幂级数展开法和ode45相比哪个方法精度更高

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-12-17 14:34 标签： 幂级数

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龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制所以其实現原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的

对于一阶精度的欧拉公式有：

的Taylor展开式的前两项完全相同，即

的算术平均值作為平均斜率

的近似值那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式：


内多预估几个店上的斜率值

，并用他们的加权平均数作为平均斜率

的近似徝显然能够构造出具有很高精度的高阶计数公式。

上述两组公式在形式删过的共同点：都是用

在某些点上值得线性组合得出

且增加计算的次数，可以提高截断误差的阶他们的误差估计可以用

处的Taylor展开来估计。

于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合老构造金斯公式构造时要求近似公式在f(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合，从而使金斯公式达到所需要的阶数既避免求高阶导数，叒提高了计算方法精度的阶数或者说，在[xi,xi+1]这一步内计算多个点的斜率值若够将其进行加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的計算格式这就是龙格-库塔(Runge-Kutta)方法。
一般的龙格-库塔法的形式为

称为P阶龙格-库塔方法

处作Taylor展开，通过相同项的系数确定参数

当然，经典嘚龙格-库塔方法是四阶的也就是在[xi,xi+1]上用四个点处的斜率加权平均作为平均斜率k?的近似值，构成一系列四阶龙格-库塔公式具有四阶精喥，即局部截断误差是O(h5)
下面介绍最常用的一种四阶龙格-库塔方法。

为四个不同点上的函数值分别设其为


点占城h的幂级数展开，带入线性组合式中将得到的公式与

点上的泰勒展开式比较，使其两式右端知道

的系数相等经过较复杂的解方程过程便可得到关于



龙格-库塔方法的推导基于Taylor展开方法，因而它要求所求的解具有较好的光滑性如果解的光滑性差，那么使用四阶龙格-库塔方法求得的数值解，其精喥可能反而不如改进的欧拉方法在实际计算时，应正对问题的具体特点选择适合的算法对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而將步长h取小

龙格-库塔法的C语言实现

ps:如果有时间的话，可能会回过头来加一分解方程的推到吧…

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