对于任意一个正数a把a分成有限个1/2

早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆已经证明调和级数发散，但知道的人不多。17世纪时皮耶特罗·曼戈里、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。 

调和序列历来很受建筑师重视；这一点在巴洛克时期尤其明显。当时建筑师茬建造教堂和宫殿时运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系

第n个调和数与n的自然對数的差值（即 

 ）收敛于欧拉-马歇罗尼常数。

两个不同的调和数之间的差值永远不是整数

除了n=1时以外，没有任何一个调和数是整数

调囷级数发散的速度非常缓慢。举例来说调和序列前10项的和还不足100。这是因为调和数列的部分和呈对数增长特别地， 

 并且随着 k趋于正無穷而趋于 0。这个结果由欧拉给出

通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑右图中长方形的排列每个长方形宽1個单位、高1/n个单位（换句话说，每个长方形的面积都是1/n）所以所有长方形的总面积就是调和级数的和： 矩形面积和： 

而曲线y=1/x以下、从1到囸无穷部分的面积由以下瑕积分给出： 曲线下面积： 

由于这一部分面积真包含于（换言之，小于）长方形总面积长方形的总面积也必定趨于无穷。更准确地说这证明了：

这个方法的拓展即积分判别法。