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容斥原理在公务员考试中的应用（下）
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　　三集合容斥原理在公务员考试中的应用
　　广西华图数量名师 蒙璇
　　上一个讲我们就两集合容斥原理做了阐述，今天就三集合容斥原理一一阐述。
　　一、题型区别。三集合容斥原理包含标准型和非标准型。因此首先要学会题型的区分，如果题目明确告诉你AB、BC和CA各自的数值的时候，那么这个题目就是标准型的，而如果题目没有明确这三个量所对应的数值的时候，那么这种类型的题目就是三集合非标准型。A+B-AB=总数-两者都不满足的。A表示满足条件A的个数，B表示的是满足条件B的个数，AB表示既满足条件A又满足条件B的个数。
　　二、公式表述。三集合标准型的公式：A+B+C-(AB+BC+CA)+ABC=总数-三者都不满足的;三集合非标准型的公式：A+B+C-满足两个条件的-2*满足三个条件的=总数-三者都不满足的。
　　三、计算技巧。由公式可以看出来，三集合标准型一共有九项，非标准有七项。如果通过移项变号加减来计算的话，那么要求其中的一项，其余的各项都要移项来加减，给计算带来了一定的难度，而且浪费了大量的时间。因此，如果答案的尾数不一样的时候，可以借助尾数法，快速的拿下;但是如果答案的尾数相同，那么只能通过移项来计算。
　　【例1】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少?( )
　　A.15 B.16
　　C.14 D.18
　　【答案】B
　　【解析】这是一道三集合容斥原理的题目，题目明确告诉我们AB、BC和CA所对应的数值，而且题目所求的量是公式里的量，所以可以套公式&A+B+C-(AB+BC+CA)+ABC=总数-三者都不满足的&来计算。64+180+160-(24+36+70)
　　+X=290-0。因为四个选项的尾数不一样，所以可以用尾数法快速的解出答案。因为等式右边的尾数为0，要等式相等，左边的尾数也应该为0，所以X的尾数为6，所以正确答案选B。
　　【例2】为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。在该单位的所有职工中，参加合唱活动有189人，参加象棋活动有152人，参加羽毛球活动有135人，参加两种活动的有130人，参加三种活动的有69人，不参加任何一种活动的有44人。该单位的职工人数为( )。
　　A.233 B.252
　　C.321 D.520
　　【解析】这是一道三集合容斥原理综合的题目，题目所求的量是公式里的量，但是题目没有明确告诉我们AB、BC和CA所对应的数值，因此它属于三集合非标准型。代入三集合非标准型的公式：A+B+C-满足两个条件的-2*满足三个条件的=总数-三者都不满足的。189+152+135-130-2*69=X-44，左边的尾数是8，右边的尾数要为8，则X的尾数是2。正确答案选择B。
　　可见，不管对于两几个容斥原理还是三集合容斥原理，不管是标准型的还是非标准型的，牢记公式最重要，代入数据要准确，尾数法求解是捷径。因此考生在备考的过程中，要多做题，多练习，从而提高做题的速度，最终在考场上能快速的拿下此类题目。
（编辑：广西华图）
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编辑点评：
奥数就是奥林匹克数学的简称。适当的学习奥数可以锻炼思维，是大有好处的，万不可把奥数功利化。一般来说学，小学生从小学三年级开始比较合适，四、五年级入手也不算太晚。小编汇总了三年级奥数试题，大家做做看吧！
某班共有 46人，参加美术小组的有 12人，参加音乐小组的有 23人，有5人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
解：求出参加了美术或音乐小组的人数，用全班总人数减去这个人数，就得到所求的人数。
根据排除法，该班至少参加了一个小组的总人数为12＋ 23- 5＝30(人)。所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46-30=16(人)。综合列式为
46- ( 12＋ 23- 5)＝ 16(人)。
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小编给大家推荐以下20道题目，都附有解题思路和正确答案，记得要孩子做过以后才能看哟！一天一道，涨分有效！
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<em id="authorposton12-2-28 10:28
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本帖最后由 刘婕老师 于
13:46 编辑
这一讲中的最后两道题目属于最值问题，每一题的做法很多，画线段、不等式、容斥以及最不利，思来想去，觉得这种不易掌握的题目，就不要百花齐放了，还是尽量让学生会一种，并且精通即可，于是我选择用最不利原则来解决这种最值题目。例子：一个班有42个学生，其中会游泳的有30人，会打乒乓的有29人，会下象棋的有27人，那么三项运动都会的至少有几人？方法1：容斥原理的角度班里的总人数是42人，这是一个不变量，因此将班里分成两类人，一类是全能人（三项运动都会的）一类不是全能人（至少有一项运动不会）。所以全能人+不全能人=42想要全能人最少，那么不全能要最多，因此我们的任务就变成去找那些不全能的人。30人会游泳，所以12（42-30）人不会游泳，这12人是我们要找的不全能人。29人会乒乓，所以13（42-29）人不会乒乓，这13人是我们要找的不全能人。27人会象棋，所以15（42-27）人不会象棋。这15人是我们要找的不全能人。想要不全能人的人数最多，即12+13+15=40（人）所以全能的人最少为42-40=2（人）方法2：最不利原则把全班42个人编号 1、2 、……42。会一项运动就在编号下打一个√，因此这42个人共要打√ 30+29+27=86（个）。想要3个√的人少，总√是86不变的，所以按照最不利原则，每个人都打两个√，86-42×2=2（个），还剩下2个√，无论给谁，都是3项运动都会的。1& & 2& &&&3&&……& &41&&42√ √&&√&&……&&√&&√√ √&&√&&……&&√&&√√ √
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<em id="authorposton12-2-28 10:32
有了上面的例子，书中的例7就变的比较简单了。 例7： 甲乙丙三人浇花，甲浇68盆，乙浇62盆，丙浇56盆。已知共有花90盆，则三人都浇了的花至少有多少盆？方法1：容斥原理的角度甲没浇的：90-68=22（盆）乙没浇的：90-62=28（盆）丙没浇的：90-56=34（盆）至少有一人没浇到的：22+28+34=84（盆）三人都浇的至少：90-84=6（盆）方法2：最不利原则68+62+56-90×2=6（盆）
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<em id="authorposton12-2-28 10:41
例8 学而思的一场奥数选拔考试，共5题，规定对3题及3题以上的人均能通过考试，本次考试共100人参加，答对1——5题的分别有80,92,86,78,74人。这次考试最少有多少为同学通过？
解析：利用最不利原则
给100名同学编号1 2 3……100
对1题，打1√。因此共打√80+92+86+78+74=410（个）
对3题以及以上的就算及格，因此要及格的人少，即不及格的人多，对的总题数410题是不变的，因此根据最不利原则不及格的人刚好每人对2题。
1&&2&&3&&……&&99&&100
√ √ √& && &&&√& &√
√ √ √& && &&&√& &√
410-2×100=210（个）
剩下的210个√，随便给哪个人都能使其及格，现在要及格的人少，所以这些√要集中给一些人，每人做多还能得到3个√，因此210÷3=70（人），即最少及格的人数为70人（且这70人都是5题全对的。）
请教刘老师：如果问最多有多少人通过，用什么方法来计算？谢裔
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<em id="authorposton12-2-28 10:57
谢谢，学习了
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<em id="authorposton12-2-28 11:00
再复杂些的题目某实验班100名学生参加了5次测验，这五次测验合格人数分别为90，86，78，82和65， 每个同学五次测验至少要有3次及格才不用参加寒假补习， 则不用参加寒假补习的同学至少是多少人？解析：利用最不利原则给100名同学编号1 2 3……100对1题，打1√。因此共打√90+86+78+82+65=401（个）对3次以及以上的就算合格，因此要合格的人少，即不合格的人多，对的总题数401题是不变的，因此根据最不利原则不合格的人刚好每人对2题。1&&2&&3&&……&&99&&100√ √ √& && && & √& &√√ √ √& && && & √& &√401-2×100=201（个）剩下的201个√，随便给哪个人都能使其及格，现在要合格的人少，所以这些√要集中给一些人，每人做多还能得到3个√，因此201÷3=67（人），即5次都合格的人是67人，可是观察数据发现第五次合格的人是65人，因此5次合格的最大人数为65人，还剩下2人，即剩下2×3=6题。1&&2&&3&&…65&&66&&67&&68…&&99&&100√ √ √& & √&&√&&√&&√& && &√& &√√ √ √& & √&&√&&√&&√& && &√& &√√ √ √& & √&&√ √ √& & √&&√ √ √& & √&&剩下的6题，只能每人分2个√，6÷2=3人1&&2&&3&&…65&&66&&67&&68…&&99&&100√ √ √& & √&&√&&√&&√& && &√& &√√ √ √& & √&&√&&√&&√& && &√& &√√ √ √& & √&&√&&√&&√√ √ √& & √&&√&&√&&√√ √ √& & √&&65+3=68（人）＜78（即能4题都对的最大人数，题目中倒数第二小的数）因此 合格的最少人数为68人。
支持: 5 分析得很透彻，使学生理解！
刘老师你好，这道题 我有以下做法，不知对不对，是否够严谨？请指教。
首先，总合格人次为 90+86+78+82+65=401
五次测验合格人数最少的是65人，所以假设这65人每次测验都及格，则合格人次为 65*5=325
还剩下 401-3
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<em id="authorposton12-2-28 11:11
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
呵呵，因为担心很多孩子和家长不太理解这种题目，所以找了种通用的方法，一边打勾，一遍做，还是比较好理解的。
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<em id="authorposton12-2-28 11:14
收藏，向刘老师致敬！
呵呵，这种题型多练几次，熟练了之后，会发现其实还是蛮简单的。
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<em id="authorposton12-2-28 12:49
收藏，学习一下，谢谢啦
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<em id="authorposton12-2-28 12:57
太及时了,谢谢.
以后每讲都会唠叨一下，多多关注哦！
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<em id="authorposton12-2-28 15:22
谢谢刘老师，最后一题我给孩子讲得头疼，还是刘老师的好！
例8 一场奥数选拔考试，共5题，规定对3题及3题以上的人均能通过考试，本次考试共100人参加，答对1——5题的分别有80,92,86,78,74人。这次考试最少有多少为同学通过？
要使通过的选手最少，则不及格的选手最多
初次做，可能是费点劲，多做几道就好了。呵呵！
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<em id="authorposton12-2-28 20:36
赞一下刘老师！想您ing
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及时雨。 学习中。
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<em id="authorposton12-2-29 11:35
学习了, 一看就懂, 谢谢!
长期支持论坛，在线时间、发帖数、页面访问量达到一定程度可以申请杰出贡献勋章
申请最低条件：发帖数≥500并且注册天数≥300或者总在线时间≥800
在线时间等级1
在线时间满500小时将自动发放。
大富翁勋章
金币数达30000时，可申请该勋章
灌水类文章达5篇以上者可申请
济南特色勋章
描述：济南地区用户专用勋章
Powered by容斥原理应用题，答案有疑问。_百度知道
容斥原理应用题，答案有疑问。
一个棱长10厘米的正方体礼盒,礼盒用宽为2厘米的长方形绸布带捆扎绸布带遮住礼盒的总面积是多少平方厘米?2*10*4*2=160（乘4乘2怎么解释？）2*2*2=8160-8=152
&#xe6b9;答题抽奖
首次认真答题后
即可获得3次抽奖机会，100%中奖。
带子捆扎，当然需要围着礼盒捆一圈。2*10表示在一个面上，绸布是多少面积。捆一圈就是4个面（例如前上后下四个面），所以乘以4，而只是捆一圈，还捆不好，需要和前面捆绑方式垂直方向再捆一圈（例如前左后右四个面），所以再乘以2这就是2*10*4*2的来历。这样两圈捆下来，在前后两面，两种捆扎是有交叉的，交叉的部分面积是2*2，有两块，所以是2*2*3=8所以需要减去8
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公务员考试容斥原理类解法.doc 166页
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容斥原理类解法对于容斥原理类的题目，近年来在公务员行政职业能力测验中考的不少。熟练掌握三集合整体重复型公式成为了做题关键。
　　对于容斥原理类的题目，近年来在公务员行政职业能力测验中考的不少。纵观历年真题，我们可以发现：2006年国家公务员考试考了一道三集合图示标数型;2007年国家公务员考试考了两道两集合型题目;2009年国家公务员考试考了一道三集合的题目，可以直接套用三集合标准型核心公式;2010年和2011年国家公务员考试连续两年考了三集合整体重复型。因此，熟练掌握三集合整体重复型公式成为了做题关键。
　　一、介绍三集合整体重复型核心公式
　　在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别是A、B和C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，根据下图可以得到以下两个等式：
　　W=x+y+z
　　A+B+C=x×1+y×2+z×3
　　二、典型的三集合整体重复型的题目讲解
　　例1、某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动。现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组?(2004年浙江公务员考试行测第20题)
　　A. 15人　　　B.16人　　　C.17人　　　D.18人
　　【答案】A　解析：此题有两种解法可以解出：
　　解一：如图，分别设只参加英语和语文、英语和数学、语文和数学小组的人为x、y、z，则只参加英语小组的人为17-5-x-y，只参加语文小组的人有30-5-x-z，只参加数学小组的人有13-5-y-z，则只参加三个小组中的一个小组的人和只参加其中两个小组的人和三个小组都参加的人的总和为总人数，即17-5-x-y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。则求x+y+z=15，所以只参加一个小组的人数的和为15。
　　解二：套用三集合整体重复型公式：
　　W=x+y+z
　　A+B+C=x×1+y×2+z×3
　　35=x+y+5
　　17+30+13=x×1+y×2+5×3
　　解得：x= 15，y=15
例2、某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是( )(2009年江苏公务员考试行测A类试卷第19题)
　　A. 69　　　B.65　　　C.57　　　D.46
　　【答案】D　解析：本题也是一道典型的三集合整体重复型题目，直接套用三集合整体重复型公式：
　　W=x+y+z
　　A+B+C=x×1+y×2+z×3
　　这里需要注意的是W=105，而非125，
　　105=x+y+24
　　89+47+63=x×1+y×2+24×3
　　两个方程，两个未知数，解出y=46，这里y表示只看过两部电影的人数，即所求。
　　例3、某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人?(2010年国家公务员考试行测第47题)
　　A. 120　　　B.144　　　C.177　　　D.192
　　【答案】A　解析：本题的特征也很明显，直接套用公式，只是要注意的是，题目中最后问的是接受调查的总人数，我们求出W之后，还需要再加上不参加其中任何一种考试的那15个人，
　　W=x+46+24
　　63+89+47=x×1+46×2+24×3
　　通过解方程，可以求出W=105，这只是至少准备参加一种考试的人数，所以接受调查的总人数为105+15=120。
　　例4、某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?(2011年国家公务员考试行测试卷第74题)
　　A. 37　　　B.36　　　C.35　　　D.34
　　【答案】D　解析：本题属于典型的三集合整体重复，直接套用公式：
　　W=x+7+1
　　8+10+9=x×1+7×2+1×3
　　可以解除W=18，所以至少有一项不合格的有18种，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有52-18=34。
　　在三集合整体重复型的题目中，我们需要辨认A、B、C，x、y、z具体指代什么，特别是需要搞清W是哪个量，
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