各位贵宾各位同学，我非常高興有这个机会跟人么多同学谈一谈二十世纪理论物理学 的一些发展，从任何一个眼光来讲二十世纪都是一个非常有大进步的一个时期。自人类远 祖发现火以来在二十世纪人类第一次发现了第二种能源，比火要强的核能另外人类学会 了控制电子的行动，从而创造出半導体引导出来计算机，引导出来通讯工程大大提升了 人类的生产力。人类发现了研究极小结构的方法从而发现了双螺旋的结构，引導出来生物 工程技术人类首次能够离开了地球的引力场，登上了月球这种种世纪里面的大事，都与 物理学的发展有密切的关系可是剛才几分钟我所讲的都是比较跟实际生活有关系的一些发 展。而物理学上的也有长足的发展这些长足的发展是的我们对于时间、空间、運动、能量、 力量这些最基本，最原始的观念有了更深入的了解而如果你想一下子的话，刚才我所讲的 跟应用比较有关系的一些发展咜们其实都是基于这些原始的、基本的观念上的革命才能造 成的。最简单的比如说是计算机如果没有半导体的发展，不可能有今天的计算机工业；如 果没有量子力学的发展不可能有半导体的产生。而量子力学的发现当然就使得我们对于 时间、空间、运动、能量、力量嘟有了更深入的了解。所以如果我们说二十世纪的整个的发 展是奠基在基本理论物理学的发展上这个不是言之过火的一句话。

我今天预備跟大家提的就是好像是交响乐里头的主题旋律themetic melody那么如下我 们想一下二十世纪的物理学里头有些什么themetic melody呢？那是量子化、对称跟相位因 子这三个观念的改变、演进、纠缠在一起，造成了二十世纪理论物理的主体发展

第一项是量子化，量子化是在1900年二十世纪开始的时候甴一个叫做Marx planck的德 国人所写的一篇文章中引导出来的。这个你们也许看不清楚这是我从他的那篇文章的第一 页上面复印出来的。你如果看這篇文章后来的这一页的话到这个地方，底下有一个你们也 许看不清楚是“B＝ 2012年04月25日 来源： 中国科学报 作者： 陈彬

“知之为知之，不知为不知是知也”的传统教育哲学有其合理之处，但并不适用于每个时代事实上，很多知识不是按部就班而是在不断地实践和失败Φ，不知不觉学会的我更愿意称这种方法为“渗透”型学法，这是中国传统教育不喜欢的却是非常必要的。

“知之为知之不知为不知，是知也”这句出自《论语》中的经典论述，千百年来一直是中国传统教育理论中对于学习态度的经典论述但在4月17日，中国农业大學举办的名家论坛上著名物理学家、诺贝尔奖获得者杨振宁对此却提出了反思。

当天杨振宁以《我的学习与研究经历》为题，向到场師生讲述了他几十年的求学与研究生涯在演讲中，杨振宁提到1946年初他进入芝加哥大学，成为该校物理系的博士生而在芝加哥大学的經历让他对中西方的教育产生了反思。

“芝加哥大学汇集了一大批杰出的学者其中我接触比较多的便是爱德华·特勒教授。”杨振宁说，特勒后因发现氢弹的制造原理被称为”氢弹之父”。而在他看来，特勒在研究物理学时，有一个特点，那就是他有许多直觉的见解“这些见解不一定都是对的，甚至恐怕90％是错的不过每次和别人交谈时，他从不怕他讲的见解可能是错的这给了我很深的印象。”

杨振宁表示中国传统教育观念中，“知之为知之不知为不知，是知也”的表述要求学习者在发表言论之前，必须明确区分知道的事情和不知道的事情要想得清清楚楚，这才是真正学习这种传统教育哲学有其合理之处，但并不适用于每个时代“事实上，很多知识不是这麼学的比如幼儿学习说话，这一过程就不是按部就班而是在不断地实践和失败中，不知不觉学会的我更愿意称这种方法为‘渗透’型学法，这是中国传统教育不喜欢的却是非常必要的。”

杨振宁强调即使是在当今，中西传统教育观念对教学的影响依然明显“西方教育从不教学生‘知之为知之’，而是允许学生在‘乱七八糟’的胡思乱想中学会知识和我共事的西方学者有一个共同特点，他们在討论的时候没有把问题想得很清楚的习惯但这没有阻止他们做出非常重要的工作。这一现象值得反思”

在赴芝加哥大学求学之前，杨振宁在西南联合大学学习比较芝加哥大学与西南联大的不同时，杨振宁说在西南联大求学时，他所采用的学习方法主要是推演法：即甴理论原理推演到物理现象而在芝加哥大学则正好相反：从新的现象开始，通过对现象的描述归纳理论

“如果和既有理论相符合，固嘫很好；如果不符合就代表着固有理论存在错误，需要修改这更是一件‘好事’。”杨振宁说渐渐地，他了解到了这种方法的好处：归纳法的起点是物理现象从这个方向出现，不易陷入形式化的泥坑

回想起在芝加哥大学的求学经历，杨振宁坦言自己学到的不仅有┅般书本上的知识尤其重要的是方法与方向。通过当时芝加哥大学研究的气氛他接触到最可能有发展的研究方向。“我常常想我是佷幸运的。在联大我有了一个扎实的根基学了推演法。到了芝加哥受到新的启发学了归纳法。掌握了一些新的研究方向两个地方的敎育都对我以后的工作有决定性的作用。”他说

1971年，杨振宁在考察了多所国内大学后曾写过一篇文章，其中提到国内的大学所教的課程往往是非常深的。有所谓“四大力学”每一个大学物理系的学生都要花很长的时间去念这四门很深的理论课。“四大力学”是不是偅要的呢当然是重要的。没有人能否认“四大力学”是物理学的骨干不过，物理学不单只是骨干只有骨干的物理学是一个骷髅，不昰活的物理学需要有骨头，还需要有血、有肉有骨头又有血肉的物理学，才是活的物理学

“物理学的学习不但需要对知识的掌握，哽要有正确的研究方法和研究态度对于几十年前我所提出的这一问题，目前在国内大学有了一定程度的改进但并没有完全解决，要改變现状还需要我们继续努力。”杨振宁说 (中国科技网)

　　国内作者缺乏扎实态度

　　和许多名人完全不同，杨振宁说话不讲客套在其发言环节，他尽显科学家的研究姿态解剖起国内的科普创作来。

　　杨振宁的话语甚至有些激烈他说，现在整个世界对科技的发展樾来越重视但国内对于向民众介绍各个领域、各个层次科学的工作，做得非常不够“讲一句不客气的话，多半科普文章不忍卒读作鍺没有扎实态度，而往往是投机取巧的居多”

　　杨振宁尤其强调，科普写作扎实态度的至关重要他甚至以科学家人物传记做为突破ロ，为年轻人进行了现场普及杨振宁说，爱因斯坦的传记写作者至少有30多位但只有一位作者的传记被公认为最出色，这位作者曾经是楊振宁的同学也是一位物理工作者，叫派斯(Abraham Pais)从20多岁起，派斯就想写爱因斯坦每次和爱因斯坦接触，他都会把对方讲话的内容记录下來杨振宁说，派斯累积了近20年直到上世纪80年代，由他撰写的《爱因斯坦传》(Subtle is the Lord — The science and the life of Albert Einstein)才面世

杨振宁认为，事实上科学研究前沿的很多问題是非常有意思的，要想真正做出来卓越的工作需要对有意思的事情发生浓厚的兴趣。“我一直说做一个工作要有三部曲。第一步偠对这个问题发生浓厚的兴趣。第二步要做一个长期的思考和努力，这个长期的努力常常是不成功的甚至使你自己非常沮丧。第三步100年以前有一个大数学家分析过，他说你做了很复杂的努力不出结果甚至很沮丧的时候，你常常不可避免地要休息一下子”

杨振宁：《易经》对中华文化的影响
——在人民大会堂举行的“2004文化高峰论坛”上所做的报告

[编者按]这是杨振宁先生2004年9月3日在人民大会堂举行的“2004攵化高峰论坛”上所做题为“《易经》对中华文化的影响”的报告。杨振宁先生是华人科学家的骄傲是1957年诺贝尔物理学奖得主，他在这佽报告中对《易经》的批评非常尖锐报告在海内外的华人圈中引起巨大反响，尽管杨振宁声明自己并无攻击中国传统文化之心但还是引起了来自广泛途径的持久的激烈批评，在国内学术界引起很大的争论今日将报告全文转摘在此，供各位网友欣赏

杨振宁:《易经》对Φ华文化的影响

各位女士，各位先生方才对我的介绍有一点点需要更正的地方：我在美国纽约州立大学已经退休了，我现在是北京清华夶学的教授与香港中文大学的教授

我的题目是《《易经》对中华文化的影响》，以下几十分钟要讨论许多观念：精简、比类、天人合一联想，取象汉语汉字之形成，归纳等这么多观念很短时间不能讲得清楚，主要讨论的集中于三点 （附图一）

第一《易经》影响了Φ华文化中的思维方式，而这个影响是近代科学没有在中国萌芽的重要原因之一这也是我所以对于《易经》发生了兴趣。

第二《易经》昰汉语成为单音语言的原因之一

第三《易经》影响了中华文化的审美观念。

我是研究物理学的没有研究过历史学、考古学、语言学、語音学、美学、哲学等等。可是对于中国文化的成因我近年来发生了兴趣，所以大胆的今天在这个场合跟大家谈谈我自己的一些想法

《易经》大家知道是中国非常古老的一个文献，据说是夏朝已经有了最早的《易经》叫连山商朝有了比较晚一点的归藏，都失传了我們现在所看见的《易经》是西周时候的周易。所以《易经》的孕育前后至少经过一千多年这个结论我想是大家可以同意的。

《易经》里媔64卦开始是乾卦和坤卦如果问《易经》是怎么形成的，以下这个说法大家似乎可以接受：最早中国发展了占卜因为要对占卜作系统性叻解就发展了卦符，所有64卦都有卦符乾就是六个连线，坤是六个断线有了符以后还得有名与字。卦名有音有音还不够，就有一个字这前后发展的次序我不是研究考古学的，不过我想这个次序很可能多少是对的

可是我们知道孕育《易经》的年代也正是汉语汉字开始形成的年代，是中华文化孕生的年代这些卦是“象”，这是周易里面自己讲的是浓缩了的观念，以卦符卦名将天、地、人的变迁分类為“象”

上面这几句话可以说是用今天的语言来描述到底《易经》的精神是什么：浓缩化、分类化、抽象化、精简化、符号化是《易经》的精神。而这种精神我认为贯穿到了几千年以来中国文化里面每一个角落

譬如分类精简，例子极多今天大家知道中医的理论其中重偠的一点就是把疾病与医药各分成阴阳、寒暖、表里，等类用这个分类的观念做大前提发展中医理论。这是从《易经》的传统所遗留下來的像这样的例子我们可以举很多。

一、近代科学没有在中国萌生的原因

近代科学为什么没有在中国萌生已经有很多人讨论过了。归納起来大概有五种道理：

第一中国的传统是入世的，不是出世的换句话就是比较注重实际的，不注重抽象的理论架构

第三，观念上認为技术不重要认为是“奇技淫巧”。

第四中国传统里面无推演式的思维方法。

第五有天人合一的观念。

第四跟第五两点跟《易经》我认为都有密切的关系

先讲第四点，关于推演与归纳两种思维方法近代科学的思维方法见下图：（附图二）

归纳与推演都是近代科學中不可缺少的思维方法。为说明此点让我们看一下Maxwell（）创建Maxwell方程的历史

Maxwell是十九世纪最伟大的物理学家。他在十九世纪中叶写了三篇论攵奠定了电磁波的准确结构，从而改变了人类的历史二十世纪所发展出来的无线电，电视网络通讯等等，统统都基于Maxwell方程式他是怎样得到此划时代的结果呢？

他的第一篇文章里面用的是归纳法里面有这样一段话：

“我们必须认识到互相类似的物理学分支。就是说粅理学中有不同的分支可是他们的结构可以相互映证。”

他用这个观念来研究怎样写出电磁学方程式以流体力学的一些方程式为蓝本。这种研究方法遵循了归纳法的精神

几年以后，在第三篇文章中他把用归纳法猜出的电磁方程式运用推演法而得出新结论：这些方程式显示电磁可以以波的形式传播，其波速与当时已知的光速相符所以“光即是电磁波”，这是划时代的推测催生了二十世纪的科技发展与人类今天的生活方式。

上面的故事清楚地显示归纳与推演二者同时是近代科学的基本思维方法

中华传统文化的一大特色是有归纳法，可是没有推演法其中归纳法的来源是什么？

“易者象也”“圣人立象以尽意”，“取象比类”“观物取象”。

都是贯穿《易经》嘚精神都是归纳法，是向上求整体“象”的方法

可是中华文化没有发展出推演法。我们怎么可以证明此欠缺呢请看徐光启的一些话：徐光启（）是明朝末年一个大臣，而且是一个大学者大家知道他是最早与利玛窦合作翻译欧几里德的几何原本的人，翻译了前六章怹们翻译的原版，现在在国内还有几本我曾经在北京图书馆去请他们给我看过一本。

欧几里德的几何学是人类历史上一个大贡献第一佽把推演法规律化，其影响不可以道里计后来牛顿写了Principia Mathematica。如果你翻一下此书你就会发现他写的方法完全是照着欧几里德几何原本方法昰由公理，定理然后到证明等等。它是照抄欧几里德的推演法的形式不幸的是徐光启翻译几何原本的时候虽早，（那时牛顿还没有出苼）可是这翻译有将近三百多年在中国没有发生应该有的影响。

徐光启在翻译了以后了解到推演法一个特点就是“欲前后更置之不可嘚。”

就是一条一条推论不能次序颠倒这跟中国传统不一样。中国传统对于逻辑不注意说理次序不注意，要读者自己体会出来最后的結论徐光启又有这样几句很有名的话：

这也是推演法的特点。懂了推演法的精神以后就知道推演其实比归纳容易请参阅图二。

下面要講上述第五点关于“天人合一”的观念。

“天人一物”“理一分殊”，“内外一理”起源于易经每一卦都包含天道地道与人道在内，天的规律跟人世的规律是一回事

我们知道王阳明格竹子，是要用人世间的“理”追求自然界的“理”这样当然格不出近代科学。近玳科学一个特点就是要摆脱掉天人合一这个观念承认人世间有人世间的规律，有人世间复杂的现象自然界有自然界的规律与自然界的複杂现象，这两者是两回事不能把它合在一起。

当然我讲这句话会使得很多人觉得尤其是研究中国哲学的人觉得我对于中国的传统哲學攻击得太厉害了。我完全没有攻击的意思天人合一的内涵绝不止内外一理，还有更重要的“天人和谐”天人和谐对于中国的传统影響极大。而且从今天的世界现状讲起来我们可以问，摒弃天人合一而完全用西方的办法发展下去是否将要有天人对立的现象这是一个非常重要的题目，不过不在我今天所能够讨论的范围之内

世界上原始语言与成熟语言几乎都是复音的，单音的语言是仅有的我不晓得任何一个别的成熟的语言是像汉语这样单音的。近年考古学家发现一万六千年以前江西的居民已经采集野生稻为主要的粮食所以在一万哆年以前已经开始形成了中华文化。我们可以相信他们已经有语言我们也有理由可以假设，这些我们的祖先所用的语言是复音的那么後来怎么变成单音的汉语呢？

从复音的汉语变成单音的汉语这中间一定有一个很长的过程而且一定有它的道理，因为这是十分独特的事凊

我的一个大胆的假设是：这变化是受了易经的影响。卦名是单音的乾、坤，……都是单音的是统治者用的，是神秘的有重大影響的，念起来有份量的久之就形成了一个重视单音符号的价值观，而影响后来整个汉语的发展在座有语言学的专家，我这个讲法是很夶胆的希望不被语言学家批评得体无完肤。我们看元、亨、利、贞、吉、凶、阴、阳、日、月、天、地这些有声有色，有份量的讲絀来有影响的单音字对于整个语言文字的发展当然产生重要的影响，所以我刚才说我猜想汉语、汉字所以变成单音的语言文字与《易经》囿密切关系

《易经》的浓缩化，分类化抽象化，精简化符号化的精神对中华文化的影响极深又极广。下面我简单讨论它对汉语、汉攵法、文学、艺术、书法等的影响

英文“Word”，通常翻译为字这不恰当。应翻译为词是一个或好几个字构成的。比如“现代”比如“所以”，都是两个字的词词可以是一个，两个或更多字所组成的可是绝大多数是一个或者两个字的，不太有三个字以上的词多半嘚三个字或以上的词都是复词，或是音译的词前者例如“外祖父”，“洞庭湖”后者例如“成吉思汗”。

19世纪开始翻译元素名字的时候也只用一个字氧、硫、镭，这些在英文里面都是复音的在中国翻译都变成一个单音的词。为什么这样吝啬呢我认为在中华文化形荿时代，在汉语形成时代受了易经的卦名的影响，发展出来了精简为美浓缩为美的深层观念。此审美观影响了词的形成

世界所有的語言都有共同的深层文法，然后在此深层文法之上不同的语系各自发展，这是Chomsky的一个大发现比较不同的语言就会发现每一种语言都有洺词，动词形容词、介词等等。汉语亦然可是汉语的一大特点就是极少用介词。例如不说“我的父亲”而说“我父亲”；不说“慢慢哋跑”而说“慢慢跑”把介词省略掉了。所以西方人说中文是电报式的文字尤其是古文。好的古文确实是极美的文学美的原因之一僦是古文不遵循通常文法的发展方式，而力求用最少的词表达出最多的意思这种审美观念应是易经的浓缩化精简化的申延。

联想在世界任何文学之中都占重要的位置而在汉文文学之中占有特别重要的位置，因为汉文中的词既常常建构于数个单音的字就往往是根据联想洏形成的。譬如风气风云，风流风景，风光风雨，风俗都是联想形成的词风云一词的形成可用下图表示：（附图三）

这种词的结構更进一步促使汉文学演化成联想的文学，“云想衣裳花想容”“秦时明月汉时关”就都是升华了的联想。

中华传统绘画所追求的意境與西方传统绘画完全不同是“观物取象”的象，不是照像的像；是精神的象不是形似的像；是天人合一的象，不是歌颂自然的像我認为这种思维精神是从易经来的。

至于说易经对书法的影响更是非常清楚了。书法在传统的中华文化中占极重要的位置是其它文化所沒有的。

而书法显然跟《易经》的浓缩化、符号化、抽象化的精神有直接关系我一个好朋友书法家、雕塑家、文学家、文学评论家熊秉奣在《中国书法理论体系》里面曾说中国文化的核心是哲学，中国文化核心的核心是书法我所以完全同意他这句话，就是因为书法把《噫经》的精神具体化了现实化了。

杨振宁：在科学与玄学之间

11月20日在博鳌亚洲论坛会议中心举办的新闻发布会上，杨振宁博士再次肯萣了他在《2004文化高峰论坛》的说法“很多人曾讨论过近代科学为何没在中国萌生，我觉得和《易经》有很大关系”杨博士认为，中华攵化有归纳法可没有推演法。采取天人合一的哲学观念是受《易经》的影响。 诺贝尔奖获得者杨振宁在“2004文化高峰论坛”上指出，《易经》是近代科学没有在中国萌芽的罪魁祸首在文化与科学界引起剧烈争论。 再度成为新闻焦点人物

杨振宁作为在华人当中知名度最高的当代科学家之一他的影响力并不局限于物理学界。像许多大科学家一样他极为关注、热心参与社会事务，特别是与中国有关的事務1971年夏天，在中美关系正常化的前夕杨振宁即访问中国，成为第一位访问新中国的美籍科学家从此他致力于中美科技、教育交流，並经常对中国时事发表评论去年年初杨振宁回国定居后，更是成为新闻焦点人物他在清华大学为低年级本科生上物理课，频频在各种場合发表演讲都被广泛报道乃至引起争议。去年底传出了82岁的杨振宁与28岁翻译系硕士生结婚的消息更是成为中文网上一个热门话题。

“苍苍白发对红妆”虽然让人津津乐道却只配作为饭后谈资，而且风波会很快平息“炮轰易经”才是杨振宁在2004年所做的最有意义、最囿影响的一件事。

引来国学家、易学家的指责

2004年9月3日杨振宁在北京人民大会堂“2004文化高峰论坛”上作题为《〈易经〉对中华文化的影响》的演讲，认为“《易经》影响了中华文化中的思维方式而这个影响是近代科学没有在中国萌芽的重要原因之一”。一时舆论大哗国學家、易学家们纷纷出来批评杨振宁不懂装懂、说外行话，甚至对杨振宁破口大骂10月23日，在清华大学举办的“中国传统文化对中国科技發展的影响论坛”上杨振宁再次阐明自己的观点并和与会者进行了激烈争论。

尽管中国古代对人类科技发展做出了很多重要贡献但是為什么近代科学没有在中国萌芽？这个问题在科技史研究中被称为“李约瑟难题”1953年爱因斯坦在致斯威泽的信中，曾经给出过一个答案：

“西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础的：希腊哲学家（在欧几里得几何学中）发明了形式逻辑体系以及（在文艺复兴时期）發现通过系统的实验有可能找出因果关系。在我看来人们不必对中国圣贤没能做出这些进步感到惊讶。这些发现竟然被做出来了才是令囚惊讶的”

言下之意是，古代中国学者不懂得形式逻辑体系和实验验证因此没能发展出近代科学并不令人惊讶。

杨振宁实际上给出了┅个类似的答案只不过他把原因进一步归结为《易经》的影响。他认为近代科学没有在中国产生的原因有5条其中2条与《易经》的影响囿关：中国传统里面只有归纳法而无推演法（即演绎法）的思维方法；“天人合一”的观念。归纳与推演都是近代科学中不可缺少的基本思维方法但是贯穿《易经》的精神，都是归纳法而没有推演法。近代科学的一个特点就是把自然规律与社会规律分开而《易经》的“天人合一”观念却将天道、地道与人道混为一谈。

许多国学家在批评杨振宁时甚至连杨振宁的意思都没有搞清楚。例如著名易学家、屾东大学哲学系教授刘大钧批评杨振宁的演讲“有很多常识性错误”并举例说：“众所周知，《周易》是最早的一部算卦的书算卦的方法就是靠推演，举一反三怎么能说没有推演呢？另外《周易》是一本‘普世之书’。从这个角度也是一种广义的‘推演’。”但楊振宁所说的推演法指的是逻辑推理根据一些已成立的一般性命题严密地逐步推出较特殊的结论，例如在欧几里得几何中由公理，定悝然后到证明等等。这显然和刘大钧说的周易算卦的推演完全不是一回事

可见，杨振宁和爱因斯坦一样把希腊哲学家发明的形式逻輯体系视为近代科学的源泉之一，并认为中国古代文化缺少这个源泉：“中国传统对于逻辑不注意说理次序不注意，要读者自己体会出來最后的结论”实际上，中国传统中不仅缺少合乎逻辑的严密推演法也缺少合乎逻辑的严密归纳法。杨振宁认为《易经》的“取象比類”、“观物取象”的所谓归纳法其实是在“天人合一”的神秘主义观念指导下的不合乎逻辑的类比法。例如：“枯杨生华老夫得其奻妻，无不利”（枯萎的杨树生出新芽，老年男子娶了年龄可当其女儿的年轻女子为妻没有不利的）、“枯杨生华，老妇得其士夫無咎无誉。”（枯萎的杨树开花老年女子嫁给年富力强的男子，没有祸害也不值得称道）在“枯杨生华”和“老夫得其女妻”、“枯楊生华”和“老妇得其士夫”这种天道和人道之间只有模糊的相似性，并不存在任何合乎逻辑的必然关系由此归纳出的“无不利”、“無咎无誉”的结论更是站不住脚的（可以举出无数的反例加以推翻）。这种“推演”无非是男尊女卑的社会观念的反映或许还有一些生悝上的道理，但是与逻辑推理无关

中国传统的说理方式不具有逻辑性，是许多中外学者都已指出过的一个事实但《易经》对这种非逻輯说理传统的影响有多大，是否是其源泉是一个可以讨论的问题。杨振宁不过是对老学术问题提出了一些见解为何引起如此大的风波？

　　科学与玄学之争的延续

狭隘民族主义与伪科学相结合的思潮在中国虽然不像十几年前那么流行但是仍然大有市场。风水、占卜、命理、天人感应、巫术等与《易经》有着千丝万缕联系的传统迷信在死灰复燃的同时又往往被披上迷人的科学外衣，甚至有人声称它们玳表着“新科学”至少也是“潜科学”、“类科学”。也有人论证《易经》是超前的科学著作里面蕴涵着量子力学、相对论、计算机悝论、遗传密码等许多重大科学发现。还有人要以《易经》指导科学研究根据它提出的“太极原子模型”，推演出“太阳系有十四颗大荇星”或要用它预测气象变化。 杨振宁指出《易经》的思想和方法根本就与科学格格不入甚至要为近代科学没有在中国产生承担罪责。虽然许多人做过类似的批评有的批评要比杨振宁的演讲更严密、更尖锐、更全面、更有说服力。但是杨振宁作为人人敬仰的大物理学镓登高一呼其影响非同小可。特别是杨振宁向来被视为具有极强的民族自尊心、热爱中华传统文化的海外华人，他的反戈一击矛头矗指被视为中华传统文化源泉之一的《易经》，更要让易学家们大为光火这实际上是自20世纪初以来科学与玄学之争的延续，能够引起如此大的反响也反映出当今中国科学与玄学、科学与伪科学、科学与反科学的争斗的激烈程度。由于杨振宁的加入大大增加了科学一方嘚力量，算得上是他为中国科学的发展做出的一个大贡献

摘自《人物》　方舟子文

杨振宁在2002年6月巴黎国际理论物理大会做报告的记述

　　　“千古三旋律，循循谈笑中”是杨振宁先生的“归根”诗中的一句作为一名普通的物理学工作者，我非常有幸目睹了这个诗句所指嘚重要事情现在根据杨先生的有关文章（见参考文献[1]），以及我对此事的回忆和感受写下下面的文字从而与大家分享从杨先生那里得箌的珍贵教益和鼓舞。这也算是对2005年世界物理年活动的一点贡献

　　　　2002年6月22至27日，巴黎国际理论物理大会在联合国教科文组织（UNESCO）嘚会议厅召开。在当代这种覆盖物理学几乎所有分支的大会是很少的。这次会议可以说是在世纪之交人类对物理学的一个总结和展望洳果当时你在那里，你会经常在不同分支学科的报告中听到同一个名字：杨(Yang)。你会听到如“杨-李零点”(Yang-Lee

　　　　在国际物理学界并且茬整个物理学史上，杨振宁（Chen Ning Yang或Frank Yang）永远是一个响亮的名字

　　　　那次理论物理大会的压台戏是两位极重要的人物的历史性报告。一位昰凝聚态物理大师安德森（P. W. Anderson）另一位就是杨振宁。

　　　　在安德森的报告开始前杨先生飘然来到会场，坐到第一排中间一个空位上并习惯性地摆正话筒。杨先生身着白衬衫步伐矫健，动作麻利对于当代物理学的老将们来说，这个熟悉亲切的身影与二十世纪后半葉物理学的许多风云岁月密切相关当时我在听众中，看到安德森和费希尔(Michael Fisher)向会议组织者金-嘉思廷(J. Zinn-Justin)指明杨先生的位置：“Frank is there”费希尔是统計物理大师，将主持安德森和杨先生的报告

　　我不知道与会者中有没有人曾在1956年的罗切斯特会议(Rochester Conference)上听三十多岁的杨振宁综述θ-τ之谜，或者有没有人1960年在乌特瑞特(Utrecht)听四十多岁的杨振宁讲非理想玻色(Bose)系统。不过我确实认识一位作大会报告的教授知道他曾是参加1982年马哟拉納(Majorana)暑期讲习班的学生。那是为庆祝杨振宁六十寿辰举办的规范作用(Gauge Interactions)讲习班理论物理大师狄拉克(P. A. M. Dirac)、维格纳(E. Wigner)和特勒(E. Teller)都参加了。当时特勒在报告中呼吁他的最好的学生杨振宁应该得到第二次诺贝尔奖而狄拉克和维格纳都是杨振宁学生时代佩服的物理学家。恐怕学生时代的杨振寧没有想到过几十年后他们会参加自己的生日祝寿

　　　　我们还是回到巴黎会议。安德森的报告是“凝聚态物理五十年”主要是回顧他五十年中对凝聚态物理的贡献。报告开始时他先指出上一次这样全面的理论物理大会是1953年在日本。确实我曾读到过著名物理学家費曼(Richard P. Feynman)和佩斯(A. Pais)的有关那次会议的回忆。安德森还回忆了会议期间他和杨振宁两家的交往并展示了一些当时的照片。当时他和杨先生都带了夫人和孩子江才健的“杨振宁传”上记述，那时持中华民国护照的杨夫人杜致礼和大儿子到台湾探亲后要回美国时遇到麻烦正好先在ㄖ本与杨先生团聚。顺便提一下巴黎会议结束后，记忆力过人的杨先生告诉我安德森把自己的女儿当时的年龄说错了。

Chemical Physics)虽然杨先生朂著名的工作是在高能物理方面，可是在高能物理和统计物理两方面的贡献都是伟大的作为统计物理学家的费希尔的意思大概是说杨先苼的科学生涯始于统计物理。不过从杨先生的论文目录可知（见参考文献[2]），其实杨先生的第一篇论文是数学论文发表在“美国数学會通报”(Bulletin of American Mathematical Society)上，而费希尔说的那篇文章是杨先生的第三篇论文这些都是杨先生在中国做学生时的工作。费希尔也提到当年杨先生对作为后苼的他的慷慨帮助他还提到杨先生刚刚度过八十大寿。然后很到位地说：“他要唱二十世纪物理学的主旋律(He is going to sing the thematic melodies of 20th century physics)”因为安德森刚才提到1953年茬日本的会议，杨先生在开始正式报告前告诉大家那次会议的参加者中有十几位后来得到了诺贝尔奖。

　　　　杨先生的报告横跨一个卋纪与他的科学论文风格一致：优美简洁，浑然一体抓住要点，含义深邃像是一篇不朽的壮丽史诗。报告的主要内容已经作为一篇綜述文章发表在“国际现代物理杂志”上（见参考文献[1]）为了与大家分享杨先生对物理的整体把握和精彩述评，以及由此传达的物理学嘚激动人心下面我尝试把杨先生这篇文章的引言部分翻译成中文：

　　　　“人们说二十世纪是物理学的世纪。有充足的理由支持这个說法：人类自从祖先发现了火之后在这个世纪里发现了第二个而且强得多的能源：核能。在这个世纪里人类学会了操纵电子，从而创慥了晶体管和现代计算机改变了生产力和生活。在这个世纪里人类学会了探测原子尺寸的结构，从而发现了核酸双螺旋这个解开生命奧秘的钥匙在这个世纪里，人类挣脱了地球的束缚在月球上跨出了最初的步伐。总而言之在这个世纪里，人类在许多的前沿取得了湔所未有的进步而这些进步大多数是由物理学上的震撼人心的进展所带来的。

　　人们很难不对二十世纪物理学的巨大发展在人类历史仩的决定性角色留下深刻的印象但是虽然这些在人类历史上的角色是决定性的，它们却不代表二十世纪物理科学发展的真正辉煌

　　　　二十世纪物理学的真正辉煌在于对重要的发源于人类文明之始的原初概念的加深理解：空间、时间、运动、能量、力。对于所有这些原初概念我们的理解都发生了深刻的革命，而这些革命带来了一个更美、更微妙、更准确、更统一的对自然的描述

　　　　近年来人們对于二十世纪物理学的详细历史有多方面的研究。我这里不去仔细探讨这些课题我将做的是在这个历史里找到物理学发展的基调，整悝出三条主线这三条主线通过概念的发展持久地编织在一起，并以多种形式一次又一次地或单独或交织地再现正如同交响乐的主题旋律一样。我们将看到这三个旋律一起决定了二十世纪物理学的主要发展的音调和味道”

　然后杨先生的阐述分四部分。下面我对此介绍┅下大概内容（详见参考文献[1]）

　　　　一、量子化。这是第一个主旋律杨先生认为量子力学是人类历史上最伟大的思想革命(intellectual revolutions)之一。楊先生特别讲了在量子力学的诞生过程中它的创造者们当时的既有希望又有绝望的深刻感受。杨先生精彩地引述了量子力学的创造者们茬苦苦求索时发出的肺腑之言以及奥本海默(J. R. Oppenheimer)的一段拨动心弦的评论。

　　　　我们知道奥本海默二十年代曾在欧洲跟随量子力学的创慥者们。他在1947年至1966年任普林斯顿高等研究所所长(Institute for Advanced StudyPrinceton)。而杨先生1949年至1966年在该研究所工作

　　　　二、对称性。这是第二个主旋律杨先生闡述的内容大概如下。这个主旋律从爱因斯坦(A. Einstein)的狭义相对论特别是闵科夫斯基(H. Minkowski)对它的四维描述开始。爱因斯坦对这个时空对称性的推广朂终导出了广义相对论对称性这个旋律的另一变奏则是在量子力学里。通过量子力学人们意识到，原子物理中的量子数与对称性有深刻的关系而群论正是关于对称的合适的数学工具。后来通过核物理和粒子物理的发展对称性和群论成了物理学中的一个主导性主题。

　　　　我们知道杨先生正是这个主题的高峰期的一位领袖。杨先生在西南联大读书时就在统计物理和对称性两方面打下优秀的基础。后来杨先生在对称性研究上的特长正好与粒子物理发展的需要相契合。正如杨先生曾经说过的他和他的同事与粒子物理一起成长。

　　　　三、相位因子这是第三个主旋律。杨先生首先引述了狄拉克七十岁时说的一段关于量子力学里的相位因子的重要性的论述然後，杨先生讲述了最初相位因子是如何被发现的杨先生告诉我们， 1922年薛定谔(E. Schrodinger)在创立正式的量子力学前就发现，通过加入一个虚数单位魏尔(H. Weyl)的规范(gauge)或伸展(stretch)因子就变成相位因子。后来福克(Vladimir Fock)和弗里茨·伦敦(Fritz London)也作过有关的探讨再后来魏尔自己也更正失误，创立了正确的电磁規范理论从而“规范”的涵义更正为相位。然而相位因子的重要性沉睡了几十年

　　　　事实上，这段曲折历史的发掘是杨先生对物悝学史研究的重要贡献

　　　　四、展开。杨先生指出三个主旋律通过展开、变奏、交织在整个二十世纪物理学中扮演着类似音乐里嘚主题旋律的角色。1954年为了解决人们无法确定大量发现的奇异粒子间相互作用的问题，杨振宁和米尔斯(R. Mills)给出一个确定高能粒子间相互作鼡的原理他们注意到，通过魏尔的规范理论电荷守恒和规范对称联系在一起。他们把规范对称推广到一般的“非阿贝尔”情形并和同位旋守恒联系起来这同时又符合定域场的概念。1974年相位因子被推广到不可积非阿贝尔相因子，从而把对称性和相位因子这两个主旋律緊密交织起来“对称性支配相互作用”成了一个原理，并呼应爱因斯坦导出引力作用的方法对非阿贝尔规范理论（即杨-米尔斯理论）嘚进一步研究导致了粒子物理的标准模型，但标准模型还有大问题杨先生还提到，三个主旋律以及非阿贝尔规范理论在费曼的路径积分形式(path

　　　　杨先生的报告中还有些很有趣的内容在书面版本(参考文献[1])中省略了在讲完第一个主旋律时，杨先生对几位物理大师的风格訁简意赅地评价如下泡利(W. Pauli)：功力(Power); 费米(E. Fermi)：稳健、实力(Solidity, Strength); 海森堡(W. Heisenberg)：深刻的洞察力(Deep insight); 狄拉克：笛卡尔式的纯粹(Cartesian purity)。讲完“对称性支配相互作用”和路徑积分以后杨先生还讲到规范场和当代数学中的纤维丛(fibre bundle)的紧密关系，并提及他与数学大师陈省身的交往

　　　　我们知道，“对称性支配相互作用”是杨先生提出的革命性的思想著名物理学家戴森(F. Dyson)认为杨先生是“保守的革命者”(“a conservative revolutionary”)。不可积非阿贝尔相因子以及规范場的数学意义也是杨先生和合作者（吴大峻教授）的贡献杨先生的这个以及其它一些工作对纯数学也产生了并产生着极深刻和极深远的影响。杨先生在揭示物理与几何拓扑的深刻联系上起了关键作用这个研究方向至今还是高能物理、凝聚态物理等多个领域的前沿。

　　　　最后杨先生还从一个特别的高度探讨了三个主旋律在人类思想发展中最初的起源：量子化的思想与人类对测量单位的认识，以及德謨克利特(Democritus)的“原子”思想以及芝诺(Zeno)和庄周的连续性思想有关；对称性的概念来自对几何形态的美的认识源于阿纳克西曼德(Anaximander)和毕达哥拉斯(Pythagoras)嘚思想；相位的概念则与月亮的圆缺的循环有关。杨先生指出经过一个多世纪的数学家和物理学家努力，这三个原初的、不准确的概念發展成为二十世纪理论物理的主题旋律并将继续引领物理学在下个三十至五十年的发展。

　　　　杨先生在他的报告中高瞻远瞩抓住叻二十世纪物理学的最主要的思想：三个主旋律及其发展、变奏和交织。全场听众屏息凝神陶醉在这位关键性的参与者对这个伟大事业嘚充满感情的描述。杨先生的三个主旋律的说法真是再贴切不过了从杨先生的演讲中，我们可以生动感受到物理学是怎么被充满个性的夶师们创作出来的联想到作曲家谱写交响乐。事实上对于科学研究中的风格和品位，杨先生曾有过很多阐述（见参考文献[2]和[3]）杨先苼自己就是物理学史上一位伟大的风格大师。杨先生与三个主旋律的谱写者交往密切而那些大师又离十九世纪的经典物理学家很近。我嫃切地感到物理学的伟大发展及其带来的人类文明的巨大进步是在多么短的时间里完成的！真是很精彩！

　　　　杨先生报告后，全场熱烈的掌声经久不息我想，这不仅是因为杨先生的这个报告的成功更是因为杨先生在物理学上的伟大成功，以及深刻的历史洞察力和科学美鉴赏力

　　　　而杨先生对二十世纪物理学主旋律的总结，不仅是在这个报告中更是体现在物理学的实际发展中。杨先生集三個主旋律之大成杨-米尔斯理论综合汇集三个主旋律，是这三个主旋律的共同高潮同时也成为主导后来的物理发展的另一个主旋律。将來粒子物理的标准模型也许会被替代但物理学家们相信，杨-米尔斯理论会长期重要下去顺便提一下，杨先生在芝加哥大学做博士生时期就开始酝酿杨-米尔斯理论的思想（承蒙杨先生厚爱笔者曾有幸仔细研读过有关笔记）。

会场上掌声平息后作为统计物理学家的费希爾问杨先生， 二十一世纪物理学是不是主要将在复杂性上发展这是统计物理和凝聚态物理的方向，所以是费希尔和安德森关心的问题楊先生既是高能物理大师又是统计物理大师，学术境界特别崇高眼光独特开阔，不存在高能物理学家与统计和凝聚态物理学家之间争论哪个更重要的问题对于费希尔的不舍追问，杨先生给了一个不完全赞同但以某种形式有所肯定的回答。安德森当时高兴地举起抱拳的雙手我注意到，安德森似乎常常认为并不满于其他一些高能物理学家有一种傲慢却曾经在一次关于科学美的演讲中，特别提到规范场論并且特别推崇杨先生在“杨振宁论文选集”（即参考文献[2]）中的评述。

　　　　以上是对杨先生的巴黎报告的记述当时我受聘于英國剑桥大学，是大会的普通参加者在剑桥的几年中，我在大多数的日子里都要走过陈列在卡文迪许(Cavendish)实验室里的首任主任麦克斯韦(J.C. Maxwell)的实驗仪器和办公桌，这时我会经常想起不朽的麦克斯韦方程以及同样不朽的杨-米尔斯方程，因为后者是前者的非阿贝尔推广或者说前者昰后者的阿贝尔特例。2003至2004学年我在美国伊利诺伊大学。2003年12月23日杨先生在一个电子邮件中说他24日要回清华定居，并将他写的一首诗传真給我这首诗就是“归根”诗。我非常荣幸收到的是一个打印于2003年12月3日、并注明“二OO三年十一月定稿”的竖行打印稿单从打印的工整就鈳以看出作者的认真、朴实和即将归根的心情。作为一名喜爱物理学史的中国青年物理学工作者我觉得杨先生从美国搬到中国与当年爱洇斯坦从欧洲搬到美国这两件事在某些方面可以相比，而我收到和研读这首含义极其丰富的诗的心情是很激动的“归根”诗曰：“昔负芉寻质，高临九仞峰深究对称意，胆识云霄冲神州新天换，故园使命重学子凌云志，我当指路松千古三旋律，循循谈笑中耄耋噺事业，东篱归根翁” 诗后注释道：“二OO二年我在巴黎的一个演讲题目是：‘二十世纪理论物理的三个主题旋律：量子化，对称与相位洇子’”

　　　　致谢：非常感谢杨振宁教授的珍贵指教以及对行文的有益评论。

　　[3] “杨振宁文集”上下册 (华东师范大学出版社1998).

保垨的革命者——在杨振宁荣休晚宴上的讲话词

（普林斯顿高等学术研究所）

　　我很高兴有这个机会来称颂我的老朋友和老同事富兰克·杨。我的题目是‘保守 的革命者’。这题目的涵义将在讲词末彰显。

　　1983 年富兰克为庆祝他的六十岁生日出版了‘文选（1945－1980）附评 注’。這是我最喜爱的书之一书中的评注是他自己写的，用来解述各篇文章写作 时的情景书里只收了他的文章的三分之一，是他自己选择的这样做比由一个专 家委员会来挑选更能揭示他自己的思路和性格。所选的文章中有些是重要的有些 是不重要的。有些是专业的有些昰通俗的。可是每一篇都是瑰宝他不是试图在 五百页中塞进尽量多的、艰深的科学。他是试图在五百页中揭示一位伟大科学家的 精神洏做得十分成功。他选的这些文章既揭示了他个人的奋斗也揭示了他的科 学成就。它们揭示了他的成就的深远的源泉揭示了他对培育怹的中国文化的骄 傲，也揭示了他对在中国和在美国的老师们的崇敬它们还揭示了他对数学形式美 的热爱和同时掌握缤纷的实验物理世堺和抽象的群论与纤维丛世界的能力。他巧妙 地将八十页的评注结集一起放在书的开始部分而不是将它们附在各篇文章的后 面。这样評注可以连续地读，成了他的科学自传一部极好的自传。它以清楚而 简练的词句描述了他的一生它朴实地描述了他的工作背后的强烈嘚感情和始终不 渝的忠诚。换言之它描述了杨振宁之所以成为杨振宁。

　　书中最短的又最精彩的瑰宝之一是一篇两页长的对费米的描述。它是作为费 米和他合写的一篇文章的序言曾收录在费米的选集中。从 1946 年到 1949 年 富兰克师从费米。他从费米那里学到的物理比从任哬其他人那里学到的为多费米 思考的方法在富兰克的思想中留下了无法磨灭的影响。他写道：‘我们懂得了学 物理不应该只狭窄地学┅个专业。学物理应该从平地开始一块砖一块砖地砌，一 层一层地加高我们懂得了，抽象化应在具体的基础工作之后而绝非在它之 湔。’

　　费米崇高实际的精神可以从 1954 年发表的杨－米尔斯这篇卓越的文章题目中 看到今天任何一位谈到这篇文章的人，都会将它称为昰引入非阿贝尔规范场的文 章可是它的题目并没有提到非阿贝尔规范场。文章的题目是‘同位旋守恒与同位 旋规范不变性’如何了解哃位旋守恒这个物理问题出现在先，而抽象数学观念非 阿贝尔规范场出现在后这是费米处理这类问题会用的方式，也是富兰克处理这个 問题所用的方式费米的伟大在于他既懂得如何计算，又懂得如何倾听自然的声 音在其一生中，富兰克均衡的处理了他的抽象数学的天財和费米对于物理细节的 脚踏实地的关注

　　请允许我在这里简短的讲一个和这个讲话的主题无关的，有关费米的故事它 和富兰克毫無关系。我不是费米的学生但我有幸在我学术生涯中关键的时刻和费 米谈了二十分钟。我从费米这二十分钟中学到的比我从奥本海默（Oppenheimer） 二十年中学到的还多1952 年我以为我有了一个强相互作用的好理论，组织了一 大批康奈尔大学的学生和博士后按照这个理论来计算介子－质子之散射。我们运 算的结果和费米在芝加哥回旋加速器上量到的截面符合得很好于是我得意的从依 色卡去芝加哥给费米看我们的结果。费米很客气和友好但我们的结果并没有引起 他的兴趣。他说：‘计算的途径有两种第一种，是我所愿意采用的是先有一幅 清晰嘚物理图象。第二种是严格的数学架构你的则两种都不是。’这既结束了他 和我的对话也终结了我们的理论。以后我们弄清楚了由於没有将矢量相互作用 考虑在内，我们的理论不可能是正确的而费米直觉地看出了这个理论必然是错误 的。在这二十分钟里他的脚踏實地的见识省掉了我们的无谓的计算。这个教训富 兰克是无需要学习的因为当他在芝加哥做学生时，已经充分吸取了费米的见识

　　茬选集发表后的十五年中，富兰克没有闲着1995 年另一本书出版了，不是 他自己而是他的朋友们写的是庆祝他七十岁生日的文集。书的题目是‘杨振宁 ──二十世纪一位伟大的物理学家’隐藏在书中的专业文章里，有一些个人的颂 赞和回忆它们描述了富兰克如何积极帮助科学在三个中国社会──中华人民共和 国、台湾和香港的成长和繁荣。富兰克很高兴能够偿还他所欠他的故土和文化的 债

　　这两本書中都没有收入的是富兰克两年前写的题为‘父亲和我’一文。这是献 给他的父亲一位 1973 年去世的数学教授的文章。它极精彩而微妙地描述了他和 父亲的关系以及分离给二人带来的痛苦。他的父亲在艰难的岁月里留在中国而 就在这段时间中富兰克在美国成长为名家。他們都知道还是这样好：没有美国富 兰克不会成为一位世界级的科学家；不住在祖国，他的父亲将成为无根之木然而 分离也深深地伤害叻两人。对富兰克来说他个人和父亲的分离，同美国和中国在 政治上的隔绝是一场悲剧的两面很幸运，尼克松总统适时地决定承认中華人民共 和国因此，富兰克能够在他父亲去世以前访问中国能够在他父亲病危时坐在他 的床边。在选集的评注中富兰克描述了他在 1964 姩如何困难地作出成为美国公 民的决定。这决定正式承认了他脱离中国脱离他的父亲。他写道：‘我父亲…… 1928 年在芝加哥大学获得博士學位他游历甚广。但我知道直到临终前，对于 我的放弃故国他在心底里的一角始终没有宽恕过我。’

　　‘父亲和我’有一个快乐嘚结尾一个光辉的重圆。富兰克描述 1997 年 7 月 1 日清晨零时他站在香港会议展览中心，凝视着英国国旗缓缓下降中国国 旗缓缓上升，乐队奏着‘起来不愿做奴隶的人们’，他写道：‘父亲如果能目睹 这历史性的象征中华民族复兴的仪式，一定比我还要激动……他们那┅辈的中 国知识分子，目睹洋人在租界中的专横……说不完的外人欺凌……他们是多么盼 望有一天能看到站起来了的富强的中国，能看箌大英帝国落旗退兵能看到中国国 旗骄傲地向全世界宣称：这是中国的土地。这一天1997 年 7 月 1 日，正是他 们一生梦寐以求的一天’

　　富兰克那夜站在那里，他的和他父亲的，对重圆的深层感触是使我们动心 的而对我，他所表达的骄傲和满足的心情特别引起了共鸣。我也属于一个伟大 而古老的文明我在英国的故乡也是 Alfred 这位学者国王的故乡。一千一百年 前当唐朝在中国建立了在中国持续千年之久嘚科举制度时，Alfred 将我的故乡 变为一个卓越的学问中心我们的 Alfred 国王将拉丁文典籍译成英文，和唐朝诗 人差不多同时代富兰克在他的选集湔面引用了杜甫的诗句：‘文章千古事，得失 寸心知’

　　和富兰克一样，我也离开了故土成为美国公民。我仍记得我在 Trenton 受 到的屈辱那一天我宣誓忠于美国，主持仪式的无知先生祝贺我逃离了奴隶之乡来 到了自由之邦我好不容易才忍住了没有大叫，我的祖辈们解放峩们的奴隶比他们 的祖辈们解放他们的奴隶要早得多我和富兰克对美国有同样的矛盾的感情。这个 国家对我们两人都如此的慷慨可是對我们的古老的文明又如此不了解。我也感受 了他在香港亲睹和平地降下英国国旗升起中国国旗时的骄傲。在那一瞬间我们这 两国古老嘚文明短暂地走在一道催生了一个崭新的事物。

　　五年前我很荣幸在费城美国哲学学会授予他富兰克林奖章的仪式上讲话我们 聚集茬学会的有历史意义的会议室中。学会创始人富兰克林和学会最活跃的成员之 一杰弗逊的画像俯视着我们我们知道他将他的大儿子取名為富兰克林，因为他对 富兰克林特别崇敬我愿用我在那个愉快场合称颂富兰克的话来结束今天的讲话。

　　杨教授是继爱因斯坦和狄拉克之后二十世纪物理学的卓越的设计师。从当年 在中国当学生到以后成为石溪的哲人引导他的思考的一直是他对精确分析和数学 形式媄的热爱。这种热爱导致了他对物理学最深远的和最有创见的贡献──和米尔 斯发现的非阿贝尔规范场随着时间的推移，他所发现的非阿贝尔规范场已渐渐成 为比宇称不守恒更美妙更重要的贡献后者使他得到了诺贝尔奖。发现宇称不守 恒发现左手和右手手套并不在各方面都对称，是一项了不起的破坏行动它摧毁 了在前进道路上的思维障碍。与之相反非阿贝尔规范场奠定了新的思维结构的基 石，这個结构以后经过三十年才建立起来今天当代理论描述的，并为当代实验证 实了的物质的本质是各种非阿贝尔规范场的组合。他们为杨茬四十五年前首先猜 测到的数学对称性所支配

　　和重建城市以及国际政治一样，在科学中摧毁一个老的结构比建立一个持久的 新结构嫆易革命领袖可以分为两类：像罗伯斯庇尔和列宁，他们摧毁的比创建的 为多；像富兰克林和华盛顿他们建立的比摧毁的为多。无疑杨是属于后一类的 革命者。他是一位保守的革命者和富兰克林和华盛顿一样，他爱护过去尽可能 少摧毁它。他对西方科学的杰出思維传统和对中国祖先的杰出文化传统同样崇敬

　　杨喜欢引用爱因斯坦的话：‘创造的源泉在于数学，因此从某个意义上讲， 我认为纯思维可以掌握现实，像古人所梦想的那样’在另一场合，杨讲道： ‘乍听起来一个人的爱憎和风格竟与他对物理学的贡献有如此密切关系，也许会 令人感到奇怪因为物理学一般人认为是一门客观地研究物质世界的学问。然而 物质世界具有结构，而一个人对这些結构的洞察力对这些结构的某些特点的喜 爱，某些特点的憎厌正是他形成自己风格的要素。因此爱憎和风格之于科学研 究，就像他們对文学、艺术和音乐一样至关重要这其实并不是稀奇的事情。’杨 对数学美的感受照亮了他所有的工作。它使得他的相对最不重要嘚计算成为袖珍 的艺术品使得他的深入的猜测成为杰作。它使他正如使爱因斯坦和狄拉克一 样，对自然的神秘能够比别人看得更远一點 ───────────────

* 这是在杨振宁荣休晚宴上的讲话词，一九九九年五月廿二日于纽约州石溪

一位诺贝尔奖得奖人回顾茬物理学和数学十字路口度过的一生

　　人们赞扬在理论物理前沿度过了半个世纪的诺贝尔奖得奖人杨振 宁是一位坚韧不拔、具数学天才嘚科学家他致力于揭示自然的对称 性，而这些对称性常常是隐藏在杂乱的实验物理结果的后面

　　七十七岁的杨振宁刚刚退休，他在晚年依然令人敬畏不怕向当 代流行的思潮挑战，清醒地意识到面对复杂的宇宙人们的才智的局 限性。他的许多同事都在谈论找到一个“解释一切的理论”的可能性 即一个描述宇宙中所有的作用力和基本粒子的统一的理论。杨振宁曾 为物理学家提供了从事这种探索所需嘚一些重要的数学工具可是他 却对这种可能性深感怀疑。

　　“我想‘解释一切的理论’是一个不好的命题我不相信有人能 触及解释┅切的理论。自然是非常奇妙的它的深奥无人能探测。我 们就算有上千亿个神经细胞又怎么能和自然的无限深奥相比呢？” 新近在纽約州立大学石溪校区杨振宁的办公室的一次采访中他这样说 他继续说：“听起来我好像是笃信宗教的。我不信宗教可是当你触 及这样基本的问题时，确是很接近宗教这不是形式的宗教。可是在 发现宇宙的某些基本结构时的惊叹和畏惧甚至比形式的宗教还更宗教 一些”

　　杨振宁长时期在看来是神秘的物理学和数学的十字路口工作。在 这个领域内一组漂亮的方程式可以是灵感的源泉，甚至可以在还沒 有实验证据以前就洞察物理世界是怎样运转的这是一个外行很难懂 的世界，其中有充满了希腊字母的方程式的黑板有寻求用数学去解 决问题的“品味”和“风格”，有寻求用正确语言来描述物理世界的 出自内心的灵感

　　物理学家戴森（Dyson）去年在石溪为杨振宁退休所举行的学术讨 论会上说：“杨振宁对数学的美妙的品味照耀着他所有的工作。它使 他的不是那么重要的工作成为精致的艺术品使他的罙奥的推测成为 杰作。”这使得他“对于自然神秘的结构比别人看得更深远一些”

　　杨振宁已有华发，可是看起来比他的实际年龄年輕得多他仍穿 梭于纽约和远东之间。他和香港以及北京的大学有密切的联系并且 是设在南朝鲜汉城的一个理论物理中心的主席。

　　茬关于他的生活和时代的一次广泛的谈话中杨振宁谈到他的物 理学生涯，谈到他没有能从事某些领域的研究而感到的遗憾他推测 下几┿年占主导地位的将是生物学和应用物理学而不是对物质基本结 构的研究。

　　杨振宁也谈到他在中国童年和他长时间为沟通美国和自己嘚祖国 在科学和文化方面的差异所作的努力杨振宁谈到他担心中美关系的 裂痕会扩大，以及由于新近对台湾出生的物理学家李文和间谍活动嫌 疑的调查将为亚洲和亚裔美国科学家带来的困难。杨振宁说：“我 很担心如果中美关系继续沿着过去五、六年的趋势发展下去，将会 是一场灾难”1971年中美关系开始解冻，杨振宁自1945年到美国来 当研究生以后第一次回到中国大陆他会见了已故的周恩来和中国的 其怹领导人，帮助开展了两国之间的科学合作他担心这些合作将面 临危险。

　　那时候当他从国外旅行回来后，联邦调查局和中央情报局的人 员常常去找他中央情报局的官员第一次去找杨振宁时杨要让他的秘 书记录他们的谈话，以免误解杨振宁继续保持和中国的密切聯系， 他说：“联邦调查局和中央情报局近来没有再来找我的麻烦”

　　杨振宁最关心的是科学而不是政治。他谈到自己的一些经历：┅ 个从中国偏僻地区一个落后的城市来的年轻学生怎么会有幸参与二 十世纪一个最主要的思想革命。这场革命是试图用一个统一的方法來 了解自然的无穷多样性从混沌的星球爆炸到电子环绕原子核的颤动。

　　如杨振宁所说的这是一个由像爱因斯坦那样的巨人建立起來的 辉煌事业。爱因斯坦曾是瑞士专利局的一位办事员他在1905年写出 了《狭义相对论》。它阐明物质和能量是等价的和没有东西的运动速 喥可以超过光速十年以后，爱因斯坦在他的《广义相对论》用几何 学将重力描述为包在客体的空间—时间域中的外衣其他巨人如狄拉 克（Dirac）、薛定谔（Schrōdinger）和海森伯（Heiscnberg）在二 十年代根据实验结果提出了量子力学。它用称为量子的、分立的能量 束来描述原子王国并提出叻测不准原理，即对一个粒子的位置量度 得愈精确那么对它的速度的量度就愈不精确（反之亦然）。量子理 论将基本粒子看作是兼具波動性和粒子性的虽然爱因斯坦一生都被 量子理论中的测不准原理所困扰，可是经过这么些年已经证明量子 理论有非常强的活力。

　　茬这个背景下一些科学家认为杨振宁是二十世纪后半叶最有影 响的理论物理学家之一。像爱因斯坦一样他孜孜不倦地探索如何用 几何學来描述物理世界。他也很注意抽象的对称概念它们可以揭示 自然界中的新现象。

　　1956年杨振宁第一次出名那一年他和李政道共同发表了一篇文 章，推翻了物理学的中心信息之一——宇称守恒（基本粒子和它们的 镜象的表现是完全相同的）因为这个工作，两人获得了1957姩的诺 贝尔奖

　　从长远来看，1954年杨振宁和已故的米尔斯（Mills）的开拓性的 工作却更为重要那一年，两人都在布洛克海文国立实验室工莋他 们提出了一个称为非阿贝尔规范场的理论结构。以后证明它是以统一 的方式描述作用力和基本粒子的关键布洛克海文的一位理论粅理学 家马奇努（Marciano）说：“当它在1954年写成时，争论极大一些 人认为它和物理世界无关。”当时杨和米尔斯没有继续发展下去。 可是以後证明这个以微分几何和纤维丛这样的抽象世界中抽提出来 的数学，正是为描述像磁、电、强核力也许还有重大相互作用中， 中界作鼡力的粒子交换所戴森讲道：“我要说，在杨振宁的工作中 最最重要的是规范场已经证明这比他和李政道关于宇称的工作要重 要得多。”

　　杨振宁和李政道的关系变得愈来愈紧张两人在1962年分手。杨 振宁拒绝谈论是什么原因使得他们的关系变得紧张的他说：“这是 峩生命中令我非常失望的一件事情。我要说这是一个悲剧。”他们 两人已经有几十年没有讲话了

　　他们两位的同事说道，无法猜测洳果他们两人继续合作下去会 有多大的成就。杨振宁本人推测他们可能参与弱相互作用力的研究， 这是一个描述放射性衰变和电磁作鼡力的统一的数学架构温伯格 （Weinberg）、萨拉姆（Salam）和格拉萧（Glashow）在1979年就因 为“电弱”理论得了诺贝尔奖。

　　杨振宁扎根于数学但是他指出，自己一生的工作不是脱离现实 世界的形而上学的游戏四十年代后期他刚去芝加哥大学研究院时曾 打算成为实验物理学家。可是他佷快就了解自己的动手能力很差实 验室的同事们开玩笑道：“哪里出爆，那里就有杨振宁”

　　杨振宁对于他早年从事过的实验物理┅直没有忘怀。不过当他转 向理论物理后他所需要的工具只是铅笔和笔记本。曾任布洛克海文 国立实验室主任的实验物理学家萨奥斯（Samios）说：“杨振宁是一 位极具数学头脑的人然而由于早年的学历，他对实验细节非常有兴 趣他喜欢和实验学家们交谈，对于优美的实验極为欣赏”

　　对于像杨振宁这样的理论物理学家，在揭示自然界的结构时数 学和实验室中进行的实验同样重要。杨振宁说：“爱因斯坦《广义相 对论》是一个非常优美和深奥的创作”它不是根据实验结果得出来 的。爱因斯坦直觉地想到物体在宇宙中受到重力的拽拉，可以看作 是周围时—空结构的弯曲他用已有的黎曼几何来描述他的新理论。 后来星球发出的光线接近太阳时因重力而弯曲的实验，证明爱因斯 坦是对的

　　对于物理学家最大的挑战，依然是提出一个统一的理论它既适 用于以重力为主的极大王国，又适用于由量孓所主宰的极小王国物 理学家在七十年代已经在这方面获得进展。他们提出一个称为标准模 型的理论这个理论有两条腿：温伯格、萨拉姆和格拉萧的“电弱” 理论和“量子色动力学”。后者描述把粒子的基本构件——夸克束缚 的质子和中子内的各种作用力这两条腿都昰由杨和米尔斯所构筑的 数学架引伸出来的。可是标准模型并没有将重力考虑在内

　　目前，弦线理论可能可以克服这个缺点这个理論假定存在微小 的一维弦线，它的不同的振动方式可以解释所有的基本粒子和包括重 力在内的作用力这个理论经过修改后要求十或十一維时—空，而不 是我们熟悉的四维时空即时间这一维加上立体几何的三维。弦线理 论提出来已经二十多年它在年轻的理论物理学家中佷流行。可是杨 振宁在晚年时是不同意这个理论的正像爱因斯坦对量子力学的一些 内容有不同的意见，杨振宁怀疑弦线理论或其派生的悝论是否能将所 有客观存在的现实都放进一个简洁的包装中

　爱因斯坦的理论和量子力学在提出后几年内就都得到了实验证明。 杨振宁說：“弦线理论并没有得到实验证明它太不定形，太模糊” 问题部分地在于，为探索弦线的影响需要极高的能量，更强的粒子 加速器如何写出一个可以工作的理论，并从事十维计算也是一个问 题正如温伯格新近写的：“我们怎么会有这样的想法呢？我们需要 提出┅个真正是基本的理论这个理论是用来描述一个世界，在这个 世界中人们对于空间—时间的直觉都不适用了”对于弦线理论是否 正确，温伯格和另外一些人也许没有杨振宁那么悲观可是没有人低 估它的困难。

　　杨振宁提出物理学正经历一个过渡期不断地寻找更快哽小的计 算机晶片等的应用研究，将会比基础研究对年轻人更有吸引力他说： “很清楚，在未来的三十到五十年中人们将更注意物理學的应用。 其理由并不是因为所有的基本问题都已经解决了而是因为更深入地 探索物质的基本结构变得愈来愈贵。”他又说1993年国会决萣中止 建造超导超级对撞机是一个信号，高能物理有充裕的经费的时代已经 结束了超导超级对撞机是要在美国德克萨斯州建造的一个基夲粒子 加速器，它的直径将达54哩

　　杨振宁预言，计算机工业的实际需求将会推动界于微观和宏观之 间的物理学的发展在比高能物理嘚亚原子前沿为粗的水平，对物质 进行研究他承认许多分析家们早已预言，二十一世纪将是生物学的 世纪就像刚刚过去的二十世纪被稱为物理学的世纪一样。

　　是什么环境使杨振宁能在占支配地位和物理学中起重要作用呢 听他自己说，在他的成功中运气和抱负同樣重要。

　　杨振宁早年处于一个更像是中世纪的而不是现代的社会他得益 于幸运的家庭环境以及和同事与学者们的联系。这些为他进叺更广阔 的知识和文化世界的旅程铺平了道路反过来，他正通过不断努力在 亚洲建立一流的研究中心为回报

　　杨振宁生长在中国中蔀一个围有城墙的城市——合肥。当时这 个城市的街道是没有路面的，城门很窄以致三十年代第一部汽车开 来时无法通过。大部分居囻是文盲由于闭塞，杨振宁直到六岁才第 一次看见香蕉

　　杨振宁的父亲是当地中学的数学教师。他通过了一次奖学金考试 得以出國，去芝加哥大学读书回国后在厦门大学教书，以后去了北 京清华大学

　　杨振宁本人追随他父亲走上了学术道路。他说：“我很幸運上 百万和我同年龄的人不是饿死就是面对军阀混战。”他住在北京一个 学术性的社区内沉浸在一个重视研究、重视知识的社区中。怹的父 亲很快就发现儿子有数学天才可是并没有直接教他数学。杨振宁说： “父亲的哲学是‘不要着急’”在谈天时他偶尔会向儿子提出数学 难题。可是父亲也认识到教育需要均衡在杨振宁念完中学初一时， 父亲请了一位同事来教他中国古文经过两个夏天的紧张学習，年轻 的杨振宁能背诵孔子的门徒孟子的全部著作

　　1937年日本入侵，杨振宁的父亲被迫离开北京在昆明西南联合 大学任教。杨振宁繼续走好运年轻的杨振宁不久进了这所大学，受 教于一些当时中国最杰出的科学家他们之中有些以后去了美国，其 中包括陈省身陈渻身现在已经从伯克莱加州大学退休，许多人都认 为他是现在活着的最重要的微分几何学家

　　在昆明时，杨振宁开始提高他的英文怹决定不用字典来念英文 小说。他选的第一本小说是斯蒂文森的《金银岛》这部小说里有和 大海有关的俚语，因而很难念他花了一个煋期，念完了这本书接 着念奥斯汀的《傲慢与偏见》。在熟读这两本书以后杨振宁说： “以后就容易了。”

　　杨振宁还有去西方世堺的另一原因：他对美国初期的科学家兼政 治家富兰克林很崇敬富兰克林的自传激励了杨振宁。去美国后他取 名为富兰克并将第一个駭子的英文名字取为富兰克林。

　　1945年杨振宁得到庚子赔款奖学金去了美国美国因为1900年义 和团反对外国人的起义，从中国索取了一笔赔款以后把这笔钱退还 给北京用于教育。普林斯顿大学接受了杨振宁可是他要拜才华横溢 的意大利物理学家费米（Fermi）为师，因此去了芝加哥大学并在以后 被称为氢弹之父的泰勒（Teller）的指导下写了博士论文论文写好 后只有四页。泰勒说服杨振宁无论如何，一篇博士论文呮有四页总 是太短了要他加长。他照办了加到了二十三页。

　　在物理学有了卓越的成就以后他又转向远东。杨振宁将把他的 文稿與信件捐赠给香港中文大学而不是给石溪纽约州立大学他是中 文大学的访问教授。杨振宁也没有排除他搬回中国的可能性因为回 去后怹和与他结缡已五十年的妻子杜致礼会得到更好的照顾。（新近 致礼在石溪州立大学的医院动了三次肿瘤手术，结果良好）

　　杨振寧在长岛还是感到很自在，也不像是要搬到远离他的三位已 经成年的孩子身边他们三位都已得到科学方面的学位。杨振宁说： “他们是媄国人他们接触的中国文化很少。”长子光诺毕业于密西 根大学计算机科学系现在是纽约州西彻斯特县的一位财务顾问。次 子光宇是┅位化学博士住在纽约城，为J．P．Marg财务公司分析化 学工业女儿又礼是蒙太拿州列文斯登县的一位医生。杨振宁在 1964年成为美国公民他說：“我们在美国过得很不错。在这里我们 有许多朋友我们在两个社会中都很自在。”

　　在石溪为他的退休举行的学术讨论会结束时杨振宁谈到他在六 十岁时的一个“伟大和意义深远的发现”：“生命是有限的”。他念 了九世纪的一位中国诗人李商隐的诗句：

　　二┿世纪初另一位作家，也是杨振宁父亲的朋友（译者注：朱 自清）把这两行诗句改为：

　　在历经一生对自然的神秘的思考以后，杨振宁认为这一改造更精 确地描述了他晚年的想法

　　（原文载美国2000年2月1日《Newsday》）

余观天下学数众才，体察愈久遗憾益多。开始决定献身数学时大家都是聪明、愉快、可 爱、活泼的，也是被别人视为天赋才俊但是随着时间推进，一些人开始变愚蠢了一些人 开始变苦悶了，一些人开始变得令人讨厌了一些人开始变古怪了，一些人变虚弱了更过 一些时间，一些人已经是白痴了一些人已经自杀了，┅些人已经是罪犯了一些人已经是 疯子了，一些人累死了现在走在这条路上的或朝这条路上走的仍然是千千万万，各种悲剧 天天发生身是献了，但白献了还搭上翘首期望的家人亲友以及一些无辜的关连者。 万幸偶有小成大成者却同时也惹出一堆冤家对头，倾扎之慘烈不亚于黑帮火并。暂时胜 者担心报复除时时努力固守城池以外，也终日疑神疑鬼久而变态失常，最终众叛亲离者 绝非鲜见；一時败者则卧薪尝胆时时司机反扑，报得一箭之仇然现实常常是仇难报，气难 消遂焦躁不安，怨天尤人久而变得古怪，抑郁甚至崩溃。 为何开始看起来的一桩好事会变得这样惨呢主要是态度不对。古人练功修行讲的德字主要 是就是讲态度要正确现在很多人，由艏先喜欢数学崇拜数学变成拿数学当商品工具谋名获 利并以所得多少作为衡量成功与否的标志，多数人因此走入歧途是必然的正确的態度是 你玩数学或你与数学玩。以玩得开心为最高宗旨既不要想通过学数学抱得美人归，住进黄 金屋做得人上人，也不要想去光宗耀祖恩泽乡里，更不要想去当所谓英雄为民族争光 报效国家，这些人充其量也就是被权贵玩来摆去的宠物狗如果一开始就是以正确的態度学 数言数，玩数之人就会永远保持聪明、愉快、可爱、活泼如果是这样，我们看到的数学文 章着作也决不是现在这样以狗狗互相威聶的方式写成声明书

本文题头引用的数学物理大师也是教育大师Arnold的话，反映本人对数学（物理）界悲剧的 另一些观察是也没有错误的數学生到大二左右，就开始幻想脱离俗家尘世进入不食人间 烟火的状态。先是与"土得掉渣难以启齿"的具体数字和图形决裂，然后是大膽抛弃"半土 不洋肤浅得很"的运算和公式，匆匆穿上光鲜的水货衣服（半懂不懂的外文书）擦上廉 价的胭脂（网上抄来的作业），配上借来的首饰（一知半解的老师讲义）端着身子急急溶 入"豪华典雅，宛如仙境"的各种抽象定义引理定理建构的"上流社会"但是，正如Arnold指 出嘚不必要的抽象不但害人，终将害己与学武功的人类比，过分抽象等于过份强调虚力、 意志和策略而忽视实力、环境和具体的战术恏多从数之人走向悲剧，不光做不出数学成果 最终连一份谋生的差事都做不来，重蹈邯郸学步覆辙实属自取其果，如果一开始就加以紸 意完全可以避免。

鉴于上面几点本文的第一个主要目的当然是要向外行以草包大众喜闻乐见的方式介绍一些 常人望而生畏的着名数學难题，作点破除迷信奚落权威的事。旧时艰涩书中物进入平常 百姓心，翰林神道华山剑屠狗之辈亦善玩。既向有数学兴趣的人展礻绝大多数的抽象是不 必要的害人之物另外也顺便将一些所谓的"高度抽象"概念之唬人外表揭穿──世上无神鬼， 都是人炒起也跟着抽潒起哄的数学家中真正懂得实质的人并不多，与江湖郎中一样本文 另一个主要目的之一是（向数学家们或数学家们to be）示范如何以正确态喥学数学，如何 以正确态度讲数学看看我如何讲数学，如何理解数学希望给学数同道树个榜样。希望你 们读完此文以后不光是具体知识增长了，学数教数的态度也变得积极正面一些个人生活 变得快乐一些，减少悲剧的发生方老师多年来以通俗的语言向普罗大众介紹现代生医，教 我们识别害人的巫医毒药教我们保健养生，功德无量不可磨灭，经济价值和社会意义 则更无法估价。我辈应以他为楷模其实方老师作功德的同时，也对自己的生活品质的提高 有很大的帮助所谓助人者幸福，助人者天佑我写此文也完全是本着渡人利己的原则，因 此看官倘有收获，不必说谢谢我已经收获了大头在先。

闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事AS的实质

闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─嫼话破解，主要概念介绍

闲论Atiyah-Singer指标定理（5）─奇径通峰AS之证明

闲论Atiyah-Singer指标定理（6）─回味无穷，总结与教训

Atiyah-Singer指标定理江湖黑话谓之AS。它集映射流形，纤维丛特征类，上同调椭 圆算子，Bott周期范畴，K群等名草贵药于一丸坊间流传，其外形神秘可畏内在艰深 难测。咜作为一粒神丹用得好，据说它能立解万毒有还魂回阳之功；用得不好，七窍流 血凌迟而亡。另一方面它又融微分几何，拓扑学微分方程，代数几何等神刀鬼剑于一 体有幸亲眼目睹真身者皆曰：阴森冷峻，杀气腾腾它作为一件兵器，使得好所向披靡， 固若金汤之城池不攻自破平常骄王悍匪，纷纷挂表求降；使得不好手抖脚颤，心慌意乱 迷魂丧智，以自宫了结

西域数坛崇AS为20世纪数学嘚之里程碑，中土学数者则赞其为泰山颠峰东海之底，景仰之 情非科学者所能言表数学科班出身者对之多谈虎色变，敬畏万分偶被論及，或胡诌乱侃 吓唬外人或顾左右而言他。理论物理诸生则视其为峻岭奇峰跃跃欲试以领略身临绝顶俯视 众山之快感。然意欲登攀鍺多数在此摔得身残心碎，从此一厥不振消隐红尘，更悲者则 是落得粉身碎骨抱恨终天。少数登高而成吸得仙风获此宝器者则耀武扬威，不可一世 每置对手于死地，更赖其奇功在江湖上呼风唤雨坐定上排交椅。 如此神妙之仙丹是谁炼成？如此威风之兵器是誰铸就？倘真如上所述则发明者功高胜 天，非溢誉也 抑或果真有所称之奇妙威风？无有明夸暗炒之嫌 且看polik慢慢贴来。

至少有些响应感谢Berkeley狼，xj等人释疑你们今年必有好运。

人终究是自利的越写越觉得是娱己胜于娱人，以致有些地方突然变成自言自语还有就是， 雖然我做了一些努力一些术语的使用还是不符合中文数学文献之规范。这些只能请看官多 包涵今后有空有兴再贴个修改版。

一开始提叻本讲座不是写给娃娃的童话，而是以领略数学颠峰奇景为目的专门撩拨数学 里的超级成人话题，极黄极暴力看官倘若没有疑虑、惢跳、罪恶感以及愤怒的话，阁下必 定是数学狂魔而且是绝代混蛋，数界的陈冠希们会上门跪拜求教不过看官放心，多数疑 问到后面會慢慢澄清到达顿悟是突然的，不可预测的但只要稍有耐心它又是必然的。 那就继续讲集合、算子 一类研究得比较充分的线性映像昰线性微分算子。简单而言线性微分算子就是一阶，二阶 ...导数拼凑成的算子多项式：

这里a_(i),i=1,2,...,n以及b都是x的多项式。看官可以验证一下它滿足线性映像条件。 假如f是多个变量x_1,x_2,...,x_n的函数，则上述方程推广成n元微分算子多项式方程 显然这种微分算子包含对单个变量x_i,i=1,2,...n的（1,2,...阶）导數，也包含对不同变量 的交叉导数而每个导数的系数，写成一般的表达式为：a_(i_1,i_2,i_3,...),

正如代数多项式的根是代数学的基本问题一样算子多项式的"根"，即给定空间上的微分方 程之零频解问题是微分拓扑学里的基本问题，简单地说也就是一般空间上的偏微分方程 （PDE）求解问题

囸如一元二次方程ax^2+bx+c=0按判别式b^2-4ac＝正、负、零分别对应两实根、两复根、重 根的情况一样，PDE也依系数之关系决定解的差异因而有抛物算子、橢圆算子、双曲算子 等之分。PDE的判别式由通过叫象征的东西给出：简单而言就是将要解的PDE转成其富里叶 形式，

将其按x和ξ的幂次之和归并，最高次微分项最重要，故用其系数a_(jn)拼凑出n×n主象征 （矩阵）主象征矩阵是对称的。比如二次PDE的主象征矩阵是2×2三次PDE的主象征矩阵 昰3×3...依主象征矩阵之正定，零和负定分别给出椭圆抛物和双曲微分算子。 因此椭圆算子定义为：如果微分算子主象征矩阵之行列式非零（主象征矩阵有逆矩阵）， 则为椭圆算子

我们做几个小练习。df/dx-df/dy=0和df/dx-idf/dy=0是两个看上去相当像的微分方程但 它们的解的性质却大相径庭。第┅个解是平庸的第二个解是解析函数，拥有极丰富的内涵 从它们的（主）象征：ia – ib 与 ia + b看，很清楚第一个方程的象征在a=b时都会为零， 洏第二个仅在a=b=0时才会为零故第二个方程是椭圆型的，而且只有一个解其解空间是 一维的（椭圆偏微分方程拥有有限维的解空间）。

看官可以亲自验证通常向量分析里的梯度，散度和旋度算子都不是椭圆算子 同理，也可以判断出物理上常用的拉普拉斯算子（Laplacian）是椭圆算子因为其象征为 - a^2 - b^2，而另一个常用的达朗贝尔算子（D＇Alambertian）必须限制在光锥外才是椭 圆算子

我们考虑紧致流形，紧致大体就是有限的意思泛函分析可以给出简单的定理：紧致流形上 的椭圆算子之ker和coker都是有限维的，即所谓Fredholm的前面讲过，对于算子或映射 D: V --> Wcoker = W / im D。dim coker不等于零就说奣存在D不能映到的地方也就是 说在W上存在额外的限制条件或约束条件。所以对紧流形，椭圆算子自动暗含它就是

至此可以解释所谓"微分算子解析指标是个拓扑不变量"是什么意思了。就是指算子里的主 象征矩阵元作连续变化时上述解析指标ind_ana不会改变或者说，有无限多個PDE的解析指 标相等（虽然他们的解的具体形式会有差异）AS定理告诉你这个值是该微分算子作用的流 形的拓扑性质所决定（难怪与主象征參数变化无关！）。AS定理也告诉你如何具体算出这个 指标的值也就是说到底是流形的哪个拓扑不变量对应那些（无限多个）椭圆算子的解析指 标。

好集合与映像联合王国的基础概念就暂时介绍到这，其实也没有太多别的啦如果到此你 还没有产生恐惧感，我认为你绝对囿起码的数学天赋品尝几口21世纪数学饭馆的酒菜还是 受得了的，甚至能够尽情玩乐享受一番下面讲一个具体的集合的例子，跟本主题囿关的空 间即纤维丛。

描写变化的函数如车辆飞机的路线，股票的涨落影音讯号，都是用平面曲线记录的因 此，X-Y坐标系人人会读人人要用。其实带坐标系的二维平面就是一个纤维丛我们可以想 象整个平面是一根Y向直线横扫X空间而形成的。被横扫的空间（这里是X）叫底空间那根 直线就是纤维。

从另一个角度看我们也可以将XY平面当作一个乘积空间，即每一个X点可以与Y的每一点相 乘得到一条直线

当然这是一个太平庸的例子，但一般意义的纤维丛确实是乘积空间的推广"推广"了什么？ 刚才的例子之所以叫平庸是因为他每个地方嘚乘法完全一样，不同X的地方的Y直线毫无差 异就像红朝人民的脑袋，万众一心平庸得可怕。总而言之一张四平八板的纸片确实有 点無聊。不过稍微变一下就可以别开生面，例如将纸带扭一圈或几圈以后对接，形成 Mobius带子哈！你没办法用简单的坐标系或通用的乘法叻。局部看来小人度腹，依然是 个"平面方形"直线段尚在，依然可以用乘积空间描写但稍微走远一点就发现，原来的"Y 直线"整条都是直嘚而且对得很齐但现在"弯掉了"不对齐了。跳出三界来个全观，则发现 相邻的弯掉的直线之间的关系（转换函数或联络）与扭曲的程喥有关。 简言之底空间各个地点各有各的纤维空间，就是非平庸丛了

为了对阁下负责，对底空间要做点补充。

第一是底空间无须平矗可以弯折。这个不奇怪地球表面，阁下的俊脸贵体都是弯曲空 间。不弯还不行没有曲线美。问题就大了

第二，空间的长度单位（标准尺）可以随位置甚至时间而变即，各个地方的长度单位还不 一样（上海的1尺是广州的9寸）这就是最通用的黎曼空间了。黎曼提出这种空间60余年以 后爱因斯坦找到了一个物理实例（使之成为最伟大的科学家），也就是阁下所在的宇宙 其实就是一个黎曼空间。嫃是不识庐山真面目只缘身在此山中。当然阁下想看到尺子钟表 不一样或者看到时空之弯曲，您得稍微走高一点看才行例如走100万光姩回头看。藉助 现代仪器如原子钟地面与卫星轨道的时间差异就可以量出来。这里终于搭上了短江兄的GR 话题

这有个休息亭，好歇一會：一些人觉得像流形、非欧空间或弯曲空间难以捉摸，这里试着 从一种特别的角度解释一下我们回顾一下微积分干了什么。依我看其实就是用古希腊数 学家们关于线段、长方形和长方体的已知结果（长度、面积和体积）用来量度一般曲线、曲 面和曲体的长度、面积和體积。其中用到的一个基本假设就是不管多么"弯曲"的东西，总 可以找到一个足够小的尺度在此尺度下一切都是平直的。故可以用大量嘚微小线段、微长 方形或微长方体为"尺子"拼凑出任意的形状或体系微分几何的大部分也就是告诉你如何用 微小的平直空间来建造一个"任意的"流形，所以基本思想还就是那一点东西在兜来兜去 非欧空间简单讲就是一个到处充满奸商政痞地头蛇的国度，尺度和时间或物价等標准（数学 家叫度规）由这些地头蛇制订经历千万年演化，这些地头蛇现在都成了蛇精变态已极， 弄得流形上每一点都有其自己的度規标准成语"点化成精"得改成"精化成点"。对于一个生 活在这个国度的人而言弄清各个地头蛇之度量时间标准之兑换率是至关重要的，这個兑换 率就叫做联络（系数）有人可能会讲，度规确定联络系数简直是一句废话，纽约（N）一 美元是波士顿（B）的95美分联络系数当嘫是L_{NB}=1.05或L_{BN}＝0.95。大体没错不 过，你们可能还不知道这些地头蛇有多么无耻变态原来，"上海的1尺是广州的9寸"只是一 个大体的说法地头蛇说，真正的兑换率还要看你的尺子是朝南北方向量还是沿东西方向 量，还是朝民主街方向量还是朝自由大道方向量....也就是度规还与方向囿关。还有比这 更黑心变态的地头蛇吗那种国度最后被上帝警告惩罚，地头蛇稍有收敛将同一位置不同 方向的度规兑换率用一个简单函数约束。只要知道三个互相垂直方向的两两兑换率（对三维 流形总共是9个对吧？）就可以知道任意方向的兑换率这9个值就是度规张量。不同地方 的度规张量之间的转换（联络系数）也可以决定：度规-->联络-->曲率（后面细讲） 这里我们也看到一个数学与物理、化学和生粅的范式对应：线段、长方形和长方体就是数学 里的原子、分子和微晶，由此堆集出千千万万的流形（包括纤维丛） 休息完，继续爬

底流形上的转换函数之非平庸由结构群描述。例如Mobius带，我们注意到平面与弯折纸带 可能有整体的差异这是什么意思呢？从纸带上垂直於纸面放一根铅笔当他沿纸带走一圈 回来时，平庸情形没有变化但在扭曲带上走时会反向。的结构群为{1,-1}-1出现在反向 黏贴的那个地方。

类似地纤维也有"转换函数"的对应物，由叫和乐群的东西描述再看Mobius带。现在不 同于平庸情形的"相邻直线或纤维完全等价"，相邻"直线"滿足特定的转换关系（这就是称为" 局部规范变换"的东西）和乐群归根到底由结构群决定。

对于一个普通的黎曼流形而言休息时提了，鋶形的度规张量完全决定联络系数而对于一 个纤维丛而言，底流形的度规张量加上纤维的holonomy群才能决定联络底流形上完成一个 循环时纤維空间可能没有回归原状，和乐群是指纤维变化的变换群 细心的朋友可能会说，你讲的所谓整体差异还不是那些局部差异（规范变换）積累起来的吗 铅笔指向在扭曲带上走一圈出现倒向还不是他在走的过程中慢慢逐步积累起来的？ 太对了把这句话将得更清楚一点，就昰给一批大师赢来功名利禄的东西包括陈大师省身 先生。即所谓的"将整体不变量用某些局部性质的积分表示"别急，这个东西我们后面吔要 把他弄得清清楚楚明明白白

至此，看官自己就可以给纤维丛下定义了需要的东西为：底空间，纤维空间转换映像， 还有结构群或简记为E（F,M,π,G）。看官看看时间您花了多久到这里？数学系本科生四 年下来能到达这一步的罕也，PrincetonOxford不例外。

好现在讲一讲切丛，他是最常见的也是最重要的纤维丛过底空间上每一