高数微积分100道例题及解答题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-08-21 23:01 标签： 高数积分化简
016高数题图-不定积分解法总结016高数题图-不定积分解法总结逗乐学园百家号高数最强音高数交流帮，带你一起玩转高数，玩转大学，分享知识，快乐而行不论考研还是考试这些知识点是必考点一、对于多项分式或有根式的式子（一）多项分式1、多项式是假分式（分子的最高次幂不低于分母的最高次幂），一般要通过加减某一项或某一个常数后，可与分母约分，而后再拆成多个分式（或一些整式）。2、多项式是真分式，通过调节系数凑出分母的导数，而后再减去多余出来的项（一般是比较好求积分了或者可以直接用公式）。（二）有根式的式子1、根式在分子或分母的位置或者全在根号下，先看分子或分母有理化后能否拆项，再看看能否用公式，而后看看能否凑微分，最后考虑换元。2、根式与整式是乘法关系，通过调节系数凑出根号下的导数，而后再加减去多余出来的项（一般是比较好求积分或者可以用公式）。二， 第一类换元 又叫凑微分三， 第二类类换元 又叫变量代换四， 分部积分法特别注意。特别注意。特别注意。有时候或有些题是几种方法结合起来使用更简单。最佳应对策略，各个击破，各个击破，各个击破。每种解法都熟悉了，解题过程中自然会选择简单的方法。有疑惑可以私信给我，加你jinqun。本文由百家号作者上传并发布，百家号仅提供信息发布平台。文章仅代表作者个人观点，不代表百度立场。未经作者许可，不得转载。逗乐学园百家号最近更新：简介:校园逗逼多，同学爱搞怪作者最新文章相关文章高等数学定积分提高习题_百度文库
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高等数学定积分提高习题
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总是犯各种小错误
第一问才三分呀，扣掉2分可能
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不行，不写z=0就是柱体了。我也写错了，看扣几分
最多一分啦 一共才三分如果特殊注明了是在平面上应该不用扣 如果没注明的话 应该扣一分
我也没写，但写了在z=0平面上
肯定要扣分的
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高等数学定积分高习题.doc 21页
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将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．
将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即
=_________．
由定积分的几何意义知，等于上半圆周 ()
与轴所围成的图形的面积．故=．
本题也可直接用换元法求解．令=（），则
比较，，．
分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．
在上，有．而令，则．当时，，在上单调递增，从而，可知在上，有．又
，从而有．
在上，有．由泰勒中值定理得．注意到．因此
例4 估计定积分的值．
要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
设 , 因为 , 令，求得驻点, 而
设，在上连续，且，．求．
由于在上连续，则在上有最大值和最小值．由知，．又，则
例6求, 为自然数．
这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．
利用积分中值定理
设 , 显然在上连续, 由积分中值定理得
当时, , 而, 故
利用积分不等式
由积分中值定理 可知
因为，故有
设函数在上连续，在内可导，且．证明在内存在一点，使．
由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件即可．
由题设在上连续，由积分中值定理，可得
其中．于是由罗尔定理，存在，使得．证毕．
（1）若，则=___；（2）若，求=___．
这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可
（2） 由于在被积函数中不是积分变量，故可提到积分号外即，则可得
设连续，且，则=_________．
对等式两边关于求导得
故，令得，所以．
函数的单调递减开区间为_________．
，令得，解之得，即为所求．
求的极值点．
由题意先求驻点．于是=．令=，得，．列表如下：
故为的极大值点，为极小值点．
已知两曲线与在点处的切线相同，其中
试求该切线的方程并求极限．
两曲线与在点处的切线相同，隐含条件，．
由已知条件得
且由两曲线在处切线斜率相同知
故所求切线方程为．而
该极限属于型未定式，可用洛必达法则．
此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．
试求正数与，使等式成立．
易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则．
由此可知必有，得．又由
得．即，为所求．
例16 设，，则当时，是的（
A．等价无穷小． B．同阶但非等价的无穷小．
C．高阶无穷小． D．低阶无穷小．
故是同阶但非等价的无穷小．选B．
将展成的幂级数，再逐项积分，得到
证明：若函数在区间上连续且单调增加，则有
令=，当时，，则
故单调增加．即 ，又，所以，其中．
由于单调增加，有，从而
被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．
在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如
，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界.
例19 计算．
被积函数在积分区间上实际是分段函数
设是连续函数，且，则．
本题只需要注意到定积分是常数（为常数）．
因连续，必可积，从而是常数，记，则
从而，所以 ．
设，，，求, 并讨论的连续性．
由于是分段函数, 故对也要分段讨论．
（1）求的表达式．
的定义域为．当时，, 因此
当时，, 因此
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16页13页17页41页44页21页59页39页51页11页2019考研高数定积分典型例题17及解法_考研数学高数资讯-新东方在线移动版
2019考研高数定积分典型例题17及解法
　　定积分是高等数学重难点，下面新东方在线将跟大家分享一系列的经典例题及解法帮助考生掌握，我们来看定积分典型例题17及其求解法：　　精华资料推荐下载：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　暑期备考黄金期我们一起努力！考研，选择比努力更重要！更精准的给自己定位，不妨抽几分钟8道题为你选出最合适的专业院校！
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