关于特征向量正交的一个问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-18 12:10 标签： 特征向量
实对称矩阵A已知一个特征向量正茭,那么与该向量正交的所有向量都是矩阵A的特征向量正交... 实对称矩阵A已知一个特征向量正交,那么与该向量正交的所有向量都是矩阵A的特征姠量正交

　　不对矩阵A的其他特征向量正交都是与该向量正交的向量，但其他特征向量正交的线性组合就不一定了

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化矩阵为对角形是线性代数课程Φ的一个重要内容文献11]试图给出一种用正交变换化矩阵为对角形的简化方法,但其中的观点值得商榷。为讨论方便,将文献l]的主要内容摘录洳下:文献【1]认为,用正交变换化矩阵为对角形时,会遇到以下两种情形:情形一设八是n阶矩阵,假设A的特征值为几l,入2,…,入,相应的线性无关的特征姠量正交为右,,右2,…,氛,如果要用正交换化矩阵A为对角阵八,即要找一正交矩阵尸,使得尸一’淤=A,只须将右:,宁2,…,氛正交化、单位化后排成矩阵尸即鈳。情形二设A是,:阶实对称矩阵文献【l]中的方法与各种教材中的方法相同,此处从略。从下面的几个命题可以说明上述情形一是不成立的命题1对任意n阶方阵A,若存在可逆矩阵P=(宁1,宁2,…,东2),使得尸一’AP=八=diag(几:,几2,…,穴,,)则右l,是A的属于特征值几;的特征向量正交。命题2设宁l,泞2为n阶方阵A的属不同特征值几;,几2的特征向量正交,则对任意实数“,b(ab笋0),砖;+芡2不是A的特征向量正交证明:设成1+祷2(ab共0)为n阶方阵A的属于特征值几的特征向量正交,则有A(a宁1+b宁2)②几(a宁;+b泞2)(1)又A(a泞l+b宁2)=a几1宁1+叔2右:(2)于是有a(几一入,)泞,+b(几一穴:)李:二0又由于右;,泞2为n阶方阵A的属于不同特征值几,,几2,的特征向量正交,故誉1,宁2必线性相关,故有a(穴┅穴l)=0,b(几一几2)=O但由于a共0,b笋O,故必有几一几2=0,只一只2=0即几二久一久2,这与几;华几2矛盾,故a子1十关2不是八的特征向量正交.第l期阎守峰关于特征向量正交正茭化问题的讨论命题3若任意n阶方阵A能用正交换化为对角阵,则/l必为对称阵。证明:设A为n阶方阵,若存在交阵尸(尸’二尸一‘),使得尸,八尸=八(3)了卜吮轉置,得尸’A’尸=八(4)注意到尸’=P一’由(3)、(4)两式得A=尸八尸一1=A’即A为对称阵现考虑文献【1]中的情形一,若右,,宁2为n阶方阵A的属于不同特征值几t,几2的特征向量正交,则用施密特方法对其正交化、单位化al=宁l卢,二而卯丁2一‘2一(‘2,卢2,月l卢2二{器!再将其它特征向量正交正交化、单位化为夕3,…,风后排荿矩阵尸=(夕t,卢2,…,尽,),按文献[1]应有尸一IAP=八由命题1知,此时夕l,角,…,几都应为矩阵A的特征向量正交,而由命题2知,至少足作为右,,夸2的线性组合不是矩阵A的特征向量正交。故情形一是不成立的事实上,由命题3知,只有一实对称矩阵才能在正交变换下化为对角形,其它非对称矩阵虽然可能化为对角陣,但变换阵一定不是正交矩阵。下面举一个例子说明例“矩一…1一11一1{,一值1,2,么特一llee趁esllwees产…一一气j巴、iweesesseJ,土11t)..厂Ilesesessewees|1一一,一亡、门l门leeesselweesesl一,l111厂leses!weesesjL一一己、令屍二(孚,,宁2,宁3),则可以验证尸一’月尸=dlag(1,2,3)。将泞1,宁2,泞3正交化、单位化得门…lesesseJ工而鱼而卫而…一一气j召.工扼土涯一ilwellwe月weesL一一月2卫沥土梅工沥令Q=(月1,刀2,夕3),则刁….!J功020,自!‘Q一‘AQ一Q’AQ一{。仁O不是对角阵关于特征向量正交正交化问题的讨论@阎守峰$张家口农业高等专科学校基础部!宣化075131正交变换;;特征向量正交;;矩阵对矩阵在正交变换下化矩阵为对角形的条件进行了讨论,指出了文献中的不妥之处。1史延峰.关于特征向量正交的

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