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高数求极限方法总结、极限等价替换公式总结及其例题详细解答.docx 20页
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高数求极限方法总结、极限等价替换公式总结及其例题详细解答
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高数求极限方法总结及其例题详细解答1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限　这种方法要求熟练的掌握导数的定义。2．极限运算法则定理1已知，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）（2）（3）说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。.利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。　　8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则。例2解：原式=。例3解：原式。3．两个重要极限（1）（2）；说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：，，；等等。利用两个重要极限求极限例5解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则。例6解：原式=。例7解：原式=。4．等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：～～～～～～。说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如：当时，～；～。定理4如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9解：～，～，原式=。例10解：原式=。注：下面的解法是错误的：原式=。正如下面例题解法错误一样：。例11解：，所以，原式=。（最后一步用到定理2）五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。例1.2.5．洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；（2）和都可导，且的导数不为0；（3）存在（或是无穷大）；则极限也一定存在，且等于，即=。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12（例4）解：原式=。（最后一步用到了重要极限）例13解：原式=。例14解：原式==。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15解：例18解：错误解法：原式=。正确解法：应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式=（分子、分母同时除以x）=（利用定理1和定理2）6．连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有。利用函数的连续性（定理6）求极限例4解：因为是函数的一个连续点，所以原式=。7．极限存在准则定理7（准则1）单调有界数列必有极限。四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例1.设，求极限。定理8（准则2）已知为三个数列，且满足：（1）（2），则极限一定存在，且极限值也是a，即。10.夹逼定理利用极限存在准则求极限例20已知，求解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设。对已知的递推公式两边求极限，得：，解得：或（不合题意，舍去）所以。例21解：易见：因为，所以由准则2得：。9.洛必达法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。11.泰勒展开法12.利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。8.利用复合函数求极限十、利用级数收敛的必要条件求极限级数收敛的必要条件是：若级数收敛，则，故对某些极限，可将函数作为级数的一般项，只须证明此技术收敛，便有。例十一、利用幂级数的和函数求极限当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。例求7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付
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病毒和杀毒软件的攻防战线广阔异常，从磁盘到内存甚至显卡，都是它们的战场，而攻防策略之多，无论如何列举都只能是挂一漏万。计算机病毒和杀毒软件，两者你追我赶，永无止尽。注定这两者命运的，正是一条数学定理。
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相信每个人都见识过Windows那令人忧郁的蓝屏或者黑屏吧。有时因为它，一个上午的工作一瞬间毁于一旦，这就不仅是令人忧郁而是令人抓狂了。在这个时候，你是否会在心中大声咒骂那帮写程序不小心让蓝屏一而再再而三出现的程序员呢？
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哥德尔、图灵、丘奇、波斯特、克林……这些开创者们，告诉了我们“计算”到底是什么，而计算之外又有什么。但平心而论，我们给这些开拓者的颂扬还远远不够。在一般人心中，他们仍然寂寂无名。这些开拓者们，生前大多没有什么好的结局，就连死后也没有得到多少廉价的赞赏。他们为我们开拓了一个信息化自动化的黄金时代，但他们又得到了什么呢？
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尽管人力能及的只有可计算的问题，但通过逻辑推演，我们能认识到，在那些我们无法解答的问题中，竟然还存在着一个精巧的结构。而正是波斯特向我们首次展示了这个无法触及的世界。
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在数学界，证明就是一切。没有证明，即使看上去再确定无误的结论，哪怕拥有再多的间接证据，哪怕是最优秀的数学家的想法，都只能是猜想，而不是定理。要确立一个定理，就必须有一个滴水不漏的证明。这就是数学界的规则。而很不巧，本篇文章的主角，波斯特的研究风格比图灵更依赖直觉，换种说法就是更不严谨。
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要知道，逻辑体系种类繁多，从弗雷格电路图一般的“概念文字”，到罗素和怀特黑德的《数学原理》中略显奇异的近代逻辑符号，再到现代一般使用的一阶逻辑，又到更复杂的模态逻辑与线性逻辑，甚至到现代如雨后春笋层出不穷的新逻辑体系，它们无论是符号、意义还是表达范围都千奇百怪，要找到一个能囊括过去、现在甚至未来出现的定义，这无疑是个令人挠头的工作。
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图灵的这段文字其实定义了一种新的图灵机，图灵把它叫做“o-机”，而它的现代术语叫“谕示机”。一台谕示机就是一台有点特别的图灵机，仅仅多了一个新功能，就是能“免费”得到某一个特定的判定问题的答复。
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实际上，许多关于无穷的看似矛盾结论，都可以归根于我们在日常经验中对数量与顺序的混淆。比如说有人会认为偶数比自然数少，是因为自然数除了偶数之外还有奇数，但实际上这种说法隐含了“先数偶数再数奇数”的这一清点顺序。
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图灵在普林斯顿的生活踏入第二年。作为博士导师的丘奇，向图灵提出了一个新的题目：探求超越哥德尔不完备性定理的方法。
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图灵知道，丘奇也知道，他们已经踏入了一个新领域。昔日希尔伯特在他的二十三个问题中，一语带过的那个“机械化的运算”，即将被赋予精确的数学含义。但正因如此，踏出的第一步必须慎之又慎，尤其对于“可计算性”这个最基础的定义，必须做到毫不含糊。为此，为了消除模棱两可之处，图灵机与λ演算是否能力相当，这是个必须回答的问题。
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在中学数学中，说到函数，自然会联想起它在平面直角坐标系的图像。这是因为中学数学中的函数，大部分情况下不过是从实数到实数的映射而已。而数学家眼中的函数，可能与程序员眼中的函数更相似：它们更像是一个黑箱，从一边扔进去某个东西，另一边就会吐出来另一个东西。
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要证明某种东西存在，只要举出一个例子就可以了；但要证明某种东西不存在，就要想办法排除所有的可能性，而在现实生活中，这几乎是不可能的。但在数学中，情况大不相同：通过形式逻辑的方法，我们可以确实地证明某种数学对象不存在。这都要归功于数学那彻底的抽象化和形式化。
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虽然看上去简单，但实际上图灵机能做的事情远远超出一般的想象。只要有足够长的纸带和足够好的耐心，今天的电脑能做的计算，一台精心设计的图灵机也能完成。也就是说，从原则上来说，只要配备适当的输入和输出设备，以及极其好的耐心，我们完全可以用图灵机上网、玩游戏甚至执行自己写的程序。
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计算似乎无所不能，宛如新的上帝。但即使是这位“上帝”，也逃不脱逻辑设定的界限。第一位发现这一点的，便是图灵。
我们在上海又搞了一次活动，以下是精彩回顾
别让你的“逻辑”骗了你——寻找科学精神和科学思维。在本次活动中，我们的嘉宾带领听众们从生活、文学、教育多个方面寻找科学的思维、感受科学的美妙。有视频哦！
信息化时代的生活，离不开电，离不开手机电脑，离不开网络，离不开各种方便快捷的电器设备。电的应用方便了我们的生活 [&]
科学家也在为揭开衰老背后的秘密而努力。科学不是幻想，在面对衰老问题时，也要遵从科学研究的规律。而且，必须要告诉大家的是，“迄今为止，所有号称延缓或者逆转衰老的疗法，都没有科学证据的支持。对那些号称“科学”却又宣称被科学界“打压”的“抗衰老疗法”来说，“科学”不过是他们的一块幌子而已。”
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由计算器可知，x越大，该式越接近1.0986，约为ln3.
洛必达就可以啊
可以换元，令x=1/t，t趋于0.
登录百度帐号考研数学：泰勒公式求极限时应该展开到第几项
来源：文都
　　极限是高等数学中的最基本概念和基本思想之一，也是解决很多问题的一种有力工具，是考研数学每年必考的知识点。在极限的计算中，泰勒公式是一种十分有用的工具，但有些同学在用它计算时，经常遇到一个问题，就是不知道该将函数展开到第几项，展开项数少了会导致计算错误，展开项数多了又计算麻烦，针对这个同学们比较关心的普遍问题，下面网校的蔡老师对它做些分析总结，供各位同学参考。
　　一、泰勒公式求极限时应该展开到第几项
　　下面对极限计算中的除法运算和加减运算分别进行说明。
　　二、典型题型分析
　　从上面的分析总结和典型例题看到，在极限计算中使用泰勒公式时，要保证计算的正确性，用泰勒展开时必须达到足够的精确度，精确度在分式极限计算中是指分子和分母的阶数基本一致，在加减运算的极限计算中是指运算后达到首个非零项的阶数，在具体题目中的运用请参考上面的例题。最后，需要说明的一点是，泰勒公式只是求极限的一种工具，求极限时经常需要结合不同的工具进行计算，如等价无穷小代换、洛必达法则、恒等变形等，同学们在解题时要灵活运用。
　　关键词：考研数学 泰勒公式 函数极限
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