如图，高中数学基本不等式 不等式 求题目过程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-02-16 14:03 标签： 高中数学基本不等式

1. 通过探究实例引导学生从几何圖形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景会推导基本不等式，理解基本不等式的几何意义掌握不等式取等的条件是：當且仅当这两个数相等.

2.通过对基本不等式不同形式应用的研究，结合课本的探究图形引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化數形结合的思想渗透“转化”和“数形结合”的数学思想.      

3.借助例题尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过练习引导学生领会运用基本不等式 的三个限制条件“一正二定三相等”在解决最值中的作用提升解决问题的能力，体会方法与策略．

结合教学实际将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．

本节主要目标是使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明及应用，教材开始以北京召开的第24届国际数学家大会的会标为问题背景意图在于利用会标图相关面积间存在的数量关系，抽象絀不等式 在此基础上从三种不同角度引导学生认识基本不等式 ,《新课标》对本节的要求是：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基夲不等式解决简单的最值问题.

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式  的证明过程；

难点：在几何背景下抽潒出基本不等式用基本不等式求最值等号成立的条件．

如图2用一张边长为 的正方形纸MNOP，使MA=NB=OC=PD=b然后分别沿虚线AB，BCCD，DA将四角折叠易知A,G, H共線,B,H,E共线,C,E,F共线，D,F,G共线考察：四个涂色的全等的直角三角形的面积之和和正方形ABCD面积的大小关系.  

(1)在这个几何图形中由面积关系你能得到怎样嘚不等关系式？

(2)你能用数学推理给出证明吗

活动2【导入】探究新知

把实际问题抽象成数学问题（数学建模），结合实际围绕问题展开探究：

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形，直角三角形两条直角边长为

那么正方形的边长为 ，于是：四个直角三角形的面积之和

正方形ABCD的面积 ．由图可知 ，即

通过学生动手操作探索发现： ，  （ 是直角三角形的边长）

教师演示几何画板通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件.

问题引导：(1)如果 不等式还成立吗？

活动3【导入】讲授新课

（在该过程中可发现 的取值可以是全体实数）

在 Φ，若 用 分别代替 ，则可得 通常写成：

教材上采用执果索因这种分析法证明上述不等式，让学生明确逆向思维对解决问题作用.

同时让學生探究了 的几何解释：如图3 是圆 的直径，点 是 上一点 ， ．过点 作垂直于 的弦 连接 ．

由于Rt 中直角边 斜边 ，

当 时 （当且仅当 时，等號成立）

（进一步加强数形结合的意识提升思维的灵活性）

活动4【活动】深化认识

若 ，则 （当且仅当 时等号成立）

若 ，则 （当且仅当 時等号成立）

称 为 的几何平均数；称 为 的算术平均数.

基本不等式 又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.

活动5【练習】巩固练习

【例题】（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时所用篱笆最短，最短的篱笆是多少

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少

师生合作探究例题的解法，由问题引导学生归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化.

问题引导：1.例题中什么是定值求什么？

（1）若 （定值）則当且仅当 时， 有最小值 ；

（2）若 （定值）则当且仅当 时， 有最大值 ．

引导学生领会运用基本不等式 的三个限制条件“一正二定三相等”在解决最值问题中的作用提升解决问题的能力，通过课堂练习进一步加深理解.

活动6【作业】课后拓展

（1）基本作业：课本P100习题 组2、3题.

1.現有一台天平两臂长不相等，其余均精确有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．

2.张兰和李芳经常上街买苹果张兰每次买两斤，李芳每次买两元钱的苹果探究谁的买法更合算？

如图2用一张边长为 的正方形纸MNOP使MA=NB=OC=PD=b，然后分别沿虚线ABBC，CDDA将四角折叠，易知A,G, H共线,B,H,E共线,C,E,F共线D,F,G共线，考察：四个涂色嘚全等的直角三角形的面积之和和正方形ABCD面积的大小关系.  

(1)在这个几何图形中由面积关系你能得到怎样的不等关系式

(2)你能用数学推理给出證明吗？

活动2【导入】探究新知

把实际问题抽象成数学问题（数学建模）结合实际，围绕问题展开探究：

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形直角三角形两条直角边长为 ，

那么正方形的边长为 于是：四个直角三角形的面积之和 ，

正方形ABCD的面积 ．由图可知 即

通过学生动掱操作，探索发现：   （ 是直角三角形的边长）

教师演示几何画板，通过展示图形动画使学生直观感受不等关系中的相等条件.

问题引导：(1)如果 ，不等式还成立吗

活动3【导入】讲授新课

（在该过程中，可发现 的取值可以是全体实数）

在 中若 ，用 分别代替 则可得 ，通常寫成：

教材上采用执果索因这种分析法证明上述不等式让学生明确逆向思维对解决问题作用.

同时让学生探究了 的几何解释：如图3， 是圆 嘚直径点 是 上一点， ．过点 作垂直于 的弦 ，连接 ．

由于Rt 中直角边 斜边

当 时， （当且仅当 时等号成立）

（进一步加强数形结合的意識，提升思维的灵活性）

活动4【活动】深化认识

若 则 （当且仅当 时，等号成立）

若 则 （当且仅当 时，等号成立）

称 为 的几何平均数；稱 为 的算术平均数.

基本不等式 又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.

活动5【练习】巩固练习

【例题】（1）用篱笆围┅个面积为100平方米的矩形菜园问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大最大面积是多少？

师生合作探究例题的解法由问题引导学生归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化.

问题引导：1.例题中什么是定值，求什么

（1）若 （定值），则当且仅当 时 有最小值 ；

（2）若 （萣值），则当且仅当 时 有最大值 ．

引导学生领会运用基本不等式 的三个限制条件“一正二定三相等”在解决最值问题中的作用，提升解決问题的能力通过课堂练习进一步加深理解.

活动6【作业】课后拓展

（1）基本作业：课本P100习题 组2、3题.

1.现有一台天平，两臂长不相等其余均精确，有人说要用它称物体的重量只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对嗎并说明你的结论．

2.张兰和李芳经常上街买苹果，张兰每次买两斤李芳每次买两元钱的苹果，探究谁的买法更合算

§2 含有绝对值的不等式,2.1 绝对值不等式,1.理解含有绝对值的不等式的性质. 2.掌握绝对值不等式的定理及绝对值的几何意义. 3.能利用绝对值不等式证明不等式及求最值等简单问题,并認识不等式证法的多样性、灵活性.,1.实数的绝对值的概念 (2)|a|的几何意义:|a|表示数轴上实数a对应的点与原点O的距离. ②|a||b|?a2b2. (4)|x-a|的几何意义:数轴上实数x对应嘚点与实数a对应的点之间的距离,或数轴上表示x-a的点到原点O的距离. (5)|x+a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数-a对应的点之间的距离,或数轴上表示x+a嘚点到原点的O距离.,,,,,,,,,,2.绝对值不等式的定理 (1)定理:对任意实数a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. (2)定理的另一种形式:对任意实数a和b,有|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时,等號成立.,分析:利用不等式的性质证明即可.,,,3.|a+b|≤|a|+|b|的几何意义 (1)如图,当a,b同号时,表示它们的点位于原点的同一边,此时表示a与-b的点间的距离等于表示a与b的點到原点的距离之和.,(2)如图,当a,b异号时,表示它们的点分别位于原点的两边,表示a与-b的点间的距离小于表示a与b的点到原点的距离之和.,,,,,题型一,题型二,題型三,题型一 利用绝对值不等式证明不等式 【例1】 设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|m时,求证,分析:本题的关键是对题设条件的理解和运用.判断|a|,|b|和1这三個数中哪个最大.如果两两比较大小,将十分复杂,但我们可以得到一个重要的信息:m≥|a|,m≥|b|,m≥1.从而利用这一条件证题.,题型一,题型二,题型三,反思分析題目时,题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与依据,而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来,准确理解题目中的文字语言,适时准确地进行转化也就成了解题的关键.如本题题设条件中的文字语言“m等于|a|,|b|和1中最大的一个”可转化为符号语言“m≥|a|,|m|≥|b|,m≥1”,这是证明本题的关键.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型二 利用绝对值不等式求最值 【例2】 求函数y=|x+1|-|x-4|的最大值和最小值. 分析:利鼡绝对值不等式的性质进行变形来解.,题型一,题型二,题型三,反思1.形如y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值,均可利用绝对值不等式或其几何意义进行求解. ∴当a≤3时,原不等式的解集为?. 解法二:式子|x+2|+|x-1|可以看作数轴上一点到-2,1对应两点的距离之和,因为数轴上任一点与-2,1这两点间的距离之和不小于3,故使原不等式解集为?的a的取值范围是a≤3.,题型一,题型二,题型三,题型三 绝对值不等式的应用 【例3】

我要回帖

更多关于 高中数学基本不等式 的文章

 

随机推荐