Sina Visitor System多元函数微分学练习试卷3
卷面总分：150分
试卷类型：试题征集
测试费用：免费
答案解析：有
练习次数：5次
作答时间：150分钟
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求下列函数的全微分：
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求下列函数的全微分：
求下列函数的全微分：
设z=z(x,y)由下列方程确定，求dz。
设z=z(x,y)由下列方程确定，求dz。
设z=z(x,y)由下列方程确定，求dz。
设z=z(x,y)由下列方程确定，求dz。
试卷评价（4条）
所属科目：高等数学二
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高数求助——多元函数微分
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就是这个题，见了两次了，基本一样
题干只给了它有全微分，就是说它可微（这么理解对吗？）
偏导连续——&可微，可微——&偏导存在&&或&&函数连续，均不可逆推
答案解答是用二阶偏导连续，故二阶偏导相等，这是不是& &偏导连续——&可微的逆用了？
我是哪里理解错了
中级战友, 积分 1839, 距离下一级还需 1161 积分
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660不要勉强。。。
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海豚GG 发表于
660不要勉强。。。
弄不懂了再说吧···
中级战友, 积分 609, 距离下一级还需 2391 积分
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是这个问题考虑角度不同，是全微分构成全微分方程。
根据二元函数的全微分求积定理:设开区域G是一单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某[1]一函数u(x,y)的全微分的充要条件是,在G内恒成立.
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tynanking 发表于
是这个问题考虑角度不同，是全微分构成全微分方程。
根据二元函数的全微分求积定理:设开区域G是一单连通域, ...
你一说我咋感觉要完蛋了···听着全微分求积定理很陌生啊
而且第二行后面有些看不懂···
能不能再解释一下，麻烦了
中级战友, 积分 817, 距离下一级还需 2183 积分
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中级战友, 积分 817, 距离下一级还需 2183 积分
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我想到曲线积分与路径无关。。。。。然后套公式就好
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dddtttzk 发表于
我想到曲线积分与路径无关。。。。。然后套公式就好
咋积分也出来了
开国大老, 积分 8401, 距离下一级还需 7599 积分
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把dx,dy前面的两个多项式分别记为P(x,y)与Q(x,y)，Pdx+Qdy是f(x,y)的全微分，则P,Q分别是f对x,y的偏导数，又P,Q是多项式，其偏导数连续，所以αP/αy=αQ/αx(因为这两个偏导数是f对x,y的二阶混合偏导数，混合偏导数若连续则相等)。
同样做法，还可换个角度：
若Pi+Qj是f(x,y)的梯度，则a=？b=？再进一步还可以求出函数f。
若∫Pdx+Qdy在整个xoy面内与路径无关，则a=？b=？
若Pdx+Qdy=0是全微分方程，则a=？b=？
一般战友, 积分 126, 距离下一级还需 374 积分
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是一个函数的全微分，说明它有原函数，既曲线积分与路径无关。进而可以转化到曲线积分与路径无关的另一个成立条件，αP/αy=αQ/αx，解出对应系数的方程组，即可得到答案：a=3，b=-2
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Mengxuer 发表于
把dx,dy前面的两个多项式分别记为P(x,y)与Q(x,y)，Pdx+Qdy是f(x,y)的全微分，则P,Q分别是f对x,y的偏导数， ...
“又P,Q是多项式，其偏导数连续”，我就是这里没明白，现在知道P(X),Q(y）分别是原函数对x，y的偏导，也就是只知道偏导存在，为什么可以得到这两个偏导是连续的呢？
另外我今年是考数二，梯度那些不在我们考试范围，所以梯度那些也都不懂。。。
还有一个问题，LS，LX都提到积分与路径无关，百度了下，那好像是第二类曲面积分的知识，是只限在第二类曲面积分才用得到那个知识吗？
刚翻书看了下，有一个和和这个题同类型的选择题，出处是某一年数一的真题，我想着是你说的第一个方法如果是在用数二范围内的知识可以解决的话，我就一定弄懂这个题了。
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高数 第九章多元函数微分法及其应用 习题
班级姓名学号第九章1．选择题：多元函数微分法及其应用练习 9―12多元函数的基本概念（1） 设 f ( x + y, x ? y ) = xy + y ，则 f ( x, y ) = （A）x ( x ? y ) ． （B） xy + y 2 ． 2（C）x ( x + y) ． 2（D） x ? xy ．2（2） lime x cos y = x →1 1 + x 2 + y 2 y →0（B）1． （C）（A） 0． （3）下列极限存在的为 （A）limx →0 y →01 ． e（D）e ． 2x 1 1 x2 ． （B）lim ． （C）lim x sin ．（D）lim ． x →0 x + y x →0 x →0 x + y x+ y x+ y y →0 y →0 y →0（4）有且仅有一个间断点的函数为 （A）y x ?x 2 2 ． （B） e ln( x + y ) ． （C） ． （D） arctan(1 + xy ) ． x+ y x4x ? y 22．求下列函数的定义域： （1） z =ln(1 ? x 2 ? y 2 )；（2） z =x? y ．3．求下列极限： （1） limx →0 y →1ln( x + e y )x2 + y2；（2） lim1 + y + ex ； x → 0 arctan x 2 + y 2 ( ) y →11 ． （3） lim ( x + y ) arcsin x →0 xy y →02 2（4） limx →0 y →01 ? cos x 2 + y 2ln (1 + x 2 + y 2 )．安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题1班级姓名练习 9―2 偏导数学号1．计算下列各题： （1） u = arctan( x ? y ) ，求 u y ， u z ；z（2）设f ( x, y) = ∫x2 + y 2 xet dt ，求 f x (1，) ； 2（3） 设 z = sin y + f (sin x ? sin y ) ，其中 f (u ) 可微，求 z y ；（4） z = (1 + xy ) ，求 z x ， z y ；y2． f ( x, y ) = x + ( y ? 1) tan2 2x ，求 f x ( x,1) ． y?2 z ． 3．设 z = x ln(xy ), 求 ?x?y? 2u ? 2u ? 2u x 4．设 u = z arctan( ) ，证明： 2 + 2 + 2 = 0 ． ?x ?y ?z y安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题2班级姓名练习 9―3 全微分学号1．选择题： （1）在点 P 处， f 可微的充分条件是 （A） f 连续． （C） f 的全部一阶偏导连续． ． （B） f 的全部二阶偏导存在． （D） f 连续且，?f ?f ， 均存在． ?x ?y．（2）若函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处不连续，则 （A） lim f ( x, y ) 必不存在．x → x0 y → y0（B） f ( x0 , y0 ) 必不存在．（C） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 必不可微． （D） f x ( x0 , y0 ) 、 f y ( x0 , y0 ) 必不存在．? x2 y , x2 + y2 ≠ 0 ? （3）设函数 f ( x, y ) = ? x 4 + y 2 ，则在 (0, 0) 点处 ? 2 2 0 , x + y =0 ?（A）连续，偏导数存在． （C）不连续，偏导数存在． （B）连续，偏导数不存在． （D）不连续，偏导数不存在．．（4）若函数 f ( x, y ) 在区域 D 内具有二阶偏导数： 则 （A）必有 ．?2 f ?2 f ?2 f ?2 f ， ， ， ， ?x 2 ?y 2 ?x?y ?y?x?2 f ?2 f = ． ?x?y ?y?x（B） f ( x, y ) 在 D 内必连续． （D）以上结论都不对．（C） f ( x, y ) 在 D 内必可微． 2．求下列函数的全微分： （1） z = ln(tany )； x（2）u = x yz．3． 设 z = f (e sin y ) ， f 可微，求 dz ．x安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题3班级姓练习 9―4名学号多元复合函数的求导法则1．计算下列各题： （1） z = arcsin( x ? y )，x = 3t，y = 4t ，求3dz ； dt（2） 设 z = u + vw ，而 u = x + y，v = x ，w = xy ，求 dz ；2 2e ax ( y ? z ) du ，而 y = a sin x，z = cos x， 求 ． （3） u = 2 dx a +1： 2．求下列函数的偏导数（其中 f 具有一阶连续偏导数） （1） u = f ( ， ) ；x y y z（2） u = f ( x, xy , xy sin z ) ．23．设 z = xy + yF (u ) ，而 u =x ?z ?z + y ?z． ， F (u ) 为可导函数，计算： x y ?x ?y安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 4班级姓名隐函数求导公式学号练习 9―5x1．设 sin y + e ? xy = 0 确定了函数 y = y ( x ) ,用两种方法求2dy ． dx2．计算下列各题： （1）设 e? xy? 2 z + e ? z = 0 ，求?z ?z ， ； ?x ?y（2）设x z = ln ，求 z x ， z y ． z y3．设 ??x = u + v ?y = u + v2 2，求?u ?u ， ． ?x ?y?x + y + z + z2 = 0 dz dy ? ，求 ， ． 4．设 ? 2 3 dx dx ?x + y + z + z = 0 ?安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 5班级姓练习 9―6名学号多元函数微分学的几何应用1．选择题： （1）曲面 z = F ( x, y, z ) 的一个法向量为 ． （A） Fx′, Fy′ , Fz′ ? 1 ） （ （C） Fx′, Fy′, Fz′ ） （ ．2 2（B） Fz′ ? 1, Fy′ ? 1, Fz′ ? 1 ） （ ． （D） ? Fz′,? Fy′ ,1 ） （ ．（2）旋转抛物面 z = 2 x + 2 y ? 4 在点（1， ?1 ，0）处的法线方程为 （A）x ?1 y +1 z = = ． 4 4 ?1 x ?1 y +1 z = = ． ?4 4 ?12 3（B）x ?1 y +1 z = = ． 4 ?4 ?1 x ?1 y +1 z = = ． 4 4 ?1（C）（D）（3） 在曲线 x = t , y = ?t , z = t 的所有切线中，与平面 x + 2 y + z = 4 平行的切线 （A）只有 1 条． （B）至少有 3 条． （C）只有 2 条． （D）不存在．2．求曲线 x = cos t , y = sin t , z = 2t 在点 (2 2 π , , ) 处的切线及法平面方程． 2 2 23．为使平面 3 x ? ky ? 3 z + 16 = 0 与曲面 3 x + y + z = 16 相切，求 k ．2 2 24．证明曲面 z = xf ( ) 在任一点处的切平面都通过原点．y x安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 6班级姓名学方向导数与梯度号练习 9―7 1．填空题：2 2 2（1）函数 u = ln( x + y + z ) 在点 M (1, 2, ?2) 处的梯度 gradu （2）函数 r =． ．x 2 + y 2 + z 2 ，则梯度 gradr2（3）函数 u = ln( x + 数2 2y 2 + z 2 ) 在点 A(1, 0,1) 处沿点 A 指向点 B (3, ?2, 2) 方向的方向导．2（ 4 ） 函 数 u = x + y + z 在 点 M (2, ?2,1) 处 沿 点 M 到 点 N (3, ?3,1) 方 向 的 方 向 导 数 ．2．求 u = x + xy + xyz 在点 M0（1，2，-1）处的梯度，并求该梯度方向的方向导数．3． (l , i ) =π3， (l , j ) =π6，且 z = z ( x, y ) 由方程 z + sin z + x + y = 0 确定，求?z ． ?l4．设函数 u =1 2 x + y 2 ，试问在点 M (1,1,1) 函数 u 沿着哪一个方向其方向导数取得最 z大值，并求出方向导数的最大值．安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 7班级姓名学号练习 9―8 多元函数的极值及其求法 1．求 f ( x, y ) = ( x + y + 2 y )e 极值点及极值．2 2x2．求函数 z = x + 3 y ? 2 x 在闭域 D:2 2x2 y2 + ≤ 1 上的最大值和最小值． 9 4乙两种原料的数量 x,y 之间有关系式 f ( x, y ) 3． 设生产某种产品的数量 f ( x, y ) 与所用甲、＝0.005x2y，已知甲，乙两种原料的单价分别为 1 元，2 元，现用 150 元购料，问购进两种原料各多少，使产量 f ( x, y ) 最大?最大产量是多少?安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 8班级姓名总 习 题 九学号1．填空题： ⑴ 设z =1 ?2z = f ( xy ) + y? ( x + y )，f，? 具有二阶连续导数，则 ?x?y x．⑵ 函数 u = ln( x + 为 ⑶ 由曲线 ?y 2 + z 2 ) 在 A(1,0,1) 点处沿 A 点指向 B(3,?2,2) 点方向的方向导数．2?3 x + 2 y = 122?z=0绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点 (0, 3 , 2 ) 处的指向外侧 ．的单位法向量为 2．选择题： （1） f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处 （A）充分． （2） 已知?f ?f ， 均存在是 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处连续的 ?x ?y（C）充分必要．条件．（B）必要． ．（D）既不充分也不必要．?f &0，则 ?x（A） f ( x, y ) 关于 x 为单调递增 ． （C）（B） f ( x, y ) & 0 ． （D） f ( x, y ) = x( y + 1) ．2?2 f & 0． ?x 2（3）设 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处有偏导数存在，则 limh →0f ( x0 + 2h, y0 ) ? f ( x0 ? h, y0 ) = h'（A） 0．（B） f x ( x0 , y0 ) ． 3'（C）2 f x ( x0 , y0 ) ．（D） f x ( x0 , y0 ) ．'（4）设 z = z ( x, y ) 是由方程 F ( x ? az , y ? bz ) = 0 所定义的隐函数，其中 F (u , v) 是变量u, v 的任意可微函数， a, b 为常数，则必有（A） b?z ?z + a =1． ?x ?y ?z ?z ? a =1． ?x ?y2（B） a?z ?z + b =1． ?x ?y（C） b（D） a?z ?z ?b =1． ?x ?y?2 z （5）设 z = z ( x, y ) 由方程 x + y + z ? 4 z = 0 确定， 2 = ?x2 22 2 (A) x + (2 ? 3z ) ． (2 ? z )(B)x 2 ? (2 ? z ) 2 ． (2 ? z )3(C)2 2 x 2 ? (2 + z ) 2 ． （D） x + (2 ? 3z ) ． (2 + z )3 (2 + z )安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 9班级? ? ? ?姓xy名， ( x, y ) ≠ (0,0) ( x, y ) = (0,0)学号(6) 二元函数 f ( x, y ) = ? x 2 + y 2，在点 (0,0) 处0，（A）连续，偏导数存在． （C）不连续，偏导数存在．2 3（B）连续，偏导数不存在． （D）不连续，偏导数不存在． ．（7）函数 u = xy + yz 在点 M (2, ?1,1) 处的梯度 gradu 等于 （A） ?1 ． 3（B） ?5 ．（C） (1, ?3, ?3) ．（D） (?1, ?3, ?3) ．3．求曲线 r = f ( t ) = (1 ? cos t ) i + ( t ? sin t ) j + 4sin线方程及法平面方程．π t k ，在与 t0 = 相应的点处的切 2 24. 设 n 是 曲 面 2 x + 3 y + z = 6 在 点 P(1,1,1) 处 的 指 向 外 侧 的 法 向 量 ， 求 函 数2 2 2u=6x 2 + 8 y 2 在点 P 处沿方向 n 的方向导数． z安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 10班级姓名学号5.设 y = y ( x)，z = z ( x) 是由方程 z = xf ( x + y ) 和 F ( x, y, z ) = 0 所确定的函数，其中 f和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz . dx6．设 u = f ( x, y, z ) ，? ( x , e , z ) = 0 ， y = sin x 其中 f、? 都具有一阶连续偏导数，且2ydu ?? ≠ 0 ，求 ． dx ?z7．设 z = f (e sin y, x + y ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求x2 2?2z ． ?x?y安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 11班级2姓名2 2学号8．设 z = z ( x, y ) 是由 x ? 6 xy + 10 y ? 2 yz ? z + 18 = 0 确定的函数，求 z = z ( x, y ) 的极值点和极值．9．某厂生产甲、乙两种产品，其销售单位价分别为 10 万元和 9 万元，若生产 x 件甲产品 和 y 件乙产品的总成本为：Ｃ=400+2x+3y+0.01 (3x2+xy+3y2)（万元）又已知两种产品的总产量为 100 件，求企业获得最大利润时两种产品的产量．安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 12班级姓名学多元函数的基本概念号练习 9―12 2 22．⑴ {( x, y ) | 0 & x + y & 1 y ≤ 4 x} ； ⑵ {( x, y ) | x ≥ 0，y ≥ 0，x ≥ y} ． ，23． 1）1； （（2）12π； 3）0； 4） （ （1 ． 2练习 9―2偏导数 ⑵ 2e ? e ；51．⑴ u y = ?z ( x ? y ) z ?1 z ( x ? y ) z ?1 、 uy = ? ； 1 + ( x ? y)2 z 1 + ( x ? y)2 z⑶? xy ? ?z = cos y (1 ? f ′(u )) ； ⑷ z x = y 2 (1 + xy) y ?1 ； z y = (1 + xy ) y ? ln (1 + xy ) + ?． 1 + xy ? ?y ?3．2． 2 x ．1 ． y练习 9―3 全微分2．⑴ dz = cot⑵ du = yzxyz ?1y y y 1 sec2 (? 2 dx + dy ) ； x x x x dx + x yz ? z ? ln xdy + x yz ? y ? ln xdz ．3． dz = f ′ e sin y ? (sin ydx + cos ydy )e ．x x()练习 9―42 3 2多元复合函数的求导法则2 31． ⑴ 3(1 ? 4t ) / 1 ? (3t ? 4t ) ；⑵ dz = [2( x + y ) + 3 x y ]dx + [2( x + y ) + x ]dy ；⑶eaxsin x ．2．⑴1 ?u x y ?u 1 ?u ′ = f1， = ? 2 f1′ + f 2′， = ? 2 f 2′ ， z ?z ?x y ?y y z2， ， ⑵ u x = f1′ + y f 2′ + y sin zf 3′ u y = 2 xyf 2′ + x sin zf 3′ u z = xy cos zf 3′ ．3． xy ．练习 9―5 隐函数求导公式1．dy ex ? y2 = ． dx 2 xy ? cos y ye ? xy xe ? xy ，zy ? ； (2 + e ? z ) (2 + e ? z )（2） z x =（ 2． 1） z x = ?z z2 ，z y = ． x+z y( x + z)3． u x =v 1 ,uy = ． v?u 2(u ? v)安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 13班级姓名学号4．dz 2 y ?1 dy 2 z ? 3z 2 = = ， ． dx 1 + 3 z 2 ? 2 y ? 4 yz dx 1 + 3 z 2 ? 2 y ? 4 yz练习 9―6 多元函数微分学的几何应用2．法平面 x ? y ? 2 2 z + 2π = 0 ，切线 3 ． k = ±2 ．练习 9―7x?2 2 π y? z? 2 = 2 = 2． ?1 1 2 2方向导数与梯度2． gradu = (1, 0, 2),?f = 5． ?l练习 9―83． ?1+ 3 ． 2 + 2 cos z多元函数的极值及其求法1． ( , ?1) ，极小值为 ?1 2e ． 22．函数 z 在点 (1,0) 取最小 z (1,0) = ?1 ，在点 ( ?3,0) 取最大值 z ( ?3,0) = 15 ． 3． x = 100, y = 25 ，最大产量为 f (100, 25) = 1250 ．总 习 题 九3．法平面方程为 ( x ? 1) + ( y ?π2+ 1) + 2 z ? 2 2 = 0 ;z?2 2()切线方程为x ?1 = y ?π2+1 =．24．11 ． 7 [ f ( x + y ) + xf ′( x + y )]?F ?F ? xf ′( x + y ) ?y ?x ． ?F ?F + xf ′( x + y ) ?z ?y5．6．1 du ′ ′ = f1′ + f 2′ cos x ? f 3′ ? (?1 ? 2 x + ? 2 ? e y cos x) ． ′ dx ?32x′′ 7． f 11 ? e′′ ′′ sin y cos y + 2 f12 ? e x ( y sin y + x cos y ) + 4 f 22 ? xy . + f1′ ? e x cos y ．8．极小值点 (9,3)，z (9,3) = 3 ；极大值点 ( ?9,?3)，z ( ?9,?3) = ?3 ． 9．故当 x = 70, y = 30 时，企业获得最大利润，最大利润为 L(70,30) = 145 万元.安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 14
高等数学-第9章 多元函数微分法极其应用高等数学-第9章 多元函数微分法极其应用隐藏&& 章节 第九章多元函数微分法及应用 §1 多元函数的基本概念 课时 2 教学目...《高等数学》第九章 多元函... 2页 5财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉...成都大学重修多元函数微分法及其应用_期末复习题_高等数学2 隐藏&& 第十章 偏...高数 多元函数微分法及其应用_理学_高等教育_教育专区。第九章 多元函数微分法及其应用教学目的: 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的...高数下 练习册大题答案 - 第七章 微分方程 第八章 解析几何与向量代数空间 第九章 多元函数微分法及其应用 第十章 重几分 第十一章 ...凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构 2018 考研数学高数必考点(5):多元函 数微分法及其应用 1、多元函数极限存在的条件极限存在是指 P(x,y)以任何方式趋于...高数A(2)习题课(7)多元函... 22页 免费 《高等数学B》第八章 多... 19...第九章 多元函数微分学的应用? 第一节 空间曲线的切线与法平面? ? 设空间...微分| 高数| 同济|同济版高数教学设计完美版多元函数微分法及其应用 (2)_理学_高等教育_教育专区。同济版高等数学教学设计教案完美版 §...高等数学(多元函数微分学)习题及解答_其它_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读...§ 8 多元函数微分法及其... 26页 3下载券
高等数学习题详解-第7章... ...第八章 第一节 多元函数微分法及其应用 多元函数微分法及其应用 多元函数的基本概念 1、 z = f (x, y ) ,定义域为平面上某一个平面域 几何上 z = f ...高职高等数学 第九章 多... 3页 免费 高等数学多元...1 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元...? x ? y ? x ?y 此题可直接利用公式(6),但...
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