多元函数 驻点 极值点极值问题

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多元函数条件极值的求解问题探讨
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多元函数极值及其求法
一、多元函数的极值
1、多元函数极值定义
设函数在点的某个邻域内有定义,对该邻域内异于的点,如果都适合不等式
则称函数在点取极大值；
如果都适合不等式
则称函数在点取极小值。
极大值与极小值统称为函数的极值；使函数取得极值的点称为极值点。
注:二元函数的极值是一个局部概念,这一概念很容易推广至多元函数。
【例1】讨论下述函数在原点是否取得极值。
解:由它们的几何图形可知:
是开口向上的旋转抛物面,在取得极小值；
是开口向下的锥面,在取得极大值；
是马鞍面, 在不取得极值。
2、函数取得极值的必要条件
【定理一】设函数在点具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为零,即
【证明】不妨设在点处有极大值。
依极值定义,点的某一邻域内的一切点适合不等式
特殊地,在该邻域内取,而的点,也应有不等式
这表明:一元函数在 处取得极大值,因而必有
【注一】当时, 曲面在点处有切平面
此切平面平行于水平面面。
例如,在点取得极小值, 它在点处,
其切平面为
此切平面就是(面)。
使同时成立的点,称为函数的驻点。
【注二】定理一表明,可(偏)导函数的极值点必为驻点,反过来,函数的驻点却不一定是极值点。例如,在点不取得极值,但却是驻点。这告诉我们,驻点仅仅是函数可疑的极值点,要判断它是否真为极值点,需要另作判定。
【注三】偏导数或不存在的点也是函数的可疑极值点。
例如,在点有极大值,但
当然,也不存在。
当然,定理一的结论也可推广至多元函数。
3、函数取得极值的充分条件
【定理二】设函数在点的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续的偏导数,又
则函数在处是否取得极值的条件如下
(1)、时具有极值,且当时有极大值,
当时有极小值；
(2)、时没有极值；
(3)、时可能有极值,也可能没有极值,需另作判定。
对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆之法:
【例2】求函数的极值。
解:函数具有二阶连续偏导数, 故可疑的极值点只可能为驻点,
先解方程组
求出全部驻点为
再求二阶偏导数
函数取得极小值 ；
函数不取得极值；
函数不取得极值；
函数取得极大值
二、多元函数的最值
1、有界闭区域上连续函数的最值确定
如果二元函数在有界闭区域上连续,则在上必定取得最值。使函数取得最值的点既可能在的内部,也可能在的边界上。
若函数在的内部取得最值,那未这个最值也是函数的极值。而函数取得极值的点是的驻点或使、不存在的点。
若函数在的边界上取得最值,可根据的边界方程,将化成定义在某个闭区间上的一元函数,进而利用一元函数求最值的方法求出最值。
综合上述讨论,有界闭区域上的连续函数最值求法如下:
(1)、求出在的内部,使,同时为零的点及使或不存在的点；
(2)、计算出在的内部的所有可疑极值点处的函数值；
(3)、求出在的边界上的最值；
(4)、比较上述函数值的大小,最大者便是函数在上的最大值；最小者便是函数在上的最小值。
【例3】求二元函数在矩形区域
上的最值。
在边界 上,,
在边界 上, , 则 ,
, 故单调增加, 从而 。
比较上述讨论, 有
为最小值。
2、开区域上函数的最值确定
求函数在开区域上的最值十分复杂。
但是,当所遇到的实际问题, 据问题的性质可断定函数的最值一定在上取得,而函数在上又只有一个驻点, 那么就可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最值。
【例4】某厂要用铁板做成一个体积为立方米的有盖长方体水箱, 当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能用料最省?
解方程组得唯一驻点 ,
据问题的实际背景, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域内取得,又函数在内只有唯一的驻点, 因此, 可断定当 时, 取得最小值。
这表明: 当水箱的长、宽、高分别为米时, 所用材料最省, 此时的最小表面积为。
三、条件极值与拉格朗日乘数法
前面所讨论的极值问题,对于函数的自变量,除了限制它在定义域内之外,再无其它的约束条件,因此,我们称这类极值为无条件极值。
但是,在实际问题中,有时会遇到对函数的自变量还有附加限制条件的极值问题。
例如: 求体积为2而表面积最小的长方体尺寸。
若设长方体的长宽高分别为,则其表面积为
这里除了外,还需满足限制条件 。
象这类自变量有附加条件的极值称为条件极值。
有些实际问题,可将条件极值化为无条件极值,如上例；但对一些复杂的问题，条件极值很难化为无条件极值。因此,我们有必要探讨求条件极值的一般方法。
1、函数取得条件极值的必要条件
欲寻求函数
在限制条件
下的取得条件极值的条件。
函数若是在处取得条件极值,那么它必满足方程(2),即
另外,方程(2)可确定一个隐函数,将之代入(1)有
这样,函数(1)在取得条件极值,也就相当于函数(4)在处取得无条件极值。
据一元函数取得极值的必要条件有
代入到第(5)式有
由上面的讨论可知,(3)与(6)便是函数在点取得条件极值的必要条件,只是这一式子的形式不够工整,不便于记忆,为此,我们作适当的变形。
这三个式子恰好是函数
的三个偏导数在点的值。
2、拉格朗日乘数法
要求函数在限制条件下的可能极值点,可先作拉氏函数
再解方程组
求出点,这样求出的点就是可疑条件极值点。
【注记】拉氏乘数法可推广到一般多元函数或限制条件多于一个的情形:
在限制条件
下的极值。
作拉氏函数
这样求出就是可疑极值点的坐标。
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没有更多推荐了，多元函数极值问题的概念及理论应用--《六盘水师范学院学报》2016年03期
多元函数极值问题的概念及理论应用
【摘要】：普通极值问题和条件极值问题既有区别又有联系,对两者的概念进行了统一,并给出求隐函数极值问题的两种方法。
【作者单位】：
【分类号】：O174
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多元函数的极值及其应用
摘 要：文章首先从极值的相关定义、性质及定理出发,结合线性规划所定义的多元函数条件极值的相关理论,研究并讨论了多元函数在满足限制条件不论是方程组还是某些不等式组时的极值问题.其次,从二元函数极值的定义、性质定
【题　名】多元函数的极值及其应用
【作　者】苏兴花
【机　构】山东现代职业学院 山东济南250104
【刊　名】《科技创新与应用》2012年 第9期 274-274页　共1页
【关键词】多元函数 极值 正定矩阵 稳定点
【文　摘】文章首先从极值的相关定义、性质及定理出发,结合线性规划所定义的多元函数条件极值的相关理论,研究并讨论了多元函数在满足限制条件不论是方程组还是某些不等式组时的极值问题.其次,从二元函数极值的定义、性质定理出发,对多元函数极值运用线性代数的理论加以探讨,并且用实际例子验证了上述推论及定理在判别多元函数极值问题中的实用性与灵活性.文章最后又给出了多元函数极值在实际问题中的应用,以此说明研究极值问题的重要性与必要性。
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