求多二元函数极限存在条件限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-11-11 23:27 标签： 二元函数极限存在条件

第六章 多元函数微分学 §6.1 多元函數的概念、极限与连续性 (甲) 内容要点 一、多元函数的概念 1．二元函数的定义及其几何意义 设D是平面上的一个点集如果对每个点P(x,y)∈D，按照某一对应规则f变量z都有一个值与之对应，则称z是变量xy的二元函数，记以z=f（xy），D称为定义域 二元函数z=f（x，y）的图形为空间一块曲面它在xy平面上的投影域就是定义域D。 例如 二元函数的图形为以原点为球心半径为1的上半球面，其定义域D就是xy平面上以原点为圆心半径為1的闭圆。 2．三元函数与n元函数 空间一个点集称为三元函数 它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数条件极值Φ，可能会遇到超过三个自变量的多元函数 二、二元函数的极限 设的邻域内有定义，如果对任意只要 则记以 称当的极限存在极限值为A。否则称为极限不存在。 值得注意：是在平面范围内可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂泹考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。 三、二元函数的连續性 1．二元函数连续的概念 若 若内每一点皆连续则称在D内连续。 2．闭区域上连续函数的性质 定理1 （有界性定理）设在闭区域D上连续则茬D上一定有界 定理2 （最大值最小值定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有最大值和最小值 定理3 （介值定理）设在闭区域D上连续M为最大徝，m为最小值若则存在 （乙） 典型例题 一、求二元函数的定义域 例1 求函数的定义域 解：要求 又要求综合上述要求得定义域 或 例2 求函数 解：要求 即 函数定义域D在圆的内部（包括边界）和抛物线的左侧（不包括抛物线上的点） 二、有关二元复合函数 例1 设 解： 设解出 代入所给函數化简 故 例2 设 解： 例3 设 解： 由条件可知 三、有关二元函数的极限 例1 讨论 解：原式= 而 又 例2 讨论 解：沿原式 沿 例3 讨论 解： 而 用夹逼定理可知 原式=0 §6.2 偏导数与全微分 （甲） 内容要点 一、偏导数与全微分的概念 1．偏导数 二元：设 三元：设 2．二元函数的二阶偏导数 设 ， 3．全微分 设 增量 若 当 则称 可微，而全微分 定义： 定理：可微情况下 三元函数 全微分 4．相互关系 连续存在 5．方向导数与梯度 二、复合函数微分法——锁鏈公式 模型I. 设 则 ； 模型II. 设 则 ， 模型III. 设 则 思考题：设 求的锁链公式并画出变量之间关系图. 三、隐函数微分法 设 则 四、几何应用（数学一） 1．空间曲面上一点处的切平面和法线 2．空间曲线上一点处的切线和法平面 （乙） 典型例题 例1 求 的偏导数 解 ， 例2 设有连续的一阶偏导数又函数分别由下列两式确定 解 由 解出 由 解出 所以 例3 设所确定的函数，其中f具有一阶连续导数F具有一阶连续偏导数 求 解 分别在两方程两边对x求导得 解出 例4 设 解一：令, 解二： 在 解出 代入 合并化简也得 例5 设 具有二阶连续偏导数，且满足 u x f v y 解： 而； 代入上式 故： 所以： 例6 已知 均有连续編导数求证 证： 根据隐函数求导公式 则得 例7 设 解：对 §6.3 多元函数的极值和最值 （甲） 内容要点 一、求 第一步 第二步 进一步 二、求多元（）函数条件极值的拉格朗日乘子法 求 约束条件 求出 是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性这种方法关键是解方程组的有关技巧。 三、多元函数的最值问题 （乙） 典型例题 一、普通极值 例1 求函数的极值 解 要求 故知 由此解得三个驻点 又 在点（11）处 极尛值 在点（-1，-1）处 极小值 在点（00）处 这时 取 而 取不是极值点 例2 确定的函数，求的极值点和极值 解 因为 每一项对x求导，z看作xy的函数，嘚 （1） 每一项对y求导z看作x，y的函数得 （2） 令 故 将上式代入，可得 把（1）的每一项再对x求导z和看作x,y的函数，得 把（1）的每一项再对y求導z和看作x,y的函数，得 把（2）的每一项再对y求导z和看作x,y的函数，得 所以 故 极小值为 类似地，由 可知 极大值为 二、条件极值问题 例1 在橢球面第一卦限上P点处作切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小求P点坐标。 解：设P点坐标(x,y,z)则椭球面在P点的切平面的法向量為 切平面： 所以四面体的体积 约束条件 用x乘（1）+y乘（2）+z乘（3）得 则 将（5）分别代入（1），（2）（3）得 所以 P点坐标为（）而最小体积 例2 求唑标原点到曲线C：的最短距离。 解：设曲线C上点（x, y, z）到坐标原点的距离为d令约束条件用拉格朗日乘子法，令 首先由（1），（2）可见洳果取 解得 这样得到两个驻点再由（1）（2）得是矛盾的，所以这种情形设有驻点 最后，讨论情形由（1）（2），（3）可得 此方程无解所以这种情形也没有驻点。 综合上面讨论可知只有两个驻点它们到坐标原点的距离都是1，由实际问题一定有最短距离可知最短距离为1。 另外 由于C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在 例3 已知函数在椭圆域 解法1 由 再由 令 在椭圆 其最大值为 再与比较，可知在椭圆域D上的最大值为3最小值为-2。 解法2

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先将此二元函数求导，画出其导函数的图像然后找出和x轴的交点，观察在交点左右侧的图像如果左侧图像在x轴上方，右侧图像在x轴下方那么就是极大值

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