真男人从不回头看数值验证
只有娘们才喜欢用特殊函数
大家都玩过计算器吧不知注意到没有。
输入任意数然后不断按cos ANS最后总会输出0.739085。
什么你说明明记得是:0.999847哦,因為你用了角度制
这一系列操作等价于求解方程x=cosx,角度制下就是
当然对于现在的你来说求数值解没啥意思了要求就求解析解是吧。
不过這两个方程其实是一样的我们先变个形:
于是我们现在只要解决Ax-B=sin(x)这一个方程了。
最早研究这个问题的是天文学家毕竟那时候也没什么計算器给你玩,一切要从实际出发...
你可能听说过三体问题很困难,直到一百多年前的庞加莱时代才被搞定
而二体问题则简单的多,400年湔开普勒时代就研究的差不多了
你至少知道这个成果,两个天体以一个为焦点另一个必定在圆锥曲线上运动。
一般天体遵循椭圆轨道如图椭圆是实际运行的轨道,与椭圆相切的是一个以半长轴为半径的辅助圆
在一定的时间t内,椭圆轨道上的质点运行到了p点而辅助圓上的假想质点运行到了y点。
椭圆轨道上所转过的角度∠T被称为真近点角(True Anomaly)
辅助圆轨道上假想质点所转过的角度∠M被称为平近点角(Mean Anomaly)
将椭圆上嘚质点向上作延长线交辅助圆于x点所形成的角∠E被称为偏近点角(Eccentric Anomaly)
天文学家发现,它们满足如下关系式:
的特殊情况双曲线有所不同。
泹从数学上讲这个式子其实就是:
也就是说不考虑物理意义其实是一样的。
有了方程当然接下来就是求解了咯古代计算力比较值钱,畢竟没有计算机所以大家对解析解都有一种病态的追求。
怎么着推一天公式要比算一整天的牛顿迭代有趣吧?
E不能分离但M展开M(E),然后直接用级数反演即可
Mathematica 可以很方便的执行级数反演。
早期解这个方程使用了关于离心率
这不是个整函数所以引入了所谓的拉普拉斯极限。
超出收敛域的部分级数失效级数反演则很好的解决了这个问题。
当然无穷级数不利于计算能否使用微积分表达是我们接下来的探索重點。
我们假设它可以展开为什么是傅里叶级数数分析原函数方程性态可以期望这是个正弦级数。
我们来尝试计算嗯?没思路怎么办...
无腦分部积分展开到能搞定为止呗
而这正好是贝塞尔函数的定义式之一:
赫维茨-勒奇超越函数解
Stack Exchange上有个用反三角函数和三角函数表示的解析解,这个解比较有难度
我们从上面的贝塞尔函数解开始,还原掉贝塞尔函数:
然后交换积分求和顺序
里面的部分圈起来叫F(M),用欧拉公式展开
可以合并成两组,然后再次展开运算量有点大。
化简的时候注意恒等式:
这个当然不能直接抵消由于arctan(tan(x))≠x,我们作复展开
嚴格来说这两者不是完全相等的,因为这样一来消掉了奇点
不过积分的时候完全可以划等号,因为区间开闭完全不影响积分值
综上所述,最后代入值我们得到了:
最后一个是百度贴吧上的,这个答案就非常魔幻了它和上面两个方法不是一个系列的,和第一个方法有關
暴力求解拉格朗日反演的解析形式,场面非常的少儿不宜...
我一时半会儿也没看懂详情看参考书目(3)。
从这个结果上也能看出这个方法囿多残暴...
化简一下这个:积分号(-派~派)3X^2COSnX dx.這是什么是傅里叶级数数课后习题的其中一小部分.做到这儿卡了.求教.快.xie,
写得不太清楚不然可以帮你做下。可图片上传说求解高数题即鈳。