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解答导数问题的几个基本策略
高中数理化gzslhzz.comｘ ０（ 不等式ｆ（ ｘ ０ 等价于ｅ ２ ｘ １） ａ ｘ ＜ ＜ ０） ０－ ０－ ｘ ， 构造函数ｇ（ ＝ ｅ（ ＝ ａ， ｘ） ２ ｘ－ １） ｈ（ ｘ） ａ ｘ－ ａ．作函数 过点（ 观察这 ２ 个函数的图象发 现 ， １， ０） 图象的切 线 ， 设直 ｘ） ａ 的 取 值 与 切 线 的 斜 率 相 关． ｇ（ ， 与 曲 线 ｙ＝ｇ（ 切于点（ 则 线 ｙ＝ ａ（ ｘ－１） ｘ） ｘ ｙ ０， ０）特级教师 ） ◇　 北京 　 李振雷 （ｘ ０ （ ０ ２ ｘ０ －１） ｘ０ （ ｅ ｙ ０－ ， ， 即 解 ＝ｇ ′（ ｘ ＝ｅ ２ ｘ０ ＋１） ０） ｘ０ －１ ｘ １ ０－３ ３， ３ ２ 所以ｇ 得ｘ ＝ ＝ ′（ ′（ ） ０ 或ｘ ０） １ 或ｇ ４ ｅ ２ ＞ ０＝ ０＝ ２ ２ ｘ ０（ （ 舍） 则 ａ＜１， 再由 例 １ 要使ｅ ． ２ ｘ １） ｘ ａ， ＜ａ ０－ ０－以至于见到函数问 　　 导数是研究函数的强 大 工 具 ， 题不问已知 什 么 、 要 做 什 么 就 盲 目 求 导， 往往造成在 解答过程中 遇 到 很 难 逾 越 的 鸿 沟 ， 解 答 不 了 了 之． 导 数综合题目 综 合 了 函 数 、 方 程、 不 等 式、 逻 辑 等 知 识， 综合了数形结合 、 等价转化 、 猜想论证等思想方法 ．同 学们应当意识到 ， 导数综合 题 目 是 考 查 学 生 分 析 问 题 和解决问题能力的一个重 要 载 体 ． 面对复杂多变的导 数题目 ， 如何才能轻松应 对？ 分 析 近 年 来 各 地 高 考 试 题和模拟试题中的导数综 合 题 目 ， 归纳出几个基本策 应用这些策略可化复 杂 为 简 单 、 化 抽 象 为 直 观， 能 略， 够比较顺利解答题目 ． 下面通过例题具体说明 ．的分析可知选 Ｄ． 在这个变式中导数起到了作用 ．思维有路 ２　 心中有图 ，解答导数题目如果没 有 函 数 图 象 作 支 撑 ， 往往会 迷失了正确 的 解 题 方 向 ． 因 此， 在解答过程中要随时 想一想当前 研 究 的 函 数 图 象 ， 画 一 画 它 们 的 简 图， 图 象可能画比较 “ 粗糙 ” 并不 要 紧 ， 关键是要通过画图明 白已知什么 、 要做什么 、 怎么做 ．ｘ 例 ２　 （ 已知函数 ｆ（ ＝ｅ ２ ０ １ ３ 新课标 Ⅱ 卷 ） ｘ） － ） （ ） ， ： （ 当 时 证明 ｌ ｎ ｘ＋ｍ ． ｍ≤２ ｆ ｘ ＞０． ） 的最小值大于 但在求导 函 设想证明 ｆ（ ｘ ０，不盲目求导 １　 认真分析 ，例 １　 （ 设函 ２ ０ １ ５ 年新课标Ⅰ卷理科第 １ ２ 题）ｘ （ 数ｆ（ 其中ａ＜ 若存在唯一的 ｘ） ２ ｘ－ １） ａ ｘ＋ ａ， １， ＝ ｅ － 整数ｘ 使得ｆ（ 则ａ 的取值范围是（ ． ｘ ０， 　　） ＜ ０， ０）３ ） ３ ３ ； － ， ） － ， Ａ　 ［ １ ； 　　　　Ｂ　 ［ ｅ ｅ４ ２ ２ ３ ３ ； ３ ） Ｃ　 ［ ， ） １ Ｄ　 ［ ， 　 ２ ｅ４ ２ ｅ 从题 目 的 形 式 和 第 １ 一 ２ 题 这 样 的 位 置 看，般同学们的第一 反 应 是 用 导 数 求 解 ． 一定这 样解吗？ “ 特殊值法 ” 是解答 选 填 题 的 首 选 ， 找几个好 因 因 ｆ（ 算的数试试 ． ＝ｅ ＝ －１＋ａ＜０（ １） ０） ＞０， ｆ（ ， 为 ａ＜１） 要想符合题目要求 ， 只需－１ ｅ ＋２ ａ≥０， －１） ＝－３ ｆ（１ 的 零 点 时， ｘ 数ｆ 遇到了困 ｘ） － ′（ ＝ｅ ｘ＋ｍ ｘ 难． 转而观察函数 ｙ＝ｅ 与ｙ＝ 图象之间关 ｌ ｎ（ ｘ＋ｍ） ， 从中 系（ ｍ＝２ 时如图１ 所示 ， ｍ ＜２ 时如图２ 所示 ）ｘ 获得思路 ． 在点（ 处的切线为中间 以曲线 ｙ＝ｅ ０， １） ｘ 与ｙ＝ 过度 ， 只需证明曲线 ｙ＝ｅ 分别位于 ｌ ｎ（ ｘ＋ｍ） 不含切点 ） 直线 ｙ＝ｘ＋１ 两侧 （ ．３ 当 ａ＝３ 时 ， 所以 ａ≥３ ． 说 明ａ ０） ＝ －１＋ ＜０， ｆ（ ２ ｅ ４ ４ ／ 因此选 Ｄ． 的值可以取３ ４，这个极端的例子说明 ， 见到函数题目不能盲目求 导． 导数强大 功 能 ， 要在恰当的时机应用于恰当的对 象才能显示出来 ．ｘ （ 变式 　 设函数 ｆ（ 其中 ｘ） ＝ｅ ２ ｘ－１） －ａ ｘ＋ａ，图 １　　　　　　　　　　　 图 ２ｘ ０ ｘ ， 证明 　 设 ｙ＝ｅ 则 曲 线 ｙ＝ｅ ｅ ＝１， ′ ｜ ｙ ｘ＝０ ＝处的切线为 ｙ＝ｘ＋１． 在点 （ ０， １）ｘ ｘ ， 则ｇ 当 设函数 ｇ（ ｘ） －（ ｘ＋１） ｘ） －１， ′（ ＝ｅ ＝ｅ若存在唯一的整数 ｘ 使得 ｆ（ 则ａ 的 ａ＜２， ｘ ＜０， ０， ０） 取值范围是 （ ． 　　 ）时， 所以 ｇ（ 在（ 内 －∞ ， ｘ∈ （ ０） ′（ ｘ） ｘ） － ∞， ０） ＜０， ｇ 时， 所 以 ｇ（ 是减函数 ； 当 ｘ∈ （ ０， ′（ ｘ） ｘ） ＋ ∞） ＞０， ｇ 内是增函数 ． 所以 ｇ（ 得最小值为 ｇ（ 在（ ０， ｘ） ０） ＋∞ ）ｘ ， 所以 ｅ 当 ｘ＝０ 时等号成立 ． ＝０， ｘ＋１） ≥（３ ） ３ ３ ； － ， ） １ ； Ａ　 ［ － ， 　　　　Ｂ　 ［ ２ ｅ ２ ｅ２ ３ ３ ； Ｃ　 ［ ， ） 　 ２ ｅ２８， 设函数 ｈ（ 则ｈ ｘ） ｘ＋ｍ） ｘ＋１） ′（ ｘ） ＝ ｌ ｎ（ －（ ＝ ） １ ｘ－ （ １－ｍ） －（ 当 ｘ∈ （ －１＝ ． －ｍ， －ｍ ＋１） ｘ＋ｍ ｘ＋ｍ３ ） Ｄ　 ［ ， １ ２ ｅgzslh所 以 ｈ（ 在（ 内是增函 时， －ｍ， －ｍ＋１） ｈ ′（ ｘ） ｘ） ＞０， 数； 当 ｘ∈ （ 所以 ｈ（ 在 时， ＋∞ ） －ｍ＋１， ｈ ′（ ｘ） ｘ） ＜０， （ 得最大值为 内 是 减 函 数． 所 以 ｈ（ －ｍ＋１， ＋ ∞） ｘ） 所 以 ｈ（ 即ｘ 因为 ｍ≤２， －ｍ＋１） ＝ｍ－２． ｈ（ ｘ） ≤０， ， 当 ｍ＝２， ｌ ｎ（ ＋１≥ ｘ＋ｍ） ｘ＝－１ 时等号成立 ． ｘ ， 因为 ２ 个 “ 所以 ｅ ≥ （ 不 ｌ ｎ（ ＝” ｘ＋１） ｘ＋ｍ） ≥ｘ 能同时成立 ， 所以 ｅ ． ｌ ｎ（ ｘ＋ｍ） ＞思想 ， 当然也 有 积 累 经 验 ． 下列函数的单调性利用导 数能够顺利解决 ：ｘ ； １） ａ ｘ（ ａ 为常数 ） ｙ＝ｅ ＋ ２ ａ ｘ ； ２） ａ 为常数 ） ｙ＝ｘ ｅ （ ２ ； ３） ｌ ｎ ｘ＋ ａ ｘ ＋ ｂ ｘ（ ａ、 ｂ 为常数 ） 　 ｙ＝ ； ４） ｌ ｎ ｘ＋ ａ ｘ（ ａ 为常数 ） 　 ｙ＝ｘ ２ ２ （ ． ５） ｎ ｘ＋ ａ ｘ ａ 为常数 ） 　 ｙ＝ｘ ｌ ｘ ２ ｅ ｘ 将不等式 ｅ ｌ ｎ ｘ＋ ? ＞１等价转化为ｘ ｌ ｎ ｘ＞ 　 　 ｅ ｘ跨越鸿沟 ３　 等价转化 ，数学关系式之间的等价 转 化 ， 是解决数学问题的 有 力 杠 杆， 导数题目必然要考查学生等价转化的能 力． 由于朝哪 个 方 向 转 化 不 明 确 ， 因此导数题目承载 了考查学生的探究能力 、 猜想能力以及运算求解能力 的功能 ． ｅ 函数 ｇ（ 例 ３　 设ｎ∈Ｎ＊ ， ｘ） ｘ∈ （ ０， ＝ ｎ， ＋∞ ） ． ｘ ： 求ｎ 的 求证 ： 曲线 ｙ＝ｇ（ 位于直线ｌ ｘ） ｙ＝１ 的上方 ， 所有可能取值 ． 分析 　 这个问题可以等价转化为 ：ｘ ｅ ） ， 求函数的最 １）构造函数 ｙ＝ ｎ （ ｘ∈ （ ０， ＋∞） ｘ 小值大于 １ 时 ， ｎ 的所有可能取值 ． ｘ ｎ （ ， 求函数的最小 ２）构造函数 ｙ＝ｅ －ｘ ｘ＞０） 值大于 ０ 时 ， ｎ 的所有可能取值 ． ｘ （ ｅ ｘ－ ｎ） ， ， 对于 １） 当 ｘ＝ｎ 时 ， 函数的最 小 ′＝ ｙ ｎ＋１ ｘ ｎ ｎ ｅ ， 遇到一定困难 ． 值为ｅ １ 时， ｎ 然而解 ｎ ＞ ｎ ｎ ｘ ｎ－１ ， 的零点 ， 又遇到 对于 ２） 求导函数ｙ ′＝ｅ － ｎ ｘ ｘｘ ２ 时， 发现利用导数可以大致画出函数 ｙ＝ｘ ｌ ｎ ｘ 　 ｘ－ ｅ ｅ －ｘ ， 和ｙ＝ｘ 的简图 （ 如 图 ３） 猜想前一个函数的最小 ｅ／ 值比后一个函数的最大值小 ２ ｅ ． 证 明 　 设 函 数 ｘ） ｌ ｎ ｘ 和ｈ（ ｘ） ＝ｘ ＝ 　 ｇ（ｘ ／ ／ 因为ｇ ｅ ｅ ． ｘ －２ ｘ） ′（ ／ 当 ｘ ＝１ ｅ ｘ ＋ １， ＝ｌ ｎ 　时， 故在（ ′（ ｘ） ０， ＝０． ｇ ／ ） 内ｇ ′（ １ ｘ） ｘ） ｅ ＜０， ｇ（ ／ ， 是减函数 ； 在（ １ ｅ ＋ ∞）　　 图 ３／ 是增函数 ． 所以当 ｘ＝１ 内ｇ ′（ ｅ时 ， ｘ） ｘ） ｘ） ＞０， ｇ（ ｇ（１） １ 取得最小值 ｇ（ ＝－ ． ｅ ｅ １－ｘ 当 所以 因为 ｈ ′（ ｘ） ｘ＝１ 时 ， ｈ ′（ ｘ） ＝ ｘ ， ＝０． ｅ 在（ 内 内 是 增 函 数； 在（ ０， １） ｈ ′（ ｘ） ｈ（ ｘ） １， ＋ ∞） ＞０，是减函数 ． 所以当 ｘ＝１ 时 ， 取得 ｈ ′（ ｘ） ｈ（ ｘ） ｈ（ ｘ） ＜０， ／ 最大值 ｈ（ 与 ｈ（ 不是同时 又因为 ｇ（ ＝－１ ｅ ． １） ｘ） ｘ） ， 取得最 小 值 和 最 大 值 ， 所 以 ｇ（ 即ｘ ｘ） ｘ） ｌ ｎ ｘ＞ 　 ＞ｈ（ｘ ／ ／ ， 所以 ｆ（ ｅ ｅ ｘ －２ ｘ） ＞１．困难 ． 那 么 朝 那 个 方 向 转 化 呢？ 朝 自 己 会 的 方 向 转化 ．ｘ ， 证明 　 “ 当ｅ 时， ｘ＞０） ｎ 的所有可能取值 ” ＞１（ ｘｎ ｘ ｎ 时， 等价于 等价于 “ ｘ＞０） ｎ 的所有可能取值” ｅ ＞ｘ （ ｘ ｎ “ ） ） （ ， 时， 即 ｌ ｎ（ ｅ ｌ ｎ（ ｘ ｘ＞０） ｎ 的所有可能取值” ＞ 等价于 “ 构造函数 ． ｘ＞ｎ ｌ ｎ ｘ 时， ｎ 的 所 有 可 能 取 值” 　判断正 、 负 ４　 选取特殊值 ，函数 ｆ（ 例 ５　 求证 ： 在 ｘ） ｘ－ ａ ｘ＋１ （ ａ＜０） ＝ ｌ ｎ 　 定义域内只有 １ 个零点 ． 分析 　 函数 ｆ（ 在区间 （ 内是连续递 增 ＋ ∞） ｘ） ０， 的， 对于参数 ａ 的变化 ， 要选取一个接近于 ０ 的 正 数 ， 使得其函数 值 为 负 ， 可 以 采 用 分 析 法： 为了得到这个ｎ ／ （ ， 小的正 数 ， 还 要 简 化 对 数 运 算， 取 ｘ＝１ ｅ ｎ∈Ｎ＊ ）ｘ－ ｎ 求导 ｆ ＝ｘ－ ′（ ＝ ｘ） ｎ ｌ ｎ ｘ， ｘ） ． 　 ｆ（ ｘ 时， 所以 ｆ（ 在区间 （ 当 ｘ∈ （ ０， ｎ） ′（ ｘ） ｘ） ０， ＜０， ｆ内单调 递 减 ； 当 ｘ∈ （ 时， 所以 ｎ） ｎ， ＋ ∞） ′（ ｘ） ＞０， ｆ 在区 间 （ 内 单 调 递 增． 所 以 ｆ（ 的最小 ＋ ∞） ｘ） ｎ， ｘ） ｆ（ 值为 ｆ（ 由 ｎ（ ＝ ． ｎ） ｎ－ ｎ ｌ ｎ ｎ＝ ｎ（ １－ ｌ ｎ ｎ） １－ ｌ ｎ ｎ） ＞ 　 　 　 ， 得 ｎ＜ｅ 所以 ｎ 的所有可能取值为１、 ０， ２．ｘ ２ ｅ ｘ 求证 ： 例 ４　 已知函数 ｆ（ ＝ｅ ｘ） ｌ ｎ ｘ＋ ? ， 　 ｅｘ ｘ） ＞１． ｆ（１ １ ａ ａ 解 得 －ａ＜ ＝ ｌ ｎ ｎ － ｎ ＋１＝ －ｎ－ ｎ ＋１＜０， ｆ（ｎ ） ｅ ｅ ｅ ｅｎ （ 故对于任意的参数 ａ， 一定存在一个 大于 １ ｎ－１） ｅ ． ｎ ， 的整数ｎ， 使得 － 然后再用综合法证明 ． ａ＜ （ ｎ－１） ｅ分析 　 解题 的 目 的 是 理 解 概 念 、 熟 悉 方 法、 体会１ １ 证明 　ｆ 当 ａ＜０ 时 ， ＝ －ａ． ＝ － ′（ ｘ） ′（ ｘ） ｆ ｘ ｘ ， 函数 ｆ（ 在（ 内是增函数 ． ａ＞０ （ ｘ＞０） ｘ） ０， ＋∞ ） 因为 － 所以存在大于 １ 的整数ｎ， 使－ ａ＞０， ａ＜９gzslhzz.com１） １ ａ ｎ （ ， （ 取 ｘ＝ １ ｅ ｌ ｎ ｎ － ｎ ＋１＝１ ｎ－１） ． ｎ 所以ｆ ｎ ＝ ｅ ｅ ｅ ｅ ｎ （ － ｅ ａ ｎ－１） － ｎ＋ ｎ ＜１－ ｎ＋ ＝０． ｎ ｅ ｅ 又 ｆ（ 所以 ｆ（ １） ａ＋１＞０， ｘ） ｘ－ ａ ｘ＋１ ＝－ ＝ ｌ ｎ 　（ 在 定 义 域 内 只 有 １ 个 零 点． 关注定义域内如 ａ＜０） 、 ／ 会对解题 －１、 ０、 １、 １ ｅ ｅ等 一 些 特 殊 值 的 函 数 值， 有很大帮助 ．ａ ｘ－ ａ ， 例 ６　 已知关于 ｘ 的函数ｆ（ ＝ ｘ （ ｘ） ａ≠０） ｅ 若函数 Ｆ（ 求实数ａ 的取值 ＝ｆ（ ＋１ 没 有 零 点 ， ｘ） ｘ）范围 ． 函数 Ｆ（ 等价 ＝ｆ（ ＋１ 没 有 零 点 ， ｘ） ｘ） ｘ 没零点 ． 画函 数 于函数 ｈ（ ｘ） ｘ－１） ＝ｅ ＋ａ（ ， 图象 （ 请同学们自己画一画 ） 可 ａ（ ｘ－１） ｙ＝－ｅ ， ｙ＝ 当ａ＜０ 时 ， 如果｜ 知当ａ＞０ 时一定有零点 ； ａ ｜较大会 有零点 ．ｘ ｘ ｘ ， 设函数 ｈ（ ｘ） ＋ ａ（ ｘ－１） ｈ ′（ ｘ） ＋ ａ． ＝ｅ ＝ｅ◇　 山东 　 胡文文　　 定义新 符 号 运 算 类 问 题 是 指 题 目 中 给 出 与 高 中 数学教材里 的 内 容 和 含 义 不 同 的 符 号 及 与 之 有 关 的 运算规则 ， 或给出教材中很 少 出 现 的 符 号 及 与 之 有 关 的运算规则 ， 或给出教材中 没 有 出 现 过 的 具 有 全 新 意 义的符号及与之有关的运 算 规 则 ， 让答题者明白符号 的内涵和运算法则 ， 并应用所获得的规则解决问题 ．１　 定义新符号运算类问题的主要特点１）创新性 ．定义新 符 号 运 算 类 问 题 的 内 容 围 绕 着高中生所学的知识设置 ， 但不拘泥于高中生所学的知识形式和方法 ， 问题的解 答 过 程 充 分 体 现 高 中 生 思 维的创新意识 ．函数 ｈ（ 在（ 当 ａ＞０ 时 ， ｈ ′（ ｘ） ｘ） －∞， ＋∞） ＞０， 存 在 ０＜ 取 上单调 递 增 ； 对 于 正 数 ａ， ｔ＜１ 且ｔ＜ａ， ， 注意这里取到的特殊值ｘ 则 ｘ ｌ ｎ ｔ（ ｌ ｎ ｔ＜０） 　 　 ０＝ ０＝ 因为 ｈ（ ｘ ａ（ ｔ－１） ｔ－ａ＋ａ ｌ ｎ ｔ＜ ｔ－ａ， ＝ｅ ＋ ｌ ｎ ＝ 　 　 ０） ， 所以 ｈ（ 又 因 为 ｈ（ 所 以 当 ａ＞０ ｔ ａ， ｘ １） ＝ｅ ＜ ＜０； ０）ｌ ｎ ｔ 　有零点 ． 时， 函数 ｈ（ ｘ） 解 得 ｘ＝ 函 令ｈ 当 ａ＜０ 时 ， ′（ ｘ） ｌ ｎ（ －ａ） ＝０， ． 数ｈ 与 ｈ（ 之间关系如表 １． ′（ ｘ） ｘ）表１ｘ ｈ ′（ ｘ） ｈ（ ｘ）（ ） ｌ ， ａ） ａ） （ ａ） －∞ ， ｌ ｎ（ － ｎ（ － ｌ ｎ（ － ＋∞ ） － ? ０ 极小值 ＋ ?２）灵活应用性 ．定 义 新 符 号 运 算 类 问 题 的 解 决 方法不局限于常规题型的 解 法 ， 考查答题者灵活应用所学知识处理问题的能力 ．３）迁移性 ．定义新 符 号 运 算 类 问 题 的 解 答 需 要 答题者将所 学 基 础 知 识 和 常 规 方 法 迁 移 到 新 的 问 题情境中 ， 并进行正确的应用 ．２　 定义新符号运算类问题的一般解法例 　（ ２ ０ １ ４ 年 安 徽 卷 ）已 知 ２ 个 不 相 等 的 非 零 向量ａ、 ｂ， ２ 组 向 量 ｘ１ 、 ｘ ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ２、 ３、 ４、 ５ 和ｙ １、 ２、 ３、 记 Ｓ＝ｘ ｙ ｙ ｙ１ ＋ ４、 ５ 均由２ 个ａ 和３ 个ｂ 排 列 而 成 ． １） 极 小 值 为 ｈ（ ｘ） ｌ ｎ（ －ａ） ＝ －ａ＋ 　　 所 以 函 数 ｈ（ （ （ （ ） ） （ ） ） ａｌ ａ －１ ＝－ ａ ２－ ｌ ｎ － ａ ． ｎ －２ ） 若－ 又因为 则 ａ≤ －ｅ ａ（ ２ －ｌ ｎ（ －ａ） ． ≤０， ２ 函 数 ｈ（ 所 以 当 ａ≤ －ｅ 时 ， 有 零 点 ；若 ＝１， ｈ（ １） ｘ） ２ ２ ） 则 －ｅ ＜ａ＜０， 即 当 －ｅ ａ（ ２－ ｌ ｎ（ － ａ） － ＞０， ＜ａｘ ｘ ｘ ｘ Ｓｍ ｙ２ ＋ ｙ３ ＋ ｙ４ ＋ ｙ５ ， ２ ３ ４ ５ ｉ ｎ表示 Ｓ 所有可能取值 （ 中的 最 小 值 ． 则下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 ） ． ① Ｓ 有５ 个不同的值 ； 则 Ｓｍ ｂ， ａ ｜ ｜无关 ； ② 若 ａ⊥ ｉ ｎ与 则 Ｓｍ ｂ， ｂ ｜无关 ； ③ 若 ａ∥ ｜ ｉ ｎ与 则 Ｓｍ ｂ ａ ０； ④ 若｜ ｜＞４ ｜ ｜， ｉ ｎ＞２ ／ 则〈 ｂ ａ Ｓｍ ８ ａ ａ， ｂ〉 ４． ＝π ⑤ 若｜ ｜＝２ ｜ ｜， ｜ ｜， ｉ ｎ＝ 本题给出 了 符 号 Ｓ 的 运 算 式 子 ， 通 过 读 题，无零点 ． 函数 ｈ（ ｘ） ＜０ 时 ， ２ 无 零 点， 即函 所以 ， 当 －ｅ ＜ 函 数 ｈ（ ａ＜０ 时 ， ｘ） 数 Ｆ（ 无零点 ． ｘ） 综上所述 ， 我 们 一 定 要 意 识 到， 导数综合题目是 考查综合能力的 ， 切记盲 目 求 导 ， 解 题 视 野 要 开 阔， 自 觉运用上述几个基本策略 ， 让导数综合题目的解答变 得容易 、 变得轻松 ． （ 作者单位 ： 北京教育学院丰台分院 ）标记出 “ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ １、 ２、 ３、 ４、 ５ 和ｙ １、 ２、 ３、 ４、 和“ ２ 个ａ 和３ 个ｂ 排列而成 ” Ｓ＝ ｘ ｘ ｙ ｙ１ ＋ ｙ２ ５ 均由 １ ２ ” 处关键 信 息 观 察 的 运 算 ＋ ｘ ｘ ｘ ． Ｓ ｙ３ ＋ ｙ４ ＋ ｙ５ ２ ３ ４ ５１ ０
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高三数学极限、导数解答题的解法
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你可能喜欢高考数学真题篇：对导数问题的解答，就是这4个步骤
看每年的高考大题压轴题，大家会发现解法还是学过的解法，知识也是学过的知识，可是有的题就是解不出来，这是为什么呢？解数学题首先是审题，读懂题目意思也就是理解题意，很多题目有生活背景，有高数背景等，学生对导数问题的解答，大致会分4个阶段，分析题目，构造函数，研究函数，解决问题，下题也正是由这样一个过程来求解
微积分中的泰勒展开式定理，给出了用多项式函数近似表达复杂函数的理论，在近似计算和数值分析中具有十分重要的意义，上题的编制就源于上述理论
第一问大多同学都会求解，求导注意别出错，不然就可能导致满盘皆输
解法1就是把研究函数研究的很透彻，分别构造了两个函数来细分，不等式的转化恒成立问题，再自然想到求导去判断函数的单调性从而求函数最值，一般对0的处理要格外小心，有的时候感觉缺少条件，其实都是转化的思想，灵活运用，M(0)＝0为什么不是等于别的数字呢？大家可以考虑下，留言区评论回复哦
方法2较上法就更直接，通过题目分析，构造函数法，求导，判断单调性，带入端点值，得出结果，看起来水到渠成，实则考了很强的导数计算能力和综合应用能力
第三问与第二问的相似度很高，自然能想到他们之间必定存在某种联系，就是需要找到这个联系的桥梁，解题思路大致同上构造函数求导单调性最值，这些都是基础考点，问题是参数问题的计算难度又加大，这些都是需要同学们平时课下加强，否则很难在考场算出完整过程，得出正确结果
上法用了洛必达法则，都是高数知识背景，学有余力的同学可以试一试，没有坏处，而会更加拓宽你的思路和方法
其实无论再多的方法，再好的方法，不试着去做，那永远是别人的方法，拿出纸笔，做一做吧，加油哦
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