线性代数求矩阵的秩 矩阵的秩

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-08-23 16:22 标签： 线性代数求矩阵的秩

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18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见。

这部分对向量空间做了一些拓展，介绍了矩阵空间以及解集空间，然后给出了子空间的操作定义：交、和。然后Strang给出了一些对秩一矩阵性质的定理，应该会在后面的章节中证明。

回忆向量空间的定义：满足标量乘法以及加法的结果仍然位于同一集合内的向量集合。具体的

注意到实际上只需要定义对元素的标量乘法以及加法，即可对任意元素定义空间。即对向量空间的拓展。

矩阵空间的元素为任意固定大小的矩阵M∈Rm×n，标量乘法和加法的定义与实际矩阵的定义一致。则有?n,m,Rm×n is a matrix space。因为m×n维矩阵的标量乘法以及加法结果都是m×n维矩阵。

空间的维度为基的个数，而Rm×n有mn个，所以维度也是mn。

同样的，可以对subspace做拓展，例如对于3维方阵R3×3构成的原空间，对角阵集合D、对称矩阵集合S以及上三角矩阵U都是原空间的子空间。其构成子空间的验证如上所述，满足标量乘法以及加法结果位于同一集合。

并且有Dim(R3×3)=9，Dim(D)=3，Dim(S)=6，Dim(U)=6。进一步注意到D=S∩U，从而引入第一个自己和的操作符：交∩。而另一个操作符为：和+。

1.2. 子空间的操作符：交、和

子空间的交的操作等同于集合的交集，即

交集能够作为操作符等级存在是因为子空间的交仍然是原空间的子空间，并且是操作数的子空间。证明也很简单：


注意到子空间的交仍然是子空间，这是一个很好的性质。如果直接使用交集的对应操作：并集，得到的集合却并不是子空间（例如两条线的并集大概率仍然是两条线，并不是子空间；而交集则是一条线或者一个点，均为子空间）。所以对并集做拓展，定义了子空间的和+，如下：

上诉定义之后，子空间的和仍然是子空间（因为是span，所以必然是子空间）

1.2.3. 子空间的维度与子空间交和维度的关系

一个例子可以包含上诉所有定义即定理，写在下面：

上诉证明基本上都是将基列出来之后进行验证。例如对称矩阵的维度是6，原因是对角线上三个元素可以是三个任意值，然后剩余6个元素两两对应，还有三个任意值，共6维。其余类似

定理的证明：此部分是笔者自己演绎的，Strang在课上并没有证明，所以正确性有待验证，欢迎指教。

在求解空间的维度的时候，可以找到其一组基Basis(S)。所以上诉等式两边的基的个数相同即可。


以上只是笔者的一些思考，欢迎指教。

称解集空间为空间的原因是两个解的和仍然是解，解乘以一个标量仍然是解（这个里面的原因是求导操作具有线性性）。

所谓秩一矩阵，即秩为1的矩阵。

定理：任意秩一矩阵可以分解为列向量和行向量的乘积，即r(A)=1??u,v,uvT=A。

这个证明也是笔者自己演绎的。回忆矩阵乘法的多种解释方式，右乘一个行向量等价于对左操作数的多种线性组合。基于是行向量，所以均为u的倍数，所以r(uvT)=1。进一步，因为r(A)=1，所以其列向量实际上均互为倍数，所以可以很方便的找到u,v

例如已知A∈R2×3,r(A)=1，第一列为[2,3]T。因为r(A)=1，所以第二列和第三列必须为第一列的倍数，假设第二列为[1,]T，以及第三列为[4,6]T。那么容易发现A=[2,3]T[1,,2]。

然后Strang又提出了一个定理：任意矩阵A可以拆解为r(A)个秩一矩阵，即可以拆解为r(A)个uivTi的和。

Strang同样没有给出证明，如果可以使用SVD的话倒是显而易见，但是笔者猜测这个是要用于证明SVD的，所以会引入循环论证。如果不使用SVD的话，笔者猜测是要用到消元法中的性质，有些麻烦，先不证了。

从上面的定理的一个直接推理是：r(A+B)≤r(A)+r(B)，因为A可以拆解为r(A)个秩一矩阵，B同理，则A+B最多拆解为r(A)+r(B)个秩一矩阵。

再来一个推理是：所有秩小于k的矩阵集合不是子空间，因为加和的秩可能大于k。（例如两个秩一的矩阵加和大概率是秩二的，因为v′=av1,u′=bu2??c,v′+u′=c(v+u)。

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线性变换的秩是怎么定义的？


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