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&br& 物理领域主要分为三大块，理论解析，数值计算，实验。现在这三大块所做的工作界限比较分明，但合作也很频繁。这三个领域需要学习的东西和培养的能力不同。
&br& 热门冷门这种事情不好说，三十年河东三十年河西，因为科研是靠国家财政吃饭的，国家支持就是热门，国家不支持就是冷门，并不一定能够代表它的学术价值。国家在过去20年里对凝聚态的支持有些过分，导致基础研究滞后，所以最近政策开始转舵。这是从科学的社会建制方面来说。
&br& 从学术研究上来说，主要靠你的兴趣去选择，每一碗饭都不那么好吃，但付出就一定有回报，科学研究的不确定性不像商业投资一样。
&br& 如果你想挖掘学术价值，最前沿的是宇宙物理，暗物质和暗能量，这有可能是下一个突破口。大统一理论也是前沿的，不过像弦论现在的处境有点尴尬，是纯数学，不可能有实验验证。虽然理论物理很看重理论的结构，但实验还是第一性的。其次就是从传统的量子场论结构中寻求大统一，也就是引力量子化，这一类物理叫做新物理。再往下是凝聚态理论，因为凝聚态物质比较复杂，现在只是靠各种模型拼凑起来计算，所以凝聚态理论的研究也是有长期工作意义且有很大的挑战性。前面几种理论工作主要应用广义相对论，狭义相对论，量子场论，量子力学，前三者更多。凝聚态也牵扯到大量的数值计算。
&br& 量子力学的应用主要在原子体系和光学领域，比如量子信息和量子光学，需要考虑大量的量子纠缠过程，主要的问题在于计算模型上，理论上相对完善了。
&br& 原子分子物理学也是传统的领域，主要研究是简单原子（而非凝聚态的大量原子分子体系），涉及理论解析，数值计算和实验，从场论到四大力学都有应用，可以说是个涉及面很广的领域。
&br& 如果LZ想要轻松一点，并且出成果快，材料相关的专业是需要考虑一下的，比如材料物理与化学，各种材料现在都是很火热的，从传统的到特殊的，都有比较大的市场和研究需求。只是恐怕所做的工作不能满足你对物理学的渴望，材料学的工作更像是配药。
&br&&br&最后说一点，其实不一定能从事你想要从事的方向，其实要看导师在做什么，专业名称只能显示出大概的领域，不能显示出具体的工作，相同领域中的工作有时候会差很多。总之你想学什么，想应用什么，冲着那个方向去。如果一旦不是特别满意，在硕士阶段能转就转，到了博士阶段就一定要安下心来把手头的工作做好，否则到头来可能不伦不类一场空。毕竟任何一个未知的领域都是值得探索的。
&br& 祝你好运！
科学研究现在是职业化了的。主要靠兴趣，天赋并不是特别重要，只要努力都能做出比较优秀的工作。 物理领域主要分为三大块，理论解析，数值计算，实验。现在这三大块所做的工作界限比较分明，但合作也很频繁。这三个领域需要学习的东西和培养的能力不同。 热…
看到这个回答，真的是深有感触啊。&br&空讲道理似乎说服力不强，所以这里我想先讲讲我的故事。&br&自己高中是数学竞赛全国三等奖，通过保送生考试进入清华的。由于保送生考试成绩不理想，被调剂进入了生医系。因为自己对于生物缺乏兴趣，所以在入学之前就已经开始想转系的事情了。其实回忆起来，在入学之前我想过转很多院系，比如我高中最喜欢的数学，比如眼下最火热的经济管理，比如清华第一大系电子，等等。不过，还真是没有想过物理系。高中的自己比较贪玩儿，因为数学竞赛耽误了太多课程，其中也包括物理。恰巧，基科班有二次招生，一个高中学长告诉我一定要抓住这次机会，于是我抱着试一试的态度参加了基科班的二次招生。印象中当时是有16个人报名参加了二次招生，最终只有六位同学通过，其中居然有自己，当时感到非常的兴奋，自己居然在清华这个牛人辈出的集体中第一次参与这种大考就能够胜出但是，当我去基科班报道的时候，我发现我们这一届是第一届改回小基科，也就是说数学系不再有基科班，只有物理系保留两个基科班。也就是说，我转入了物理系。&br&当时自己已经没有退路了，协议已经签订，我不可能刚刚转过系又再转一次系，所以只能既来之则安之了。&br&我早已做好了物理系压力远大于其他院系的准备，也早已做好了身边的同学也略强于其余院系的准备，更做好了和身边同学在基础上的巨大差距的准备。就像小时候打乒乓球比赛，教练时常告诉我们的一句话：现在的对手比你要强，那你就放下包袱全力去拼，没准儿就能拼下来了，拼不下来至少也没有遗憾！&br&记得数学系一楼那几个小教室是我大一上经常去自习的地方，每天到它关门我才想离开。有时候，也经常会躺在中间的草坪上，慨叹一句：我怎么走错门了？每天晚上自己都是最后一个离开，以至于数学系的保安同志都认识我了。高等微积分，高等代数，轻车熟路；可是基础物理学原理与试验，去遇到了非常大的困难。&br&还记得当时最头疼的事就是陈曦老师又布置作业了，最难过的事就是抱着基原作业抓耳挠腮的时候了。记得每次写作业，都有大量的问题向室友请教，逐渐的室友会感到不耐烦，有的时候还在自己问问题的时候加上一句：这么简单的问题都不会做？&br&当时觉得自信心受到了强烈的冲击，从那以后我基本没有在作业方面请教过除了 &a data-hash=&3e722d3d73eae4af6578& href=&//www.zhihu.com/people/3e722d3d73eae4af6578& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@陈源& data-hovercard=&p$b$3e722d3d73eae4af6578&&@陈源&/a& 同学之外的任何人(在这里要特别感谢一下我的初中、高中、大学校友陈源同学，他不仅拥有优秀的成绩和出色的品格，更是乐此不疲的在各个方面帮助我，在我入学最困难的时候为我提供了相当多的帮助)。所以，经常是一次作业就写好几天。眼看着室友不到半小时就做完，而我却要耗费很长时间，自信心几次走在崩溃的边缘。&br&好在自己还是挺住了，从做不出来到每次作业都能完成，虽然花费的时间还是比别人要长很多，自信心也慢慢的在回来。就是在那个时候，我听说了物理系有一个叫做「学堂班」的组织，貌似有很多学习很好的同学在里面。当时自己心里就在想：我还是踏踏实实把自己的作业写好吧，这个和我关系不大。&br&很快，基原期中考试临近了。虽说自己还是水平不济，但是还算是做了充分的准备，考试也觉得考的还可以。可是，当自己去看卷子的时候，映入眼帘的，却是一个血淋淋的71分。物理、基科一字班的同学们都知道，陈曦老师那次题目出的相当的简单，平均分似乎超过了85。&br&这时，觉得自己的自信心受到了有生以来的最大挑战：我这么努力为什么还是不行？我到底是不是脑子笨不适合学物理？自己当时就陷入了这种迷茫和纠结当中，不能自拔。&br&还记得有一次足球系队训练结束，我们一起去吃饭，当我在抱怨自己不行的时候，我很清楚地记得胡某同学说的一句话：人家都搞了三年竞赛了，你才学了半年，你怎么知道人家就行你就不行？&br&于是，「变本加厉」的早出晚归，成为了我日常的作息。看着身边的人生活丰富多彩，我却连基本的足球和乒乓球训练都没有时间去保证，其实心里挺不是滋味的。不过，为了不再考一个很难看的成绩，我还是继续安静地坐在书桌前，学着我之前并不很喜欢的物理。慢慢地我发现了，物理原来还是很有趣的！&br&后来找陈曦老师聊天的时候，他告诉我，那个学期的基原期末考试，我的卷面成绩似乎是 &b&满分 &/b&。&br&但是，第一个学期的成绩似乎并不理想(排名在后一半，已经挺差的了)，自己的收获也没有自己预期的高，很多需要会的需要学到的东西都没有学好。我默默地告诉自己，既然自己已经开始喜欢物理了，那就要尽力去学到更多的更有趣的物理，再加把劲！&br&大一下半学期，是自己最引以为傲的一段时间。自己当时已经想好了要在物理上面试一试了，奈何家里面给自己的压力还是很大，父亲觉得学物理有点辛苦，建议我转向一个更加轻松或者更加有收益的专业。于是，我顶住巨大的压力继续学习，记得当时就是憋着一股劲儿想要证明给父亲看看我自己是能行的，学物理也并不是那么没有前途。还记得大一下的考试周，自己在连续熬夜(三天加起来睡了不到9个小时吧)之后吐在六教6B403的一口鲜血(大概在考试周第三天的中午12点左右)，想起了那一个个挑灯夜战的日子，想起了看着越来越舒服的物理书，想起了一次次撑不住的时候，姐姐(我之前的回答里面有提到)和朋友们一次次的鼓励。&br&虽然我没想到自己回来到物理系，但是来到物理系之后更没有想到的是一个学期，我就可以把名次从70多名搞到10多名(总年度年级排名30多一点吧，10多名是第二个学期的排名)，就可以学到之前那么多年都没有学到过的有趣的知识，有趣的物理。&br&后来，自己慢慢地开始对成绩不再那么care，能投入更多的精力到学习物理本身当中。本科四年来，我在培养方案之外多选了9门研究生课程，在课程之外至少读完了100+篇文章和若干本自己感兴趣的textbook。虽然和大神们仍然有着非常巨大的差距，但是自己也算是找到了自己真正热爱的东西，和实现自己的价值、自我认同的方式。&br&现在，我推研到了清华高等研究院，开始了理论凝聚态物理的研究。也算是找到了一条适合自己的、自己喜欢的路，希望自己可以坚持下来！&br&说了这么多，我想要总结几句了：&br&&br&1. &b&不要盲目和他人相比，也不要刻意回避比较和竞争。&/b&&br&&br&&br&在清华，听到过很多人抱怨自己被大神虐得死去活来，也听到过诸如「不要和大神们相比，只和自己相比就好」的劝告。虽然这些都是现实，劝告说的也非常有道理，但是我想说，我们既不要因为大神们的出色表现而否定自己的能力，更不要因为这个来回避和他们的比较和竞争。前者叫做「&b&被问题打倒」&/b&，而后者则叫做&b&「刻意回避问题」&/b&。&br&&b&&u&清楚的认识到自己和大神们的差距，然后正确的认识到这样的差距，不卑不亢的面对这样的差距，在这种差距中找到自己的位置和价值之所在&/u&&/b&，这一直是我所追求的最高境界。记得文小刚老师说过，&b&&u&在别人定下的标准下做到最好，只能叫做中等人才。能在摆脱这样的束缚，并能够找到并且实现自己的价值，才是最顶尖的人才&/u&&/b&。这一点，也是自己做的很欠缺的地方，今后还需要完善。&br&&br&&b&2. 理性的分析问题，反省自己&/b&&br&&br&这句话老生常谈了，我想大家心里都很清楚。我想说的，就是每当自己抱怨被大神虐得死去活来的时候，有没有从内心深处好好的去分析一下，&u&&b&你们的差距究竟有多大，和造成这样的差距的原因是什么&/b&&/u&。抱怨完了，该做什么做什么，抱怨之前甚至连这样的思考都没有，我认为被虐的日子还在后头呢！子曰：吾日三省吾身，这并不是一句高悬于庙堂之上的大话，也不是一句大家从小就会背诵的空话，而是一个需要我们铭记的准则。&br&&br&&b&3. 摆正位置，不卑不亢&/b&&br&&br&又是一句老生常谈。但是，别人我并不是很清楚，自己却经常忽略这一条。我认为，所谓「不卑不亢」，在这里就是面对自己和大神们的差距，不是一味的否定自己，自甘堕落，也不是一定要不惜一切代价赶上这样的差距，而是要明确自己的位置，和自己需要追求的东西。例如，我是搞凝聚态物理的，我为什么要在一些化学课上和化学习的同学一较长短？再例如，我是做理论的，为什么要像做实验的同学一样，把各种实验仪器搞得一清二楚？事事都要争第一，不仅会为自己带来巨大的压力，而且会淡化自己本该做好的事情，从而影响自己今后的工作。虽然看似老生常谈，但这也是自己需要时常提醒自己的话。摆在这里，时不时拿出来看看，勉励自己！&br&&br&最后，祝所有和我一样的「学渣」能够摆正位置，实现属于自己的价值。清华并不是一个唯分数论、唯荣誉论的地方，所有人都可以非常优秀，在自己所擅长的、喜爱的领域里面。&br&&br&&b&&u&加油！&/u&&/b&&br&&br&&br&&b&---------分割线---------&/b&&br&&br&&br&这个考试周比较闲(没有考试，出完了考试题，只剩一篇term paper了)，再来回忆一下我大学四年和物理系学堂班的故事吧。回忆起来，还是很坎坷的。。&br&&br&(下面的故事从大一下结束，大二上开始那段时间起)&br&&br&很快，学堂班面试来临了。我想，我既然能够取得这么大的进步，为什么还要自备，是不是可以尝试一下呢？如果我发挥好是有可能进入的啊！抱着这样试一试的心态，我参加了第一次学堂班面试。&br&其实自己当时没有打算成功的，可是“一败涂地”的面试还是让自己很不开心。记得当时问了一个很简单的电磁学的问题，结果我一时没有想起来。记得翟荟老师的教诲：认真的学习态度固然是好的，可是以后希望你能更多的注意一些物理本身的东西，多思考少推导。自己的第一次学堂班面试过去了，不尽人意，却也不温不火。&br&大二一年，我谨记翟荟老师的教诲，在每次看书的时候加上了一些思考，多去思考一些物理本身的东西。这一年我的进步很大，尤其是在陈曦老师的热力学课程和徐湛老师的量子力学课程上，感觉自己的物理水平有了质的提高，逐渐地也能够提出一些还算不错的问题。那年暑假，我选择了到高等研究院做seminar。&br&大三一上来不知怎么，自己的劲头非常充足，选了很多的课程，自己还同时看很多的书和文章，包括量子场论之类的。很快，第二次学堂班面试快到了，这一回，自己不像上一次一样抱着试一试的态度，这一次我认为自己一定能进去的。&br&记得当时面试的时候自己简单讲了一下生活中我思考的一个热力学问题，讲的还算清楚，老师问的问题也答出来了，觉得自己应该没有什么问题。&br&结果，依然是入选失败！&br&很不愿意回忆当时是怎么过来的，总之，那段时间和面试之前的日子形成鲜明的对比，每日过得浑浑噩噩，就像一具行尸走肉一般。手头摆着很多看了一半的书和文章，还有一堆未完成的作业，自己都没有心情去完成，记得自己每日有时候连洗脸刷牙都省掉了。自信心受到了前所未有的打击，难道我这些年来所有的努力都付之东流了么？我真的适合学物理么？萌生去意的我找了材料学院的一位老师准备做点东西，为转行离开物理做准备，可是发现自己根本集中不起注意力，虽然自己决心要从这个阴影里走出来，可是依旧不甘心，觉得自己这次不该失败，更觉得自己不能退缩。&br&终于，我还是回来了，回到了高研组里继续学习我喜欢的理论凝聚态物理。大三下学期我还在组里面办起了本科生的reading course，组织我们组的本科生一起看一些书，自己对于理论物理的热爱慢慢回来了，慢慢地又能够抛开其他事情，钻进繁杂的费曼图中算的昏天黑地。&br&时间很快到了大四上，纠结了一年的我最终还是选择了到高研继续自己的博士生涯。这一年虽然过得跌宕起伏，但是感觉自己的水平依旧提高了很多，通过王亚愚老师的课程(「实验凝聚态物理选讲」，清华物理系的小伙伴们，这门课强烈推荐啊！！！)，觉得自己真的还算不错，王亚愚老师也对自己赞赏有加。&br&“你这急匆匆的干什么去？”“学堂班面试呢！最后一次机会了啊。”“大哥你怎么大四了还面试！”“我还想再试一试，不甘心啊！”这是一堂乒乓球校队训练课结束之后我和我姐的一段对话。这次，感觉自己的心态已经很好了，正如我们组的一个师弟所说，“你的实力已经不需要进入学堂班来证明给谁看了。”&br&其实这次学堂班面试表现的不是太好，觉得自己表现的过于强势了。自己先入为主的讲了很多自己在做和感兴趣的东西，虽然被李师群老师表扬了一下，但是觉得还是有些不尊重台下的老师，自己也非常想去找那些老师道歉。&br&“这次一定没问题了！”出了教室之后我告诉自己，虽然已经不如之前那么在意。&br&过了大概一个月时间吧，我收到了学堂班通过的消息。虽然说自己觉得自己的水平本该更早的进入学堂班，可是得到消息的一刻，我还是激动地说不出话来。这个自己追求了三年的荣誉，终究还是来临了，虽然觉得来迟了，可是这是对自己三年来刻苦奋斗的最大的肯定！&br&&br&我知道，在我的背后，有那么一些人指手画脚的说，「大四了才进学堂班，渣渣！」可是，这件事情，可是自己在大学本科生涯中，最值得自己骄傲的一件事情。学堂班，我追求了三年。有希望，也有彷徨和消沉，但令我骄傲和自豪的是，没有放弃。&br&&br&四年前，我和物理系在清华园邂逅；三年前，我和学堂班在物理系邂逅。三年，我终于成功了，虽然这份迟到的荣誉让我凭添了很多困扰。&br&&br&希望，和我一样的「清华学渣」们，能够摆正位置，认清自己，&br&&br&&b&&u&做你想做的，爱你热爱的！&/u&&/b&&br&&b&&u&---------&/u&&/b&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-eecaf9c5f79d4c498acbfa55_b.jpg& data-rawwidth=&994& data-rawheight=&156& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&994& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-eecaf9c5f79d4c498acbfa55_r.jpg&&&/figure&给大家贴一个三无账号污蔑人的回复，蒋硕老师的期末考试是开卷考试，试问我如何作弊？&br&以保留追究法律责任的权利
看到这个回答，真的是深有感触啊。 空讲道理似乎说服力不强，所以这里我想先讲讲我的故事。 自己高中是数学竞赛全国三等奖，通过保送生考试进入清华的。由于保送生考试成绩不理想，被调剂进入了生医系。因为自己对于生物缺乏兴趣，所以在入学之前就已经开始…
&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%E5%25AD%%258A%259B%25E5%25AD%25A6%23.E5.9F.BA.E7.A4.8E.E5.85.AC.E8.A8.AD& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&量子力学&/a& 的基本假设/公设包含有以下一条:&br&物理系统的一个&b&确定的&/b&状态 用&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%25B8%258C%25E5%25B0%%25BC%25AF%25E7%%25E7%25A9%25BA%25E9%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&希尔伯特空间&/a& 中的向量&描述&.&br&在非相对论性量子力学中, 时间和空间不&平权&; 时间是作为&b&参数&/b&被而不是可观测量的本征值被引入的. 人们希望一个好的理论能够预测物理系统如何&演化&, 亦即, 在数学语言中, 描述物理系统状态的向量和时间的关系如何. &b&薛定谔方程就是作为预测一个孤立物理系统如何随时间演化的基本假设被引入量子力学的.&/b&&br&&br&牛顿质点力学中, 牛顿第二定律的地位可以与薛定谔方程 (描述的量子态时间演化的规律) 在量子力学中的地位相类比. 但是需要注意的是, 牛顿第二定律的数学描述是一个&b&二阶&/b&微分方程, 这意味着我们要知道质点在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t%3D0& alt=&t=0& eeimg=&1&&时刻的位置和速度才能预言质点未来的运动; 薛定谔方程是一个&b&一阶&/b&微分方程, 就是说我们不需要知道物理系统在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t%3D0& alt=&t=0& eeimg=&1&&&下一时刻&的状态, 就可以预言所有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t%3E0& alt=&t&0& eeimg=&1&&时刻的系统状态.&br&&br&需要说明的是, 我们原则上无法测量&b&单个&/b&物理系统的相邻两个时刻的状态. 请参见 &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Quantum_Zeno_effect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Quantum Zeno effect&/a& (量子芝诺效应): &对量子系统的连续测量会冻结其演化&. &br&这一点可以大概说明如下. &br&&blockquote&在0时刻测量到系统处于状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cpsi%5Crangle& alt=&|\psi\rangle& eeimg=&1&&以后, 经过&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+t& alt=&\delta t& eeimg=&1&&时间以后, 一般而言&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta%7C%5Cpsi%5Crangle& alt=&\delta|\psi\rangle& eeimg=&1&&是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal+O%28%5Cdelta+t%29& alt=&\mathcal O(\delta t)& eeimg=&1&&量级 (以模长); 但是系统在此时刻测量到系统坍缩到其它态的概率量级为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal+O%28%28%5Cdelta+t%29%5E2%29& alt=&\mathcal O((\delta t)^2)& eeimg=&1&&; 若&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+t%5Crightarrow0& alt=&\delta t\rightarrow0& eeimg=&1&&并且测量连续进行, 系统将不演化.(数学上, &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7B%5Cepsilon%5Crightarrow0%7D%7B%5Cleft%5B1%2B%5Cmathcal+O%28%5Cepsilon%5E2%29+%5Cright%5D%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cepsilon%7D%7D%7D%3D1& alt=&\lim_{\epsilon\rightarrow0}{\left[1+\mathcal O(\epsilon^2) \right]^{\frac{1}{\epsilon}}}=1& eeimg=&1&&)&/blockquote&&br&就是说, 我们测量到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cpsi%28t%3D0%29%5Crangle& alt=&|\psi(t=0)\rangle& eeimg=&1&&以后, 是无法通过测量其&b&自由演化&/b&得到的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cpsi%28t%3D%5Cdelta+t%29%5Crangle& alt=&|\psi(t=\delta t)\rangle& eeimg=&1&&的.&i&&u&我认为&/u&&/i&这说明, &b&薛定谔方程是只能是一阶微分方程&/b&这个事实是和量子理论其它部分相容的; 如果薛定谔方程是二阶微分方程甚至以上, 量子力学其它基本假设就有可能不是正确的.&br&&br&一个可能的解决方案是, 在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t%3D0& alt=&t=0& eeimg=&1&&时刻制备大量的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cpsi%5Crangle& alt=&|\psi\rangle& eeimg=&1&&态, 测量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+t& alt=&\delta t& eeimg=&1&&以后这个系综的状态; 然而这样, 越精确的预言将要求越大的系综. 我不知道这是否可行, 请熟悉的知友指正.
的基本假设/公设包含有以下一条: 物理系统的一个确定的状态 用 中的向量"描述". 在非相对论性量子力学中, 时间和空间不"平权"; 时间是作为参数被而不是可观测量的本征值被引入的. 人们希望一个好的理论能够预测物理系统如何"演化", 亦…
或许我可以给出一个更直观，恐怕是不够严谨的认识。&br&经典波动函数为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%28x%2Ct%29%3DA_%7B0%7De%5E%7Bi%28kx-%5Comega+t%29%7D+& alt=&A(x,t)=A_{0}e^{i(kx-\omega t)} & eeimg=&1&& (此式可参加任何一本电动力学教科书，均有详细推导过程）。&br&在量子力学中，可认为波函数与经典波动方程对应（具体可能是先猜想，后实验认定），且对于微观粒子，有下述德布罗意关系&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnu+%3DE%2Fh%2C%5Clambda+%3Dh%2Fp& alt=&\nu =E/h,\lambda =h/p& eeimg=&1&&,带入经典波动方程，得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi+%28x%2Ct%29%3D%5Cvarphi+_%7B0%7Dexp%5B-i%28Et-%5Chat%7Bp%7Dx%29%2F%5Chbar%5D& alt=&\varphi (x,t)=\varphi _{0}exp[-i(Et-\hat{p}x)/\hbar]& eeimg=&1&&。&br&如上式所给出的信息，便可推知&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i%5Chbar%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cvarphi+%3DE%5Cvarphi+& alt=&i\hbar\frac{\partial }{\partial t} \varphi =E\varphi & eeimg=&1&&。接着按照经典力学的定义，有哈密顿量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H& alt=&H& eeimg=&1&&与能量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E& alt=&E& eeimg=&1&&等价，便可最终得出薛定谔方程。&br&顺带的，也把动量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&表达出来，即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7Bp%7D%3D-i%5Chbar%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x%7D+& alt=&\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x} & eeimg=&1&&。&br&当然赵兄无穷小演化算符的说法，显然更严谨，朗道的书里写得非常详细，不过初学者可能会觉得不够直观。通过平面波来理解，大抵更容易构建量子力学与经典物理的桥梁。
或许我可以给出一个更直观，恐怕是不够严谨的认识。 经典波动函数为A(x,t)=A_{0}e^{i(kx-\omega t)} (此式可参加任何一本电动力学教科书，均有详细推导过程）。 在量子力学中，可认为波函数与经典波动方程对应（具体可能是先猜想，后实验认定），且对于微观…
&p&其实薛定谔方程非常好理解啊…………&br&一般的薛定谔方程就说了一个很简单的事情：哈密顿算符是时间演化的生成子：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7BH%7D%7C%5Cphi%5Crangle%3Di%5Chbar%5Cfrac%7Bd%7C%5Cphi%5Crangle%7D%7Bdt%7D& alt=&\hat{H}|\phi\rangle=i\hbar\frac{d|\phi\rangle}{dt}& eeimg=&1&&&br&或者说，态的时间演化可以形式地写成：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cphi%2Ct%5Crangle%3De%5E%7B-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Chat%7BH%7Dt%7D%7C%5Cphi%2C0%5Crangle& alt=&|\phi,t\rangle=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}|\phi,0\rangle& eeimg=&1&&&br&&br&那么哈密顿算符是什么，这个其实完全是从经典力学中的哈密顿量来的。哈密顿量是什么？其实就是能量函数……所以不含时的、定态的薛定谔方程就更好理解了：就是如果一个系统处于稳定状态不随时间变化，它的能量守恒：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7BH%7D%7C%5Cphi%5Crangle%3DE%7C%5Cphi%5Crangle& alt=&\hat{H}|\phi\rangle=E|\phi\rangle& eeimg=&1&&&br&&br&能量为什么和时间有关，能量和时间是什么关系，这都是经典力学中就很清楚的东西：即能量是因为时间平移对称性而产生的守恒量。&br&&br&哦，对了，需要多说一句。一般说到薛定谔方程，是特指哈密顿算符取成类似牛顿力学的样子：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7BH%7D%3D%5Cfrac%7B%5Chat%7Bp%7D%5E2%7D%7B2m%7D%2BV%28%5Chat%7Bx%7D%29& alt=&\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(\hat{x})& eeimg=&1&&&br&这和牛顿力学中能量的表达式是一样的。而相对论性的“薛定谔方程”，则是两个：Klein-Golden方程和狄拉克方程，它们的哈密顿量是相对论中的能量表达式。但第一个方程问题很大，Dirac方程在低能状况下还凑合，但也有问题。所以通常说到相对论性量子力学，都只把它当做过渡理论。真正的相对论性量子力学，是&b&量子场论&/b&。虽然哈密顿量长得一样，但场论是&b&多体理论&/b&。&br&&br&对了，还需要再说一句……或许你会有疑问，为什么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7B%5Cbm%7Bp%7D%7D%3D-i%5Chbar%5Cnabla& alt=&\hat{\bm{p}}=-i\hbar\nabla& eeimg=&1&&，（&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%3D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+x%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+y%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+z%7D%29& alt=&\nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})& eeimg=&1&&），这个源头也要回想一下经典力学里动量是什么。动量是空间平移操作的生成子，这和能量是时间演化操作的生成子是一样的。所以，平移&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta%5Cbm%7Bx%7D& alt=&\delta\bm{x}& eeimg=&1&&后的状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7Ca%27%5Crangle& alt=&|a'\rangle& eeimg=&1&&与平移前的状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7Ca%5Crangle& alt=&|a\rangle& eeimg=&1&&可以形式地写成：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7Ca%27%5Crangle%3De%5E%7B-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Chat%7B%5Cbm%7Bp%7D%7D%5Ccdot+%5Cdelta%5Cbm%7Bx%7D%7D%7Ca%5Crangle%5Capprox%281-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Chat%7B%5Cbm%7Bp%7D%7D%5Ccdot+%5Cdelta%5Cbm%7Bx%7D%29%7Ca%5Crangle& alt=&|a'\rangle=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{\bm{p}}\cdot \delta\bm{x}}|a\rangle\approx(1-\frac{i}{\hbar}\hat{\bm{p}}\cdot \delta\bm{x})|a\rangle& eeimg=&1&&&br&在坐标表象中，我们用坐标来标记系统的状态，即用态在坐标本征态上的分解展开（有点类似于你在直角坐标系中写一个向量的3个分量）来表示这个态，展开“系数”叫做&b&波函数&/b&。所以我们将态用坐标本征态展开：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7Ca%5Crangle%3D%5Cint%7C%5Cbm%7Bx%7D%5Crangle%5Clangle+%5Cbm%7Bx%7D%7Ca%5Crangle+d%5Cbm%7Bx%7D& alt=&|a\rangle=\int|\bm{x}\rangle\langle \bm{x}|a\rangle d\bm{x}& eeimg=&1&&&br&那么（第一步的平移就是把态平移而已，第二步则是做了代换&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7Bx%7D%27%3D%5Cbm%7Bx%7D%2B%5Cdelta+%5Cbm%7Bx%7D& alt=&\bm{x}'=\bm{x}+\delta \bm{x}& eeimg=&1&&，因为积分限是全空间所以不变，第三部就是单纯的函数泰勒展开）&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7Ca%27%5Crangle%3D%5Cint%7C%5Cbm%7Bx%7D%2B%5Cdelta%5Cbm%7Bx%7D%5Crangle%5Clangle+%5Cbm%7Bx%7D%7Ca%5Crangle+d%5Cbm%7Bx%7D%3D%5Cint%7C%5Cbm%7Bx%7D%27%5Crangle%5Clangle+%5Cbm%7Bx%7D%27-%5Cdelta%5Cbm%7Bx%7D%7Ca%5Crangle+d%5Cbm%7Bx%7D%27%3D%5Cint%7C%5Cbm%7Bx%7D%27%5Crangle%281-%5Cdelta%5Cbm%7Bx%7D%5Ccdot%5Cnabla%29%5Clangle+%5Cbm%7Bx%7D%27%7Ca%5Crangle+d%5Cbm%7Bx%7D%27& alt=&|a'\rangle=\int|\bm{x}+\delta\bm{x}\rangle\langle \bm{x}|a\rangle d\bm{x}=\int|\bm{x}'\rangle\langle \bm{x}'-\delta\bm{x}|a\rangle d\bm{x}'=\int|\bm{x}'\rangle(1-\delta\bm{x}\cdot\nabla)\langle \bm{x}'|a\rangle d\bm{x}'& eeimg=&1&&&br&我们和&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7Ca%27%5Crangle%3D%281-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Chat%7B%5Cbm%7Bp%7D%7D%5Ccdot+%5Cdelta%5Cbm%7Bx%7D%29%7Ca%5Crangle& alt=&|a'\rangle=(1-\frac{i}{\hbar}\hat{\bm{p}}\cdot \delta\bm{x})|a\rangle& eeimg=&1&&&br&对比一下，由于平移&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta%5Cbm%7Bx%7D& alt=&\delta\bm{x}& eeimg=&1&&是任意（小）的，所以&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7B%5Cbm%7Bp%7D%7D%7Ca%5Crangle%3D-i%5Chbar%5Cint%7C%5Cbm%7Bx%7D%27%5Crangle%5Cnabla%5Clangle%5Cbm%7Bx%7D%27%7Ca%5Crangle& alt=&\hat{\bm{p}}|a\rangle=-i\hbar\int|\bm{x}'\rangle\nabla\langle\bm{x}'|a\rangle& eeimg=&1&&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clangle%5Cbm%7Bx%7D%27%7C%5Chat%7B%5Cbm%7Bp%7D%7D%7Ca%5Crangle%3D-i%5Chbar%5Cnabla%5Clangle%5Cbm%7Bx%7D%27%7Ca%5Crangle& alt=&\langle\bm{x}'|\hat{\bm{p}}|a\rangle=-i\hbar\nabla\langle\bm{x}'|a\rangle& eeimg=&1&&&br&也就是&b&对坐标表象中的波函数而言，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7B%5Cbm%7Bp%7D%7D%3D-i%5Chbar%5Cnabla& alt=&\hat{\bm{p}}=-i\hbar\nabla& eeimg=&1&&。&/b&&/p&
其实薛定谔方程非常好理解啊………… 一般的薛定谔方程就说了一个很简单的事情：哈密顿算符是时间演化的生成子： \hat{H}|\phi\rangle=i\hbar\frac{d|\phi\rangle}{dt} 或者说，态的时间演化可以形式地写成： |\phi,t\rangle=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}|…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-811e610d58db0ae7e60e99c3de370ad0_b.jpg& data-rawwidth=&710& data-rawheight=&399& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&710& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-811e610d58db0ae7e60e99c3de370ad0_r.jpg&&&/figure&作者：&a href=&http://www.zhihu.com/people/ce7ccd535edc983b67f315& data-hash=&ce7ccd535edc983b67f315& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@葛自勇& data-hovercard=&p$b$ce7ccd535edc983b67f315&&@葛自勇&/a&&p&审校：&a href=&http://www.zhihu.com/people/c6ea3dd64& data-hash=&c6ea3dd64& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@sym cheng& data-hovercard=&p$b$c6ea3dd64&&@sym cheng&/a& &a href=&http://www.zhihu.com/people/faa49acd2a65& data-hash=&faa49acd2a65& class=&member_mention& data-title=&@QWERTY& data-editable=&true& data-hovercard=&p$b$faa49acd2a65&&@QWERTY&/a&
&/p&&p&&strong&核心提示：&/strong&有了量子场论，人们才能从某种程度上说真正理解了电荷的本质。&/p&&p&我们或许在很小的时候就知道，这个世界有正负两种电荷，带同种电荷的物体相斥，带异种电荷的物体相吸。我们还知道，电子带负电荷，质子带正电荷。但事实上，对于电荷的本质，可能大多数人并不清楚。虽然电荷的概念已经有了数百年，但是直到上个世纪中期，有了量子场论，人们才能从某种程度上说真正理解了电荷的本质。而今天的主题就是揭开这个我们既熟悉又陌生的电荷的真正面纱。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3d687a9f125d0e3fdde6eb_b.jpg& data-rawwidth=&535& data-rawheight=&437& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&535& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3d687a9f125d0e3fdde6eb_r.jpg&&&/figure&&br&&p&&strong&一、写在前面&/strong&&/p&&p&在正式讨论电荷的本质之前，我们有必要先阐述关于现代物理学研究的一个基本思想：现代物理学在评判一个理论的正确性或成功性时，最重要的标准是该理论本身的自洽性和能否很好地解释实验规律，因此，即使该理论违背了直觉或一些早已在人们心中根深蒂固的“事实”，那也在很大一部分程度上也是可以接受的。&/p&&p&就拿电子和声子的例子来说吧。现在人们基本承认电子是一种基本粒子，但事实上我们并没有亲眼看到电子长得什么样，是圆的？还是方的？我们唯一清楚的是根据探测器探测到的数据可以肯定某粒子的行为跟我们定义出来的电子的行为是一模一样的；而对于声子，我们则普遍认为它是一种准粒子，并非真实存在的，但另一方面，从探测器上的数据来看它确实完全可以认为是一种真实存在的粒子。因此，从某种程度上来说，“电子不一定真，声子不一定假”。这看起来似乎很荒诞，但并不碍事，其实无论是真实粒子还是准粒子，只不过是定义上的差别，其理论本身则是自洽的并能很好地解释各种实验现象，那我们就不能因为这个定义看起来很不符合直觉就认为它是错的。我们的物理实质是不应该依赖于选择什么表象的（物理实质只能是实验现象和数据），而对于各种物理量的定义从某种意义上来说就是一种表象。既然不依赖于表象，我们当然是选择一种最简单直观的表象来理解我们的世界咯，比如说定义粒子的电荷就能很好得解释各种电磁现象了，何乐而不为？&/p&&p&所以，真正的好的理论或伟大的理论，并不是它能够推翻人们先前对这个世界的某些认识，或其多么晦涩难懂，而是，首先它是自洽的并且能够完美地解释和预测实验，其次它是简洁直观的。这里的直观不是说它一定要符合直觉，而是物理过程是可以直接从该理论中读出来，比如在狄拉克方程中，反粒子的概念可以直接从方程式中得出来，这就是所谓的直观。&/p&&br&&p&&strong&二、诺特定理&/strong&&/p&&p&艾米·诺特（Emmy Noether，，德国数学家），作为20世纪最伟大的女性数学家，被誉为“抽象代数之母”，其在物理学领域也有一项具有划时代意义的工作，即我们将要阐述的诺特定理。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-90c89efafd19cf5f33334fb_b.jpg& data-rawwidth=&339& data-rawheight=&488& class=&content_image& width=&339&&&/figure&诺特定理是将物理中的守恒量与对称性联系起来的一个理论，即，系统的任何一个连续对称性都能对应一种守恒量（这里必须是连续对称性）。比如说，对于自由粒子体系，它有空间平移对称性，因此它就对应了系统动量守恒；对于保守力场体系，它有时间平移对称性，因此它就对应了系统能量守恒；对于有心力场体系，它有空间旋转对称性，因此它就对应了系统角动量守恒。&/p&&p&事实上，这些守恒量我们统称为守恒荷，将这些荷的空间分布密度定义为荷密度&em&ρ&/em&，对荷密度进行全空间积分便得到系统总的荷量。而一般情况下空间中的荷是一直在空间流动的，这样这些荷就形成了流&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7BJ%7D& alt=&\vec{J}& eeimg=&1&&（具体物理图像，读者可参考水流和电流的物理过程，可以从中类比过来）。那么，若系统具有某种对称性，根据诺特定理，我们可以推导出如下的守恒荷方程:&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D%5Crho+%2B%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cvec%7BJ%7D%3D0& alt=&\frac{\partial}{\partial t}\rho +\nabla \cdot \vec{J}=0& eeimg=&1&&&br&&p&或积分形式：&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D%5Cint+%5Crho+d%5E3x%3D0& alt=&\frac{\partial}{\partial t}\int \rho d^3x=0& eeimg=&1&&&br&&p&第一个方程的物理意义是空间所有点的荷密度变化率等于该点流入或流出的荷密度的速率，也就是说该体系是一个保守体系，没有任何荷从该系统中消失也没有额外的荷进入到该体系，因此该系统的总的荷是守恒的（其实，第二个积分方程更能十分直观反映荷守恒的结论，但不如微分方程给出的物理过程那么清晰）。其实，这也就是电荷守恒的微分和积分形式。&/p&&p&&strong&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-5171bcbe2de190cfbc91262_b.jpg& data-rawwidth=&369& data-rawheight=&302& class=&content_image& width=&369&&&/figure&注：&/strong&对称性是现代物理学理论中的一个极其重要的概念，其表示在经过某些变换时，系统状态保持不变，而这里系统的状态则是由系统的欧拉-拉格朗日方程（又称运动方程）所描写的。例如，对于保守场体系，系统的拉格朗日量不显含时，从而它的运动方程也只含有时间的偏导项，因此对时间进行平移变换（即t→t+T的变换，这样，对时间的偏导项会保持不变），运动方程自然保持原来的形式，所以我们说该保守系统具有时间平移对称性。&/p&&br&&p&&strong&三、电荷的本质&/strong&&/p&&p&读到这，相信很多读者可能已经对电荷有了一些似是而非的理解了。是的，同能量、动量和角动量一样，电荷也是来自于一种连续的对称性，叫做全局的U(1)规范对称性。该对称性与能量、动量及角动量所对应的时间平移、空间平移和空间旋转对称性是有很大区别的，后者的对称性都是和时空相关的，都被称为时空对称性，而前者的对称性则与时空无关，被称为内禀对称性。因此，我们也称粒子的电荷是一种内禀的属性与时空无关。&/p&&p&那么，何为全局的U(1)规范对称性？我们知道，在量子场论中，粒子的行为是由该粒子的场算符所描写的，而对于很多粒子来说，它的场算符是由一对互为厄米共轭的复的场算符&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi+& alt=&\psi & eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi%5E%5Cdag& alt=&\psi^\dag& eeimg=&1&&来表示，比如电子。全局的U(1)规范变换，即是对场算符做&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi%5Crightarrow+e%5E%7Bi%5Calpha%7D+%5Cpsi& alt=&\psi\rightarrow e^{i\alpha} \psi& eeimg=&1&&的变化，即在场算符前加一个全局的相位因子（这里的&em&α&/em&是一个任意的与坐标无关的实参数，若其与空间坐标有关则被称为局域的U(1)规范变换，这里不予讨论）。若在这种变化下，即&em&α&/em& 取任何实数，系统的运动方程都保持不变，那么称该体系具有全局的U(1)规范对称性。&/p&&p&这样，我们可以根据相关的数学计算，将全局的U(1)规范对称性所对应的守恒荷的相关算符形式给求出来。例如，对于自由的电子场，根据诺特定理，通过计算我们可以得到如下的守恒荷的算符形式：&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Q%3D%5Cint+%5Cfrac%7Bd%5E3+p%7D%7B%282%5Cpi%29%5E3%7D%5Csum_s+%28a%5E%7Bs%5Cdag%7D_p+a%5E%7Bs%7D_p+-b%5E%7Bs%5Cdag%7D_p+b%5E%7Bs%7D_p%29& alt=&Q=\int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\sum_s (a^{s\dag}_p a^{s}_p -b^{s\dag}_p b^{s}_p)& eeimg=&1&&&br&&p&其中，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%5E%7Bs%5Cdag%7D_p%2C+a%5E%7Bs%7D_p+%2Cb%5E%7Bs%5Cdag%7D_p%2C+b%5E%7Bs%7D_p& alt=&a^{s\dag}_p, a^{s}_p ,b^{s\dag}_p, b^{s}_p& eeimg=&1&& 分别是电子与正电子（电子的反粒子）的产生、湮灭算符，s表示电子的自旋。显然将Q算符作用在电子的单粒子态上，我们得到单电子的该荷量是+1，作用在正电子的单粒子态上，得到正电子的单粒子荷量为-1，也就是说电子与正电子所带的这种荷大小相等，符号相反，而这一结论可以推广的所有粒子中。这里，大家可能发现了，我们仅仅给出了该荷的形式上的量子化关系，并不能计算出电子实际所带的该荷量的大小和其物理意义。这是由于我们上面所讨论的是自由电子场，并没有引入相互作用。当我们将电子场与电磁场进行耦合，即引入电磁相互作用时，我们发现电子所带的该种荷与我们先前定义的电荷的行为是完全一样的，因此，我们认为电子的该守恒荷就是我们所说得电荷。实际上，从电磁相互作用的拉格朗日量中我们可以看出，单粒子的电荷量大小影响着该粒子与电磁场的耦合强度（及QED的耦合系数），二者是成正比的。推广到经典极限下，粒子的电荷就表征着库伦力的大小和方向。总之，我们认为，电荷的本质是来源于粒子的全局U(1)规范对称性（其实反过来并不一定成立，也就是说并不是所有粒子的全局的U(1)规范对称性的守恒荷都是电荷，只有在是与电磁场耦合的意义下的全局的U(1)规范对称性的守恒荷才是电荷），是个内禀属性，其大小仅依赖于粒子种类，而不依赖于该粒子的时空坐标系选择，即对于一个确定的粒子来说，其电荷量是常量，且互为正反粒子所带的电荷量大小相等符号相反。&/p&&p&至此，或许有些读者表示很不满，认为这种意义下的电荷的本质不过只是一些数学上的小把戏。我们依旧看不清，摸不着，我们甚至怀疑其是否真正存在。然而，正如笔者前面所说的，同声子的概念一样，当我们有了电荷的概念以后，似乎一切物理图像都变得清晰了，并且整个体系是显得如此自洽、直观和完美，在这种意义下，我们为何不认为电荷就是真实存在的呢？或者说，如果不能获得其他什么价值，我们又有什么必要去认为电荷不是真实存在的呢？最后，笔者想引用一下狄拉克先生的一句名言：“这么漂亮的东西不可能是错的。”&/p&
作者：审校：
核心提示：有了量子场论，人们才能从某种程度上说真正理解了电荷的本质。我们或许在很小的时候就知道，这个世界有正负两种电荷，带同种电荷的物体相斥，带异种电荷的物体相吸。我们还知道，电子带负电荷，质子带正电…
可以强行积分，也可以 Gauss's Law。（University Physics, Young and Freedman, 13th）上两个方法：&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/a70b90e921c3cbf5e8b6a3_b.jpg& data-rawwidth=&1660& data-rawheight=&1242& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1660& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/a70b90e921c3cbf5e8b6a3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/efbd9aa43abae0d0f78fc3_b.jpg& data-rawwidth=&1728& data-rawheight=&1084& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1728& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/efbd9aa43abae0d0f78fc3_r.jpg&&&/figure&
可以强行积分，也可以 Gauss's Law。（University Physics, Young and Freedman, 13th）上两个方法：
&p&没啥科学不科学的，你老老实实把书上每个数学表达式都推一遍，保准学好电动力学。&/p&&p&嗯，重要的事情说三遍&/p&&p&推导&/p&&p&推导&/p&&p&推导&/p&&br&&p&初级阶段：嗯，书上是这个思路，我按照这个方法跟着走一遍。&/p&&p&进阶：嗯，不看书试试，让我先想想应该用个什么思路，先算啥再算啥，嗯，感觉推导也没有那么难。。&/p&&p&高阶：嗯，感觉这个公式可以从另一个角度出发得出来，让我试试。。然后就是花样推公式。。&/p&&p&神阶：啥？要推这个公式啊，这些符号都是咋定义的？让我推推看，先写个麦克斯韦方程组再说。。&/p&
没啥科学不科学的，你老老实实把书上每个数学表达式都推一遍，保准学好电动力学。嗯，重要的事情说三遍推导推导推导 初级阶段：嗯，书上是这个思路，我按照这个方法跟着走一遍。进阶：嗯，不看书试试，让我先想想应该用个什么思路，先算啥再算啥，嗯，感觉…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fd567aaa64eeb5c6dae9e9a_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&250& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-fd567aaa64eeb5c6dae9e9a_r.jpg&&&/figure&&ul&&li&
第一周丁浩刚老师的课已经全部结束了，这位老先生虽然不如钟锡华老师精神矍铄，但思路清晰，观点独特，给我留下了很深的印象。丁老师本人是搞广义相对论、共形场论方向的，这对我而言是个福音——我很喜欢这个方向。丁老师的前三节课主要是绪论和数学准备，最后半节课讲了Coulomb's law和电荷守恒定律，兹总结如下：&br&&/li&&li&1、电动力学的研究方向：电磁场——荷电物质系统 耦合系统的电磁相互作用。&/li&&li&2、主要课题：&/li&&li&（1）电磁场的基本规律；&/li&&li&（2）电磁场与荷电物质系统的相互作用；&/li&&li&（3）电磁现象的基本问题及每一类的特征；&/li&&li&（4）为什么从电磁现象的研究中会产生新的时空观——狭义相对论的时空观。&/li&&li&3、数学准备&/li&&li&（1）矢量代数&/li&&li&（2）场论初步&/li&&li&包括Stokes公式、Gauss公式及Newton-Leibniz 公式。&/li&&li&以下具体的补充张量有关的问题：&/li&&li&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-db242dc452dff_b.jpg& data-rawwidth=&919& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&919& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-db242dc452dff_r.jpg&&&/figure&张量证明简直是太爽了，Levi Civita符号我用的还不是太熟，还需要训练。&/li&&li&补充一道作业的证明&/li&&li&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b0bebdeeef794c7525bc_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&929& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b0bebdeeef794c7525bc_r.jpg&&&/figure&（3）&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+& alt=&\delta & eeimg=&1&&函数&/li&&li&
包括&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+& alt=&\delta & eeimg=&1&&函数及&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Green& alt=&Green& eeimg=&1&&函数&/li&&li&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-baee8c9e347f25b41c08b187_b.jpg& data-rawwidth=&940& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&940& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-baee8c9e347f25b41c08b187_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-03d55d6d285dd9b9ab7fe1_b.jpg& data-rawwidth=&1007& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1007& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-03d55d6d285dd9b9ab7fe1_r.jpg&&&/figure&【Green函数方法待更新】&/li&&li&（4）Helmholtz定理&/li&&li&证明如下（引用Wiki）&/li&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-1ad3a14e8a_b.jpg& data-rawwidth=&1296& data-rawheight=&793& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1296& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-1ad3a14e8a_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ced4ff48cd7e03d48a58_b.jpg& data-rawwidth=&1304& data-rawheight=&819& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1304& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ced4ff48cd7e03d48a58_r.jpg&&&/figure&&li&（5）并矢的运算&/li&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-18d8addb1c_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-18d8addb1c_r.jpg&&&/figure&&li&特别提醒：作为电动力学的初学者，一定要正确区分场量源量，我今天在某个姑娘面前装逼差点失败。&/li&&li&&b&我是个土生土长的西安人，但我强烈对西安的治安环境，尤其是贼多这个现象表示不满！希望新的书记能够在整治治安上有所作为。&/b&&/li&&/ul&&br&&b&以上&/b&
第一周丁浩刚老师的课已经全部结束了，这位老先生虽然不如钟锡华老师精神矍铄，但思路清晰，观点独特，给我留下了很深的印象。丁老师本人是搞广义相对论、共形场论方向的，这对我而言是个福音——我很喜欢这个方向。丁老师的前三节课主要是绪论和数学准备，…
&p&我也不理解这篇文章为何会突然爆发出这么多赞，与此而来的是一大堆的“看不懂”和“这是数学不是物理”的回复。对于前者，请你们不用再回复了，这篇文章对你们毫无意义。对于后者，我觉得有必要强调一下电动力学是什么样的。&/p&&p&电动力学（Electrodynamics）在一般的教学安排中，是在普通物理（General Physics）之后，作为理论物理课程的一部分的，作为理论物理，当然应该&b&严格描述数学&/b&。实验事实和物理图像的建立是普通物理课程的内容，为此我写过一篇专栏（&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/?refer=everytingisphysics& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&zhuanlan.zhihu.com/p/19&/span&&span class=&invisible&&622073?refer=everytingisphysics&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&），虽然我承认效果并不理想。一般公认&b&讲好普通物理是很难的&/b&。&/p&&p&而电动力学课程在理论物理课程的框架中也是更多具有承上启下和应用的意义。电动力学需要的基础的框架在分析力学中已经描述得很清楚，而应用必然涉及到对麦克斯韦方程组在各种条件下（包括辐射）的求解——这也是大部分电动力学书籍和课程的主题。更进一步发展的要涉入量子的范畴，就远远超出了经典电动力学的范畴。于是，经典电动力学范围内有意思的部分非常有限，对大部分学生来说这是一门非常枯燥的课程。&/p&&p&当然，以方程写法为主轴是用了一个梗，这还需要我说破实在是太没有幽默感了。这些方程形式蕴含了一些结论，比如电磁波的存在，正好可以一并介绍。而对于记号系统的介绍，是作为介绍广义相对论（&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/?refer=everytingisphysics& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&zhuanlan.zhihu.com/p/19&/span&&span class=&invisible&&932660?refer=everytingisphysics&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&）的准备，外微分内容则是我为自己写的参考。文章内容的动机差不多就是这样。&/p&&p&至于谩骂的回复，我会直接举报。&/p&&p&==========================&br&&/p&&p&电动力学的推荐书是两本：&/p&&p&1、Griffiths《Introduction to Electrodynamics》。Griffiths的教材都很经典，这本也不例外。讲得很清楚，也很容易入手。不过国内的学生读起来可能会感觉过于简单，其实大部分内容很接近一般普物电磁学教材的难度，但是数学更严格一点。&/p&&p&2、Jackson《Classical Electrodynamics》。恐怕对这本书的批评和赞扬是差不多多的。批评主要在于这本书过于重视数学计算，内容太多太庞杂，习题超难。据说当年霍金做完了里面全部的习题，传为一段佳话。据说会教你解各种你一辈子也遇不到的奇葩边界条件。可能以它的篇幅，如果不是做电磁场相关的领域，还是留着当字典好了。&/p&&p&================================================&/p&&h2&一、麦克斯韦方程组（一般写法）&/h2&&p&将高斯定理、电场环路定理、安培环路定理、磁高斯定理、法拉第电磁感应定律、位移电流假设等综合在一起，麦克斯韦总结出了描述电磁场运动的&b&麦克斯韦方程组&/b&：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BE%7D%3D%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D& alt=&\nabla\cdot\bm{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}& eeimg=&1&&（高斯定律）&br&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BB%7D%3D0& alt=&\nabla\cdot\bm{B}=0& eeimg=&1&&（磁高斯定律）&br&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes%5Cbm%7BE%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cbm%7BB%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\nabla\times\bm{E}=-\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}& eeimg=&1&&（法拉第电磁感应定律+电场环路定理）&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes%5Cbm%7BB%7D%3D%5Cmu_0%5Cbm%7BJ%7D%2B%5Cmu_0%5Cvarepsilon_0%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cbm%7BE%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\bm{E}}{\partial t}& eeimg=&1&&（安培环路定理+位移电流假设）&br&&/p&&p&对于给定的电荷&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&&与电流密度&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BJ%7D& alt=&\bm{J}& eeimg=&1&&，我们可以确定出在各个介质表面电磁场满足的边界条件。对于给定的边界条件，数学的偏微分方程理论告诉我们麦克斯韦方程有唯一确定的解，于是我们可以得知空间中电磁场的分布。接下来的问题只是怎么解这一组偏微分方程，但这是数学的事。&/p&&p&而电荷在电磁场中的受力由&b&洛伦茨力&/b&给出：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BF%7D%3D%5Crho%5Cbm%7BE%7D%2B%5Cbm%7BJ%7D%5Ctimes%5Cbm%7BB%7D& alt=&\bm{F}=\rho\bm{E}+\bm{J}\times\bm{B}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来就是牛顿第二定律的事情了。&/p&&p&好了，电动力学讲完了。&/p&&p&………………………………………………&/p&&p&等等，这样是不是太短了？&/p&&p&嗯，总得多找点内容充充篇幅，不过解方程这种事情太繁琐了，大家看教材吧。接下来我们讲讲麦克斯韦方程的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&种写法与狭义相对论。&/p&&p&&br&&/p&&h2&二、麦克斯韦方程的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&种写法&/h2&&p&你知道麦克斯韦方程有至少5种写法吗？&/p&&h2&0、积分写法&/h2&&p&大家初次接触到麦克斯韦方程的时候，往往见到的是一组积分方程（尤其工程的教材）：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coint+%5Cbm%7BE%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D%3D%5Cfrac%7Bq%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D& alt=&\oint \bm{E}\cdot d\bm{S}=\frac{q}{\varepsilon_0}& eeimg=&1&&, &/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coint+%5Cbm%7BE%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7Bl%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D%5Ciint+%5Cbm%7BB%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D& alt=&\oint \bm{E}\cdot d\bm{l}=-\frac{\partial}{\partial t}\iint \bm{B}\cdot d\bm{S}& eeimg=&1&&, &/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coint+%5Cbm%7BB%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D%3D0& alt=&\oint \bm{B}\cdot d\bm{S}=0& eeimg=&1&&, &br&&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coint+%5Cbm%7BB%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7Bl%7D%3D%5Cmu_0+I_0%2B%5Cmu_o%5Cvarepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D%5Ciint%5Cbm%7BE%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D& alt=&\oint \bm{B}\cdot d\bm{l}=\mu_0 I_0+\mu_o\varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\iint\bm{E}\cdot d\bm{S}& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&这个写法一点也不简洁，也不方便解，但却直观地体现出了高斯定律等定律。积分方程和微分方程是通过（广义的）斯托克斯定律相互转化的：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cbm%7BA%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D%3D%5Ciiint_V+%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D%5C%2CdV& alt=&\oint_{\partial V} \bm{A}\cdot d\bm{S}=\iiint_V \nabla\cdot\bm{A}\,dV& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D%5Cbm%7BA%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7Bl%7D%3D%5Ciint_S%28%5Cnabla%5Ctimes%5Cbm%7BA%7D%29%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D& alt=&\oint_{\partial S}\bm{A}\cdot d\bm{l}=\iint_S(\nabla\times\bm{A})\cdot d\bm{S}& eeimg=&1&&&/p&&p&对于线性介质，我们常常定义新的参量：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BD%7D%3D%5Cvarepsilon%5Cvarepsilon_0%5Cbm%7BE%7D& alt=&\bm{D}=\varepsilon\varepsilon_0\bm{E}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BB%7D%3D%5Cmu%5Cmu_0%5Cbm%7BH%7D& alt=&\bm{B}=\mu\mu_0\bm{H}& eeimg=&1&&&/p&&p&然后改写第一个方程和第四个方程，使其中“源”的项只包含自由电荷——即除去了介质的极化电荷。这样改写的方程在工程中更方便使用，但&b&请不要以为改写后的方程是麦克斯韦方程的基本形式！原本的麦克斯韦方程已经可以适用于任何情况，并不限于&真空&！&/b&&/p&&h2&1、波动方程写法&/h2&&p&从高中我们就知道，因为静电场的保守性，我们可以定义一个电势&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&，使得静电场满足：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BE%7D%3D-%5Cnabla%5Cphi& alt=&\bm{E}=-\nabla\phi& eeimg=&1&&&/p&&p&而磁高斯定律意味着磁场也可以用一个矢势&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BA%7D& alt=&\bm{A}& eeimg=&1&&写成：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BB%7D%3D%5Cnabla%5Ctimes%5Cbm%7BA%7D& alt=&\bm{B}=\nabla\times\bm{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&把它代到电磁感应定律中去，我们可以一般地，把电场写成：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BE%7D%3D-%5Cnabla%5Cphi-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cbm%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\bm{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial\bm{A}}{\partial t}& eeimg=&1&&&/p&&p&电势和矢势不仅仅是数学上的处理，实际上，由Aharonov-Bohm实验所揭示的，电势和矢势是实际的物理存在，甚至可以说比电场和磁场更为基本。这个实验是在有矢势但无磁场的区域中，测量粒子受到的电磁场的影响。实验发现，虽然没有磁场，但矢势依然足以改变粒子的相位，使不同路径的粒子发生干涉。但尽管如此，电势和矢势依然包含一个冗余的对称性。如果假设&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma& alt=&\Gamma& eeimg=&1&&是一个实数函数，那么做规范变换：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BA%27%7D%3D%5Cbm%7BA%7D%2B%5Cnabla%5CGamma& alt=&\bm{A'}=\bm{A}+\nabla\Gamma& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi%27%3D%5Cphi-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5CGamma%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\phi'=\phi-\frac{\partial\Gamma}{\partial t}& eeimg=&1&&&/p&&p&代入定义式我们会发现新的电磁势给出完全同样的电磁场。在纯经典的范畴中，所有可以观测到的效应只与电磁场有关，这意味着经典电动力学中我们可以做一个额外的规定，取一个特定的规范。当然，因为Aharonov-Bohm效应，这在量子电动力学中不成立。但规范对称性在量子场论中起着非常本质的作用，具有特定规范对称性（由相应的规范群描述）的规范场论就给出了自然界三种基本相互作用的描述。而具有U(1)规范对称性的场论，正是量子电动力学。这个U(1)对称性实际上给出了电荷守恒，而相应的联络给出了粒子与电磁场的耦合。这里我并没有很清晰的理解，无法细说。&/p&&p&定义&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=c%3D1%2F%5Csqrt%7B%5Cmu_0%5Cvarepsilon_0%7D& alt=&c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}& eeimg=&1&&（后面我们会发现，这就是光速，这里先这样形式地定义一下），一般经典电动力学常用的规范是洛伦茨规范（协变规范）：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi%7D%7B%5Cpartial+t%7D%3D0& alt=&\nabla\cdot\bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}=0& eeimg=&1&&&/p&&p&这个形式虽然现在看起来很复杂，但其实是最方便的规范，而且后面我们会看到它可以写得很简洁。另一个常见规范是库仑规范&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D%3D0& alt=&\nabla\cdot\bm{A}=0& eeimg=&1&&。&/p&&p&在这电磁势的定义下，麦克斯韦方程的第二条和第三条就自然满足了，带入第一条和第四条，我们可以得到两个二阶微分方程：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%28-%5Cnabla%5Cphi-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cbm%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D%29%3D-%5Cnabla%5E2%5Cphi-%5Cfrac%7B%5Cpartial%28%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D%29%7D%7B%5Cpartial+t%7D%3D%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D& alt=&\nabla\cdot(-\nabla\phi-\frac{\partial\bm{A}}{\partial t})=-\nabla^2\phi-\frac{\partial(\nabla\cdot\bm{A})}{\partial t}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes%5Cnabla%5Ctimes%5Cbm%7BA%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D%28-%5Cnabla%5Cphi-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cbm%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D%29%3D-%5Cnabla%5E2%5Cbm%7BA%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cbm%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial+t%5E2%7D%2B%5Cnabla%28%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%7B%5Cpartial+t%7D%29%3D%5Cmu_0%5Cbm%7BJ%7D& alt=&\nabla\times\nabla\times\bm{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}(-\nabla\phi-\frac{\partial\bm{A}}{\partial t})=-\nabla^2\bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\bm{A}}{\partial t^2}+\nabla(\nabla\cdot\bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t})=\mu_0\bm{J}& eeimg=&1&&&/p&&p&现在，如果我们把洛伦茨规范代进去，方程就变成了：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5E2%5Cphi-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cphi%7D%7B%5Cpartial+t%5E2%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D& alt=&\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}& eeimg=&1&&与&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5E2%5Cbm%7BA%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cbm%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial+t%5E2%7D%3D-%5Cmu_0%5Cbm%7BJ%7D& alt=&\nabla^2\bm{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\bm{A}}{\partial t^2}=-\mu_0\bm{J}& eeimg=&1&&&/p&&p&这两个与麦克斯韦方程等价的方程现在相互独立，而且展现出波动方程的形式！而刚刚形式定义的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&&正是这个波的波速。麦克斯韦由此预言了电磁波的存在，几年后，赫兹在实验中发现了电磁波。&br&&/p&&h2&1.9、记号系统&/h2&&p&为了更进一步叙述，我们需要引入新的记号系统了。前面已经看了一堆矢量运算，是不是已经烦透了呀？说实话，关于矢量的记号，我觉得可以分为普通、文艺和二X三种：&/p&&ol&&li&普通记号：按照规定，用粗斜体&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7Ba%7D& alt=&\bm{a}& eeimg=&1&&表示矢量。这种记号大家已经很熟悉了，很清晰地体现出了矢量和数字的分别，但是，做微分运算非常地不直观。而且另一个缺点是，我们用什么记号来表示矩阵和张量？&br&&/li&&li&二X记号：不区分所有的量——矢量、矩阵、张量通通用同一种记号，比如&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%3Db& alt=&Ax=b& eeimg=&1&&。如果方程很多读者又需要跳着看，或者作者再重复用几个符号，理解难度可以直线上升。&/li&&/ol&&p&下面我们来讲讲文艺记号——分量记号（我随便取的名字= =）。这个记号可以被广泛用于后续的物理、数学课程——线性代数、量子场论、广义相对论、微分几何等等……这个记号系统很灵活，又不容易引起歧义，而且做微分运算非常直观，不再需要查一大堆矢量运算公式，所以广受青睐。&/p&&p&其中的中心思想是，我们用一个矢量的分量的一般形式，来代替这个矢量本身——对于矢量&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7Ba%7D& alt=&\bm{a}& eeimg=&1&&，我们直接写作&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%5Ei& alt=&a^i& eeimg=&1&&（注意，这个可不是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&次方！）。其中&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=i%3D1%2C2%2C3& alt=&i=1,2,3& eeimg=&1&&，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&取不同值表示矢量的不同分量。而且一般约定，英文指标取值范围是1-3，而如果我们用希腊字母做指标，取值范围则是从0到3，其中0表示时间分量——这样表明相应的矢量是四维时空中的矢量。这样一来，只要方程中指标是匹配的，我们可以将1,2,3带入指标来得到矢量的全部信息，比如&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%5Ei%3Db%5Ei& alt=&a^i=b^i& eeimg=&1&&意味着&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%5E1%3Db%5E1%2Ca%5E2%3Db%5E2%2Ca%5E3%3Db%5E3& alt=&a^1=b^1,a^2=b^2,a^3=b^3& eeimg=&1&&。&/p&&p&接下来要写的东西其实和我在&a href=&http://zhuanlan.zhihu.com/everytingisphysics/& class=&internal&&量子力学（一~五） - Everything is Physics 万物皆理 - 知乎专栏&/a&第一节中写的东西相差无几。我们知道对任何一个线性空间，都有一个对偶的线性空间——线性算符构成的线性空间，那么对于一般的矢量空间，我们也有一个空间与它对应，其中的元素我们记做&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a_i& alt=&a_i& eeimg=&1&&，用下标表示。如果两个元素作用在一起，我们得到一个数：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_ia_ib%5Ei%3Da_1b%5E1%2Ba_2b%5E2%2Ba_3b%5E3& alt=&\sum_ia_ib^i=a_1b^1+a_2b^2+a_3b^3& eeimg=&1&&&/p&&p&但这里我们讨论的主要是实空间，实数空间的对偶，显然还是实数空间，所以，我们其实可以在同一个空间中谈论两个完全不同的数学结构。而之前所说的“矢量”和“算符”其实并没有明晰的分界线，于是这里我们模糊矢量和算符的分界线，称&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%5Ei& alt=&a^i& eeimg=&1&&为&b&逆变矢量&/b&，称&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a_i& alt=&a_i& eeimg=&1&&为&b&协变矢量&/b&。比如一般我们约定，速度矢量是一个逆变矢量。&/p&&p&我们称上面的求和为&b&内积&/b&。这里对协变和逆变的区分对于非欧几里得空间是非常重要的，虽然在日常中我们可以心安理得地拿两个矢量分量相乘来做内积，但是，即使同样是欧几里得空间，极坐标系下的矢量就已经不能这么做了！为了更一致地定义内积，我们需要这样的区分。实际操作中，我们往往采用&b&爱因斯坦求和规则——重复指标表示求和&/b&，即&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a_ib%5Ei%3D%5Csum_ia_ib%5Ei& alt=&a_ib^i=\sum_ia_ib^i& eeimg=&1&&，这样把烦人的求和号去掉，让方程变得简洁。但注意，为了减少歧义，&b&求和的重复指标最多只能有一对，且必须是一个指标在上，一个指标在下&/b&，这被求和掉的指标，我们称为&b&哑指标&/b&，因为这个符号本身已经没有了任何意义——你甚至可以画一只小猫来代替它。&/p&&p&&br&&/p&&p&对于任何一个空间，我们可以引入度量来衡量空间中无穷接近的两个元素的距离。（参见&a href=&http://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&有人了解“度规张量”吗？&/a&）一般，对于两个无穷接近的点&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28x%2Cy%2Cz%29& alt=&(x,y,z)& eeimg=&1&&与&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28x%2Bdx%2Cy%2Bdy%2Cz%2Bdz%29& alt=&(x+dx,y+dy,z+dz)& eeimg=&1&&，我们可以把连接它们的矢量记为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=dx%5Ei& alt=&dx^i& eeimg=&1&&。那么，这两个点之间的距离是一个二次函数（注意我们已经开始使用爱因斯坦求和约定了）：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dg_%7Bij%7Ddx%5Eidx%5Ej& alt=&ds^2=g_{ij}dx^idx^j& eeimg=&1&&（或者四维时空：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dg_%7B%5Cmu%5Cnu%7Ddx%5E%5Cmu+dx%5E%5Cnu& alt=&ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu& eeimg=&1&&）&/p&&p&对于欧几里得空间，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7D%3D%5Cdelta_%7Bij%7D%3D%5Cmathrm%7Bdiag%7D%281%2C1%2C1%29& alt=&g_{ij}=\delta_{ij}=\mathrm{diag}(1,1,1)& eeimg=&1&&，对于四维时空，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cmathrm%7Bdiag%7D%281%2C-1%2C-1%2C-1%29& alt=&g_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)& eeimg=&1&&（或者有的书中写成：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7Bdiag%7D%28-1%2C1%2C1%2C1%29& alt=&\mathrm{diag}(-1,1,1,1)& eeimg=&1&&。看你喜欢了……）这里，这个有两个指标的东西&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7D& alt=&g_{ij}& eeimg=&1&&，我们称为&b&度规张量&/b&。这种有多个指标的量，我们称为张量（当然，严格的定义是要在多个线性空间与对偶空间的直积上，将张量定义为某个线性映射——这都是数学了），而矢量其实不过是一种特殊的张量。两个指标的东西，其实很像&b&矩阵&/b&，但在这种记号中，我们可以更详细地区分出四种不同的张量：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7Bij%7D%2CA%5E%7Bij%7D%2CA_%7B%5C+j%7D%5Ei%2CA%5E%7B%5C+j%7D_i& alt=&A_{ij},A^{ij},A_{\ j}^i,A^{\ j}_i& eeimg=&1&&，&b&这四个张量是不同的（甚至最后两个因为指标的位置不同也有可能不同）&/b&！一般而言，我们只将最后两种张量称为&b&矩阵&/b&，这种写法和以往将第&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&行第&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=j& alt=&j& eeimg=&1&&列矩阵元记为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7Bij%7D& alt=&A_{ij}& eeimg=&1&&并无明显不同，只是，我们加入了更细致的分类，来处理更复杂的空间。而且这个记号更厉害的是，一个东西可以有更多指标——比如三个指标，在三维空间中这相当于一个3x3x3的正方体数阵！&/p&&p&在这种记号系统中，矩阵与向量、矩阵与矩阵的乘法也可以简单写成：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%5Ei_%7B%5C+j%7Dx%5Ej& alt=&A^i_{\ j}x^j& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%5Ei_%7B%5C+j%7DB%5Ej_%7B%5C+k%7D& alt=&A^i_{\ j}B^j_{\ k}& eeimg=&1&&，注意到求和的指标总是靠近放置。这样，我们也不用特意去记矩阵是怎么相乘的了。&/p&&p&度规张量对于一个度量空间是无比重要的，它决定了一个空间的几何性质——这一点我们还是在广义相对论中再细说。有了度规张量，我们可以&b&升降指标&/b&——其实就是在协变与逆变矢量之间建立起一一对应：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a_i%3Dg_%7Bij%7Da%5Ej& alt=&a_i=g_{ij}a^j& eeimg=&1&&&/p&&p&如果记度规张量的&b&逆&/b&为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bij%7D& alt=&g^{ij}& eeimg=&1&&，即满足：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7Dg%5E%7Bjk%7D%3D%5Cdelta_i%5Ek& alt=&g_{ij}g^{jk}=\delta_i^k& eeimg=&1&&（这里的delta记号已经没必要区别协变与逆变了），我们也有：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%5Ei%3Dg%5E%7Bij%7Da_j& alt=&a^i=g^{ij}a_j& eeimg=&1&&&/p&&p&于是，我们可以定义两个矢量之间的内积（点积）为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%5Eib_i%3Da_ib%5Ei%3Dg%5E%7Bij%7Da_ib_j%3Dg_%7Bij%7Da%5Eib%5Ej& alt=&a^ib_i=a_ib^i=g^{ij}a_ib_j=g_{ij}a^ib^j& eeimg=&1&&&/p&&p&对于三维欧式空间，度规张量不过是单位张量，一个协变矢量对应的逆变矢量就是它自己，所以我们不需要区分协变和逆变，这种时候也可以简单写成&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a_ib_i& alt=&a_ib_i& eeimg=&1&&，实际上表示以往记号中的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7Ba%7D%5Ccdot%5Cbm%7Bb%7D& alt=&\bm{a}\cdot\bm{b}& eeimg=&1&&。&/p&&p&点乘虽然很简单，但叉乘就比较麻烦一点了。对于叉乘，我们需要引入三阶反对称记号&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7Bijk%7D& alt=&\epsilon_{ijk}& eeimg=&1&&（任意指标数的情况下也叫Levi-Civita记号，严格来讲，它不是张量）。这个记号是这样定义的——如果有两个指标相同，则记号为0：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7B111%7D%3D%5Cepsilon_%7B112%7D%3D%5Cepsilon_%7B113%7D%3D%5Cepsilon_%7B121%7D%3D%5Cepsilon_%7B211%7D%3D%5Ccdots%3D0& alt=&\epsilon_{111}=\epsilon_{112}=\epsilon_{113}=\epsilon_{121}=\epsilon_{211}=\cdots=0& eeimg=&1&&&/p&&p&如果指标为123或123的对称轮换（或者说，指标间的偶数次对换），记号等于1：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7B123%7D%3D%5Cepsilon_%7B231%7D%3D%5Cepsilon_%7B312%7D%3D1& alt=&\epsilon_{123}=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=1& eeimg=&1&&&/p&&p&其他情况下，等于-1：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7B132%7D%3D%5Cepsilon_%7B321%7D%3D%5Cepsilon_%7B213%7D%3D-1& alt=&\epsilon_{132}=\epsilon_{321}=\epsilon_{213}=-1& eeimg=&1&&&/p&&p&把每个分量写出来不难发现，不区分协变和逆变的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7Bijk%7Da_jb_k& alt=&\epsilon_{ijk}a_jb_k& eeimg=&1&&正是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7Ba%7D%5Ctimes%5Cbm%7Bb%7D& alt=&\bm{a}\times\bm{b}& eeimg=&1&&。（如果需要区分协变和逆变，请注意用度规适当地升降指标。）&br&&/p&&p&为了做与叉乘相关的运算，以下（欧式空间中的）恒等式是非常有用的：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5Cepsilon_%7Bilm%7D%3D%5Cdelta_%7Bjl%7D%5Cdelta_%7Bkm%7D-%5Cdelta_%7Bjm%7D%5Cdelta_%7Bkl%7D& alt=&\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}& eeimg=&1&&&/p&&p&有了这个恒等式帮助我们可以轻易计算出任何矢量运算需要的公式。当然，所有这些都可以很轻易地推广到区分协变和逆变的情形（见&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita_symbol%23Properties& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Levi-Civita symbol&/a&）。&/p&&p&另外微分算子&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla& alt=&\nabla& eeimg=&1&&我们往往也当做一个矢量，在这套记号中，我们写作&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_i%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+x%5Ei%7D& alt=&\partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i}& eeimg=&1&&，将它看做一个&b&协变矢量&/b&。比如，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D& alt=&\nabla\cdot\bm{A}& eeimg=&1&&可以写作&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_iA%5Ei& alt=&\partial_iA^i& eeimg=&1&&，拉普拉斯算子&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D%5Cpartial%5Ei%5Cpartial_i& alt=&\Delta=\partial^i\partial_i& eeimg=&1&&。&/p&&p&&br&&/p&&h2&2、协变写法&/h2&&p&还记得拉格朗日力学可以作为所有经典物理的框架吗？对于经典电动力学，也是一样的。我们开始使用新的记号系统。首先，为了方便我们取自然单位制：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=c%3D1& alt=&c=1& eeimg=&1&&（光速是1，且无量纲——意味着时间和空间是同一个单位，而速度请理解为相对于光速的比值），并将时间和空间并在一起成为有4个指标的矢量——四矢量&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%5Cmu%3D%28t%2Cx%2Cy%2Cz%29& alt=&x^\mu=(t,x,y,z)& eeimg=&1&&。取度规为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cmathrm%7Bdiag%7D%281%2C-1%2C-1%2C-1%29& alt=&g_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)& eeimg=&1&&。我们如果将电磁势并在一起，写成&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%5E%5Cmu%3D%28%5Cphi%2CA_x%2CA_y%2CA_z%29& alt=&A^\mu=(\phi,A_x,A_y,A_z)& eeimg=&1&&，当做逆变的四矢量。定义&b&协强张量&/b&：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cpartial_%5Cmu+A_%5Cnu-%5Cpartial_%5Cnu+A_%5Cmu& alt=&F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu& eeimg=&1&&&/p&&p&显然，这是一个反对称的二阶张量。写成矩阵的形式，我们不难看出，它就是由电场和磁场组成的矩阵：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D+0+%26+E_x+%26+E_y+%26+E_z+%5C%5C+-E_x+%26+0+%26+-B_z+%26+B_y%5C%5C+-E_y+%26+B_z+%26+0+%26+-B_x%5C%5C+-E_z+%26+-B_y+%26+B_x+%26+0%5C%5C+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29& alt=&F_{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y\\ -E_y & B_z & 0 & -B_x\\ -E_z & -B_y & B_x & 0\\ \end{array}\right)& eeimg=&1&&&/p&&p&还记得拉格朗日量是个标量吧？那么由此可以凑出电磁场的拉格朗日密度，最简单的形式正比于：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7DF_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中将矢量场&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%5E%5Cmu& alt=&A^\mu& eeimg=&1&&当做自变量。我们简单计算一下就会发现，这个拉格朗日密度给出的正是无源麦克斯韦方程！前面的系数取决于单位制——对于自然单位制，前面的系数是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D& alt=&-\frac{1}{4}& eeimg=&1&&。考虑到电磁场和物质的相互作用，我们把拉格朗日密度写成（&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=J%5E%5Cmu%3D%28%5Crho%2CJ_x%2CJ_y%2CJ_z%29& alt=&J^\mu=(\rho,J_x,J_y,J_z)& eeimg=&1&&是电流四矢量）：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D%3D-A_%5Cmu+J%5E%5Cmu-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7DF_%7B%5Cmu%5Cnu%7DF%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&\mathcal{L}=-A_\mu J^\mu-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}& eeimg=&1&&&/p&&p&于是最小作用量原理给出了麦克斯韦方程的第一和第四个：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_%5Cmu+F%5E%7B%5Cnu%5Cmu%7D%3DJ%5E%5Cnu& alt=&\partial_\mu F^{\nu\mu}=J^\nu& eeimg=&1&&&/p&&p&而很容易验证，另外两个方程写作：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_%5Cmu+F_%7B%5Cnu%5Crho%7D%2B%5Cpartial_%5Cnu+F_%7B%5Crho%5Cmu%7D%2B%5Cpartial_%5Crho+F_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D0& alt=&\partial_\mu F_{\nu\rho}+\partial_\nu F_{\rho\mu}+\partial_\rho F_{\mu\nu}=0& eeimg=&1&&&/p&&p&这个形式倒是很对称。值得一提，这种记号系统下，洛伦茨规范正是简单的