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刘老师为我讲解一下基础解系吧!书上我看了并不是太懂,到底基础解系是什么?怎么求?一个方程好像还有很多解?
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齐次线性方程组的基础解系 就是方程组的所有解的一个极大无关组 求齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系, 方法是将系数矩阵A用初等行变换化为行最简形非零行的首非零元所在列对应的未知量 -- 约束未知量其余未知量:
自由未知量自由未知量任取一组数可得方程组的一个解自由未知量取 (1,0,..0), (0,1,...,0),...,(0,0,..,1) 即得基础解系 如 A 化为1
0则自由未知量为 x2, x5,x6分别取 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 得基础解系:
(-2,1,0,0,0,0)^T, (-5,0,-3,-7,1,0)^T, (-6,0,-4,-8, 0, 1)^T你琢磨一下
看看教材中线性方程组解的结构部分
只要3组数 线性无关就可以
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高一函数方程组法求解析式例题：已知2f（1/x）+f（x）=x（x≠0）,求f（x）我刚读高一,这些问题好抽象,请详解,提示一下怎样才可以学好高一抽象的函数
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2f（1/x）+f（x）=x（x≠0）,①,（这个式子中的x可以用除0之外的任何数或字母来替换）令x=1/x代入①式,得：2f(x)+f(1/x)=1/x,②②式乘2减去①式,就能消去f(1/x),得：3f(x)=2/x-x=(2-x^2)/x所以：f(x)=(2-x^2)/3x理解了吧,这类题都是这样做的；希望能帮到你,如果不懂,请Hi我,祝学习进步!
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由《两点式》直接写出：（x-3)/(2-3)=(y-4)/(7-4)=(z+7)/(-6+7)
(x-3)/(-1)=(y-4)/3=z+7
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MATLAB求解方程解析解和数值解.doc 6页
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MATLAB求解方程解析解和数值解
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··········
辽宁工程技术大学上机实验报告
实验名称 Matlab求解方程的数值解和解析解
目的 简述本次实验目的：
1、熟悉MATLAB软件环境；
2、熟悉MATLAB的常用运算符；
3、了解MATLAB的一些常用函数；
准备 你为本次实验做了哪些准备：
提前熟悉线性代数中的方程求解相关运算；
提前熟悉Matlab中的方程求解相关的命令；
进度 本次共有
个练习，完成
日 本次实验的收获、体会、经验、问题和教训：
通过本次实验我发现，在Matlab中一些算法会变得很简单，有时候并不需要我们去了解具体的程序内部的算法，只要我们学会如何熟练运用Matlab软件就好。学会如何运用Matlab中的算法会对我们研究一些问题带来很大的方便，解决问题会变得很方便，免去了一些手动难以解决的问题。
用MATLAB求解质点振动方程
振动是日常生活和工程技术中常见的一种运动形式。利用常系数线性微分方程的理论来讨论有关自由振动和强迫振动的相关问题。利用MATLAB数学软件大致可分四类情况：（1）无阻尼自由振动情况；（2）有阻尼自由振动；（3）无阻尼强迫振动；（4）有阻尼强迫振动
求其数值解和解析解；
MATLAB软件求解微分方程解析解的命令“dsolve()”
求通解的命令格式：（’微分方程’,’自变量’）
注：微分方程在输入时，一阶导数y’应输入Dy，y’’应输入D2y等，D应大写。
无阻尼自由振动情况 常见的数学摆的无阻尼微小振动方程>> t=0:pi/50:2*
>> y=2*sin(3*t+2);
>>plot(t,y,'b')
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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克莱姆法则
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如。对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的
克莱姆法则作者介绍
（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 ）克莱姆日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724 年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家，回国后在与他们的长期通信 中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
主要著作是《代数曲线的分析引论》（1750），首先定义了、非正则、和无理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变换，并依据的将曲线进行分类。为了确定经过5 个点的一般的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。
克莱姆法则基本介绍
一般来说，用克莱姆法则求的解时，计算量是比较大的。使用克莱姆法则求线性方程组的解的算
法依赖于矩阵行列式的算法复杂度O(f(n))，其复杂度为O(n·f(n))，一般没有计算价值，复杂度太高。. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解。用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法。
克莱姆法则概念
在引入克莱姆法则之前，先引入有关n元和有关矩阵、行列式的概念。含有n个未知数的线性方程组称为n元线性方程组。
当其右端的常数项b1,b2,...,bn不全为零时，线性方程组⑴称为。
，其中A是线性方程组的，X是由未知数组成的列向量，
是由常数项组成的列向量。线性方程组⑴的矩阵形式为
当常数项全为零时，线性方程组⑵称为齐次线性方程组，即：
线性方程组(2)的矩阵形式为
系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即
克莱姆法则定理
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为
记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解为
其中Dj是把D中第j列元素对应地换成而其余各列保持不变所得到的行列式。
记法1是将解写成矩阵（）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。
克莱姆法则证明
充分性：设A可逆，那么显然
的一个解。又设X1是
其他不为X0的解，即
。两边同时左乘A-1得
上面两式矛盾，因为不存在其他不为X0的解，故
是的一个解。
必要性：设
的唯一解X0。如A不可逆，齐次线性组AX=O就有非零解Y0，
的一个解，矛盾，故不可逆，证毕。
克莱姆法则推论
n元齐次线性方程组有非零解的是其系数为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵的行列式不为零，其矩阵可逆。
克莱姆法则法则总结
1. 克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。
2.应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:
（1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；
（2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零
(3)克莱姆法则不仅仅适用于，它在任何域上面都可以成立。
3.克莱姆法则的局限性：
（1）当方程组的方程个数与的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失
（2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。
克莱姆法则技术应用
克莱姆法则在解决微分几何方面十分有用。
先考虑两条
。因为u和v都是没相关的变数，我们可定义
找出一条等式适合
是克莱姆法则的简单应用。
首先，我们要计算F、G、x和y的导数：
将dx和dy代入dF和dG，可得出：
因为u和v都没有关系，所以du和dv的系数都要等于0。所以中的系数可以被写成：
用克莱姆法则就可得到：
用两个来表示的方程：
用类似的方法就可以找到
克莱姆法则不确定的情况
当方程组没有解时，称为方程组不兼容或不一致，当存在多个解决方案时，称为不确定性。对于线性方程，不确定的系统将具有无穷多的解（如果它在无限域上），因为解可以用一个或多个可以取任意值的参数来表示。
克拉默规则适用于系数行列式非零的情况。在2×2的情况下，如果系数行列式为零，则如果分子决定因子为非零，则系统不兼容，如果分子决定因素为零，则系统不兼容。
对于3×3或更高的系统，当系数行列式等于零时，唯一可以说的是，如果任何分子决定因素是非零的，那么系统必须是不兼容的。然而，将所有决定因素置零都不意味着系统是不确定的。 3×3系统x + y + z = 1，x + y + z = 2，x + y + z = 3的一个简单的例子，其中所有决定因素消失（等于零）但系统仍然不兼容。
Cramer, Gabriel (1750). &Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques& (in French). Geneva: Europeana. pp. 656–659. Retrieved .
钱志祥. 克莱姆法则的推广和完善[J]. 四川文理学院学报,):31-33. [].
Katz, Victor (2004). A History of Mathematics (Brief ed.). Pearson Education. pp. 378–379.
《数学辞海》委员会. 数学辞海.第6卷[M]. 山西教育出版社, 2002.
Joe D. H Steven Frankel (2001). Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second Edition,. CRC Press. p. 30. ISBN 978-0-.
Levi-Civita, Tullio (1926). The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors). Dover. pp. 111–112. ISBN 2.
Thomas S. Shores (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Springer Science & Business Media. p. 132. ISBN 978-0-387-48947-6.
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南京理工大学
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