前沿 边 界称为有效组合前沿。 位于资产组合前沿边界，既不是有效资产组合，又 不 是最小方差资产组合的前沿边界合称为非有效组合前沿。 对于每一个属于非有效组合前沿上的资产组合，存在 一 个具有相同方差但更高期望收益率的有效资产组合。（四）组合前沿的性质 1.任何一个具有均值-方差偏好的经济主体的最优组合 是一个均值-方差前沿组合。 2.任意的前沿资产组合都可以由期望收益为0和期望收 益为1的两个前沿组合组合而成。 3.任何前沿边界组合的线性组合仍在前沿边界上。有效 资产组合的任何凸组合仍是有效组合，有效组合的集 合因此是一个凸集。4.任何具有均值-方差效率的资产组合都是由任何两个 具有均值-方差效率的组合构成；由两个均有均值-方 差效率的资产组合的线性组合构成的资产组合也是具 有均值-方差效率的资产组合。 5.最小方差组合mvp，与任何资产组合（不仅仅是前 沿边界上的）收益率的协方差总是等于最小方差资产 组合的收益率的方差。6.资产组合边界的一个重要性质是，对于前沿边界上 的任何资产p，除了最小方差资产组合，存在唯一的 前沿边界资产组合，用zc(p)表示，与p的协方差为0。 7. 不存在与最小方差资产组合具有0协方差的前沿边 界资产组合。（五）考虑无风险资产的情形 考虑无风险资产情况下的投资者的二次规划问题为：m in 1 2 s .t . ? ? w e ? (1 ? w 1) RT Tw ?wT该二次规划问题的解表明，包含无风险资产在内的资 产 组合的均值-方差有效组合前沿为一条直线。C MAB图中的AM线为效率组合前沿，该直线的方程可写为：? ? R??M ? R ?M?当风险资产组合M固定时，无风险资产与风险资产组 合的期望值收益和标准差呈线性关系。 直线AM也称为对应于切点组合M的转换线 （transformation line），它刻画了投资者在特定 风险组合和无风险收益率之间的转换。在转换线上，点 M 对应着投资者将所有财富投资于风险资产组合。位于点M左侧的所有点对应于投资者将其财富的一部 分投资于风险资产，另一部分则用于贷出生息；位于 点M右侧的所有点对应于投资者在市场上卖空风险资 产。 该转换线也称之为资本市场线（Capital Market Line，CML）。它表明所由具有均值-方差偏好的经济 主体都在资本市场线上选择最优的资产组合。 转换线的斜率为：?M ? R ?Msl M ?其分子为组合M的风险溢价，该斜率刻画了组合单位 风险所带来的风险溢价，我们称其为夏普比率 （Sharp Ratio）。 同样地，我们可知，有无风险资产和风险资产构成的 组合的夏普比率与风险资产组合M的夏普比率相等。 在存在无风险资产情况下，如果组合M是一个有效组 合前沿上的资产组合，那么，对于任意的组合p，我 们有? p ? R ? ? (? M ? R ) ? ?co v( R p , R M ) Var (RM )如果我们将M点看作是切点组合，则意味着在均值方 差世界中，经济主体只持有均值-方差有效组合，即 无风险资产和风险资产的组合。 或者，我们可以将CML的斜率看作是个体在均衡状 态下的期望收益率和标准差的边际替代率（MRS）。 在均衡状态下，每一个体最优状态下的边际替代率相 等。由于所有个体面对同一条有效边界，且无风险收 益率相等，从而每个个体持有的最优风险组合是一致 的。因此，最优风险组合的选择与个体的风险态度和 收入水平无关。个体的风险态度和收入水平只反映在 其持有风险组合的比例上。（六）最优投资组合选择 确定了有效组合前沿的形状之后，投资者就可以根 据自己的风险偏好（无差异曲线群）选择能使自己投 资效用最大化的最优投资组合了。这个组合位于无差 异曲线与有效集的相切点O，如图所示：B ON有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性就决 定了有效集和无差异区线的相切点只有一个，也就是 说最优投资组合是唯一的。 对投资者而言，有效集是客观存在的，它是由资本市 场线决定的。而无差异曲线则是主观的，它是由自己 的风险―收益偏好决定的。厌恶风险程度越高的投资 者，其无差异曲线的斜率越陡，因此其最优投资组合 越接近N。厌恶风险程度越低的投资者，其无差异曲 线的斜率越小，因此其最优投资组合越接近B点。五、两基金分离定理1.两基金分离定理（Two-Fund Separation Theorem) 的含义 根据有效组合边界的性质，在均值方差组合的有效 组合前沿上，任意两个有效组合的线性组合构成整个 组合的有效前沿，且该组合仍为有效组合。 在所有风险资产组合的有效组合边界上，任意两个 分离的点都代表两个分离的有效投资组合，而有效组 合边界上任意其它的点所代表的有效投资组合，都可 以由这两个分离的点所代表的有效组合的线性组合生 成。2.两基金分离定理的经济学含义（共同基金定理） 一个决定买入既定风险-收益特征的均值方差效率资 产组合的投资者，可以通过投资到任何两个它信赖的证 券投资基金上获得同样的收益，只要这两个基金是具 有均值方差效率和不同收益率的。投资者无需直接投 资于多种风险资产，而只要线性组合地投资在他认为 有效率的两种证券基金即可。金融经济学之五资本资产定价模型武汉大学经济与管理学院金融系 潘敏学习目的和要求 1.了解和掌握资本资产定价模型的假设条件和推导过程； 2.了解和掌握证券市场线和特征线的含义； 3.了解和掌握资本资产定价模型的几种主要扩展模型。一、资本资产定价基础模型（一）资本市场线的经济含义 在前述分析中已表明，资本市场线的方程为：? ? R? ?M ? R ?M ?它表明： （1）在市场均衡条件下，位于均值-方差有效前沿 上的资产组合的期望收益和风险之间呈线性关系。 风险越大，收益越大，并且这时有效组合的总风险 就等于系统风险。（2）有效组合的风险补偿与该组合的风险成正比例 变 化，其比例因子是：E ( rM ) ? rF?M我们将该斜率称为报酬波动比（夏普比率）， 即风 险的价格，而且是市场组合的风险的价格。资本市场线虽然对有效组合的风险（标准差）与 期望收益率的关系给予完整的描述，随风险增大，收 益增大，但其中也有含糊之处，即风险究竟怎样度量， 对无效组合或单个证券的风险怎样度量，不能得到单 个证券的标准差与期望收益之间明确的关系。 所以我们需要找出对单个证券而言，系统风险与期望 收益的关系，这就是资本资产定价模型的核心内容。（二）资本资产定价模型的基本假设 1.所有投资者在同一单期投资期内计划自己的投资行为 组合。即投资者在时点0决策并进行投资，在时点1得 到收益。 2.投资者为风险厌恶，并总是根据均值-方差效率原则 进行投资决策； 3.市场为无摩擦市场（frictionless market），即不存 在交易费用和税收，所有证券无限可分； 4.市场不存在操纵（no manipulation），任何投资者 的行为都不会影响资产的市场价格，即投资者都是价 格接受者（price-taker）。5.市场无制度限制（institutional restriction）， 允许卖空，并且可以自由支配卖空所得。 6.市场中存在一种无风险证券，所有投资者都可以按 照市场无风险利率进行自由的借贷； 7.信息是完全的，所有投资者均能够合理预期资本市 场所有资产完整的方差、协方差和期望收益信息。 8.同质预期（homogeneity of expection）。即所有 投资者有着完全相同的信息结构，所有投资者在运用 均值方差方法进行投资决策筛选后，得到同样的有效 组合前沿。满足上述假设3-5的市场称为理想化的金融市场 （idealiazed financial market）。 （三）市场组合 根据上述假定7-8，我们可以仅考虑一个代表性投资 者的资产需求，而将市场看成是所有投资者的加总。 根据前述有关均值方差下的最优资产组合理论及分离 定理，在存在无风险资产的情况下，所有投资者的风 险资产组合选择为切点组合M。在切点组合M，投资 者对风险资产的选择完全独立于个人的风险偏好。因此，我们可以认为，存在无风险资产的情况下， 每一投资者对风险资产的需求都是切点组合的形式， 但每一投资者的需求